专题13 锐角三角函数及其应用-（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 上海中考锐角三角函数专题汇编，含2022-2026年5年真题（7题）及模拟题（25题），覆盖定义、几何计算与实际应用，梯度设计从基础到综合，创新情境结合门禁、建筑物安全等真实问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|真题3题+模拟13题|锐角三角函数定义（2026真题第1题）、解直角三角形应用（2025门禁题）|结合几何图形（平行四边形翻折、圆），需推导边长关系（2024真题第3题）| |解答题|真题4题+模拟10题|实际应用（2026建筑物安全规范）、综合计算（2023圆中三角函数）|含参数代数式表示（2026真题第4题）、多问递进考查建模能力| |单选题|模拟2题|三角函数值比较（2026黄浦一模）|生活情境（楼层仰俯角），需分析角的大小关系|

专题13 锐角三角函数及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 考点01锐角三角函数及其应用 2026 2025 2024 2023 2022 锐角三角函数的定义与几何计算：题型覆盖填空、解答，载体从基础直角三角形逐步拓展到圆、平行四边形翻折等复杂几何场景。需先结合几何定理推导边长关系，再计算三角函数值，2024 年新增分类讨论设问，对几何推理与运算结合的综合能力要求逐年提升；解直角三角形的实际应用：场景从传统灯杆高度测量、门禁扫描，升级为建筑物安全规范类综合设问。从单一数值计算转向含参数代数式表示、多小问递进考查，需主动构造直角三角形建模，对信息提取与转化能力要求持续提高。 考点01 锐角三角函数及其应用 1．（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 2．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则：米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米； 故答案为：． 3．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 4．（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1)至少需要小于米 (2) 【分析】（1）将代入中，解得，即可求解； （2）过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，，在中，，，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，当米时，，解得， ∴至少需要小于米； （2）解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，， 在中，，， ∴，， ∴． 5．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】(1)等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； (2) 如图，即为所作图形． 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； （2）略 6．（2023·上海·中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）延长，交于点，连接，先根据圆周角定理可得，再解直角三角形可得，由此即可得； （2）过点作于点，先解直角三角形可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据正切的定义即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交于点，连接，    由圆周角定理得：， 弦的长为8，且， ， 解得， 的半径为． （2）解：如图，过点作于点，     的半径为5， ， ， ， ， ，即， 解得， ，， 则的正切值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 7．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 一、单选题 1．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，通过比较仰角和俯角的正切值来比较角度大小，由于小丽所在楼层比小明高，因此仰角较小而俯角较大． 【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为． ∵小明住8楼，高度为， ∴，． ∵小丽住9楼，高度为， ∴，． ∵， ∴，即， 且，即． ∴且， 故选：B． 2．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 二、填空题 3．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）图1是公园里的一个秋千，如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点B到地面的距离是20厘米，小李同学坐上秋千后，将点B向后拉起到点C，此时测得，点C到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即），那么绳索的长度约是__________厘米．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】先过点C作，再证明四边形是矩形，结合，得出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点C作于点G，如图所示： 依题意，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 解得， ∴． 4．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 【答案】或1 【分析】①当时，如图，过P作于E，过C作于F，则可得，证明，则，，由勾股定理可得，则可得，，根据正切的定义即可求出的正切值． ②当时，可证四边形是正方形，则，进而可得的正切值． 【详解】解：①当时，如图，过P作于E，过C作于F， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵旋转， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的正切值是或1． 5．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））已知平行四边形，，，经过点，经过点．如果与相交，且一个交点落在边上，那么边长的是_______． 【答案】 【分析】利用圆的性质得到对应线段相等，结合平行四边形对边相等的性质，再通过勾股定理构造方程求解的长度. 【详解】设边的长为， 四边形是平行四边形， ，，． 设与的交点落在上， 在上，经过点， ． 过作于点，在中，， 设，，由勾股定理得： ， 已知， ，解得， 因此，． 由，在中，， ． 在上，经过点， ． 过作，交直线于点， ，， 同理可得，． 以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则的横坐标为， 点坐标为 ，点坐标为， ． 在中，由勾股定理得， 代入得：， 展开得， 整理得，解得． 此时落在线段上，符合题意， 故答案为． 6．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 【答案】 【分析】根据坡度的定义求出，再用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在中，的坡度，坝高米， ∴, 解得， ∴ 7．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当与相切于点时，则，设，则 根据列出比例式，求得的值；当与相切于点时，则，过点作于点，证明，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当与相切于点时，则 ∵ ∴ ∴ 设，则 ∵， ∴，即 ∴ 当与相切于点时，则，过点作于点， ∵ ∴ ∴ 设，则，， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，的长是或 8．（上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习）如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【答案】1.9 【分析】过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用矩形的性质求出的长，再在中利用锐角三角函数求出的长，即可得到的长. 【详解】解： 过点作于点， 由题意可知，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， . 9．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图，已知G是的重心，点E在边上，，D是中点，连接．如果，，那么点G到直线的距离是________． 【答案】 【分析】连接，过点作，可得，即可证明，利用，解直角三角形即可求得的值 【详解】解：如图，连接，过点作， G是的重心，D是中点， 三点共线，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即点G到直线的距离是． 10．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，在中，，，．点在边上，点在边上，联结，把沿翻折得到，联结、，如果四边形为平行四边形，那么的长是______． 【答案】2 【分析】  设与交于点，根据正切的定义得到，求出，根据勾股定理得到，根据翻折的性质得到，，设，根据平行四边形的性质得到，，，通过证明，得到，列出关于的方程，求出的值，得到，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， 在中，， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， 在中，， 即的长是2． 11．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 【答案】 【分析】如图，过点F作于点G，设，，得到，利用勾股定理表示出，设，证明出，得到，利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点G ∵ ∴设， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴，， 根据题意得，， ∴ ∴ 设 ∵，平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的正切值是． 12．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 【答案】或 【分析】先由勾股定理求出的长度，根据是以为腰的等腰三角形，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴由勾股定理得：， 当时， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； 当时，则，过点于点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴，， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得（舍负）， ∴ 综上所述，的长为或． 13．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查坡度问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据坡度为，得，可求得，进而用勾股定理求出． 【详解】解：作， ∵坡度为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是________．（用的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理以及坡比的定义．根据坡比定义，垂直高度与水平距离的比为，设垂直高度为，则水平距离为，利用勾股定理，得，求解得到，即可作答． 【详解】解：依题意，设垂直高度为米，水平距离为米， ∵坡比， ∴得， 即， 根据勾股定理，， ∴， ∵， 因此， 故答案为： 15．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题 16．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． (1)如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； (2)如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 【答案】(1) (2) 解：如图所示，作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则点，即为所求 【分析】（1）过点作于点，设，则，根据正切的定义，得出，进而求得，在中，勾股定理建立方程，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则是以为“半底”的“半高底”三角形． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 依题意 设，则 ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ （2）略 17．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到为等腰直角三角形，再解即可； （2）过点作于点，分别解，求出，再由正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵ ∴ ∴； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，． 18．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过圆心作弦的垂线，平分弦且构造直角三角形，结合三角函数把半径用弦长d和的三角函数表示； （2）先由得出,的比，再利用直角三角形边角关系设边长、求线段比，最终得到值． 【详解】（1）解：如图，作于， 则， ， ， 的半径为； （2）解：如图： ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图，在四边形中，，点E在边上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明，然后根据证明，进而可求出的长； （2）由可知，从而求出，利用勾股定理求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理得到，，设，则，利用勾股定理求出，即可得到答案； （2）证明，得到，求出，，即可求得答案． 【详解】（1）解：点为的中点， ，， 设，则， ， ， 解得， 的半径为； （2）解：如图，由（1）得，，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中，， , ． 21．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）如图，D、E是边、上的点，、交于点G．已知． (1)求的值； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：连接，证明可得，，再证明，最后利用相似三角形的性质列比例式即可解答； （2）由（1）知，利用平行线分线段成比例以及线段的和差可得，利用等边对等角可得，易证可得，进而得到；如图：过点A作于点H．利用等腰三角形三线合一的性质、勾股定理进而得、，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∴． ∵， ， 在和中， ， ∴． ∴， ∴，即， 如图：过点A作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：设相交于点， ，则可设，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即； (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数，梯形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先证，再根据角的关系可得，进而得到即可证明； （2）由勾股定理得，，再证，得到，进而得到，，再利用代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，， ， ， ， ， ，即， ， 解得， ， 解得，， 由（1）知，即， ． 23．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键： （1）线段的和差求出的长，正切值求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）同角的余角相等，得到，根据正弦的定义求出即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得； （2）解：由（1）知：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 25．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，在中， ，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点作于点，分别解和，进行求解即可． （2）作于点，勾股定理求出的长，进而求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用余弦的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，； ∴； （2）解：如（1）图，作于点， 由（1）知：， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题13锐角三角函数及其应用 5年真题1年模拟 五年真题分类园 考点01锐角三角函数及其应用 1.4 2.1.2 2442 3.】7或77或7 4.(1)h至少需要小于12.5米 h a+bsine (2)d bcose 500等展直角三角板真角边为，食30的真角三角花板直边为26和》，②底为2-2h一 32-25h 6N2-6-45+26 高为3 ,面积为 3 (2) 如图，即为所作图形。 6.(1)5 9 4 1/4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(1)tana+b米 (2)3.8米 V一年模孤练测品 1.B 2.C 3.150 4.2-5 或1 6.10W10 25120 7.8或49 8.1.9 99 10.2 10 11.23 156W5 12.4或5 13.4V5 5s,5 14.13/s 15.35 16.(1)BC=20 (2) 解：如图所示，作AB的垂直平分线交AB于点E,在AB的垂直平分线上截取DE=AE,过点D作 DC∥AB交⊙O于点C,则点C,△ABC即为所求 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图2 17.03-1 √6-√2 (2)4 d 18.①)2m 7 (2)21 19.1)CD=10 3 (2)tan∠DEC= 2 20.(1)5 313 (2)13 21.1)2 g吟 22.1) 证明：设AC,BD相交于点O, 314 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ，则可设 C.AD:AB:BC=1:2:4 AD=k AB=2k BC=4k AD∥BC,∠ABC=90°， ·∠BAD=90°， tan∠ABD= AB2k2an∠ACB=AB=2k1 AD k 1 =BC=4k2, ∴，∠ABD=∠ACB」 :∠ABC=∠ABD+∠CBD=90° .∠ACB+∠CBD=90° .∠BOC=180°-（∠DBC+∠ACB)=90° 即AC⊥BD: (2)8 23.1)V4 5√41 (2)41 24.(1)20米 ②)建筑物EF的高度为（305-30)米 25.05+1 5v万 (2)14 专题13 锐角三角函数及其应用 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 考点01锐角三角函数及其应用 2026 2025 2024 2023 2022 锐角三角函数的定义与几何计算：题型覆盖填空、解答，载体从基础直角三角形逐步拓展到圆、平行四边形翻折等复杂几何场景。需先结合几何定理推导边长关系，再计算三角函数值，2024 年新增分类讨论设问，对几何推理与运算结合的综合能力要求逐年提升；解直角三角形的实际应用：场景从传统灯杆高度测量、门禁扫描，升级为建筑物安全规范类综合设问。从单一数值计算转向含参数代数式表示、多小问递进考查，需主动构造直角三角形建模，对信息提取与转化能力要求持续提高。 考点01 锐角三角函数及其应用 1．（2026·上海·中考真题）在中，，，，则的值为________． 2．（2025·上海·中考真题）某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米） 3．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 4．（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． (1)当米时，至少需要小于多少米？ (2)若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 5．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 6．（2023·上海·中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 7．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 一、单选题 1．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）图1是公园里的一个秋千，如图2，从侧面看，线段表示绳索的静止状态，测得此时点B到地面的距离是20厘米，小李同学坐上秋千后，将点B向后拉起到点C，此时测得，点C到地面的距离是50厘米．已知绳索长度保持不变（即），那么绳索的长度约是__________厘米．（参考数据：，，） 4．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，已知等腰直角三角形，，．将边绕点顺时针旋转得到，连接、，如果是以为腰的等腰三角形，那么的正切值是_______． 5．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））已知平行四边形，，，经过点，经过点．如果与相交，且一个交点落在边上，那么边长的是_______． 6．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，某水库大坝横断面的迎水坡的坡度，坝高米，那么迎水坡面的长度是_______米． 7．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________． 8．（上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习）如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 9．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图，已知G是的重心，点E在边上，，D是中点，连接．如果，，那么点G到直线的距离是________． 10．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，在中，，，．点在边上，点在边上，联结，把沿翻折得到，联结、，如果四边形为平行四边形，那么的长是______． 11．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 12．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 13．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面4米高的地方，那么物体所经过的路程是___________米（结果保留根号）． 14．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）已知一个斜坡的坡比是，如果某人从坡底沿这个斜坡走了米到达坡顶，那么坡底与坡顶间的垂直距离是________．（用的代数式表示） 15．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 三、解答题 16．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． (1)如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； (2)如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 17．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）如图，在中，，，点在边上，，且． (1)求线段的长； (2)求的值． 18．（2026年上海市上海市金山区二模数学试题）如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 19．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图，在四边形中，，点E在边上，，，． (1)求的长； (2)如果，，求的值． 20．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）如图，已知是的外接圆，是的直径，为的弦，且，点为的中点，连接，交于点，． (1)求的半径； (2)连接，求的值． 21．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）如图，D、E是边、上的点，、交于点G．已知． (1)求的值； (2)如果，，求的值． 22．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求的值． 23．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，在中，，，点在边上，，，过点作交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的值． 24．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 25．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，在中， ，，，点在边上，且． (1)求的长； (2)求的余弦值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $