山东德州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学试题答题卡 姓名： 学校： 班级： 条形码粘贴区（居中） 准考证号 缺考☐违纪☐ 注意事项 填涂样例 1.答题前，考生先将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写清楚，并 认真在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字 正确填涂 迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚。 ■ 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 错误填涂 案无效。 ☑X☑OI 4保持卡面清洁，不装订，不折叠，不要破损。 0加【刀三 选择题(58分，1-8题每小题5分，9-11题每小题6分) 1 ABCD 5ABC可 9AB@D可 2 A]BC]D 6AB@D可 10AB©D 3 A]BC]D 7A]B]C][D] 11 A]BCD] 4 AB CD 8ABCD 填空题(15分，每小题5分) 12. 13. 14. 15.(13分) ■ ■ 接15题 16.(15分) 高一数学试题答题卡第1页共2页 ■ 17.(15分) ■ ■ ■ 18.(17分) ■ ■ ■ 接18题 19.(17分) 高一数学试题答题卡第2页共2页 ■ 接19题 ■高一数学试题 2026.7 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第Ⅱ卷3一4 页，共150分，测试时间120分钟， 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 目 1.已知复数之的共轭复数满足z=2十3i,则之的虚部为 A.-3 B.-2 C.2 D.3 2.在△ABC中，已知a cosA=bcosB,则三角形的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3.已知M为△ABC所在平面内的一点，3AB=AM,C它=EM,则A立 A号A店+多Ad B2A店+号AC C多A应+号4AG DA+号Ad 4.样本数据6,4,3,4,10,12的中位数为 A.4 B.5 C.6 D.8 毁 5.已知a=1,|b|=2,a-b=√7，则a,b〉= A吾 R等 c π D.6 6.已知sna)=音sina+)=-青，且a-9》E(,,a+)∈(，2x,则sm2a= 3元 A器 C.5 24 D.25 高一数学试题第1页（共4页） 7.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c若6=c-2bos4,则，V2 bcosB acosB--bcosA的 取值范围是 A1) 停》 C.(0,w2) 8.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，如图是一把算盘的初始状态， 自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位·，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒 珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠 上珠 的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁 档 梁 上，表示数字15，现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动 一粒或两粒珠子至梁上（两粒珠子不能都从上珠拨动），则 “表示的三位数能被3整除”的概率是 下珠 A号 B含 Cio n品 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.已知之1，之2为复数，下列结论正确的有 A.1z1之21=z111z2 B.之122=z1之2 C.若之1之2∈R,则之1=之2 D若之1之2=0，则之1=0或之2=0 10.下列命题中正确的是 A若a=1w5),b=(o0,sin9,0∈0，m,且aLb,则0-日 B.若a=(1,2),b=(1,一1)，且a与a+λb夹角为锐角，则λ∈(-∞，5) C.若a=(2,-2),b=(1,2),则a在b上的投影数量为-25 5 D.若O是△ABC外心，AB=3,AC=5,则OA·BC的值为8 1.若△AC的内角A,B,C所对的边分别为a,6c,且满足c-多b+36smBC 2 0,则 A.角A一定是钝角 B.a2=b2+2c2 C.若a=5 ,则△ABC面积的最大值为号 3 n若A店在BG上的投影向量陕长为咨。，则mC的值为图 高一数学试题第2页（共4页） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.sin75°(1+√3tanl5)= 13.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或 每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为号，乙每次投篮投中的概率 为号，且各次投篮互不影响，则五次投篮结束的概率为 ;投篮结束时，乙只投了 2个球的概率为 14.如图，某景区有景点A,B,C,D.经测量得，BC=6km, ∠ABC=120,sin∠BAC=√2I ,∠ACD=60,CD=AC. 现计划从∠ABC的角平分线与AC交点M处修建观景台， 则观景台到景点D的距离为 km B 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分13分) 已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(3,4),B(8,一6)，P(6,一2)，Q是边AB上一点， 且O及LA】 (1)求点Q的坐标； (2)若M是线段OQ上的一个动点，求OM·MA的最大值. 16.(本小题满分15分) 从某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)， …,第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第 七组的人数为3. +频率 组距 0.060L---- 0.040 0.016 0.008 0 155160165170175180185190195身高(cm) (1)求第六组矩形的纵坐标，并估计该校男生身高的第一四分位数； (2)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为m, n,记m一n>5为事件X,求事件X的概率P(X). 高一数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=√3，BC=1,P为△ABC内一点，∠BPC=90°. 若PC-求PA: (2)若∠APB=120°，求tan∠PAB. 18.(本小题满分17分) 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差 分别为：m,x,s2;n,y,t2.记样本平均数为a,样本方差为b2. 证明am16-m开ns2+c-a)+nn+-@门： (2)某校为调查高一年级某次数学考试的情况，选取该年级甲班和乙班进行调查.若甲 班学生数学成绩的平均分为120，方差为5，乙班学生数学成绩的平均分为110，方差为 10,且甲乙两班的学生人数之比为2：3，求这两班数学成绩的平均分和方差； (3)若第一层抽取的样本量为20，平均数为60，方差为s2;第二层抽取的样本量为30，平 均数为70，方差为t2.若两层合并后的方差为b2,且b2<s2,试判断s2与t2的大小关 系，并加以证明。 19.(本小题满分17分) 设Ox、Oy是平面内相交成角a(0<a<π)的两条数轴，e1,e2分别是与Ox、O正方向 同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy sa)仿射坐标系，在xOy sa)仿射坐标系 中，若OA=xe1十ye2,则记OA=(x,y). (1)在0y)仿射坐标系中，若a=(W2,1),求a; (2)在x0ya仿射坐标系中，若a=(3,-1),b=(1,-3),且a与b的夹角为，求coa; (3)如图所示，在xOy()仿射坐标系中，B、C分别 在x轴、y轴正半轴上，1BC1=1,OD=-3O元，E、 0 F分别为BD、BC中点，求OE·OF的取值范围 D 高一数学试题第4页（共4页）高一数学试题参考答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) 1.A2.D3.C4.B5.B6.D7.A8.D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)】 9.ABD 10.AC 11.ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.W2 8成 5 108 14.14 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.解：(1)解法一：设Q(x,y),则O0=(x,y),AP=(3,-6), 因为OQLAP,则OQ·AP=3x-6y=0,即x=2y① …2分 由点Q在AB上，即AQAB 因为AB=(5,-10),AQ=(x-3,y-4), 故5(y-4)=-10(x-3),即2x+y=10② …4分 由①②得：x=4,y=2,故点Q的坐标为(4,2).…6分 解法二：AB=(5,-10),AP-(3,-6) 设AQ=tAB=(5t,-10t)t∈[0,1] …1分 0Q=OA+AQ=(3,4)十(5t,-10t)=(3+5t,4-10t)…3分 由AP=(3,-6),OQ⊥AP 所以33+5）-564-10e)=0,解得1=月 5分 所以OQ=(4,2),即Q(4,2) 6分 (2)设OM=λOQ(0≤≤1)，则OM=(4以，2入)，MA=(3-4λ，4-2x)…8分 故OM.MA=4(3-4)+2λ(4-2x) =-20λ2+20λ=-20(1- 22+5 …11分 当A-2时，O.的最大值为5.… 11分 综上所述，OM·MA的最大值为5. 13分 (利用均值不等式求解，相应得分) 高一数学试题答案第1页（共5页） 16解：1因为第七组的人数为3，所以第七组的频率号-006， 则第六组频率为1一0.06-5(2×0.008+0.016+0.04×2+0.06)=0.08. 所以第六组矩形的纵坐标是0.08÷5=0.016.… …3分 设第一四分位数为x,则(x一165)×0.04十0.016×5+0.008×5=0.25. …5分 解得x=168.25. 所以第六组矩形的纵坐标是0.016，第一四分位数为168.25.…6分 (2)样本身高在第六组[180,185)的人数为50×0.016×5=4，设其分别为a,b,c,d.…7分 样本身高在第八组[190,195]的人数为50×0.008×5=2，设其分别为A,B.…8分 则从六人中随机抽取两名男生的样本空间为： 2={ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB}共15种情况.…11分 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件X发生，则事件X包含的基本事件为 X={aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB}共8种情况，…13分 根据古典概型概率公式得P(X)）=n(X)=8 n(2)-15 15分 1n解，①在R△PBC中，C=9BC=1 PB三且/PBC=60,所以∠PBA=30°，…2 在△APB中，由余弦定理得：AP2=AB2+PB2一2·AB·PB·cos∠PBA·4分 -3+-2月s30- …5分 所以PA=7 6分 (2)解法一：设∠PBA=0,则∠PBC=90°-0，∠PAB=60°-0，PB=sin0,…7分 在△PAB中，由正弦定理得 √3 sind sin120°-sin(60°-0) 解得：sin0=2sin(60°-0)…9分 化简得：2sin0=3cosd,即tan0= 2, …11分 所以tan∠PAB=tan(60°-)=y3-tanl √3 14分 1+√3tan0 5 故tan∠PAB= 5 15分 高一数学试题答案第2页（共5页） (设∠PBC=0,相应得分) 解法二：设∠PAB=0,所以∠ABP=60°一0 从而∠PBC=30°+0 8分 在Rt△CPB中，BC=1,BP=c0s(30°+0)…10分 在△APB中，由正弦定理B 9m2APB得郎V3 AB Tsin6-sinl20,所以BP=2sin0 …13分 即cos(30+0)=2sinl,Y5。 2 cOs0-1 2 sin=2sing 所以tan0= 5 …15分 18.(1)证明：不妨设第一层数据为x1,x2,…,xm,第二层数据为y1y2,…,ym… 所以2x,=m,之y,=. 1分 1(mz+y)= m 2分 m+n m+n m+n 因为空，-1=片20，- 所以2：-2=m,(:-2=m 又6-a+s,-a …4分 而2，-a-2,-0+-a -2[x:-x)2+2a-a(x,-x)+(G-a)叮 i=1 -2:-4-@2,-)2a- 2…6分 因为:-=：-=m-mr=0… …7分 =1 =1 所以空，-a2-立x:-P+2G-a 11 =ms2十m(x-a)2… 8分 高一数学试题答案第3页（共5页） 同理2(y,-a)2=2十n-a)2. 综上：6=mmn2+G-a)2]+m+n2+y-a)门 m十n …9分 (2)两班数学成绩的平均分为2X120士3X110-114… 10分 2+3 方差为2X[5+(120-14)27,+3×[10+10-114)]=32 2+3 …12分 (3)设合并后的平均数为a,则 a=mx+y_20X60+30×70 =66…13分 m十n 20+30 b=mns+a-a)门+m+n+g-a门 mn 8,+(60-66]+02+(0-6为 -号g3+36）+g2+160…15分 因为b2<s2 所以号（+36)+c+16) 即t2十40<灯2…16分 所以S2>t2……17分 19.解：1)由题意可知，e1e:的夹角为牙，则e1·e=e,le,cos天-号 4 2 若a=(W2,l),则a=√2e1十e2,… …2分 a2=(W2e1+e2)=2e12+2W2e1·e2十e22=2+2+1=5, 所以a=√5…4分 (2)由a=(3,-1)=3e1-e2,b=(1,-3)=e1-3e2,e1·e2=cosa, 因为a2=(3e1-e2)2=9e12-6e1·e2十e22=10-6cosa b2=(e1-3e2)2=e12-6e1·e2+9e22=10-6cosa 所以a=b=√10-6c0sa,…6分 因为a·b=(3e1-e2)·(e1-3e2)=3e12+3e22-10e1e2=6-10cosa…7分 因为a与b夹角为号，则os否=日治5n18-名所以o测=片…9分 1 高一数学试题答案第4页（共5页） (3)依题意，设B(m,0).C(0,m)(m>0,n>0),且∠B0C-5,BC=1, 0d=-30元=(0，-3n)…10分 因为F为BC的中点则O亦-0记+Oi=2me, 22e11ze22…11分 因为E为BD中点，则O成-0心+Oi-me8e,…12分 3 所以oi.oi=(侵ne+e:）·(侵me8e） -2mne1·e2 …13分 由题意知e12=e2=1,e1·e=12Xcos父=号 3=2 则02.Oi=(m2-mn-3n2),…14分 在△OBC中，由余弦定理得m2十n2-mn=1,所以mn=m2十n2-1, 所以0庞.0亦=1-4n2)=}-.…15分 将m2十n2-mm=1看作关于m的方程：m2-n·m十(n2-1)=0(*) 若存在实数m,()式成立，需△≥0. 所以n2-4a2-10≥0.解得02≤号 …16分 设m1,m2为（￥）式的两根 所以m1十m2=n>0 所以m1,m2至少有一根为正. 所以0应.o-}n[8}. …17分 高一数学试题答案第5页（共5页）