第13讲 直线与双曲线的位置关系（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第13讲 直线与双曲线的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与双曲线的位置关系判定 知识点02：双曲线弦长公式 知识点03：双曲线中点弦问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：讨论双曲线与直线的位置关系 题型02：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型03：求双曲线中的弦长 题型04：求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 题型05：双曲线的中点弦 题型06：双曲线中的参数范围及最值 题型07：双曲线中的定点、定值 题型08：双曲线中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与双曲线的位置关系判定 联立直线与双曲线方程，消元后结合二次项系数和判别式双重判定，区别于椭圆（存在渐近线特殊情况）。 设直线，联立双曲线消元得方程： 1. 若（直线不平行渐近线，二次方程）： ：直线与双曲线相交（2个公共点） ：直线与双曲线相切（1个切点） ：直线与双曲线相离（无公共点） 2. 若（直线平行渐近线，一次方程）： 直线与双曲线相交且仅有1个交点，绝非相切 【例1】判断直线与双曲线的位置关系。 解：步骤1：联立方程组 步骤2：代入消元整理 步骤3：判定位置关系 方程为一元一次方程，二次项系数，直线平行双曲线渐近线。 结论：直线与双曲线相交，有且仅有1个交点（非相切）。 【知识点02】双曲线弦长公式 直线与双曲线交于，直线斜率为，由韦达定理得，通用弦长公式： 斜率不存在（直线垂直轴）： 无需求解交点坐标，联立消元+韦达定理+弦长公式直接计算。 【例2】求直线截双曲线所得的弦长。 解：步骤1：联立消元 将代入双曲线方程： 步骤2：整理方程 步骤3：韦达定理取值 步骤4：代入弦长公式（） 结论：直线与双曲线相切，无有效弦长，弦长为。 【知识点03】双曲线中点弦问题 适用于已知弦中点求直线斜率、求直线方程题型，苏教版重点简便解法，规避复杂联立计算。 设双曲线，弦端点，中点，直线斜率。 点差法推导核心公式： 重要要求（苏教版答题规范）：求出斜率后，必须联立方程验证直线与双曲线是否相交，排除虚假中点。 【例3】已知双曲线的弦中点为，求直线的斜率。 解：步骤1：提取参数 步骤2：代入中点弦斜率公式 步骤3：验证相交性 直线方程：，化简得，联立双曲线得，直线与双曲线真实相交。 结论：直线的斜率为。 【题型01】讨论双曲线与直线的位置关系 【典例1-1】直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B 【变式1-1】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】利用定义法，分充分性和必要性分类讨论即可. 【详解】充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足； 必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足. 所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要非充分条件. 故选：B 【变式1-2】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A、D选项通过与双曲线方程联立即可判断；B、C选项由于与渐近线方程平行，所以与双曲线只有一个交点，从而可以得出结论. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，因为直线、与渐近线平行，故与双曲线只有一个交点； 联立，得，无解，故与双曲线无交点； 联立，得，，故与双曲线有2个交点； 故选：D 【变式1-3】已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于两点，中点在曲线上，探究直线与双曲线的位置关系． 【答案】(1) (2)相切 【分析】（1）根据题意列式可求，进而可得椭圆方程； （2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，，结合题意可得，再联立直线l与双曲线方程分析判断位置关系，注意讨论直线l的斜率是否存在. 【详解】（1）由于椭圆的离心率为，故， 又，得，设所求椭圆方程为， 把点代入，得， 椭圆方程为． （2）设，若直线l斜率存在，设， 因为得， 所以， 所以，， 设，所以，，所以，， 所以， 同理， 因为W在曲线上， 所以，解得， 又因为得， 所以，直线AB与相切， 若直线l斜率不存在，由对称性知W在x轴上，W在曲线， 所以，此时也有直线AB与相切， 综上知直线AB与相切． 【题型02】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【典例2-1】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 【变式2-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将整理为，发现该曲线为双曲线的一支，在坐标系中画出该曲线及其渐近线，再结合双曲线的性质，数形结合即可确定的取值范围. 【详解】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为. 过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与. 由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点. 故答案为：. 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线与双曲线有且只有两个公共点，则下列选项中k的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线与曲线方程后利用根的判别式和二次函数的性质得到的取值范围判断选项即可. 【详解】已知直线：双曲线： 联立可得：， 化简得：， 要使直线与双曲线有且只有两个不同的公共点， 则联立后的二次方程必须有两个不同的实数解， 且二次项系数不为，即 ， 计算得： 综上且 代入选项判断：A符合，B：不符合，C符合，D：不符合. 故选：AC 【变式2-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线定义计算即可得； （2）联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得. 【详解】（1）由双曲线定义可得该双曲线实轴长为，焦距为， 则虚轴长为，故双曲线的标准方程为； （2）联立，消去得， ， 设、，则，， 则 ， 则，故. 【题型03】求双曲线中的弦长 【典例3-1】过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B. 【变式3-2】过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，与双曲线方程联立，再利用弦长公式计算，即可得到答案； 【详解】 ，设的方程为：，代入得：， 设，则， ， 故答案为： 【变式3-3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）联立方程组，消去， 整理得到，讨论和这两种情况，当时，则需要，计算得解； （2）联立方程组，消去，整理得到，设，则，利用弦长公式计算得解. 【详解】（1）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 当时，即时，，满足直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点； 当时，即时，则，即，解得， 综上可知，直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，或； （2）联立方程组，消去，得到， 整理得到， 直线l：与双曲线C相交于A，B两点， 设，则， . 【题型04】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【典例4-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】设，根据，可得，又，即可求得的面积 【详解】双曲线的渐近线方程，不妨设A在上，则，根据可得，且，解得，所以的面积为． 故选：B 【变式4-1】（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程有，，应用余弦定理列方程可得，应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，，又， ，则， 所以，可得，则的面积为. 故选：C 【变式4-2】已知双曲线C：的左焦点为，右焦点为，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若，则的面积为___________. 【答案】/1.25 【分析】由已知条件求出右焦点的坐标，再由，可得点的横坐标为，再渐近线方程可求出点的纵坐标，从而可求出的面积. 【详解】因为双曲线知：右焦点为，又， 所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以点的纵坐标为，即的高为， 所以的面积为. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 【题型05】双曲线的中点弦 【典例5-1】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及中点坐标求得，即可得直线方程. 【详解】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为. 故选：C 【变式5-1】（多选）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】考虑直线斜率不存在时，中点在上，可判定A；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及验证B,C,D即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，设为， 依题知或，此时线段的中点为， 则选项A中点满足题意，则A正确； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 由题知①，， 化简为②， 设，的中点为， 则， 所以， 即， 对于B,可得，不满足条件①，故B错误； 对于C,可得，满足条件①②故C正确； 对于D，可得不满足条件②，故D错误； 故选：AC. 【变式5-2】已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解. 【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 【题型06】双曲线中的参数范围及最值 【典例6-1】（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为（   ） A．20 B．15 C．30 D．25 【答案】A 【分析】根据，设，，代入双曲线方程可得，，再利用三角形面积公式和基本不等式求最值. 【详解】根据题意，， 令，即， 分别代入双曲线方程得：， 同理， 两式相加得：， 根据基本不等式：，当且仅当时等号成立，则. 故选：A． 【变式6-1】已知直线和双曲线，若与的上支交于不同的两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线与双曲线的上支交于两点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用根与系数的关系结合二次方程首项系数不为零、判别式可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】设直线与双曲线的上支交于两点、， 联立，消去可得， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 【变式6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为圆心，的虚半轴长为半径的圆与的右支恰有两个交点，记为、，若四边形的周长为，则的焦距的取值范围为______． 【答案】 【分析】易知点、关于轴对称，分析可得，且，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围，即可得解. 【详解】易知点、关于轴对称，且，由双曲线的定义可得， 由题意可得，可得，则， 所以，， 所以，，所以，. 当时，，，此时， 即此时以为圆心，的虚半轴长为半径的圆与的右支恰有两个交点，合乎题意. 因此，的焦距的取值范围为. 故答案为：. 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 【题型07】双曲线中的定点、定值 【典例7-1】P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（    ） A．直线与的斜率之和为定值 B．直线与的斜率之积为定值 C．直线与的斜率之和为定值 D．直线与的斜率之积为定值 【答案】D 【分析】椭圆的结论类比到双曲线，只需验证直线与的斜率之积为定值即可. 【详解】设，则，即： ， 为定值. 故选：D. 【变式7-1】双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直线恒过定点______． 【答案】 【分析】先将直线和双曲线方程联立，然后根据两条直线互相垂直，利用向量坐标运算列出方程后整理后可知其过的定点坐标. 【详解】解：由题意得： 设的方程为 由，得． 设，，则，，又， ∴，即， 把根与系数的关系代入，可得， ∴，解得或． 当时，直线过，舍去；当时，直线过定点． 故答案为： 【变式7-2】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期中）已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，且与相切于点，过作，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．为定点 B．在定直线上 C．为定值 D．为定值 【答案】ABC 【分析】由双曲线的定义与内切圆的性质可判断A，B，由双曲线定义与三角形中位线的性质可判断C，数形结合可判断D. 【详解】设的内切圆在上的切点分别为 设切点的坐标为， 因为 ， 所以， 因为内切圆圆心为，所以轴， 所以内切圆圆心在直线上，故A，B正确； ，垂足为，设， 为的角平分线， 为等腰三角形，， 因为， 在中，为中位线， 所以，所以为定值，故C正确； 由C知，点为圆在轴右侧上的动点， 在双曲线右支上的一个动点， 结合图象易知不是定值，D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用双曲线的定义与圆的切线长性质推得，从而得解. 【变式7-3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) （ⅰ）设直线：，与双曲线联立： 代入得：， 即， 方程的判别式 设，， 则，. ，则：，，由条件可得： 代入前面表达式： ， 代入：，两边同除以， 得：， 因此，直线：，即恒过定点. （ⅱ）设定直线：，与双曲线联立， 代入：， 两边同乘以：， 方程的判别式， 设根为，则：，， 则，. 对应点：，， ，求直线与双曲线另一个交点，与双曲线另一个交点， 设直线：，其中， 代入双曲线： ，，， 所以可得. 直线：，其中，同理可得. ，， 直线表示为：，将各项代入可得恒过 故直线恒过点. 【分析】（1）根据离心率，将点代入求解即可. （2）（ⅰ）设直线方程与双曲线联立，通过斜率相加等于0求解即可. （ⅱ）设点并表达出直线方程，可以求出直线过的定点. 【详解】（1）由题意可知：， 又因为，代入得：， 将点代入双曲线方程：，将代入： ，则， 所以双曲线的方程为：. （2）略 【题型08】双曲线中的向量问题 【典例8-1】已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围. 【详解】由题知，， 所以==， 解得. 故选：A 【变式8-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先设点的坐标，再根据三点共线，表示坐标间的关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，，双曲线的渐近线方程为， 设，，由向量可知三点共线，即， 则，化简得，即， ，， 所以 （当且仅当时取等）. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______. 【答案】/ 【分析】双曲线C的半焦距为c，根据给定条件求出点P、Q坐标，再由点Q在渐近线上求出a，b的关系，然后结合双曲线定义计算作答. 【详解】设双曲线C的半焦距为c，即有， 因，则， 即直线与双曲线C交于点P，且点P在第一象限， 由得点，由， 而，得， 代入得：，即，不妨，则， 故，则，因此. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）双曲线，直线，O为坐标原点． (1)直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值； (2)若直线l与双曲线有两个交点A、B，若为钝角，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得的值； （2）联立直线l与双曲线C的方程，借助韦达定理、平面向量的数量积求解作答. 【详解】（1）直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解， 即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 （2） 由消去y并整理得：， 显然，且，解得且， 设， 有，， ， 显然直线l不过原点，即与不共线，由为钝角得： ， 即，即， 解得，又且， 于是得，解得， 所以k的取值范围. 知识点01双曲线核心基础公式 1. 标准方程与渐近线 焦点在x轴： 焦点：，渐近线： 焦点在y轴： 焦点：，渐近线： 2. 基本参数关系 平方关系： 离心率： 3. 等轴双曲线 ，方程： 渐近线：，离心率： 知识点02直线与双曲线的位置关系判定（核心） 设直线 ，与双曲线联立消元得： 必须先判断 ，再看 （双曲线独有考点）。 1.直线不平行渐近线，二次方程 ：相交，2个公共点 ：相切，1个公共点（切点） ：相离，无公共点 2.直线平行渐近线，一次方程 方程仅有一解，相交且只有1个交点，不是相切（高频易错）。 知识点03弦长公式（大题必考） 直线与双曲线交于 ，斜率为 ： 直线垂直轴： 解题思想：联立方程，韦达定理整体代入，不求单点坐标。 知识点04中点弦问题（点差法） 已知弦中点 ，求弦斜率 。 对双曲线 ，点差法结论： 答题规范：求出斜率后必须验证 ，防止中点虚假。 知识点05本节必会公式汇总 1. 双曲线平方关系： 2. 判别式： 3. 弦长公式： 4. 中点弦斜率： 知识点06易错点总结 1. 双曲线一个交点≠相切，平行渐近线为相交； 2. 公式区分：椭圆，双曲线； 3. 位置关系判定先看二次项系数，不能直接用判别式； 4. 中点弦不验证相交，大题扣分； 5. 焦点轴不同，渐近线公式不同，不可混用。 一、单选题 1． 为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点是双曲线上任意一点，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设点是双曲线上任意一点，则，即， 则， 因为或，所以，当时，可得， 所以的最小值为. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出双曲线的渐近线和直线经过的定点，根据定点在双曲线的一条渐近线上知直线与另一条渐近线平行即可求解. 【详解】由题意得，直线过定点，双曲线的渐近线为， 则点在渐近线上， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，则直线与另一条渐近线平行，所以． 故选：A． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据点差法求出直线的斜率，解出直线方程，然后与双曲线方程联立解出，点坐标，根据两点间距离公式求出． 【详解】设，直线的方程为． 由题意知，为的中点， 因为， 两式相减，得， 所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为， 与双曲线联立， 得，即， 解得或， 所以. 4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论直线与双曲线的右支只有一个交点的临界情况，即直线与双曲线右支相切或直线与双曲线的渐近线平行求对应参数值，数形结合确定参数范围. 【详解】将直线代入到双曲线中消得：， 若直线与双曲线右支相切时，，则（负值舍）， 由的渐近线为，则时直线与双曲线右支有一个交点，如下图示， 要使直线与双曲线的右支有两个公共点，由图知. 故选： 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程． 【详解】设，线段的中点是， ，， ，在双曲线上，则， 两式相减得， 即， 则，所以直线方程为，即， 联立，，故直线与双曲线有两个交点， 故经检验直线方程为. 故选：D． 6．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，. 弦长|MN|. 故选：D. 7．（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】由得， 由勾股定理得， 由双曲线的定义得， ， 所以， 则的面积为， ，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．已知双曲线的左焦点为，过的直线与的左支交于点，与的其中一条渐近线在第一象限交于点，且，（是坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而利用表示出点坐标，代入双曲线方程即可构造出关于的方程，从而解方程求得结果. 【详解】作轴，轴，垂足分别为， ，，， ，，， ，， ，，， ， 又在双曲线上，，整理可得：， 解得：或（舍），. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用问题，本题求解的关键是能够根据共线向量，得到线段长度间的比例关系，从而利用表示出双曲线上的点的坐标，结合双曲线方程求得结果. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏扬州·期中）过双曲线的右焦点的动直线为，则下列说法正确的是（    ） A．动直线与双曲线最多有4个交点 B．动直线与双曲线最少有1个交点 C．存在动直线与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点 D．存在动直线与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点 【答案】BD 【分析】数形结合，可直接判断各选项的正确性. 【详解】如图： 过右焦点的直线与双曲线最多有两个交点，故A错误； 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，且交点个数最少，只有1个，故BD正确； 过右焦点的直线不可能与双曲线相切，故C错误. 故选：BD 10．已知双曲线的两个顶点分别是，两个焦点分别是．P是双曲线上异于的任意一点，则有（    ） A． B．若，则 C．直线的斜率之积等于 D．使得为等腰三角形的点P有8个 【答案】BD 【分析】由双曲线的定义可判断A，利用向量的数量积公式判断B，化简斜率乘积推出结果判断C；判断三角形的公式判断D. 【详解】由双曲线可得，， 所以，，， ，， 对于A.由双曲线的定义得，故A错误. 对于B.设，则，， 因为，所以 因为，， 所以，故B正确. 对于C. 设，则，所以 ，故C错误. 对于D.若在第一象限，则当时， ，，为等腰三角形； 当时， ，，为等腰三角形； 因此，使得为等腰三角形的点P有8个，故D正确. 故选：BD. 11．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 【答案】ABD 【分析】由双曲线的定义可判断A；由直线是曲线的渐近线可判断B；设，则，利用两点间的距离公式求得距离的最小值即可判断C；设直线方程并代入曲线的方程中，利用弦长公式求出，再由曲线的定义求解周长即可判断D. 【详解】对于A，由， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左、右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以曲线C的方程为，故A正确； 对于B，因为是曲线的一条渐近线，与曲线无公共点，故B正确； 对于C，设，则， 点到点距离，当且仅当时取等号.所以，故不正确； 对于D，因为，所以直线为，设， 由，得， 则， 所以 ， 因为，， 所以， 所以的周长为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________. 【答案】2 【分析】设出，根据条件推出在圆上运动，根据题意要使双曲线和圆有交点，则得答案. 【详解】设点 ，由得：， 所以，化简得：， 即满足条件的点在圆上运动， 又点存在于上，故双曲线与圆有交点， 则 ,即实数a的最大值为2， 故答案为：2 13．设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为___________. 【答案】 【分析】由题可知直线与一条渐近线垂直，利用条件可求，即得. 【详解】∵渐近线的斜率为， ∴，又 在 中，由角平分线定理可得, 所以,, 所以,. 故答案为：. 14．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，点为双曲线的右顶点，点在该双曲线上，且使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．则所有这样的的个数为_______． 【答案】3 【分析】设出直线，方程，与双曲线方程联立解出点坐标，再利用是等腰直角三角形可得，解出满足题意的的值的个数即可. 【详解】由题意可知，直线，的斜率均存在且不为， 又直线，互相垂直，所以设，则， 联立消去得， 因为直线与双曲线有两个交点，所以，，解得， 同理可得， 所以， 同理可得， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形．所以，即， 整理得， 当时， 解得或或， 当时，， 解得或或， 因为， 所以由得到的两个三角形是相同的，类似的由和得到的三角形也是相同的， 综上满足题意的共有3个， 故答案为：3 四、解答题 15．已知双曲线，过点作直线交双曲线于，，若线段的中点在直线上，求直线的斜率． 【答案】 【分析】设的方程为，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，解方程，再检验即得解. 【详解】由题意可设的方程为， 联立，消去整理得． 显然，设，，则，解得， 由解得，显然不适合，适合， 所以．    16．（25-26高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系，联立方程组，由直线和双曲线交点的个数，判断方程组解的个数，对参数进行讨论，求出参数值； （2）根据向量夹角是钝角时的余弦值性质，设出点的坐标，联立方程组，根据韦达定理和向量数量积的坐标表示，列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】（1）由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意； 当时，有，解得，符合题意； 所以的值有共4个. （2）联立，消去并整理得， 显然，且，解得且， 设，， 则， 显然直线不过原点，即与不共线， 由为钝角，可得， 即，解得， 又且，于是得，解得， 所以的取值范围． 17．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)为定值 【分析】（1）根据条件，列式求的值，可得双曲线的标准方程. （2）中点弦的问题，可用“点差法”求解. （3）设直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理，表示出，，再结合，探索的值. 【详解】（1）由题意可得： . 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得： ， 又线段的中点为，所以， 所以 ，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又 ，， 所以 ，为定值. 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，且过点和．过点的直线与C的交于M，N两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求； (3)证明：． 【答案】(1)(2)； (3)设，则，              ， ， 所以，        所以.同理，可得. 因为，所以. 【分析】（1）分焦点在轴上和轴上讨论，用待定系数法求解； （2）求出直线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解； （3）设，利用两点间距离公式求出，，，得，同理可得，得证. 【详解】（1）若焦点在轴上，可设双曲线C的标准方程， 因为双曲线C过点和，所以，， 解得，所以双曲线C的标准方程. 若焦点在轴上，可设双曲线C的标准方程， 因为双曲线C过点和，所以，， 解得，所以舍去. 综上，双曲线C的标准方程. （2）因为，所以，则, 所以.                                   由，得，. 设，，则. 所以， . （3）略 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 直线与双曲线的位置关系 （知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与双曲线的位置关系判定 知识点02：双曲线弦长公式 知识点03：双曲线中点弦问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：讨论双曲线与直线的位置关系 题型02：根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 题型03：求双曲线中的弦长 题型04：求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 题型05：双曲线的中点弦 题型06：双曲线中的参数范围及最值 题型07：双曲线中的定点、定值 题型08：双曲线中的向量问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与双曲线的位置关系判定 联立直线与双曲线方程，消元后结合二次项系数和判别式双重判定，区别于椭圆（存在渐近线特殊情况）。 设直线，联立双曲线消元得方程： 1. 若（直线不平行渐近线，二次方程）： ：直线与双曲线相交（2个公共点） ：直线与双曲线相切（1个切点） ：直线与双曲线相离（无公共点） 2. 若（直线平行渐近线，一次方程）： 直线与双曲线相交且仅有1个交点，绝非相切 【例1】判断直线与双曲线的位置关系。 【知识点02】双曲线弦长公式 直线与双曲线交于，直线斜率为，由韦达定理得，通用弦长公式： 斜率不存在（直线垂直轴）： 无需求解交点坐标，联立消元+韦达定理+弦长公式直接计算。 【例2】求直线截双曲线所得的弦长。 【知识点03】双曲线中点弦问题 适用于已知弦中点求直线斜率、求直线方程题型，苏教版重点简便解法，规避复杂联立计算。 设双曲线，弦端点，中点，直线斜率。 点差法推导核心公式： 重要要求（苏教版答题规范）：求出斜率后，必须联立方程验证直线与双曲线是否相交，排除虚假中点。 【例3】已知双曲线的弦中点为，求直线的斜率。 【题型01】讨论双曲线与直线的位置关系 【典例1-1】直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1-2】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于两点，中点在曲线上，探究直线与双曲线的位置关系． 【题型02】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【典例2-1】（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是__________. 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线与双曲线有且只有两个公共点，则下列选项中k的可能值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知双曲线的焦点为，且双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且，求实数的值. 【题型03】求双曲线中的弦长 【典例3-1】过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线C：. (1)若直线l：与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值； (2)若直线l：与双曲线C相交于A，B两点，求. 【题型04】求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【典例4-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 【变式4-1】（24-25高二上·河北衡水·阶段检测）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知双曲线C：的左焦点为，右焦点为，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若，则的面积为___________. 【变式4-3】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【题型05】双曲线的中点弦 【典例5-1】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【变式5-3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【题型06】双曲线中的参数范围及最值 【典例6-1】（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为（   ） A．20 B．15 C．30 D．25 【变式6-1】已知直线和双曲线，若与的上支交于不同的两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为圆心，的虚半轴长为半径的圆与的右支恰有两个交点，记为、，若四边形的周长为，则的焦距的取值范围为______． 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【题型07】双曲线中的定点、定值 【典例7-1】P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（    ） A．直线与的斜率之和为定值 B．直线与的斜率之积为定值 C．直线与的斜率之和为定值 D．直线与的斜率之积为定值 【变式7-1】双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直线恒过定点______． 【变式7-2】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期中）已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，且与相切于点，过作，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．为定点 B．在定直线上 C．为定值 D．为定值 【变式7-3】（25-26高二上·江苏无锡·期末）双曲线离心率为，且经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，斜率为的直线交曲线于，两点，直线，分别交曲线于，两点. （ⅰ）若，证明：直线过定点； （ⅱ）若，证明：直线过定点. 【题型08】双曲线中的向量问题 【典例8-1】已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知点为双曲线的右焦点，点分别为两条渐近线上的点，且，则的最小值为______． 【变式8-2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______. 【变式8-3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）双曲线，直线，O为坐标原点． (1)直线l与双曲线只有一个公共点，求k的值； (2)若直线l与双曲线有两个交点A、B，若为钝角，求k的取值范围． 知识点01双曲线核心基础公式 1. 标准方程与渐近线 焦点在x轴： 焦点：，渐近线： 焦点在y轴： 焦点：，渐近线： 2. 基本参数关系 平方关系： 离心率： 3. 等轴双曲线 ，方程： 渐近线：，离心率： 知识点02直线与双曲线的位置关系判定（核心） 设直线 ，与双曲线联立消元得： 必须先判断 ，再看 （双曲线独有考点）。 1.直线不平行渐近线，二次方程 ：相交，2个公共点 ：相切，1个公共点（切点） ：相离，无公共点 2.直线平行渐近线，一次方程 方程仅有一解，相交且只有1个交点，不是相切（高频易错）。 知识点03弦长公式（大题必考） 直线与双曲线交于 ，斜率为 ： 直线垂直轴： 解题思想：联立方程，韦达定理整体代入，不求单点坐标。 知识点04中点弦问题（点差法） 已知弦中点 ，求弦斜率 。 对双曲线 ，点差法结论： 答题规范：求出斜率后必须验证 ，防止中点虚假。 知识点05本节必会公式汇总 1. 双曲线平方关系： 2. 判别式： 3. 弦长公式： 4. 中点弦斜率： 知识点06易错点总结 1. 双曲线一个交点≠相切，平行渐近线为相交； 2. 公式区分：椭圆，双曲线； 3. 位置关系判定先看二次项系数，不能直接用判别式； 4. 中点弦不验证相交，大题扣分； 5. 焦点轴不同，渐近线公式不同，不可混用。 一、单选题 1． 为双曲线上一点，，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如果直线与双曲线的右支有两个公共点，求的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏常州·期中）设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是双曲线上的点，是其左､右焦点，且.若的面积为18，则（    ） A．2 B． C． D．3 8．已知双曲线的左焦点为，过的直线与的左支交于点，与的其中一条渐近线在第一象限交于点，且，（是坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏扬州·期中）过双曲线的右焦点的动直线为，则下列说法正确的是（    ） A．动直线与双曲线最多有4个交点 B．动直线与双曲线最少有1个交点 C．存在动直线与双曲线相切，且相切时两者仅有1个交点 D．存在动直线与双曲线相交，且相交时两者仅有1个交点 10．已知双曲线的两个顶点分别是，两个焦点分别是．P是双曲线上异于的任意一点，则有（    ） A． B．若，则 C．直线的斜率之积等于 D．使得为等腰三角形的点P有8个 11．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知点，动点满足：，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（　　） A．曲线的方程为 B．曲线与直线没有公共点 C．点到点距离的最小值为 D．过点且倾斜角为的直线与交于两点，则的周长为 三、填空题 12．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________. 13．设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率为___________. 14．（24-25高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，点为双曲线的右顶点，点在该双曲线上，且使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．则所有这样的的个数为_______． 四、解答题 15．已知双曲线，过点作直线交双曲线于，，若线段的中点在直线上，求直线的斜率． 16．（25-26高二上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线，直线． (1)直线与双曲线C只有一个公共点，求的值； (2)若直线与双曲线有两个交点，，若为钝角，求的取值范围． 17．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 18．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点，在坐标轴上，且过点和．过点的直线与C的交于M，N两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求； (3)证明：． 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $