专题11 图形的性质（三角形、四边形和圆等）（5年汇编）（上海专用）【好题汇编】2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦上海中考图形性质专题，汇编2022-2026年真题及模拟题，覆盖三角形、四边形、圆等核心考点，注重多知识融合与几何推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|24|特殊四边形判定、圆位置关系、相似三角形|结合旋转性质与勾股定理，如2026年正方形对称点周长问题| |填空题|26|正多边形内角、菱形性质、梯形中位线|稳定考查基础填空，如2022年正n边形旋转重合问题| |解答题|16|圆相交弦、折叠变换、动态几何|多问设计梯度分明，如2026年半圆中线段关系证明与计算|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题11图形的性质（三角形、 四边形和圆等) 5年真题1年模拟 五年真题分类园 1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 6.D 7.C 8.C 9.A 10.12 11.20°或50° 12.57°157度 1 13.2或4 14.I)①证明：如图，作OG⊥AB于G,OZ⊥CD于Z,连接OC, B D 0 图1 4G=4B,=cD AB=CD. .AG=CZ 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OA=OC,∠AG0=∠CZ0=90° RtAOAGS≌RtAOCZ(HL) .0G=0Z. :∠PG0=∠PZ0=90°，OP=OP, RIAOPG≌RIAOPZ(HL) .∠APO=∠CPO: ®PH=3 ； Pe (2)AQ3 15.(1) 证明：如图所示，连接OC,OD, .OC=OD ∴.∠OCD=∠ODC. 在△OCE和△ODF中， OC=OD ∠OCE=∠ODF CE=DF △OCE≌AODF(SAS) ∴OE=OF, ..OA=OB, OE OF .OA OB' 又，∠EOF=∠AOB. ∴.△OEF∽aOAB, .∠OEF=∠OAB. .ABII CD: 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A B (2) 证明：如图所示，连接OD,BD, ○ y B AB=BD. .∠AOB=∠BOD,AB=BD, 又：OA=OB=OD △AOB≌△BOD(SAS) :.∠OBD=∠OAB: 由(I)可得AB‖CD ∴.∠OFE=∠OBA, 又∠OFE=∠BFD, .∠OBA=∠BFD, .△OABP△DBF, OB AB ·DFBF, .AB·DF=OBBF: .OA=OB. .∠OAB=∠OBA. .∠DFB=∠DBF, 3/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.BD=DF, .'DF=AB, AB2=OB·BF 16.(1) 证明：，AC=AB .LABC=∠C .OD=OB .∠ODB=∠ABC, .∠C=∠ODB .OD∥AC, :F是OB的中点，OG=DG, .FG是△OBD的中位线， .FG∥BC,即GEIICD ∴四边形CEDG是平行四边形； 2)l+V33 1 3)2 17.(1)①证明：如图，连接AC交BD于O, A D E 的 P ,平行四边形ABCD, ∴.OA=OC, .AE=CE,OF-OF. .△AOE≌△COE(SSS), ∴.∠AOE=∠COE, .∠AOE+∠COE=180°， ∴.∠COE=90° 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC⊥BD, ,平行四边形ABCD, .四边形ABCD是菱形： ②v2 √10 (2)5 V- 年模拟练测园 1.C 2.C 3.C 4.B 5.B 6.D 7.B 8.B 9.c 10.A 11.C 12.B 13.B 14.A 15.ACD 16.2 17.18°18度 18.-1 19.180 20.2a+6 5/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.角平分线 2. 5-2V3,-2V5+5 23」 (24x-9x2） 24.25 25.2-1 26.50 27.25 28.1 29.2:3 30.35 33.4V2 34.50.6 35.140°或40° 36.2 37.72°172度 38.2或8-45 39.0)E-月 2)少=V48+x2-2x(0≤x<4) 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6)cos∠04C= 65 4或5 40.(1)证明：如图，连接BC, C B M 0 AB=CD, .4B-CD ∴∠ABC=∠BCD, .PC=PB. :点M、N分别是AB、CD的中点， :CN-ND-ICD,BM-AM-T4B, 2 2 .BM=CN, .BM-PB=CN-PC. .PM=PN, .△PMN是等腰三角形. BC 1 (②)AD4 8 41.0四m=4,y= x 2)BD=V5 42.(1)25m (2)13m 43.@=23 7/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 43 232 44.1) 证明：：四边形ABCD为矩形， .AB=CD,BC=AD,BCI‖AD,∠B=∠D=90°， .∠BCA=∠CAD .BE=3AE,BF =3CF, BE BF AB BC' ∠B=∠B, .△BEF∽△BAC. .∠BFE=∠BCA, :.∠BFE=∠CAD 又，∠B=∠D=90°」 .△BEFADCA: 2CD=125 3)2:7 45.侧+ Q 16 46.0)9 2≤BD<8 ②) 3 8)Dp45 3W2-26 3或 3 47.1) 证明：：∠BAD=90°，CD⊥BD. .∠BAD=∠BDC=90°， BD BC ·BD=AD.BC,即ADBD, 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△BAD∽ACDB, .∠DBC=∠ADB,∠C=∠ABD. :∠DBC=∠C+∠BAH,∠AHD=∠ABH+∠BAH, .∠AHD=∠DBC=∠ADH, .AH=AD (2) 解：如图所示， D F B 由(I)知∠DBC=∠ADB .AE∥BC, .△DEF∽△CBF, DE EF ·BCBF' DE BC ·EFBF' .∠DBE=∠ABD,∠C=∠ABD, .∠DBF=∠C, .ZBDF ZCDB. .△BDF∽△CDB, BC CD BF BD' DE CD ·EFBD .BD.DE EF.CD 48.1)1:16 1617 (2)85 9/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1a-2 9.0b,-a+b33 (2) 如图所示BM,BN即为BG在ab方向上的分向量， BG G E M B D 50.1)24cm ®3 3)6.3 专题11 图形的性质（三角形、四边形和圆等） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 图形的性质 2026、2025、2024、2023、2022 主要考查基础填空、解答压轴，核心考点是特殊四边形的判定证明、相似三角形；变化要点有三：一是填空基础题稳定锁定正多边形边数与内角；二是旋转的性质热度上升，2023、2024 连续考查且运算量加大；三是命题从单一定理套用转向"旋转+勾股+等腰"、"相似+三角比" 多知识融合，对几何转化与推理书写要求逐年提高。载体则以直角三角形、梯形为主，重基础更重综合 1．（2026·上海·中考真题）如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是(    ) A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 【答案】B 【分析】设，则，根据题意以及正方形的性质分别求得，，进而求得四边形、的周长，即可求解． 【详解】解：依题意，，设，则， 是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，则 同理可得，， ∴四边形的周长 四边形的周长 故①正确，②错误 2．（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 3．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 4．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键． 【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切， 圆含在圆内，即， 在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示： 当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为， ， 圆与圆相交， 故选：B． 5．（2024·上海·中考真题）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到，，进而由等面积法确定，再由菱形的判定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 四边形为矩形， ，， 过作对角线的垂线，过作对角线的垂线， ， 如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形， 故选：A． 6．（2023·上海·中考真题）已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法： ①；② 则下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】D 【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形为等腰梯形，即，时，①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案． 【详解】解：过作，交延长线于，如图所示：    若梯形为等腰梯形，即，时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，即， 又， ， 在中，，，则， ，此时①正确； 过作于，如图所示：    在中，，，，则，， ，此时②正确； 而题中，梯形是否为等腰梯形，并未确定；梯形是还是，并未确定， 无法保证①②正确， 故选：D． 【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 7．（2023·上海·中考真题）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可． 【详解】A：， 为平行四边形而非矩形 故A不符合题意 B：， 为平行四边形而非矩形 故B不符合题意 C： ∴∥ 四边形为矩形 故C符合题意 D： 不是平行四边形也不是矩形 故D不符合题意 故选：C ． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 8．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意． 【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到． A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C． 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系． 9．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 10．（2026·上海·中考真题）如图，梯形中，，是梯形的中位线，点是边上一点，联结、分别交于点、，若，，则梯形的面积为________． 【答案】 【分析】设梯形的高为，用表示出的长度，利用三角形面积公式求出与的乘积，最后代入梯形面积公式计算即可求解． 【详解】解：设梯形的高为 是梯形的中位线 ，，与之间的距离为 在中，为中点， 同理可得 梯形的面积为． 11．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 12．（2024·上海·中考真题）在菱形中，，则___________． 【答案】/57度 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 【答案】或 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 14．（2026·上海·中考真题）在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． (1)如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； (2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 【答案】(1)①证明：如图，作于，于，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②； (2) 【分析】（1）①作于，于，连接，利用垂径定理结合，得出，证明，得出，再证明，即可求证； ②先证明，得出，可得，则，即可得出，，再求出，即可求解； （2）证明，得出，设，，可得，，求出，连接，交于点，由（1）可得，，得出，证明为的重心，得出，设，在和中，利用勾股定理列式求出，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①略； ②∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点， 由（1）①中可得（图1）， 又∵（①已证）， ∴， ∴， 又∵（①已证）， ∴， ∴， ∵为边的中点，为边的中点， ∴为的重心， ∴， 设，则， ∵在和中，， ∴， 化简得（负值舍）， ∴， ∴． 15．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 16．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵ ∴, ∴ ∴， ∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出，，等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，即可得证； （2）设，，则，由（1）可得则，等量代换得出，进而证明，得出，在中，，则，解方程即可求解； （3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，证明，得出，设，根据，得出，可得，，连接交于点，证明在与中，，，得出，可得，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，点边中点， 设，，则 由（1）可得 ∴， ∴， 又∵ ∴, ∴ 即， ∵， 在中，， ∴， ∴ 解得：或（舍去） ∴； （3）解：①当时，点与点重合，舍去； ②当时，如图所示，延长交于点P，    ∵点是的中点，， ∴， 设， ∵ ∴， ∴， 设， ∵ ∴，   ∴， ∴， ∴， 连接交于点，    ∵， ∴ ∴， ∴， 在与中，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明是解题的关键． 17．（2022·上海·中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接． (1)若， ①证明为菱形； ②若，，求的长． (2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论； ②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四边形性质即可得出BD长； （2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又在直线上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG=AB，根据重心性质得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,则AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，则BC=AE，代入即可求得的值． 【详解】（1）①证明：如图，连接AC交BD于O， ∵平行四边形， ∴OA=OC， ∵AE=CE，OE=OE， ∴△AOE≌△COE(SSS)， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠COE=180°， ∴∠COE=90°， ∴AC⊥BD， ∵平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵OA=OC， ∴OB是△ABC的中线， ∵为中点， ∴AP是△ABC的中线， ∴点E是△ABC的重心， ∴BE=2OE， 设OE=x，则BE=2x， 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2, ∴9-x2=25-9x2， 解得：x=, ∴OB=3x=3， ∵平行四边形， ∴BD=2OB=6； （2）解：如图， ∵⊙A与⊙B相交于E、F， ∴AB⊥EF， 由（1）②知点E是△ABC的重心， 又在直线上， ∴CG是△ABC的中线， ∴AG=BG=AB，GE=CE， ∵CE=AE， ∴GE=AE，CG=CE+GE=AE， 在Rt△AGE中，由勾股定理，得 AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2, ∴AG=AE, ∴AB=2AG=AE， 在Rt△BGC中，由勾股定理，得 BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2， ∴BC=AE， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目． 一、单选题 1．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 2．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】C 【分析】先根据切线性质得到的半径，再用勾股定理计算两圆圆心距，结合点B在内和两圆相交的条件得到r的取值范围，最终选出符合范围的选项． 【详解】解：∵ 四边形是矩形，，，与直线相切 ∴的半径， 由勾股定理得两圆圆心距 ∵ 点在内，半径为，点到圆心的距离为 ∴ ， 即 ∵ 与相交， ∴两圆相交满足 代入，得 解不等式得 结合 得的取值范围为 选项中只有符合该范围． 3．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，在锐角中，以点B为圆心长度为半径作弧，交边于点D，交边于点E，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图可得，设，则，得出，即可求解． 【详解】解：连接 设，则 根据作图可得， ∴， ∴ ∴ 故如果要求出的度数，则只需知道的度数． 4．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，连接、．下列命题中，假命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】如果，根据可得，可证，继而判断选项A、C；如果，无法证明，继而得不到，可判断选项B；如果，可证，可判断选项D． 【详解】解：如果， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项A、C都是真命题； 如果，无法证明， 继而得不到，故选项B是假命题； 如果， ∵，， ∴， ∴，故选项D是真命题． 5．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先证点O在的角平分线上，再求出与外切时的半径，进而可得半径的取值范围． 【详解】解：标记与边、的切点为E，H， 则，， 在与中，， ， ， 即点O在的角平分线上， 作，与外切，切点为M，N，且与边、均相切，与的切点为点D，与的切点为点F， 同理可得，点与在的角平分线上， 设的半径为r， ， ，， ， ， 解得， 同理可得的半径为3， 与相交， ， 当时，与重合，不合题意， 观察四个选项可知，的半径长可以是2． 故选B． 6．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再通过相似三角形得到圆心O到的距离与的关系，结合圆与线段有两个公共点的条件，推导得到的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 7．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）如图，，如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等和平行线的性质求出 的度数，再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】解：，， （两直线平行，同位角相等）． 是的外角， ． ， ． ． 8．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 【答案】B 【分析】连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于，由三角形中位线定理可求，，，，，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点和点的直线平分该组合图形的面积，交于，取中点，取中点，连接，，过点作于， 四边形是矩形， ， 是中点， ，，， 四边形是正方形，， ， 同理可求，，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 9．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，作图得到垂直平分，进而得到的长，解直角三角形，求出的长，由作图可知，，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵在矩形中，，，为矩形对角线， ∴，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴. 10．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 11．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由勾股定理求出斜边的长度，设，分别根据点在内部、与相交的条件列出不等式，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ． 设，则 ，半径为，半径为． 由点在内部得 ，以点C为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，在上，作于点， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ 化简整理得 ， 解得． 由与相交，根据两圆相交的条件得 ， 即 ， 解不等式 得； 当时，，解得， 此时的取值范围为， 即此时， 当时，，即， 此时无解， 综上可知，， 即． 12．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题已知四边形是平行四边形，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析选项，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：∵原四边形是平行四边形， 对选项A：∵， ∴平行四边形是矩形，又与是等价的，都能判定该平行四边形是矩形，不能判定为正方形，故A不符合题意； 对选项B：∵平行四边形对角线互相平分， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形既是矩形又是菱形，因此是正方形，故B符合题意； 对选项C：∵， ∴平行四边形是菱形，菱形本身对角线互相垂直，因此不能推出它是正方形，故C不符合题意； 对选项D：平行四边形对角线本来互相平分，恒成立，仅能推出平行四边形是矩形，不能判定是正方形，故D不符合题意． 13．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 14．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可得，点在边上，因此，计算出的值即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，， ∵为的角平分线， ∴， ∴点在边上 ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴． 二、多选题 15．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，点P在的边上，且，过点P的直线与的外接圆交于M、N，且点A为弧的中点．以下说法正确是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件得到，通过圆中同弧所对圆周角相等的性质，找出两个三角形对应角相等，从而证明相似，再利用相似三角形的对应边成比例关系，得到，结合已知条件，得出线段之间的倍数关系，进而证明，而题中未给出，无法通过证明得到． 【详解】解：∵点A是的中点， ∴ ∴，A选项正确； ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，C选项正确； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，D项正确， 而题中未给出，无法通过证明得到，B项错误． 三、填空题 16．（上海市延安初级中学2025学年第二学期初二年级数学学科期中阶段性测试试卷）如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 【答案】 【分析】先通过角平分线和垂直证明三角形全等，得到和，再利用三角形中位线定理，直接求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 为的中点， ． 17．（2026·上海田家炳中学·二模）如图，在正五边形中，是的中点，连接，作交于点G，则的度数是______． 【答案】/18度 【分析】连接、．先证，得到，由等腰三角形的“三线合一”性质，可得，再结合平行线的性质以及多边形内角和计算公式，求得的度数． 【详解】解：连接、． ∵正五边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵正五边形， ∴该五边形内角和为：， 又∵正五边形， ∴， ∴． 18．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）设抛物线的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果是直角三角形，那么k的值为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴分别交于B、C两点，得，是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点，对称轴为轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴是直角顶点为的等腰直角三角形， ∵抛物线和轴有两个交点， ∴， ∴， 令，得， 又∵抛物线与轴的两个交点以及顶点围成的是直角三角形， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， 即k的值为． 19．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）如图，已知直线，那么________度． 【答案】 【分析】根据平行线性质得出，，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，已知中，中线相交于点G，设，，那么用向量、表示向量__________．    【答案】 【分析】求出，根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，得到，进而可得结果． 【详解】解：∵，， ∴ ∵中线、交于点G， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． ∴ 21．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知在中，点、、分别在边、、边上，将沿着直线翻折，点A恰好落在了点处，如果四边形是菱形，那么一定是的________．（选填“中线”、“角平分线”、“高”） 【答案】角平分线 【分析】本题利用翻折的性质和菱形的性质进行判断，用到菱形对角线平分一组对角的性质，即可推导出结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形． ∴ 平分， ∴一定是的角平分线． 22．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为，正六边形的边长为，那么点到边的距离为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质、正六边形的性质、等边三角形的性质与判定以及勾股定理．根据正六边形的性质可知为等边三角形，利用三线合一即可求得，在中，通过勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，交于点， ，， ， 正六边形，， ，， 是等边三角形， ，交于点， ， ， ， 四边形是正方形，边长为，中心点是点， ， ， 点到边的距离为． 23．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，用24米铝型线材做成一个窗框（含内框、），窗框上方是两个全等的正方形和，下方是矩形．如果正方形的边长为米，那么下方矩形的面积为__________平方米．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据窗框上方是两个全等的正方形和，得到，求出，，即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵窗框上方是两个全等的正方形和， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴矩形的面积为． 24．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）已知中，，．将沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果，那么折痕的长为__________． 【答案】 【分析】先利用翻折的性质得到平分，再结合相似三角形的对应角相等推出三角形各内角度数，利用直角三角形的性质求出的长度，最后在 中计算的长． 【详解】解：设翻折后点落在斜边上的点处， 由折叠的性质可知，平分，即， ， ， ， 在中，， ， 代入得， 解得，， 在中，，， ， 在中，，，， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）． 25．（上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习）如图，已知矩形是边的中点，是边上一点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，（点、分别与点、对应）．如果点、在同一条直线上，那么的值是___________． 【答案】 【分析】通过翻折性质得到与，结合得到内错角相等，进而证明为等腰三角形，使问题得解．关键在于利用与的大小关系及三角形内角和确定点只能落在、之间． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由翻折性质得，， 如图，当F与点C重合时，点M在如图位置，由于F不能再向右移动，故点M不能在的延长线上， ∵， ∴点只能落在、之间， 点在点、点之间时， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 【答案】 【分析】延长到点，由，得到，进而求出，再根据得到． 【详解】解：如图，延长到点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 27．（上海市洋泾菊园实验学校2024-2025学年下学期八年级数学期末卷）如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，根据中位线的长得到，根据角的直角三角形得到，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ∴ 梯形的中位线长为3， ， ， ， 在梯形中，， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 28．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 【答案】 【分析】先判断是等腰直角三角形，则，，容易证明，则，利用三角形外角的性质可证明，从而得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线之间距离处处相等，先理解，，以及三角形面积公式，得出，再证明，故，然后结合和共顶点，底边、在同一直线上，高相同，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵，和的高都等于梯形的高（两平行线间距离相等），且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵和共顶点，底边、在同一直线上，高相同， 因此面积比等于底边长的比，即， 故答案为：． 30．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求出，，再利用勾股定理求出后，进一步利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 31．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，首先，判断“某一边”不能是斜边，因为会导致无解；然后考虑该边为直角边，利用勾股定理和条件建立方程，求解得到较短直角边与斜边的比值，即为较小锐角的正弦值． 【详解】解：设直角三角形三边分别为 、、，其中 为斜边，，为最小锐角． ①当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴原方程无解，即； ②当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，与矛盾，舍去． ∴较小锐角的正弦值为 ． 故答案为：． 32．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，点在边上，连接，点和分别是和的重心．如果，那么用和表示是___________． 【答案】 【分析】本题考查了向量的运算，重心，相似三角形的判定与性质，先根据点和分别是和的重心，得，，证明，因为，得，整理得，所以，故，即可作答． 【详解】解：连接，并延长分别交于点， ∵点和分别是和的重心． ∴， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）在中，，如果，那么的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查正弦，根据正弦的定义，等于对边与斜边的比，结合勾股定理求解． 【详解】解：在中，，，， 所以． 由勾股定理，，即， 解得：． 故答案为：． 34．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜边中线定理可得，根据等腰三角形的性质得出，进而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（2026·上海黄浦·三模）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 36．（2026·上海宝山·二模）如图，的周长为8，对角线，交于点，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，则__________． 【答案】2 【分析】此题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理及其应用． 根据平行四边形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为8， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ∴是的中位线， ， 故答案为：2． 37．（2026·上海徐汇·二模）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数_____． 【答案】/72度 【分析】此题考查的是多边形的内角和及平行线的性质，利用多边形的内角和定理和平行线的性质即可解决问题，掌握计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 38．（2026·上海宝山·二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，的长为__________． 【答案】2或 【分析】分两种情形：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J．如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T．分别求解即可． 【详解】解：如图1中，当BN=DM时，连接CC′交BM于J． ∵BN=DM，BN∥DM， ∴四边形BNDM是平行四边形， ∴BM∥DN， ∴∠BMC=∠NDM，∠BMC′=∠DC′M，由折叠知，MC′=MC，∠BMC=∠BMC′， ∴∠NDM=∠DC′M， ∴MC′=MD， ∴CM=DM=CD=2． 如图2中，当BN=DM时，过点C′作C′T⊥CD于T． ∵CB=CD，BN=DM， ∴CN=CM=MC′， 在△BCM和△DCN中， ， ∴△BCM≌△DCN（SAS）， ∴∠CDN=∠CBM， ∵∠CBM+∠BCC′=90°，∠BCC′+∠C′CD=90°， ∴∠CBM=∠C′CD， ∴∠C′CD=∠DCC′， ∴C′D=C′C， ∵C′T⊥CD， ∴DT=TC=2， ∵C′T∥CN， ∴DC′=C′N， ∴C′T=CN， 设C′T=x，则CN=CM=MC′=2x，TM=， ∴， ∴， ∴CM=， 综上所述，CM的值为2或． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 四、解答题 39．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）如图，扇形中，，点在线段的延长线上，满足，连接，交劣弧于点，连接，点是线段上一点，满足． (1)当时，求的长； (2)若，为y，求y关于x的函数关系式，并求定义域； (3)延长、交于点，如果四边形是一个轴对称图形，求的余弦值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作于，利用垂径定理得出，根据，得出，得出，求出的长即可； （2）利用垂径定理得出，利用，根据，得出，进而得出，根据即可求出关系式；根据当与相切时，，当为直径时，，求出定义域即可； （3）分为三种情况：①当为对称轴时；②当为对称轴时；③当四边形是等腰梯形时，借助对应图形，结合相似三角形的性质和等腰梯形的性质，以及解方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， 解得：． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵为， ∴， 如图，当与相切时，点与点重合，， 当为直径时，点与点重合，， ∵与劣弧交于点， ∴点与点不重合， ∴定义域为． （3）解：如图，当为对称轴时，过点作，交延长线于，过点作于，于， ∵， ∴， ∵四边形是一个轴对称图形，为对称轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴，， 解得：， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当为对称轴时， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴、没有交点，此种情况不存在； 当四边形是等腰梯形时，满足四边形是一个轴对称图形，如图， 则，，，又， ∴， ∴， ∴， 过O作于H，则， ∴， ∴，则， 由（2）知，，，， ∴， 解得或（不符合，舍去） ∴, 则， 在中，， ∴， 综上所述：的余弦值为或． 40．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知：如图，在中的弦与弦交于点，，点、分别是、的中点，连接、． (1)求证：是等腰三角形． (2)连接、，若，，求的值． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． (2) 【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆心角的关系得出，根据圆周角定理得出，可得，根据，结合中点的定义即可得出，即可得出是等腰三角形； （2）连接、，根据线段的和差关系得出，，根据，可证明，即可得出． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，连接、， ∵点是的中点，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．（2026年上海市浦东新区九年级数学练习卷）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)联结，点是的中点，联结，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出m，再待定系数法求解析式； （2）先求出点C的坐标，再利用直角三角形斜边中线求的长． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴，把代入，得． ∴反比例函数解析式为． （2）把代入，得． ∴．∵，∴． 又∵轴，∴． 在中，∵点是的中点， ∴， ∵，∴． 42．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 【答案】(1)25m (2)13m 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，找出圆心正确作出辅助线是解题关键． （1）取圆心，连接，，由垂径定理得，设半径为，在中利用勾股定理列方程即可； （2）连接，设，则，由垂径定理得，再由矩形性质得，，，最后在中利用勾股定理列方程即可． 【详解】（1）解：取圆心，连接，， ∵是弓形的高， ∴是的中点，且，圆心在直线上． ∴（米）， 设， 则， 在中， ， ∴， ∴， ∴该弓形所在圆的半径为25m． （2）解：连接， 由（1）得，， 设， 则， ∵是弓形的高， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， （舍去），， ∴ ． 43．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：过C作轴于D，解直角三角形可得、，即；再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，如图：过A作轴于E， 再解直角三角形可得，即点A的纵坐标为；再根据轴可得点B的纵坐标为，然后再求点B的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：如图：过C作轴于D， ∵，． ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设双曲线的表达式为， ∵C在双曲线上， ∴，解得：， ∴双曲线的表达式为． （2）解：∵，， ∴， ∴， 如图：过A作轴于E， ∵，． ∴，即，解得：， ∴点A的纵坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴． 44．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在四边形中，点在边上，，点在边上． (1)如图1，若四边形为矩形，且，连接， 求证：； (2)如图2，若四边形为等腰梯形，．请连接并延长，交的延长线于点，连接，如果，求的长； (3)如图3，若四边形为平行四边形，点是中点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，求值． 【答案】(1) 证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 【分析】（1）矩形的性质，得到，，进而得到，易得，推出，进而得到，推出，即可得证； （2）取的中点，连接，斜边上的中线，得到，等边对等角，结合三角形的外角，推出，进而得到，证明，得到，设，求出，根据，得到，求出的值，再根据等腰梯形的两腰相等，即可得出结果； （3）延长，交于点，连接，证明，得到，，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，以及平行面积转化，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：取的中点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∵四边形为等腰梯形，， ∴； （3）解：延长，交于点，连接， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰梯形的性质，平行四边形的性质，斜边上的中线，等边对等角，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 45．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，已知点是的重心，连接并延长交边于点，连接，过点作交边于点． (1)如果设，试用表示． (2)当，，时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形法则求出，再根据，即可解决问题． （2）首先证明，推出，由勾股定理得出，求出，再证明，利用相似三角形的性质求出的面积． 【详解】（1）解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 46．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在中，，点在边上且，点是边上的动点，以为直角顶点；为腰在其右侧作等腰直角三角形，射线与边交于点． (1)当时，求的面积； (2)当点落在内部（不含边界）时，求的取值范围； (3)连接，如果是直角三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，得出，根据，得出，结合，得，则，证出，则，结合，即可求出，即可解答； （2）由题知：不可能在上，可能在上； 当在上且与重合时，如图所示：过点作，过点作，过点作，则，得出，，勾股定理求出，则，结合，求出，证明，求出，证明，得出，，则，此时，当在上且与重合时，如图所示：由上得，，设，则，则，根据，求出，此时，根据落在内部（不含边界），即可求解； （3）当时，如图所示：由上得，则，，证明，则，证明，则，，得出，，则，当时，如图所示：由上得，设，则，证明，得出，列方程，求出，即可得，的长，由题知：，则四点共圆，得出，求出；当时，不符合； 【详解】（1）解：如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：由题知：不可能在上， ∴可能在上； 当在上且与重合时， 如图所示：过点作，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 此时， 当在上且与重合时，如图所示：由上得， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， ∵落在内部（不含边界），∴； （3）解：当时，如图所示： 由上得， ∴， ∴， 由题知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，如图所示： 由上得， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题知：， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴， 当时，不符合； 综上：或． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，利用分类讨论思想解答． 47．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ (2) 解：如图所示， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等角对等边，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明，得到，，可证明，则可证明； （2）证明，则可证明，推出，证明，得到，则，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 48．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，从而可得，，再利用勾股定理求得，从而可求得，再求得，然后证明，从而可求得与的面积之比； （2）先得出，再求得，，从而可求得，再求得即可． 【详解】（1）解：作于点E，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积之比为； （2）解：作于点L，则，    ∴， ， 又由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴的正弦值为． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，利用相似三角形的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 49．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)，， (2) 如图所示,，即为在方向上的分向量． 【分析】本题考查线性向量的计算和平行四边形的性质，正确掌握向量的基本运算是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和向量的和差关系即可求解； （2）利用平行四边形法则分解向量即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 四边形是平行四边形， ； （2）略 50．（2026·上海宝山·二模）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，） (1)求容器的高度． (2)求水的折射率． (3)若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据的正切值可得的长； （2）作于点．根据水面在容器高度一半，可得，的长度，进而可得的长度，利用勾股定理可得的长度，即可求得折射角的正弦值，易得入射角，那么可得入射角的正弦值，即可求得的值； （3）在水中的折射光线是平行的，那么可得和的比值；根据水平面也是平行的，可得和的比值．即可求得的值． 【详解】（1）解：解：∵,, ， ∴ （2）解：如图，作于点，由题可知：，， ∴ ， ∴，， ∴， （3）解：由题可知：，， ∴， ∴，即， ∴ . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 图形的性质（三角形、四边形和圆等） 5年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2022-2026） 命题规律 图形的性质 2026、2025、2024、2023、2022 主要考查基础填空、解答压轴，核心考点是特殊四边形的判定证明、相似三角形；变化要点有三：一是填空基础题稳定锁定正多边形边数与内角；二是旋转的性质热度上升，2023、2024 连续考查且运算量加大；三是命题从单一定理套用转向"旋转+勾股+等腰"、"相似+三角比" 多知识融合，对几何转化与推理书写要求逐年提高。载体则以直角三角形、梯形为主，重基础更重综合 1．（2026·上海·中考真题）如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是(    ) A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 2．（2026·上海·中考真题）已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（     ） A．内含 B．相交 C．相切 D．相离 3．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 4．（2024·上海·中考真题）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．相离 5．（2024·上海·中考真题）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 6．（2023·上海·中考真题）已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法： ①；② 则下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 7．（2023·上海·中考真题）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 9．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 10．（2026·上海·中考真题）如图，梯形中，，是梯形的中位线，点是边上一点，联结、分别交于点、，若，，则梯形的面积为________． 11．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 12．（2024·上海·中考真题）在菱形中，，则___________． 13．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 14．（2026·上海·中考真题）在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． (1)如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； (2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 15．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 16．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 17．（2022·上海·中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接． (1)若， ①证明为菱形； ②若，，求的长． (2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值． 一、单选题 1．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 2．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）在矩形中，，，与直线相切．如果与相交，且点B在内，那么的半径长r可以是（     ） A．6 B．10 C．14 D．18 3．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，在锐角中，以点B为圆心长度为半径作弧，交边于点D，交边于点E，联结．如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（     ） A． B． C． D． 4．（上海市奉贤区2025学年第二学期九年级数学练习（202605））如图，在锐角三角形中，，点、分别在边、上，连接、．下列命题中，假命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）如图，，如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（上海市普陀区2025学年第二学期九年级命题指导研修数学样卷）如图1，在矩形中，，．正方形的顶点E在的延长线上，，点G在边上，O为正方形的中心，如果过点O的一条直线平分这个组合图形的面积，且这条直线分别交、于点M、N，那么线段的长为（   ） A． B． C． D．13 9．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 10．（上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 11．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（上海市崇明区2025-2026学年第二学期九年级数学二模试卷）已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（上海市松江区2025-2026学年九年级总复习阶段模拟练习数学）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 二、多选题 15．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）如图，点P在的边上，且，过点P的直线与的外接圆交于M、N，且点A为弧的中点．以下说法正确是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 16．（上海市延安初级中学2025学年第二学期初二年级数学学科期中阶段性测试试卷）如图，在中，，点在边上，且，平分，，垂足为点，为的中点，那么的长为________． 17．（2026·上海田家炳中学·二模）如图，在正五边形中，是的中点，连接，作交于点G，则的度数是______． 18．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）设抛物线的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果是直角三角形，那么k的值为________． 19．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）如图，已知直线，那么________度． 20．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，已知中，中线相交于点G，设，，那么用向量、表示向量__________．    21．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知在中，点、、分别在边、、边上，将沿着直线翻折，点A恰好落在了点处，如果四边形是菱形，那么一定是的________．（选填“中线”、“角平分线”、“高”） 22．（上海市虹口区校级联考2025-2026学年第二学期阶段练习九年级数学）如图，正六边形位于正方形内，它们的中心重合于点，且．已知正方形的边长为，正六边形的边长为，那么点到边的距离为__________． 23．（上海市徐汇区2026年4月学业水平参考样卷数学）如图，用24米铝型线材做成一个窗框（含内框、），窗框上方是两个全等的正方形和，下方是矩形．如果正方形的边长为米，那么下方矩形的面积为__________平方米．（用含的代数式表示） 24．（上海市青浦区2026学年九年级数学试学科练习卷）已知中，，．将沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果，那么折痕的长为__________． 25．（上海市奉贤区2025-2026学年第二学期九年级数学练习）如图，已知矩形是边的中点，是边上一点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，（点、分别与点、对应）．如果点、在同一条直线上，那么的值是___________． 26．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）我们知道，晾衣架中存在多组平行关系，现将其侧面抽象成几何图形（如图所示），已知，如果，，那么______°． 27．（上海市洋泾菊园实验学校2024-2025学年下学期八年级数学期末卷）如图，梯形中，，，，若该梯形的中位线长为3，则_________． 28．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在中，，，点为线段的中点，连接并延长至点使得，则___________． 29．（上海市杨浦区2025-2026学年九年级第二学期质量调研（二）数学学科试卷）在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 30．（上海市闵行区2025-2026学年上学期九年级学业质量（一模）调研数学试题）如图，在中，，点是边上的一点，连接，如果，那么___________． 31．（2026年上海市黄浦区中考数学一模试题）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． 32．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）如图，在中，点在边上，连接，点和分别是和的重心．如果，那么用和表示是___________． 33．（上海市虹口区2025-2026学年上学期九年级第一次学生学习能力诊断练习数学试题）在中，，如果，那么的长是___________． 34．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为______． 35．（2026·上海黄浦·三模）等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为_________． 36．（2026·上海宝山·二模）如图，的周长为8，对角线，交于点，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，则__________． 37．（2026·上海徐汇·二模）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形，的度数_____． 38．（2026·上海宝山·二模）正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，连接并延长交正方形一边于点．当时，的长为__________． 四、解答题 39．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）如图，扇形中，，点在线段的延长线上，满足，连接，交劣弧于点，连接，点是线段上一点，满足． (1)当时，求的长； (2)若，为y，求y关于x的函数关系式，并求定义域； (3)延长、交于点，如果四边形是一个轴对称图形，求的余弦值． 40．（上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷）已知：如图，在中的弦与弦交于点，，点、分别是、的中点，连接、． (1)求证：是等腰三角形． (2)连接、，若，，求的值． 41．（2026年上海市浦东新区九年级数学练习卷）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图像与反比例函数（）的图像相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图像相交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)联结，点是的中点，联结，求的长． 42．（2026年上海市静安区中考数学二模练习）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 43．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． (1)求双曲线的表达式； (2)如果轴，求点的坐标． 44．（上海市金山区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）在四边形中，点在边上，，点在边上． (1)如图1，若四边形为矩形，且，连接， 求证：； (2)如图2，若四边形为等腰梯形，．请连接并延长，交的延长线于点，连接，如果，求的长； (3)如图3，若四边形为平行四边形，点是中点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，求值． 45．（上海市年长宁区2025--2026学年上学期中考数学一模试卷）如图，已知点是的重心，连接并延长交边于点，连接，过点作交边于点． (1)如果设，试用表示． (2)当，，时，求的面积． 46．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在中，，点在边上且，点是边上的动点，以为直角顶点；为腰在其右侧作等腰直角三角形，射线与边交于点． (1)当时，求的面积； (2)当点落在内部（不含边界）时，求的取值范围； (3)连接，如果是直角三角形，请直接写出的长． 47．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在四边形中，，，，点在边上，且． (1)求证：； (2)过点作射线交边于点，交的延长线于点．若，求证：． 48．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 49．（2026年上海市徐汇区九年级一模数学试卷）如图，中，分别是边上的点，已知，且四边形是平行四边形．设，． (1)用向量分别表示下列向量： ________________；___________________；_______________； (2)连接交于点，在图中求作分别在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的分向量） 50．（2026·上海宝山·二模）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1），记入射角为，折射角为，我们把称为水的折射率．为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2，为一圆柱形敞口容器的纵切面，，容器未盛水时激光笔从O处发射光线，点恰好共线，此时．往容器内注水，当水面EF到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点处，测得．（参考数据：，，） (1)求容器的高度． (2)求水的折射率． (3)若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3，当光斑G移动到的三等分点处（），求水面上升的高度．（结果精确到） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $