专题09 填空小压轴18题（旋转、翻折、新定义、圆等25题）（上海专用）2026年中考数学二模分类汇编

专题09 填空小压轴18题 （旋转、翻折、新定义、圆等25题） 5大考点概览 考点01翻折 考点02旋转 考点03圆 考点04新定义 考点05其他题型 翻折 考点1 1．（2026·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与的重心重合．若菱形的面积为18，则的面积为__________． 2．（2026·上海青浦·二模）已知中，，．将沿过点的直线翻折，使点落在斜边上，折痕与边的交点记为．如果，那么折痕的长为__________． 3．（2026·上海金山·二模）在中，，，，直线经过边的中点，将沿直线翻折得到（点、、分别与点、、对应），若的重心在射线上，那么到直线的距离为__________． 4．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在平行四边形中，，，，点是边上一点，，如果点关于直线的对称点恰好在边上，那么的长是______． 5．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，已知的直径为，翻折劣弧使其与直径交于点，如果，那么折痕的长为______． 6．（2026·上海虹口·二模）如图，在中，，，．点在边上，点在边上，联结，把沿翻折得到，联结、，如果四边形为平行四边形，那么的长是______． 7．（2026·上海黄浦·二模）如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上．请画出点A、B、C、D分别关于、、、的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是_____． 8．（2026·上海杨浦·二模）如图，在矩形中，，点为边的中点，点关于的对称点为点，连接交边于点，连接、，若，设，请列出一个可解出的值的方程___________． 9．（2026·上海杨浦·二模）将一张矩形纸片（如图），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题． ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点E处，折痕交边于点G； ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段上的点H处，折痕交边于点F； ③沿过点E的直线折出矩形，折痕交线段于点M，连接． 如果，则___________． 10．（2026·上海奉贤·二模）如图，已知矩形是边的中点，是边上一点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，（点、分别与点、对应）．如果点、在同一条直线上，那么的值是___________． 11．（25-26九年级下·上海长宁·期中）如图，在中，，．将绕着点旋转，点、的对应点分别是点，，如果点恰好在直线上，且，那么的值为________．旋转 考点2 12．（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，将绕点B旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点E，如果，，那么四边形的面积是______． 13．（2026·上海闵行·二模）如图，四边形是平行四边形，将绕点顺时针旋转，点恰好落在延长线上的点处，作的平分线交的延长线于点，连接，如果，那么的正切值是____． 14．（2026·上海杨浦·二模）在平行四边形中，，，为中点，将线段顺时针旋转度至，若点恰在直线上，则___________． 15．（2026·上海徐汇·二模）如图，在中，，点在边上，如果与的一边所在的直线相切，且经过的一个顶点，那么的长是__________．圆 考点3 16．（2026·上海浦东新·二模）如图，在中，，，．点、分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与的三边有三个公共点，那么的值为_________． 17．（2026·上海杨浦·二模）如图，圆O为的外接圆，与相交于圆心，且，，直线与圆O交于，则___________． 18．（2026·上海闵行·二模）如图，在中，，，垂足为点，点是的重心，，，点为边上一动点，如果以点为圆心为半径的与以点为圆心的相切，那么的半径的取值范围是_____． 19．（2026·上海普陀·二模）在中，，，（如图所示） ．点D在边上（不与点A、B重合），，，垂足分别为E、F，的半径长为2．如果与外切，那么的半径长r的取值范围是________． 20．（2026·上海崇明·二模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________．新定义 考点4 21．（2026·上海松江·二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 22．（2026·上海松江·二模）已知中，，，，点、分别在边、上，如果是以为腰的等腰三角形，且，那么的长是______． 23．（2026·上海宝山·二模）定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”．如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是______．（保留） 24．（2026·上海静安·二模）如图，正方形中，点、分别在边、上，，垂足为点，已知，，那么的长为______．其他题型 考点5 25．（2026·上海普陀·二模）如图，已知G是的重心，点E在边上，，D是中点，连接．如果，，那么点G到直线的距离是________． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09填空小压轴18题 (旋转、翻折、新定义、圆等25题) ☆5大考点概览 考点01肼折 考点02旋转 考点03圆 考点04新定义 考点05其他题型 考点1 翻折 1.(2026上海徐汇·二模)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，将菱形ABCD沿着EF 翻折，使点B恰好与△ACD的重心G重合.若菱形ABCD的面积为18，则△BEF的面积为 【答案】4 【分析)根据相似可知三角形重心满足%=·再很据菱形对角线性质， =1，进而可知-名， GH 根据相似三角形即可求解 【详解】解：取AD的中点N,连接CN,取CD的中点M,连接AM与CN交于点G,则点G为重心， 在菱形ABCD中，连接BD, .O为AC的中点， 点G在BD的线段上， .MN∥AC,MN= LACG=∠MNG,LNMG=∠CAG,DJ=DO, △NMG△CAG,J是OD的中点， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN GJ 1 AC-OG-2' 0G2 0D3' DG 41 BD123' :B关于EF的对称点是G, BH=1=1, GH 1 BH 2 B0 :菱形ABCD的面积为18， 1 34c=2×18=9, :EF∥AC, LBAO=∠BEF,∠BCA=∠BFE, .△BEF∽△BAC, S4c=B0_9 S。EF BH=4' S.BEF =4. 2.(2026上海青浦·二模)已知ABC中，∠C=90°，AB=6.将ABC沿过点A的直线翻折，使点C落 在斜边AB上，折痕与边BC的交点记为E,如果△CAE∽△CBA,那么折痕AE的长为 【答案】2√3 【分析】先利用翻折的性质得到AE平分∠CAB，再结合相似三角形的对应角相等推出三角形各内角度数， 利用直角三角形的性质求出AC的长度，最后在RtAACE中计算AE的长. 【详解】解：设翻折后点C落在斜边AB上的点D处， D E B 由折叠的性质可，4E平分∠C4B,即∠CAE=<C1B, :△CAE~aCBA, :ZCAE ZB, 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B= ∠CAB, 在RIAABC中，∠C=90°， ∠CAB+∠B=90°， 代入得2∠B+∠B=90°， 解得LB=30°，∠CAE=30°， :在R1△ABC中，∠B=30°，AB=6, .AC=AB=3, 在Rt△ACE中，∠C=90°，AC=3,∠CAE=30°， 1 .CE =AE,AC2+CE2=AE2, =AE2, 解得AE=2V5(负值舍去). 3.(2026上海金山二模)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,直线1经过边AB的中点O,将 ABC沿直线I翻折得到aDEF(点A、B、C分别与点D、E、F对应)，若ADEF的重心G在射线CO上， 那么D到直线I的距离为 【答案】 51 【分析】本题考查翻折和三角形重心性质，三角形高的计算；要分类讨论，G在线段CO上或在CO延长线 上，且由对称性知D到直线I的距离就是A到直线I的距离，已知ABC重心在CO上，且△DEF的重心G在 射线CO上，故第一种可能的情况就是1与射线CO重合，此时G在线段CO上，通过勾股定理和三角形 AOC面积求出A到直线I的距离；第二种可能的情况是1与射线CO垂直，此时在，G在CO延长线上，再 次通过勾股定理求解即可. 【详解】解：有两种情况： ①：1与射线CO重合，如图所示： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时C和F重合，两三角形重心也重合且在线段CO上，过A作AH⊥OC于H, 由对称性知D到直线I的距离就是A到直线I的距离AH, 由勾股定理知AB=√AC2+BC2=10, :O是AB的中点， 2×6×8=24, 24H=12, ，即D到直线的距离为24 AH=24 ②1与射线CO垂直，如图所示，过A作AQ⊥I于Q, D G B 此时△DEF的重心G在射线CO延长线上， 易证得四边形AQOH为矩形， 24 ∴.AQ=OH,AH=OQ= 5, :.Rt△A00中，由勾股定理得A0=V0AP-Og=1 7 由对称性知D到直线I的距离就是A到直线I的距离AQ= 5 综上所述，D到直线1的距离为兮 7 5 4.(25-26九年级下上海杨浦期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=5,snB=4 点E是 边CD上一点，EF∥AC,如果点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上，那么AG的长是. D 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【等1 【分析】过点C作CW⊥AB于点M,连接FG,EG,DG,过点G作GH⊥AD于点H,先求得 AC=BC=5,证明∠HAG=∠B=∠CAG=a,设GH=4k,则AG=5k,AH=3k,证明 △AHG≌△AKG(AAS)得出GK=GH=4k,AK=AH=3k,KC=AC-AK=5-3k,在Rt△ADK, RACDK，中根据匀股定理求行A=了，即可求解 【详解】解：如图，过点C作CW⊥AB于点M,连接FG,EG,DG,过点G作GH⊥AD于点H, G M B BC=5,sin B= CM 4 BC5 .CM=4, :BM =BC2-MC2=3, .AM BM =3, ·AC=√AM2+MC2=V32+42=5, ∴.CA=CB, 设∠B=a, .∠CAG=∠B=a, :四边形ABCD是平行四边形， .AD//BC,AD=BC=5,CD=AB=6, LHAG=∠B=∠CAG=a, GH=sin∠HAG=sinB=5 4 A 设GH=4k,则AG=5k,AH=3k, :点D关于直线EF的对称点G恰好在边AB上， .DG⊥EF, 又：EF∥AC, DG⊥AC,设DG,AC交于点K, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠HAG=∠KAG=a,∠H=∠AKG=90°，AG=AG, :.△AHG≌△AKG(AAS), .GK =GH =4k,AK =AH =3k, .KC=AC-AK =5-3k, 在RIA ADK中，KD2=AD2-AK2=52-(3k)2, 在Rt△CDK中，KD2=CD2-KC2=62-(5-3k)2, 52-(3k2=62-(5-3k)2, 解得：k= 7 15 77 AG=5k=5 1531 5.(25-26九年级下·上海嘉定·期中)如图，己知⊙O的直径为10，翻折劣弧BC使其与直径AB交于点D, 如果BD=8,那么折痕BC的长为 D B 【答案】3√10 【分析】作DF⊥BC交⊙O于点F,连接BF延长交AC的延长线于点E,连接CF,DF与BC交于点M 根据对称的性质分别证明△DMB≌aFMB(SAS),△BAC≌BEC(ASA),推出CE=AC=AE,再根据四 2 2 AC 原英圆推出∠BAC=LCPE证明ACEPBAE,进而可符=C,由对称性质再得2AC AE BA ，解得 AC=√0，最后由勾股定理求BC即可. 【详解】解：如图所示，作DF⊥BC交⊙O于点F,连接BF延长交AC的延长线于点E,连接CF,DF 与BC交于点M, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :折叠，DF⊥BC, .DM=FM, :在△DMB和△FMB中， BM=BM ∠BMD=∠BMF, DM=FM △DMB≌△FMB(SAS), .LABC=∠EBC,BF=BD=8, :AB为直径， ∠ACB=90°， .在△BAC和aBEC中， [∠ACB=∠BCE BC=BC ∠ABC=∠EBC △BAC≌△BEC(ASA), 六AB=BE,CE=AC=2AE, .EF=AD AB-BD =10-8=2, :由圆内接四边形性质可知∠BAC+∠CFB=180°， 又：∠CFB+∠CFE=180°， .∠BAC=LCFE, :∠CEF=∠CEF, △CEF△BAE, EF CE AE AB' 2 AC 2AC10,解得AC=0, :在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=√10 :根据勾股定理：BC=√AB-AC2=3√10 6.(2026上海虹口二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,amB=2·点D在边B上，点E在 边BC上，联结DE,把BDE沿DE翻折得到FDE,联结AF、AE,如果四边形AFDE为平行四边形， / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 那么CE的长是 【答案】2 【分所】设40与EF交于点C,限据正切的定义得到amB-C),求出8C=24C=8,兼据勾股定 理得到AB=√AC2+BC2=4V5,根据翻折的性质得到∠DFE=∠B,FD=BD,设FD=BD=x,根据平行 四边形的性质得到AE∥FD,E=FD=x,AG=DG=)AD=25-,通过证明△4EG口△ABE,得 21 到行-4G。列出关于X的方是，求出X的值，得到AE=25,最后在R4CE中利用勾股定理即可5 【详解】解：如图，设AD与EF交于点G, E 在Rt△ABC中，tanB=AC=1 .BC=2AC=2×4=8, AB=√AC2+BC2=4V5, :BDE沿DE翻折得到FDE, ∴∠DFE=∠B,FD=BD, 设FD=BD=x,则AD=AB-BD=4V5-x, :四边形AFDE为平行四边形， 4E FD.AE-FD-x,AG-DG-TAD25- ∠DFE=∠AEG, LAEG=∠B, 又：LEAG=LBAE, △AEG☐△ABE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE_AG 即x 25-1 AB AE 4V5 整理得：x2+2V5x-40=0, 解得x=2W5,x,=-45(舍去)， AE=25, 在RtACE中，CE=VAE2-AC=25-42=2, 即CE的长是2 7.(2026上海黄浦·二模)如图，正方形EFGH内接于正方形ABCD,即点E、F、G、H分别在正方形 ABCD的四边上.请画出点A、B、C、D分别关于HE、EF、FG、GH的对称点P、Q、R、S,如果四边 形POS的面积恰好是正方形ABCD面积的一半，那么F的值是一· AB G B 【答案】5 【分析】先证明△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE,然后得到点P在SH上，同理，点Q,R,S在 PE,FQ,RG上，由对称可设S△EaH=S△EPH=S△DHG=SAHG=SACFG=SRFG=SAFBE=S△FOE=m,根据 S四边形p0s=)SE方形BCD,求出SE方形4BCD=16m，S医边形PQ5=8m，则S正方形EPGH=4m+8m=12m,再由正方形 2 EFGH∽正方形ABCD求解即可 【详解】解：如图， 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H D G E R B :四边形ABCD,EFGH是正方形， ∠BAD=∠ADC=∠EHG=90°，EH=HG, ∠3=∠5=90°-∠1，∠1+∠3=90° :△EAH≌△HDG(AAS), 同理，△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FBE 由对称可得，∠1=∠2，∠3=∠4， :∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠1+∠3）=180° .点P在SH上， 同理，点Q,R,S在PE,FQ,RG上， 由对称可设S△EHH=SAEPH=S△DHG=S△sHG=S△cFG=SRFG=S△FBE=S△FOE=m, :S△EAH+S△EPH+S△DHG+S△sHG+S△cFG+SRFG+S△FBE+S△FeE+Sg边形PQR5=S正方形ABCD :8m+S四边形POs=S正方形ABCD, 1 :S四边形PORs= S正方形ABcD .SE方形4BcD=16m，S四边形P0Rs=8m, S正方形EFGH=4m+8m=12m, :正方形EFGH正方形ABCD, (EF S王方oL=1 AB S正方形ABCD 16’ EF3 AB 2 8.(2026上海杨浦二模)如图，在矩形ABCD中，AB<BC,点M为边CD的中点，点A关于BM的对称 点为点F,连接DF交边BC于点H,连接AH、BD,若∠FAH=∠DBC,设tan∠DBC=m,请列出一个 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可解出m的值的方程 【答案】3m4+22m2-8=0 【分析】设AF交BM于点E,交BC于点G,作HI⊥AF于点I,设AB=a,BC=b,由轴对称的性质可得 ∠AEB=90°，4E=EF,容易证明△ABGn△BCM,从而计算出BG=日，利用勾股定理计算出 2b AG =ava+4b2 2ab .通过△ABE∽△AGB和△FGH∽△FAD,可计算出AE= 2b Va2+4b2 GF 4ab2-a3 2bva2+4b2 ,GH=46a.由△AB6∽△G可计算出m=4-a 8b 4Va2+4b2 ,A1 3a3+20ab2 8bva2+4b2 利用LFAH=∠DBC,可证明△BCDo△AIH,则 可就中二第合m∠Bcm,化简得一 b 到关于m的方程。 【详解】解：如图，设AF交BM于点E,交BC于点G,作HI⊥AF于点I,设AB=a,BC=b, D :四边形ABCD是矩形， AB=CD=a,BC=AD=b,∠ABC=∠BCD=90°，AD∥BC, :点M是CD的中点， 1 ∴CM=5CD=5a, 2 :点A与点F关于BM对称， .BM垂直平分AF, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠AEB=90°，AE=EF, :∠BAE+∠ABE=180°-∠AEB=90°， 又：∠ABC=∠ABE+∠CBM=90°， .ZBAE Z CBM, △ABG∽△BCM, AB BG BC= .BG AB.CM a2 BC 2b' 由勾股定理可得AG=√AB2+BG2=aVa2+46 2b :∠AEB=90°=∠ABC,∠BAE=∠GAB, .△ABEn△AGB, 片AB=AE AG AB 2ab .AE AB2 AG va+4b2 .AF 2AE 4ab GF AF-AG 4ab2-a √a2+4b 2b√a2+4b2 :AD∥BC, △FGH∽△FAD, GH GF AD=AF GH 40.6F=46-a AF 8b :HI⊥AF, .∠HIG=90°=∠ABG, :∠AGB=∠HGI, △ABG∽△HIG, GIHⅢGH B阳=ABAG GI BG·GH4ab2-a3 HI=4B,GH=462-a AG 8bva2+4b2 AG 4Va2+4b2 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AI AG +GI 3a3+20ab2 8bva2+4b2 :∠FAH=∠DBC,∠AIH=∠BCD=90°， ·△BCD∽△AIH, AI BC' 8b3-2a2b a 3a3+20ab2 6, 在直角△BCD中，tan∠DBC= CD BC =6 .a=bm, 8b3-2b3m2 =m 3b3m3+20b3m 化简，得3m4+22m2-8=0, 解得m= V345-33,符合题意， 3 关于m的方程为3m4+22m2-8=0 【点晴】本题考查矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质的综合问题，具有扎实的代数计算功底是关 键 9.(2026·上海杨浦·二模)将一张矩形纸片ABCD(如图)，先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题. ①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G; ②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F; ③沿过点E的直线折出矩形ENCD,折痕EN交线段CG于点M,连接MH. 如果MH⊥EN,则AG:AB= D 【答案】3-⑤ 2 【分析】根据题意，画出图形，证明△AEGDCE,得到AG=5,∠DEC=∠4GE,设4G=a,BG=b DE DC ，则AB=CD=a+b,EG=BG=b,AE=VEG2-AG2=V2-a2,进而求出DE的长，折叠得到EH=DE, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 平行加折叠，推出EM=EG=b,倒角得到∠EHM=∠AGE,进而得到sin∠MHE=sin ZAGE,求出 =5-山b,进行求解即可. Q=- 2 【详解】解：由题意，作图如下： D M :矩形ABCD, AB∥CD,AB=CD,∠A=∠ABC=∠ADC=90°， :折叠，点B落在边AD上的点E处， ∠GEC=∠ABC=90°，BG=EG,LBGC=∠EGC, .LAEG=∠ECD=90°-∠DEC, △AEGn△DCE, AG AE DEDC,∠DEC=LAGE, AG=a,BG=b,AB=CD=a+b,EG=BG=b,AE=EG2-AG2=b2-a2, Vb2-a2 DE a+b .DE a(a+b) Vb2-a2 :折叠，点D落在线段CE上的点H处， .HE DE=- a(a+b Vb2-a2 :矩形ENCD, EN∥CD,DE⊥EN, EN∥BA, :∠GME=∠BGC, ZGME ZEGC, .EM=EG=b, :MH⊥EN,DE⊥EN, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .MH∥AD, .∠MHE=∠DEC=∠AGE, ∴.sin∠MHE=sin∠AGE, Vb2-a2 b BGn,即， AE EM b a(a+b), b2-a ..b2=a(a+b),a2+ab-b2=0, a=5-b或a=v5-山b《舍去 2 2 a+6=5+b, 2 “4G:4B=0-5-1_6-253-5 a+b 5+1 4 2 1O.(2026上海奉贤·二模)如图，已知矩形ABCD,AB=2AD,E是边AB的中点，F是边DC上一点，将四 边形AEFD沿直线EF翻折，得到四边形EMND,(点M、N分别与点A、D对应).如果点E、M、C在 同一条直线上，那么DF:FC的值是 D B 【答案】√2-1 【分析】通过翻折性质得到∠AEF=∠MEF与EM=AE,结合AB∥CD得到内错角相等，进而证明△EFC为 等腰三角形，使问题得解.关键在于利用EM与EC的大小关系及三角形内角和确定点M只能落在E、C之 间 【详解】解：设AD=a, AB=2AD, .AB 2a, :E是AB的中点， .AE EB =a, :四边形ABCD是矩形， CD=AB=2a,BC=AD=a,LB=90°，AB∥CD, 在RtEBC中，EB=BC=a, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△EBC是等腰直角三角形， .EC=VEB2+BC2=Va2+a2=V2a,LBCE=45°， ∠ECF=LBCD-LBCE=90°-45°=45°， 由翻折性质得EM=AE=Q,∠AEF=∠MEF, 如图，当F与点C重合时，点M在如图M,位置，由于F不能再向右移动，故点M不能在CE的延长线上， M B M EM =a<av2=EC, .点M只能落在E、C之间， 点M在点E、点C之间时， .∠MEF=∠CEF, :AB∥CD, .ZAEF ZCFE, 又：∠AEF=∠MEF, ∠CFE=LCEF, ÷CF=CE=aN2, .DF CD-CF=2a-2a=(2-2)a, .FC=2a, .DF:FC=(2-V2)a:√2a=V2-1. 考点2 旋转 11.(25-26九年级下·上海长宁期中)如图，在ABC中，LACB=90°，BC<AC.将ABC绕着点C旋 E的值为 转，点A、B的对应点分别是点D,E,如果点A恰好在直线DE上，且CE∥AB,那么D 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B BC 【等)号 【分析】由旋转，平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∠CAE=∠ACE=∠D,再对△ACD运用内角和 定理可求∠CAE=30°，再利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：由旋转得∠D=∠BAC,AC=CD,∠ECD=∠ACB=90°，AB=DE, 4 B D :ZD Z CAD, :CE∥AB, .∠ACE=LBAC, .∠CAE=∠ACE=∠D, .BC=CE=AE, 在△ACD中，由内角和定理得：∠CAE+∠ACE+90°+∠D=180°， 3∠CAE=90°， ∠CAE=30°， ∠CAE=∠ACE=∠D=30°， .AB=2BC, DE=2AE,即AD=3AE, AE 1 12.(2026上海宝山二模)如图，在矩形ABCD中，将△BCD绕点B旋转至△BCD'的位置，点D在BA的 延长线上，AD与BC'交于点E,如果AE=4,DE=5,那么四边形AECD'的面积是 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C A D B 【答案】15 【分析】根据矩形的性质得到AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠C=90°，由旋转的性质得到△BCD≌△BC'D' ,从而BC'=BC,∠C'=∠C=90°，∠D'BC'=∠DBC,结合点D在BA的延长线上可得∠ABE=∠DBC, 进而证明△ABE∽△CBD,求出AB的长，最后利用S四边形4EcD=SDBc-SABE=SDBc-SABE计算即可. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠C=90°， AE=4,DE=5, .AD AE+DE=9, BC=9, 由旋转的性质可知：△BCD≌△BC'D', .BC'=BC=9,∠C'=∠C=90°，∠D'BC'=∠DBC, :点D在BA的延长线上， ·点B,A,D在同一直线上， .ZABE Z D'BC', .ZABE ZDBC, 在△ABE和△CDB中 ,∠BAE=∠C=90°，∠ABE=∠DBC, ∴.△ABE△CBD, 58 即4=AB AB 9 AB2=36, :AB>0, AB=6, CD=6, :点E在BC'上，点A在BD'上， :S图边形4ECD=S.DBc-S.4BE, 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 S.mc-5.Dc-1BC.CD-x9x6-27.S.-4B.AE-x6x4-12. 2 2 S四边形Eco=27-12=15. 13.(2026上海闵行二模)如图，四边形ABCD是平行四边形，将CD绕点D顺时针旋转90°，点C恰好落 在B山延长线上的点E处，作LBCD的平分线交DE的延长线于点F,连接F,如果行么∠FBB 的正切值是· B 【路类1号 【分析】如图，过点F作FG⊥BC于点G,设AE=8x,AB=I5x,得到BE=BA+AE=23x,利用勾股定 理表示出BC=AD=√AE2+DE2-17x,设FE=y,证明出RtFGCS≌RtAFDC(HL),得到GC=CD=15x 利用勾股定理得到FE=10x,进而求解即可. 【详解】解：如图，过点F作FG⊥BC于点G E G AE 8 AB15 设AE=8x,AB=15x .BE BA+AE 23x :四边形ABCD是平行四边形 .CD=AB=15x,AB//CD,BC=AD 根据题意得，DE=CD=15x,∠CDE=90° ∴.∠AFE=LAED=90° BC=AD=AE2+DE2=17x 设FE=y 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :FG⊥BC,FC平分∠BCD .FG=FD FE DE y+15x 又：∠FGC=∠FDC=90°，FC=FC .RtAFGC≌RtaFDC(HL .GC=CD=15x .BG=BC-GC=2x BG2+FG2=BF2=BE2+FE2 (2x+(y+15x2=(23x)2+y2 y=10x .FE =10x :∠AFE=90 ·tan ZFBE= FE 10x 10 BE 23x 23 G∠FBE的正切值是 14.(2026上海杨浦二模)在平行四边形ABCD中，AB=6,∠B=90°，E为BC中点，将线段AE顺时针 旋转45度至EF,若点F恰在直线CD上，则BC= 【答案】122-12 【分析】先判定四边形ABCD为矩形，再建立如图所示平面直角坐标系，利用旋转变换的性质及全等三角 形的性质得到G点的坐标，再根据相似三角形的性质得到F点的坐标，最后结合点F在直线CD上的条件列 方程求解即可。 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， :.四边形ABCD是矩形， :∠ABC=∠BCD=∠ADC=LBAD=90°， 设BC=2a, :AB=6,E为BC中点， .BE EC=a, 如图，以点B为原点，AB所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作 AG⊥EF于点G,过点G作MN⊥x轴于点N,交AD于点M,设AM=m,MG=n,则B(0,O),AO,6) ,C(2a,0),D(2a,6),E(a,0),直线CD的解析式为x=2a, 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M G B E N .∠AGE=90°，LAMN=LBNM=90°=∠BAD=∠ABC, 四边形ABNM是矩形， .m AM BN BE EN a+EN 6=AB MN MG G Nn+G N 即EN=m-a,GN=6-n, :将线段AE顺时针旋转45度至EF, .LAEG=45°，EF=AE, LEAG=90°-LAEG=45°=∠AEG, .GE=AG, EF=AE=AG2+EG2=EG2+EG2=2EG :LAGE=90°=∠AMG, ∠EGN+LAGM=90°=LGAM+∠AGM, .∠EGN=∠GAM, 在△EGN和△GAM中， ∠ENG=∠GMA ∠EGN=∠GAM, GE=AG :.△EGN≌AGAM(AAS), ∴EN=GM,GN=AM, .m-a=n,6-n=m, “m=6+0 6-a 2， .Gw-5.E.6a 2 :LFCE=90°=LGNE, .FC∥GN, ∴.∠CFE=LNGE, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ECF∽△ENG, FC EC_EF_EG GNENEG EG FCEC= 即6+a6-a 2 2 、.FC26+a,EC=2(6-a 2 √2 ∴.BC=BE+EC=a+ 6-a :点F恰在直线CD上，且直线CD的解析式为x=2a, 2 6-a=2a, 解得：a=6√2-6， .BC=2a=26V2-6=12V2-12. 考点3 圆 15.(2026上海徐汇二模)如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=8,点0在边AB上，如果⊙O与ABC 的一边所在的直线相切，且经过ABC的一个顶点，那么OB的长是 【答案】 【分析】分两种情况讨论，当⊙O与BC相切于点D时，则0D⊥BC,设OB=x,则OA=OD=5-x 根据sin∠ABC=OD=4g列出比例式，求得x的值：当OO与4C相切于点F时，则OF1AC,过点B作 OB AB BG⊥AC于点G,证明△AOFn△ABG,进而求得x的值，即可求解. 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E, 当⊙O与BC相切于点D时，则OD⊥BC D E 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC=5,BC=8 .:BE= c AE=VAB2-BE2=V52-42=3 设0B=x,则0A=0D=5-x .OD⊥BC,AE⊥BC OD AE .sin∠ABC= 25 8 当⊙O与AC相切于点F时，则OF⊥AC,过点B作BG上AC于点G, G AB=AC LABC=∠C BG=BC.simC=8×2-24 55 设0B=x,则0F=0B=x,0A=AB-0B=5-x, :OF∥BG .△AOF∽△ABG OF OA BG AB x 5-x = 245 5 解得：x=120 49 综上所述，OB的长是25或120 8 49 16.(2026上海浦东新·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12.点D、E分别在边 4AC、BC上，且CD的值为子，以E为圆心，ED为半径作圆，如果OE与48C的三边有三个公共点，那 CE 么CD的值为 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 【答案】4或36 7 【分析】设CD=3x,则CE=4x,根据勾股定理，可得DE=5x,AB=13,再根据OE与ABC的三边有 三个公共点，分类讨论：①当⊙E与AB相切时，根据切线的性质和相似三角形的判定方法，易得 △BFE∽△BCA,从而BE=13x,进而BC=17x=12,计算即可求解；②当ED=EB时，易求BC=9x=12, 计算即可求解. 【详解】解：设CD=3x,则CE=4x, 在Rt DCE中，DE=VCD2+CE2=5x, 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=VAC2+CB2=V5+122=13, 如图1，当OE与AB相切时，切点为F,则OE与ABC的三边有三个公共点， A :⊙E与AB相切， E 图1 :EF⊥AB,EF=ED=5x, :∠C=90°， ·∠EFB=∠C=90°，∠B=∠B, ·△BFEn△BCA, BE-E,即BE=,则BE=3x, BAAC 135 BC=BE+CE=13x+4x=17x, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BC=12, :17x=12,解得x=17 12 36 CD=3x= 17 如图2，当ED=EB时，则OE与ABC的三边有三个公共点， B”ED=EB, 图2 BC=BE+CE=5x+4x=9x, 9x=12,解得x=3】 ·CD=3x=4; 综上所述：CD的值为4或36 17 17.(2026上海杨浦·二模)如图，圆O为ABC的外接圆，CC'与BB相交于圆心0，且CC'⊥BB', AB=AC,直线B'C'与圆O交于P、Q,则tan∠APQ= A B 0 【答案】 2W2+1 7 【分析】连接AO并延长交BC于点H,交PQ于G,连接OP,证明PQ川BC,推出△OGC'是等腰直角三 角形，设BH=x,结合勾股定理表示出AG、PG，,计算an2∠APQ= AG ， 进而求解. PG 【详解】解：连接A0并延长交BC于点H,交PQ于G,连接OP, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G B' Q H 由题意知∠C0B=∠C'0B'=90°， ∠B4C=22B0C=45° AB=AC,OB=OC, AH垂直平分BC,即∠OHB=90°， :0B=0C,LC0B=90°， “△COB为等腰直角三角形； AB=AC, ∠ABC=∠ACB=180°-450 =67.5°， 2 ∠BC'C=180°-45°-67.5°=67.5°， .LABC=∠BC'C, .BC=CC'; 同理可证BC=BB', .CC'=BB', .CC'-OC =BB'-0B, 即0C'=0B', :△C'OB'也是等腰直角三角形； .∠B'C'C=LC'CB=45°， PQI川BC, 0G⊥C'B', :aOGC'也是等腰直角三角形； 设BH=x, 侧Bc=CC=2x0B=0C=5V2x :C'0=CC'-0C=2-V2]x, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 co-0G-e.2--5-r AG=0A-OG=0B-0G=2x-(2-1)x=x, 在Ra0GP中，PG2=0P2-0G2=0B2-0G2=(2x°-[2-]=(22-12 tan2∠APQ= AG AG x2 1 W2+1 (2-12-17 :tan∠APg= 22+1 7 18.(2026上海闵行·二模)如图，在ABC中，AB=AC,AO⊥BC,垂足为点O,点G是ABC的重心， BC=18,AO=12,点D为边AB上一动点，如果以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相 切，那么⊙D的半径r的取值范围是· G 【答案】 16 交16 【分析】图，过点O作0E1AB于点E,交⊙0于点R,首先利用三线合求出B0=0C=BC=9,利 用勾股定理求出B=08+0F=15:利用等面积法求州0E一的。然后h重心份性质求出 OG=}40=4,然后根据题意分⊙0与⊙D外切和⊙0与⊙D内切两种情况讨论，分别求解即可。 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E,交⊙O于点F, E :在ABC中，AB=AC,AO⊥BC, ..BO=OC=BC=9 AB=OB2+042=15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .S.AOB 24B-OE-0B-40 1 ×15。E=2×9×2 :0e-9 :A0=12,点G是ABC的重心， :0G=A0=4 :以点O为圆心OG为半径的⊙O与以点D为圆心的⊙D相切 当⊙O与⊙D外切时，如图，当点D在点E处时， G B 36 .EF=OE-OF= 16 -4= 5 5 :⊙D的半径r取得最小值，即EF的长度16 如图，当点D在点A处时， A(D E G B .AG=A0-G0=12-4=8, :⊙D的半径r取得最大值，即AG的长度8： .16<r≤8： 5 当⊙O与⊙D内切时，如图，当点D在点E处时，⊙O与EO的延长线交于点H, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (DE B EH=0E+0H=36 456 5 :⊙D的半径r取得最小值，即EH的长度5： 56 如图，当点D在点A处时，⊙O与GO的延长线交于点I, A(D) E G B I .A1=A0+01=12+4=16, ⊙D的半径”取得最大值，即的长度16； 56≤r16, 综上所达，OD的半径r的取值范国是普≤r≤8或5r≤16。 19.(2026上海普陀二模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5(如图所示)·点D在边AB 上（不与点A、B重合），DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,⊙E的半径长为2.如果⊙F与OE外 切，那么⊙F的半径长r的取值范围是一· 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】 3 ≤r<10 【分析】画出图形，连接CD,EF,设EF与OE交于点G,证明FG=EF-EG=CD-2,求出FG的取值范 围即可 【详解】解：如图，连接CD,EF,设EF与OE交于点G, B 如果⊙F与⊙E外切，则FG的长为⊙F的半径长， 在RIAABC中，AC2+BC2=AB2, AC=V132-52=12, :DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90°， ·四边形DECF为矩形， :CD =EF, .FG=EF-EG=CD-2, 当CD⊥AB时，CD最短， 根据三角形面积公式可得，此时CD=ACBC=60 AB131 34 ∴.FG=CD-2= 13' 当点D无限接近点A时，此时FG<AC-2=10, 34sFG<10, 1 即⊙F的半径长r的取值范围是 4 ≤r<10 13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点4 新定义 20.(2026上海崇明·二模)定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”.已 知在ABC中，AB=AC,∠A=36°，将ABC沿着过点B的直线I翻折，使点C落在AB边上的点D处， 点E是边AC上一点，若四边形BCBD是“等对角四边形，则4二的值为 AC 【答案】5-或5-2 2 【分析】先根据等腰三角形的性质求出ABC各内角的度数，再结合“等对角四边形”的定义分两种情况进行 解答即可. 【详解】解：在ABC中，AB=AC,LA=36°， 六∠ABC=∠ACB=180°-36 =72°. 2 设过点B的直线I与AC相交于点P,连接PD, 由鞋折的性质可知∠BDP=∠ACB=72,BD=BC,∠DBP=∠CBP-LABC=-30 当四边形BCED是“等对角四边形时，有以下两种情况： ①当∠BDE=∠C=72°时， :∠BDP=∠C=72°， E和点P重合，如图所示， E(P) B 图1 此时，∠DEC=360°-（∠ABC+∠BDE+∠C)=1449 ∴.∠DEC≠∠ABC 四边形BCED是“等对角四边形”； 设AE=x,AB=AC=a,其中x>0,a>0 .CE=AC-AE=a-x, AE x AC a :∠A=∠DBP=36°， .BE AE=x, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由折叠可知， ∠BEC=∠DEC=72°， ∠BEC=LC=72, .BC=BE =x 在ABC和BEC中， ∠CPA=∠A=36°，∠C=∠C=72, .△ABC∽△BEC AC BC BC CE' d=x x a-x 整理得到，x2+ax-a2=0 解得，x=-a±公+4a-a士V5a-1士5 -a 2 2 即x=5-1 20, 2a<0(不合题意，舍去)， 。-5-1 .X=- s-la时，=V5-1 即4E=x-5-1 AC a 2 ②当∠DEC=∠ABC=72°时，如图所示， B 图2 同理可得，∠BDE=144°， .LBDE≠LC ·四边形BCED是“等对角四边形”； 设AE=y,AB=AC=a,其中x>0,a>0 片E=y AC a :∠EDA=180°-∠BDE=36°， .∠EDA=∠A=36°， .DE=AE=y 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EDA=LDBP=36° DE∥BP, .△ADEn△ABP AE AD APAB’ AE·AB=AD·AP 0可知，BC=BD=BP=4P=5-!。 -a 2 AD.5 -a=ay, 2 ·AD=5+1 2, AD=AB-BD=a- 5-la3-5a 2a 2 :5+1-3-5 2y= :y=5-2 a AE=上=5-2， AC a 综上可知， 4g的值为5-1或5-2. 2 21.(2026上海松江·二模)联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦.如果抛物线的一条弦AB与抛物 线的对称轴垂直，垂足为点C,抛物线的顶点为D,当AB=4CD时，AB的长称为这条抛物线的特征值.我 们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线y=3x2-2x+1的特征值是 【答案】号 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线y=3x2-2x+1的特征值是即为抛物线y=3x2的特征值， 据此画出图象结合新定义求解即可。 【详解】解：：平移不改变抛物线的特征值， :抛物线y=3x2-2x+1的特征值即为抛物线y=3x2的特征值，如图： 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 此时抛物线y=3x2的对称轴为y轴， :AB=4CD,AB⊥y轴 AB=2BC=4CD,即BC=2CD 设BC=m,则CD=2m, 1 71 Bm.m 1 将点Bm,2 m代入y=3x2,则3m2= 2, 解得m=或m=0(舍去) 6 11 AB=2×= 63 22.(2026上海松江·二模)已知ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点P、Q分别在边AB、BC上， 如果△ACP是以AP为腰的等腰三角形，且CP⊥PQ,那么PO的长是 【答案】 5或6W5 5 【分析】先由勾股定理求出AB的长度，根据△ACP是以AP为腰的等腰三角形，分AP=AC和AP=PC两 种情况讨论，利用相似三角形的判定与性质以及解直角三角形进行求解即可. 【详解】解：在ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, :由勾股定理得：AB√AC2BC2V68210, 当PA=PC时， A B ∠A=∠1， :LACB=90° 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90° ∠B=∠2， .PC=PB, :.PA=PB=PC=14B=5, :∠B=∠2， tan∠2=tan∠B, CP⊥P0 BCPC AC PO .6 PO 85 po5 当AP=AC=6时，则BP=AB-AP=4,过点AG⊥CP于点G, A G4公 B ∠1=∠4 :∠ACB=90°，CP⊥PQ ∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90° ∠2=∠3， ∠B=∠B ∴△BPQn△BCP, BPBQ-P≌ BC BP CP BP2=BQ×BC,即42=8BQ 解得BQ=2, 2P0_1 :C0-8-2=6,4CP2' 设PQ=x,CP=2x, 在Rt△CP0中，由勾股定理得，x2+(2x)=62, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得x=6⑤ (舍负)， 65 ..PO= 综上所达，P0的长为宁我65 51 23.(2026上海宝山·二模)定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”.如 果等腰三角形ABC是“等接圆三角形”，那么ABC的面积与其外接圆面积的比值是·（保留） 【答案】2-5或2+5 4π 4元 【分析】根据题意，分两种情况，画出图形，进行求解即可. 【详解】解：由题意，圆的半径只能与等腰三角形的底边相等， 当等腰三角形的顶角为锐角时，如图，⊙O是等腰ABC的外接圆，AB=AC,OB=OC=BC, D 2 .△BOC为等边三角形， .∠B0C=60°， ∠A71B0C=30吗 作BD⊥AC于点D,则AB=2BD,AD=V3BD, .AC=AB=2BD, :CD=AC-AD=(2-3BD, BC2=BD2+[2-5)BD了=[1+(7-45]BD2=8-45)BD2, 0B2=BC2=(8-4V5)BD2, 、ABC的面积为)AC·BD=BD,⊙0的面积为元0B2=(8-4V5πBD2, BD2 2+V3 ：ABC的面积与O0的面积比为BD8-4W5)元4红 当∠A为钝角时，如图，连接OA交BC于点E, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .OB=OC=BC=0A,AB=AC, .OA垂直平分BC, .BC=2BE, :OA=OB=BC=2BE,OE =OB2-BE2=3BE :AE=0A-0E=(2-V3BE, ABC的面积=)BCAE=(2-V)BE,O0的面积为4：BE, ÷48C的面积与⊙0的面积比为2-V5 4π 综上： ABC的面积与⊙0的面积比为2-V5或2+V5 4π 4π 考点5 其他题型 24.(2026上海静安·二模)如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BF⊥CE,垂足为点 P,已知CP=9,PF=7,那么BF的长为 D B 【答案】10或13 【分析】设BF=x,则PB=x-7,根据正方形的性质，容易证明aABF≌△BCE(ASA),则CE=BF=x, PE=X-9,由两角相等可判定aPBE∽aPCB,则PB2=PC·PE,代入解方程求出x的值即可. 【详解】解：设BF=x,则PB=BF-PF=x-7, :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠ABC=90°，AB=BC, ∴.∠BCE+∠BEC=180°-∠ABC=90°， 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BF⊥CE, ∠BPE=∠BPC=90°， ∠BEC+∠ABF=180°-∠BPE=90°， LABF=∠BCE, 在△ABF和△BCE中， I∠ABF=∠BCE AB=BC ∠A=∠EBC ·△ABF≌△BCE(ASA, .CE BF=x, .PE =CE -CP x -9, :∠ABF=∠BCE,∠BPE=∠BPC, aPBE∽aPCB, PB PE P0= ,即PB=PC·PE, PB （x-7)2=9(x-9), 解得x=10或x=13, .BF的长为10或13. 25.(2026上海普陀二模)如图，已知G是ABC的重心，点E在边AB上，EG∥BC,D是BC中点，连 接GD.如果GD:EG:AB=1:2:5,BC=12,那么点G到直线AC的距离是 B D 【答案】 10 3 【分析】连接AG,过点G作GF⊥AC,可得AD=BD,即可证明∠BAC=90°，利用sin∠DAC=sinC, 解直角三角形即可求得GF的值 【详解】解：如图，连接AG,过点G作GF⊥AC, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :G是ABC的重心，D是BC中点， B D ·A,G,D三点共线，AG=2GD,DB=DC, GD:EG:AB=1:2:5, :EG=2GD,AB=5GD, :AG=EG, :ZAEG=ZEAG, :EG∥BC, ∠AEG=∠EAG=∠B, :AD =BD, DB=DC, .AD BD =DC :ZDAC=ZC, 1 .∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠B+∠C=180°×5=90°， 2 :BC=12, AD=BC=6 G0-写4D=2,4G- 1 AD=4 :AB=10, .sin C=4B 5 BC 6' GF=AG·sin∠DAC=AG-simC=10 即点G到直线AC的距离是1 3