专题12 图形的变化之相似三角形（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦上海中考相似三角形高频考点，汇编2022-2026年5年真题及1年模拟，涵盖填空、几何证明、压轴大题，强化与等腰三角形、菱形等图形综合及辅助线构造。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10道|相似判定、位似图形|结合黄金三角形、网格问题，考查分类讨论| |填空|29道|比例计算、面积比|涉及翻折、旋转动态问题，融合向量表示| |解答|12道|菱形、梯形、平行四边形中相似证明|真题压轴题需延长线段构造相似，模拟题含探究性裁剪问题|

专题12 图形的变化之相似三角形 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 图形的变化之相似三角形 2026、2025、2023、2022 相似三角形为几何核心高频考点，散见于填空、几何证明、压轴大题，载体涵盖等腰三角形、梯形、平行四边形、菱形等直线型图形。近年命题变化突出：一是增加分类讨论题型，依托直角三角形多解设置分层难点；二是融合特殊四边形、角平分线、等积式证明，逻辑推导链条加长；三是大量需要延长线段构造相似、全等的辅助线题型，弱化单一平行相似直接套用。整体命题不再局限基础比例计算，强化相似与全等、等腰性质、向量的综合联动，对等量代换、几何建模推理严谨性的要求持续提升 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________．    【答案】 【分析】先根据向量的减法可得，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵向量，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算是解题关键． 2．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 【答案】或 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 3．（2026·上海·中考真题）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即 故． (2)证明：据（1）可知， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出； （2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式，用代换，变形得到乘积等式． 【详解】（1）略 （2）略 4．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①证明：如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①略 ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 5．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1) 证明：， ， 在和中，， ， ． (2) 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 6．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可； （2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵CF=BE， ∴CE=BF， 在△ACE和△ABF中，， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； （2）证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴，即， ∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC=∠AQF， ∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE， ∵∠B=∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴，即CF·FQ=AF·BQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 一、单选题 1．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 2．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，中，、分别是边、上的点，且线段经过的重心，下列说法错误的是（　　） ①若，则；    ②若，则 ③；    ④； A．② B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于利用重心的性质得到线段之间的比例关系． 当时，连接与中点，交于点，根据重心的性质得，结合相似即可得，故结论①正确，结论②错误；同理可得，根据线段之间的比例关系，可证得结论③错误，结论④正确，即可得出结果． 【详解】解：当时，连接与中点，交于点，如下图所示： ∵线段经过的重心，且为的中线， 故点为的重心， 即， ∵， ∴， ∴， 故结论①正确，结论③错误； 以上图为例，可得， 即，故， ∵， ∴， ∴，故结论③错误； 同理， ∵, ∴， 则上式 ∵， 故结论④正确； 综上，错误的结论为②③，故选B． 3．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵相似三角形的判定要求必须满足对应条件，三边对应成比例或两角分别相等或两边成比例且夹角相等，才能判定两三角形相似． A、涉及的边不是的对应边，也不符合判定条件，不能判定，错误． B、只给出的两条边长，缺少的相关条件，不能判定，错误． C、满足三边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，∴可以判定，正确． D、仅给出一组角相等，缺少其他必要条件，不能判定，错误． 4．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，，证明，整理得，又因为，，求出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 6．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 7．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或的情况，从而求出的可能值． 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 8．（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 9．（2026·上海宝山·二模）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识； 由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【详解】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故选：A． 10．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是（    ）    A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC． 【详解】∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD，又∠ADC=∠CDB， ∴△ADC∽△CDB， ∴，， ∴ ，即， 解得，CD=6， ∴， 解得，BD=4， ∴BC=， 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 二、填空题 11．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】根据相似可知三角形重心满足，再根据菱形对角线性质，，进而可知，再根据相似三角形即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接与交于点，则点G为重心， 在菱形中，连接， ∴为的中点， ∴点在的线段上， ∴，, ∴,，， ∴，是的中点， ， ∴， ∴， ∵关于的对称点是, ∴， ∴， ∵菱形的面积为18， ∴， ∵， ∴,， ∴， ， ． 12．（2026年上海市浦东新区九年级数学练习卷）如图，在中，，，．点、分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与的三边有三个公共点，那么的值为_________． 【答案】4或 【分析】设，则，根据勾股定理，可得，，再根据与的三边有三个公共点，分类讨论：①当与相切时，根据切线的性质和相似三角形的判定方法，易得，从而，进而，计算即可求解；②当时，易求，计算即可求解． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，，， 如图1，当与相切时，切点为，则与的三边有三个公共点， 与相切， ，， ， ，， ， ，即，则， ， ， ，解得， ； 如图2，当时，则与的三边有三个公共点， ， ， ，解得， ； 综上所述：的值为4或． 13．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 【答案】15 【分析】根据矩形的性质得到，，，由旋转的性质得到，从而，，，结合点在的延长线上可得，进而证明，求出的长，最后利用计算即可． 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，，， ∵点在的延长线上， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∴， 在和中 ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在上，点在上， ∴， ∵，， ∴． 14．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 【答案】 【分析】先证明，然后得到点在上，同理，点在上，由对称可设 ，根据，求出，，则，再由正方形正方形求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 同理， 由对称可得，， ∴ ∴点在上， 同理，点在上， 由对称可设 ， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵正方形正方形， ∴， ∴． 15．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为______． 【答案】或 【分析】设，则，根据正方形的性质，容易证明，则，，由两角相等可判定，则，代入解方程求出的值即可． 【详解】解：设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或， ∴的长为或． 16．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用举例，如图，证明．得，设，当光源与手的距离增加1米时，即（米），米，同理求出．进而即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，米，米，且， ∴， ∴， 设， ∴光源与手的距离增加1米，即（米），米， 如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，由黄金分割的定义可得，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 点是 的黄金分割点，且， ∴ ， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 18．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， 则面积比为， 由题意，， 解得， 周长比等于相似比，即它们的周长之比是， 故答案为：． 19．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如图，在中，，，，那么边的长是________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握相关性质的应用是解题的关键． 作的平分线，交于点，进而证得，得到，进而可得，再根据相似比求即可． 【详解】解：作的平分线，交于点， ， 又， ， ， ，且， ， ， 即，解得， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 20．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在矩形中，过点作，垂足为，以为斜边作直角三角形，与交于点．如果，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了根据矩形的性质求线段长，相似三角形的判定与性质综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 通过作平行线构造相似三角形，列出比例式求解，结合点F的运动路径求解即可得出k取值范围． 【详解】解：过点C作交的延长线于点G，连接交于点O， 则， 所以， 因为四边形是矩形， 所以， 所以， 而， 所以， 因为以为斜边作直角三角形， 所以点F在以为直径的圆上运动， 当点F与点E重合时，P与F重合，此时，但不存在直角三角形， 故， 综上所述，． 因为， 所以， 故答案为：． 21．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆____听． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意，易得两个三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵形状相同的两个三角形绿化标牌， ∴两个三角形相似， ∵两块标牌对应边的长度比为， ∴两块标牌的面积比为， ∵小标牌涂满漆用了半听环保漆， ∴大标牌涂满漆需要环保漆听环保漆； 故答案为：2 22．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 【答案】或 【分析】如图所示，过点C作于点F，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作于点H，过点E作于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 23．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）如图，已知在正六边形中，，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】延长 、交于点 ，在正六边形 中，，证明是等边三角形，得出，根据点是 中点，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长 、交于点 ， 在正六边形 中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是 中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）如图，中，点D在边上，，，，那么的值等于______． 【答案】１ 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定和分式方程．先证明，利用得方程，去分母得，再将方程两边同除以再移项即可． 【详解】解：∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 方程两边同除以，， ∴． 26．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，在矩形中，，点为边的中点，点关于的对称点为点，连接交边于点，连接、，若，设，请列出一个可解出的值的方程___________． 【答案】 【分析】设交于点，交于点，作于点，设，，由轴对称的性质可得，．容易证明，从而计算出，利用勾股定理计算出．通过和，可计算出，，．由可计算出，．利用，可证明，则，结合，化简得到关于的方程． 【详解】解：如图，设交于点，交于点，作于点，设，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 化简，得， 解得，符合题意， ∴关于的方程为． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质的综合问题，具有扎实的代数计算功底是关键． 27．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知,进而可知,根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，，进而可转化出答案． 本题考查了相似三角形的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：在中， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则,, ,, , , , ∵， , , , , 在中，和等高， , , 故答案为：． 28．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【答案】81 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 29．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标系下的位似．理解并掌握位似图形的定义，是解题的关键． 根据位似图形的定义，得到，求出位似比，即可得，求解即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为、， ∴， ∵四边形和四边形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴， 故答案为：． 30．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 【答案】4 【分析】本题考查了比例的性质，设化石的实际长度为cm，根据照片上的长度与实际长度成比例，建立比例方程求解． 【详解】解：设化石的实际长度为cm， 由题意得：， 解得：． 故答案为：4． 31．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 【答案】10 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比设较小三角形周长为，较大三角形周长为，根据周长之和为25列方程求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为． 设较小三角形的周长为，较大三角形周长为，则，即， 解得， ∴较小三角形的周长为． 故答案为：10． 32．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理得到，进而得到，根据，得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为： 33．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例的定理，找到对应线段的比是关键． 直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】， ， 又， ， ， ，解得． 故答案为：． 34．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 【答案】或 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 35．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，已知，与交于点，，，，那么的长是____________． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，求出，进而得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：18． 36．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 【答案】10.7 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式，求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：作交于点， 由题意可知：四边形均为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即旗杆的高度是10.7米； 故答案为：10.7． 37．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，重心的性质，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例，结合重心的性质，得到，进而得到，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵点是的重心， ∴， ∵经过点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与面积的比值为； 故答案为：． 38．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______． 【答案】2 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：2． 39．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 三、解答题 40．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，在中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点．如果，求证：． 【答案】(1)证明：是边上的中线，为边的中点， ∴是的中位线， ，． ，为边的中点， ∴， ， ． ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是矩形． (2)证明：如图， ， ． ∵四边形是矩形， ，，， ， ． ， ， ． ， ， ，即． ，是边上的中线， ， ， ． 【分析】（1）由三角形中位线的性质得，，由平行线分线段成比例定理得，从而得出，可证四边形是平行四边形，结合，可证四边形是矩形； （2）证明得，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可证结论成立． 【详解】（1）略； （2）略． 41．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）探究：在铁片上裁剪正方形． (1)如图是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．根据以下步骤画图： ①在边上取点（如图），过作，垂足为； ②以为边在内部作正方形； ③连接并延长交于点； ④过作交于点、交于点；过作交于点． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形． (2)如果是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为_____． 【答案】(1) 解：如图所示， 证明：∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴， ∴矩形为正方形． (2) 【分析】（1）根据题意画出图形，根据作图得出四边形为矩形，进而根据相似三角形的性质与判定证明，即可得出四边形是正方形； （2）勾股定理求得的面积，分两种情况讨论，分别求得正方形的面积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ， ∴， ∴ ①当正方形的边在的直角边上时， 如图，连接，设正方形的边长为，则， ∴ ∴正方形的面积为 ②当正方形的边在的斜边上时，如图 设正方形的边长为， ∵ ∴ ∴，即， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∴ 解得： ∴正方形的面积为 ∵ ∴这个正方形铁片的最大面积为 42．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，点A、B、C、D、O在同一直线上，且满足，以为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点， (1)直接写出的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）连接，利用直径所对的圆周角等于90°即可求解； （2）连接，设半圆O的半径为r，由，得，可化简得，则，证明，得，再利用，即可求证． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是半圆O的直径， ∴； （2）解：如图，连接， 设半圆O的半径为r， ∴， ∵， ∴， 即， 化简得， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 43．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 44．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图1，在中，，且． (1)求证：； (2)连接交于点，过点作交于点． ①过点作分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 【答案】(1) 证明：如图，作于点O， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； (2)①的长为和的长为 ② 【分析】（1）首先根据构造垂线结合“三线合一”得到中线，即可证明，进而可以得到； （2）①：首先利用，进行设参数求解直角三角形三边的长，再通过，得到，再证明即可求得；再根据等面积法求得，利用勾股定理求得，最后利用得到且相似比为1，即可得到进而求解的长为； ②：首先构造辅助线再将转化为，再利用将转化为，再利用比例的传递性和证明得到，即可解得，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， 设，， ∴在中，，解得：（负值舍去）， ∴，， 由（1）得：，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：； ∵， 由（1）得：，易得：， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∴的长为，的长为； ②：如图，作于点M， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形、平行线定理、比例的性质，根据题意构造辅助线得到相似三角形是解题的关键． 45．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，把数值代入进行计算，即可作答． （2）结合，证明，又因为，故，把数值代入，得（负值已舍去），即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， 则， ∴， ∴ ∴（负值舍去）， ∴ 解得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 图形的变化之相似三角形 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 图形的变化之相似三角形 2026、2025、2023、2022 相似三角形为几何核心高频考点，散见于填空、几何证明、压轴大题，载体涵盖等腰三角形、梯形、平行四边形、菱形等直线型图形。近年命题变化突出：一是增加分类讨论题型，依托直角三角形多解设置分层难点；二是融合特殊四边形、角平分线、等积式证明，逻辑推导链条加长；三是大量需要延长线段构造相似、全等的辅助线题型，弱化单一平行相似直接套用。整体命题不再局限基础比例计算，强化相似与全等、等腰性质、向量的综合联动，对等量代换、几何建模推理严谨性的要求持续提升 1．（2023·上海·中考真题）如图，在中，点D，E在边，上，，联结，设向量，，那么用，表示________．    2．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 3．（2026·上海·中考真题）如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． (1)如果，求证：； (2)如果的角平分线交、于点、，求证：． 4．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 5．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 6．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 一、单选题 1．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，中，、分别是边、上的点，且线段经过的重心，下列说法错误的是（　　） ①若，则；    ②若，则 ③；    ④； A．② B．②③ C．②③④ D．②④ 3．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 5．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·上海宝山·二模）如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·上海宝山·二模）如图，在中，，，垂足为点，如果，，那么的长是（    ）    A．4 B．6 C． D． 二、填空题 11．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 12．（2026年上海市浦东新区九年级数学练习卷）如图，在中，，，．点、分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与的三边有三个公共点，那么的值为_________． 13．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 14．（上海市黄浦区2026年二模九年级数学试卷）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 15．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为______． 16．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 17．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）在中，点分别是的黄金分割点，且，，那么的长是______（结果保留根号）． 18．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 19．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如图，在中，，，，那么边的长是________． 20．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在矩形中，过点作，垂足为，以为斜边作直角三角形，与交于点．如果，那么的取值范围是_____． 21．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆____听． 22．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 23．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 24．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）如图，已知在正六边形中，，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，则的长为__________． 25．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）如图，中，点D在边上，，，，那么的值等于______． 26．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，在矩形中，，点为边的中点，点关于的对称点为点，连接交边于点，连接、，若，设，请列出一个可解出的值的方程___________． 27．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，在中，点分别是的中点，连接交于点，交于点，那么___________． 28．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 29．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如果一个图形上的点和另一个图形上的点，．．．分别对应，并且它们的连线都经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，点是位似中心．如图，四边形和四边形是位似图形，点的坐标分别为、，如果的长为，那么的长为_____． 30．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）小海周末到漕泾镇沙积村游览，发现村内的高宅基冈身遗址，藏有兰蛤、毛蚶等近二十种6400年前的远古贝类化石，他想了解一个毛蚶化石的长度，在化石旁放了一支笔拍下照片．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，那么该化石的实际长度为____． 31．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 32．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，在中，，，分别是边上的点，满足，若为的中点，且，那么的值为___________． 33．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，两条直线被三条平行线、、所截，分别相交于点、、、、、，若，那么当时，的长为___________． 34．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 35．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，已知，与交于点，，，，那么的长是____________． 36．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 37．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图，点是的重心，经过点，且，那么与面积的比值是________． 38．（上海市松江区2025-2026学年上学期九年级一模数学试卷）如图， 已知，点、分别在边、的延长线上，，，，，那么______． 39．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 三、解答题 40．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，在中，，是边上的中线，为边的中点，点在边上，，交于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点．如果，求证：． 41．（上海市闵行区2026年九年级学业质量抽样调研数学学科）探究：在铁片上裁剪正方形． (1)如图是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁出顶点在边上的一个正方形铁片． Ⅰ．根据以下步骤画图： ①在边上取点（如图），过作，垂足为； ②以为边在内部作正方形； ③连接并延长交于点； ④过作交于点、交于点；过作交于点． Ⅱ．以上画图步骤作为条件，求证：四边形是正方形． (2)如果是一块边长为3、4、5的直角三角形废铁片，利用其剪裁一个顶点在边上的正方形铁片，那么这个正方形铁片的最大面积为_____． 42．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，点A、B、C、D、O在同一直线上，且满足，以为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点， (1)直接写出的度数； (2)求的值． 43．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 44．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图1，在中，，且． (1)求证：； (2)连接交于点，过点作交于点． ①过点作分别交、于点、，如图2所示．已知，求和的长； ②如图3，如果为的中点，求的值． 45．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，、分别是边、上的点，且，． (1)求的长； (2)如果，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题12图形的变化之相似三角形 5年真题1年模拟 五年真题分类园 11 2.2或4 3.(①)证明：四边形ABCD为菱形， .∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA,AB=DC, ·∠FBC=∠CAB」 .∠FBC=∠BCA, .FB=FC, .AF =2BF, :AF=2CF, AB∥DC .∠CEF=∠ABF, :·∠EFC=∠AFB .△AFBACFE. AFAB AB=2, .CFCE,即C .AB=DC DC CE2,即pc=2CB 故CE=DE (②)证明：~据(1)可知∠FBC=BCA, ∴.∠BFA=∠FBC+∠BCA=2LFBC. :∠FBC=∠CAB, ∴.∠BFA=2∠CAB, 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠BCA.∠BAH=∠DAC+∠CAB ∴.∠BAH=2∠CAB ∴.∠BFA=∠BAH, BH平分∠ABE, .∠ABH=∠GBF ∴.△BFGP△BAH, BF BG .BA BH, BA=CD, BF BG ∴.CDBH, .CD·BG=BHBF 4.(1)①证明：如图所示，延长FE,AB交于H, B H--- E (1) ,四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD ∴.∠EBH=LECF,LEHB=LEFC, :E是边BC中点， .BE=CE. △BEH≌ACEF(AAS) :.EH=EF,∠H=∠CFE, AE=EF, .AE =EH, ∴.∠H=∠BAE, ∴.∠BAE=∠CFE: ②5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21f=53+6 3 5.(1) 证明：ADII BC .∠DAE=∠ACF, ∠DAE=∠ACF AD=CA 在 和 中， △DAE△ACF ∠ADE=∠CAF' .△DAE=△ACF(ASA .DE AF, (2) 证明：△DAE兰△ACF, ∴∠AFC=∠DEA, ∴.180°-∠AFC=180°-∠DEA,即∠AFB=∠CED, [∠AFB=∠CED 在△ABF和△CDE中， ∠ABF=∠CDE. ∴△ABF~aCDE, AF BF CE DE 由(1)已证：DE=AF, .AF BF CE AF ..AF2=BF.CE. 6.(1)证明：AB=AC, .∠B=∠C, .CF=BE, .∴CE=BF 319 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=AB ∠C=∠B 在△ACE和△ABF中， CE=BF' .△ACE≌△ABF(SAS), ∴.∠CAE=∠BAF: (2)证明：，△ACE≌△ABF, ∴AE=AF,∠CAE=∠BAF, .AF=AOAB,AC=AB, AEAB AEAC 40AE,即404AF, .△ACE∽△AFO, .∠AEC∠AQF, ∴.∠AEF=∠BQF, .AF=AF .∠AEF-∠AFE, ∴.∠BQF=∠AFE, .∠B=∠C, .△CAF~△BFO, CFAF BOFO,即CPFO=AFBO. 一年模拟练测园 1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.D 9.A 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.C 11.4 36 12.4或17 13.15 3 14.2 15.10或13 16.8 17.5--1+5 18.4:3 19.5 20.k<1 21.2 14v5 22.3或10W5 23.3 8 24.3 25.1 26.3f+22m㎡-8=0 27.6 28.81 2V5 29.5 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.4 31.10 v1o 32.4 5 3.4 25 34.2或3 35.18 36.10.7 37.9 38.2 15 39.g或V10-2 40.I)证明：AD是边BC上的中线，M为边AB的中点， .MN是△ABC的中位线， ·MD∥AC, MD-AC :MN∥BC,M为边AB的中点， AN AM 1 .ACAB2· :MD=AN “.四边形AMDN是平行四边形. ∠BAC=90°， .四边形AMDN是矩形. (2)证明：如图， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D .DF =EF ∴.∠FED=∠FDE ,四边形AMDN是矩形， :MN AD' EM=- 1 MN,ED= 2 2 AD .EM ED, .∴.∠EMD=∠EDM :MN∥BC, ∴.∠EMD=∠FDB, .∠FED=∠FDB. ∠FBD=∠DBE, ∴.△FBD∽△DBE, BF BD BDBE,即BD=BF,BE ∠BAC=90°，AD是边BC上的中线， :.BD=IBC 2 :BD.BC=BF.BE, ∴.BD,BC=2BF.BE 41.(1) 解：如图所示， 证明：四边形GD'EF'是正方形，FE∥F'E,FG∥FG,GD∥GD' .∠GDE=∠FGD=∠FED=∠F'E'D'=90°， 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.四边形GDEF为矩形， ∴F'E=F'G FE∥F'E, .△BE'F'∽△BEF, FE FB ∴FEFB' FG FB 同理FGFB FE FG ·FEFG, 又FE=FG, ∴.FE=FG .矩形GDEF为正方形. 144 2)49 42.(1)∠BPD=90 (2)1 43.1) 证明：AB=AC, .∠B=∠C .'∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED,∠AED=∠B, ∴.LBAE=∠DEC, .△ABEP△ECD: (2)CD=4.8 44.(1) 证明：如图，作AO⊥CD于点O, .AC=AD,AO⊥CD, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD∥AB, .∠ACO=∠BAC, :∠AOC=∠BCA=90°， .△COAP△ACB, 4C、C CD ,即4C=2 BA AC 、4G2=DAB ..2AC2=CD.AB: 54 2)DCF的长为25和cH的长为 36 S匹=2 25②S,ABC 2 45.(1)CE=6 ②)DC-4V5 919