第二单元 长方体和正方体（解决问题讲义）数学青岛版五四制五年级上册（新教材）

该小学数学第二单元复习讲义通过“通用解题核心步骤”框架与“高频题型解题技巧”梳理，构建长方体和正方体知识体系，用对比表格呈现两者异同，思维导图式归纳棱长、表面积、体积三大模块的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于典型例题与变式训练结合，如“游泳池贴瓷砖”“浸水物体体积计算”等生活情境题，培养空间观念与应用意识，“审题定类型-判断面数-公式验算”四步解题法强化运算能力与推理意识，分层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第二单元 长方体和正方体 一、通用解题核心步骤 1. 审题定类型：读题先判断题型是求棱长、表面积还是体积。重点观察关键词：框架、铁丝对应棱长；贴膜、粉刷、包装对应表面积；占用空间、容积、装东西对应体积。 2. 找准长宽高：严格对应长方体长、宽、高数据，正方体棱长统一，单位不统一必须先统一单位再计算。 3. 判断面数、是否含盖：表面积问题是高频易错点，根据生活场景判断是6面、5面或4面，不盲目套公式。 4. 公式代入验算：熟练套用公式，计算后核对单位，面积用平方单位，体积用立方单位，杜绝单位混用。 二、高频题型解题技巧 1. 棱长总和问题：长方体棱长总和=（长+宽+高）×4，正方体棱长总和=棱长×12。已知棱长总和反求棱长，用除法逆推，常用于框架制作、铁丝围图形题目。 2. 表面积实际应用：完整物体用6个面总面积；鱼缸、无盖水箱、游泳池只算5个面；通风管、烟囱、柱子只求4个侧面积。粉刷墙壁题目记得扣除门窗空白面积，避免多算。 3. 体积与容积问题：体积是物体外部所占空间大小，容积是内部可容纳空间大小。常规题目直接套用公式：长方体体积=长×宽×高，正方体体积=棱长×棱长×棱长，通用公式：底面积×高。 4. 浸水、拼切变化问题：物体完全浸没，上升水的体积=物体体积；切割立体图形，每切一次增加两个切面面积；拼接图形每拼一次减少两个贴合面面积。 四、长方形与正方形相同点与不同点 类型1 长方体有关棱长的应用解决问题 典型例题1：图图妈妈的生日马上到了，图图特意给妈妈挑选了礼物（如图），给下面礼品盒捆丝带，打结处需35厘米，一共要多长丝带？ 【分析】这道题需结合图中礼品盒上捆丝带的方法，数出长、宽、高各自的条数：长有2条，宽有2条，高有4条，结合长20厘米、宽20厘米、高25厘米，分别计算2条长、2条宽、4条高的长度后再求和，最后再加上打结处的长度即可，据此解答。 变式训练：用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽8厘米的长方体框架，那么它的高应该是多少厘米？（焊接处长度忽略不计） 类型2 正方体的特征 正解决问题 典型例题2：1．把一根铁丝焊成一个长方体框架，长8米，宽6米，高4米，如果把它焊成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少米？ 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出这个长方体的棱长总和，也就是铁丝的长度；焊成一个正方体，正方体的棱长总和等于长方体棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 变式训练：把两个棱长都是5厘米的小正方体拼成一个长方体，那么拼成的长方体的棱长和是多少？ 类型3 长方体有关棱长的应用解决问题 典型例题3：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长是4cm、宽是3cm、高是5cm。 （1）正方体的棱长是多少厘米？ （2）正方体的表面积是多少平方厘米？ （3）正方体的体积是多少立方厘米？ 【分析】（1）长方体的棱长＝（长＋宽＋高）×4代入数据求出长方体的棱长也就是正方体的棱长总和，再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，求出正方体棱长； （2）将数据代入正方体表面积公式：S＝6a2，计算即可； （3）将数据代入正方体体积公式：V＝a3，计算即可。 变式训练：把一根铁丝焊成一个长方体框架，长8米，宽6米，高4米，如果把它焊成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少米？ 类型4 长方体的展开图解决问题 典型例题4：一个长方体，底面是一个边长为2分米的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的体积是多少立方分米？ 【分析】由题意可知，长方体的侧面展开图也是一个正方形，则该长方体的底面周长等于长方体的高，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。 变式训练：下图是一个长方体纸箱的展开图。做这样一个纸箱，至少需要多少平方分米纸板？ 【分析】由长方体的展开图可知，从同一个顶点引出的三条棱分别是80cm、50cm、30cm，由此计算出长方体表面积，并把单位转化为平方分米。 类型5   长方体表面积的计算解决问题 典型例题5：佳佳用3D打印机打印了一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的塑料材质的长方体。 (1)给这个长方体的表面涂上颜色，涂色面积是多少平方厘米？ (2)如果将这样的两个长方体拼成一个较大的长方体，这个较大的长方体的表面积最小是多少平方厘米？ 【分析】（1）求涂色面积即求长方体的表面积：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝长方体表面积； （2）要使拼成的长方体表面积最小，应该将两个最大面进行拼接，即大长方体的表面积比原来两个小长方体的表面积总和减少了两个最大的面的面积。 变式训练：一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了24平方厘米、16平方厘米、12平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 类型6  长方体表面积的应用解决问题 典型例题6：体育馆的游泳池长40米，宽22米，深2米。 （1）建造这个游泳池需要挖土多少立方米？ （2）要在游泳池的四壁和底面铺上瓷砖，铺瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）游泳池每周换一次水，每小时注水120立方米，要给游泳池注入1.5米深的水，需要多少小时？ 【分析】（1）要求出需要挖土多少立方米，就是求游泳池的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可； （2）分析题目，根据“要在游泳池的四壁和底面铺上瓷砖”可知铺瓷砖的面积等于长方体的前后面、左右面、下面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：铺瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据列式计算； （3）根据长方体的体积＝长×宽×高求出1.5米深的水有多少立方米，再除以每小时注水的体积即可解答。 变式训练：有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 类型7 正方体表面积的应用解决问题 典型例题7：如图，一个长方体如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。 (1)原长方体的体积是多少？ (2)正方体与长方体相比，表面积增加了多少平方厘米？ 【分析】（1）根据题意，原来长方体的长和宽相等，是6厘米；用6厘米减去2厘米可以算出原来长方体的高是4厘米。长方体的体积＝长×宽×高。 （2）正方体的表面积比长方体的表面积多了4个长6厘米、宽2厘米的长方形的面积之和。 变式训练：正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 类型8 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积）解决问题 典型例题8：有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【分析】本题要求计算长方体切割成小正方体后表面积的增加量。 首先，根据长方体的尺寸和小正方体的棱长，计算可切割的小正方体数量。 其次，计算每个小正方体的表面积和总表面积。然后，计算原长方体表面积。 最后，求差。 据此列式解答即可。 变式训练：把4个完全一样的正方体一字排开，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是540平方厘米。如图，原来一个正方体的表面积是多少平方厘米？ 类型9 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米）解决问题 典型例题9：一个长方体水箱，从里面量得长是30厘米，宽是15厘米，小明将3D打印的模型（如图）放入水箱后（完全浸没，水没有溢出），水深20厘米；当取出模型后，水深16厘米。模型的体积是多少立方分米？（损耗忽略不计） 【分析】根据题意，3D打印的模型的体积＝下降的水的体积。长方体的体积＝长×宽×高。换算以立方分米为单位的数。 变式训练：放纸鸢：在中国南方一带，端午节儿童放纸鸢称为“放殃”。聪聪和爸爸利用端午假期，自制一个长方体纸鸢框架。 （1）如图是聪聪和爸爸拼搭的一个长方体框架，已经拼搭了一部分，还需要（    ）根20厘米长的竹棒，（    ）根35厘米的竹棒和（    ）根25厘米长的竹棒。 （2）如果要给这个长方体纸鸢框的每个面贴上彩色玻璃纸，至少需要多少平方厘米的彩色玻璃纸？（接头处忽略不计） （3）这个长方体纸鸢的体积是多少立方分米？ 类型10 容积单位间的进率与换算（升和毫升）解决问题 典型例题10：一辆货车的油箱长1.2米，宽0.5米，高0.4米。（箱壁厚度忽略不计） （1）这辆货车油箱的容积是多少升？ （2）如果每升汽油7.8元，加满一箱油，需要多少钱？ 【分析】（1）利用长方体的体积公式将油箱的体积计算出来，再利用1立方米＝1000升即可将体积转化为容积； （2）用求出的油箱的容积乘每升的汽油价格7.8元，即可求出加满一箱油的价格。 变式训练：一种调料分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋200毫升，每袋2元；“桶装”每桶3升，每桶24元。 （1）一桶调料相当于几袋的容量？ （2）一个饭店想买9升这种调料，只买一种包装，买哪种比较合算？ 【分析】（1）根据“1升＝1000毫升”将3升换算成毫升，再计算3升里面包含几个200毫升即可。 （2）分别计算两种包装都买9升各需要多少钱，买此种包装的袋数（桶数）×每袋（每桶）需要的钱数＝买这种包装需要的钱数，依此计算并进行比较即可。 类型11  体积与容积单位间的进率及换算解决问题 典型例题11：一个正方体容器的底面积是49平方厘米，这个容器最多能装多少毫升水？ 【分析】正方体的底面积是边长乘边长，已知底面积是49平方厘米，可得出正方体的棱长（因为7×7＝49，所以棱长是7厘米）；然后根据“正方体体积（容积）＝底面积×高”求出正方体容器的容积；最后将体积单位立方厘米换算成毫升（1立方厘米＝1毫升），即可得到容器最多能装的水的量。 变式训练：小敏家汽车的油箱是一个近似的长方体。从里面量长大约是50厘米，宽大约是40厘米，高大约是30厘米。92号无铅汽油每升7.25元。 （1）如果给这个油箱加满92号无铅汽油，带600元够吗？ （2）这辆车每行100千米大约耗油8升，这一箱油能从小敏家开到800千米外的南京吗？ 类型12 长方体的体积解决问题 典型例题12：五年级数学课本长26厘米、宽18.5厘米、厚0.9厘米。它的体积是多少？ 【分析】数学课本为长方体形状，课本体积等于对应长方体体积；根据长方体体积＝长×宽×高可求解。 变式训练：如图，一个长方体如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。 (1)原长方体的体积是多少？ (2)正方体与长方体相比，表面积增加了多少平方厘米？ 类型13 长方体的体积解决问题 典型例题13：把下图所示的长方体木料切割成最大的正方体，正方体的体积是多少立方分米？最多能切成几个这样的正方体？ 【分析】由题意可知，切成的最大的正方体的棱长是5分米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据公式计算出体积；用长方体的长除以5，求出商和余数，商就是最多能切成正方体的个数。 变式训练：往一个棱长为5分米的正方体鱼缸里倒入50升水，再竖直放入一根长方体铁条（水没有溢出且铁条也未完全浸没），这时量得鱼缸水面高度为25厘米，请你算一算，这根长方体铁条的底面积是多少平方分米？ 类型14  体积的等积变形（长方体、正方体）解决问题 典型例题14：一个已盛水长方体容器（容器壁的厚度不计），长8dm、宽5dm、高10dm。小明将一个棱长是4dm的正方体铁块放进容器完全没入水中，这时，容器中的水刚好满。小明再将铁块拿出后，此时容器中水面下降多少分米？ 【分析】正方体铁块的体积就是将铁块拿出后，水降低部分的长方体的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入求出水降低部分的长方体的高即为水面下降的高度。 变式训练：有一块棱长是6厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一块横截面面积是20平方厘米的长方体模具，这个长方体模具的长是多少厘米？ 类型15  立体图形的切拼（长方体、正方体的体积）解决问题 典型例题15：佳慧玩具店新进一批棱长8厘米的正方体积木，为了便于库存管理，店员准备把这些积木存放到长48厘米、宽24厘米、高16厘米的长方体收纳箱里，每个收纳箱最多能存放多少块积木？ 【分析】用长方体收纳箱的长48厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的长能放多少块积木； 用长方体收纳箱的宽24厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的宽能放多少块积木； 用长方体收纳箱的高16厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的高能放多少块积木； 最后用乘法求出这个收纳箱最多能存放多少块积木。 变式训练：如图所示，下面的几何体是由若干个棱长是2厘米的小正方体搭成的，如果想在此基础上搭成一个长方体，至少还需要多少块这样的小正方体？此时这个长方体的体积是多少立方厘米？ 类型16 长方体、正方体的容积解决问题 典型例题16：AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、专业水质监测、智能安全加温、实时查看鱼儿等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。小培家的长方体智能鱼缸长60厘米，宽和高都是45厘米。 (1)鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） (2)已知鱼缸里有86.4升水，水深多少厘米？（鱼缸厚度忽略不计） 【分析】（1）本题考查长方体表面积的实际应用。鱼缸四周贴防爆膜，即求长方体前、后、左、右四个面的面积之和，不包括上、下两个面。已知长、宽、高，分别计算前后面和左右面的面积，相加得到总面积，最后根据进率将平方厘米换算为平方米。 （2）本题考查长方体体积公式的逆运算及容积单位换算。已知水的体积和鱼缸的长、宽，求水深（即水的高度）。首先将水的体积单位升换算为立方厘米，再根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”，用体积除以底面积（长×宽）即可求出水深。 变式训练：爸爸购买了一个长9分米，宽3分米，高4分米的长方体玻璃鱼缸。 (1)做这个鱼缸用了多少玻璃？ (2)这个鱼缸最多能装多少水？（玻璃厚度忽略不计） (3)爸爸加水到3.3分米高后，开始布置鱼缸微景观，底砂、假山石、水草等全部浸入后水面上升了0.2分米，爸爸放入的物品总体积是多少？ 【分析】（1）鱼缸为无盖长方体，需计算5个面的面积（底、前、后、左、右）。 （2）鱼缸容积即长方体的体积，直接应用公式计算。 （3）水面上升高度对应物品排开水的体积，等于物品总体积，利用底面积乘上升高度求解。初始水深3.3分米为干扰信息，不影响计算结果。 类型17 不规则物体的体积算法（长方体、正方体）解决问题 典型例题17：一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 【分析】根据题意，这块铁块的体积是水深从2.8分米到4分米的这部分水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高计算。 变式训练：如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 1．方形雨水管横截面是4分米的正方形，每一节雨水管长2米，做25节这样的雨水管至少需要多少平方米的铁皮？ 2．一间教室的长8米，宽6.5米，高4米，要粉刷教室的四壁和顶部，扣除门窗的面积22平方米，每平方米需用0.5千克的白灰，粉刷这间教室要用多少千克的白灰？ 3．一个长方体游泳池，长50米，宽30米，高4米，如果水深3米，蓄水的体积是多少立方米？ 4．用一根长24分米的铝丝做一个长3分米，宽2分米的长方体框架，做成的长方体框架的高是多少分米？ 5．一个长方体容器，长是30厘米，宽是12厘米，高是8厘米，里面装有4厘米深的水，现将一块石头浸没水中，水面升高到6厘米的位置，这块石头的体积是多少立方厘米？ 6．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 7．一块长20厘米，宽16厘米的长方形铁皮，从它的4个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 8．把一块石头浸没在一个长4分米、宽3分米的长方体容器中，水面高度由38厘米上升到43厘米，这块石头的体积是多少立方分米？ 9．学校舞蹈教室长9米，宽6米，高3米，门窗总面积是12.5平方米，现在要粉刷它的天花板和四壁。如果每平方米需用涂料0.6千克，那么粉刷这样一间舞蹈教室要多少千克涂料？ 10．做一个长5分米、宽3分米、高1.5分米的抽屉（如图，木板的厚度忽略不计）。 （1）需要多少平方分米的木板？ （2）抽屉的容积为多少立方分米？ 11．一个用硬纸板做成的长方体影集封套，长30厘米，宽24厘米，高5厘米，封套的左面不封口（如图）。做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（只列式不计算） 12．如图，一个长方体玻璃缸中水深5分米，将一块棱长是6分米的正方体铁块投入水中，玻璃缸里的水会溢出多少立方分米？ 13．李师傅要做一个无盖的长方体铁皮水槽，用来给蔬菜浇水。水槽从内部量，长1.2米、宽0.5米、高0.4米（铁皮厚度忽略）。 （1）这个水槽最多能装多少升水？ （2）若每平方米铁皮售价120元，李师傅买铁皮要花多少钱？ 14．某市的一座小游园正在紧锣密鼓地建设中。按照规划图纸，工人叔叔需要在园内挖一个长5.2米、宽28分米、深2.4米的长方体景观水池。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在水池的四壁和底面贴上长4分米、宽2分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 15．学校要开设游泳课程，修建一个长25米、宽8米、高2.5米的游泳池。 (1)要在游泳池四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (2)用一台每分钟注水2立方米的水泵向水池内注水，多长时间后水深可以达到1.5米？ 16．一个教室长10米、宽7米、高3.5米，黑板及门窗面积24平方米，要粉刷四壁和顶棚（地面不刷），粉刷面积是多少？ 17．学校计划将一间长8米，宽6米，高4米房间改造成智慧教室。工人师傅要粉刷教室的屋顶和四面墙壁（除去门窗和黑板的面积29.6平方米），粉刷面积是多少平方米？如果平均每平方米用0.3千克涂料，至少需要多少千克涂料？ 18．江津是中国知名的花椒之乡，某农户准备了一个长方体礼盒，装独立小盒包装的花椒。礼盒从里面量长40厘米、宽12厘米、高6厘米，每小盒花椒的包装是长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，最多可以放多少盒？ 19．一块长16厘米、宽8厘米的长方形纸板，四角各截去一个边长是2厘米的正方形，把剩下的折成一个盒子，求这个盒子的容积。 20．店铺升级时，工人要给一个无盖正方体木箱的外表刷漆，这个木箱的棱长是1.2米，若每平方米需要0.3千克油漆，至少需要多少千克油漆？ 21．一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 22．佳慧玩具店新进一批棱长8厘米的正方体积木，为了便于库存管理，店员准备把这些积木存放到长48厘米、宽24厘米、高16厘米的长方体收纳箱里，每个收纳箱最多能存放多少块积木？ 23．手工课上，同学们利用一张长方形硬纸板制作无盖文具收纳盒。长方形纸板长32厘米，宽22厘米，从纸板的四个角分别裁去1个边长为4厘米的正方形，剩余部分正好可以拼接粘成一个无盖收纳盒（纸板厚度忽略不计）。 (1)制作这个收纳盒实际使用了多少硬纸板？ (2)这个收纳盒的容积有多大？ 24．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 25．爸爸购买了一个长9分米，宽3分米，高4分米的长方体玻璃鱼缸。 (1)做这个鱼缸用了多少玻璃？ (2)这个鱼缸最多能装多少水？（玻璃厚度忽略不计） (3)爸爸加水到3.3分米高后，开始布置鱼缸微景观，底砂、假山石、水草等全部浸入后水面上升了0.2分米，爸爸放入的物品总体积是多少？ 26．为了迎接夏季开放，某中学新建了一个游泳池。该游泳池内部尺寸为：长50米、宽25米、深2米，现在需要完成以下三项工作。 (1)装修工作。施工队需要为游泳池的底面和四周侧壁贴满防水瓷砖。贴瓷砖的总面积是多少平方米？ (2)安全注水。根据安全规定，游泳池日常使用时，水深不得超过1.2米。若按此最大安全水深注水，需要向池中注水多少立方米？ (3)定期换水。每月换水时，需将游泳池里的水全部抽至附近一个内部棱长是15米的正方体蓄水池中。蓄水池内已经存有深为1米的水。现将第（2）问中相应体积的水全部抽入该蓄水池，蓄水池内的水深将达到多少米？（结果用分数表示） 27．AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、专业水质监测、智能安全加温、实时查看鱼儿等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。小培家的长方体智能鱼缸长60厘米，宽和高都是45厘米。 (1)鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） (2)已知鱼缸里有86.4升水，水深多少厘米？（鱼缸厚度忽略不计） 28．如图所示，下面的几何体是由若干个棱长是2厘米的小正方体搭成的，如果想在此基础上搭成一个长方体，至少还需要多少块这样的小正方体？此时这个长方体的体积是多少立方厘米？ 29．李叔叔想要制作一个长方体的玻璃容器，下图是这个玻璃容器的展开图。 (1)制作这个玻璃容器需要多少平方分米玻璃？（玻璃厚度忽略不计） (2)制作完成后往容器里注水，将B面作为底面放在水平桌面上，水面高是1.2分米，如果将A面作为底面放在水平桌面上，水面高多少分米？ 30．在一次我是班级小主人主题班会活动中，五（1）班的学生用边长是18厘米的正方形铁皮为班级制作无盖的收纳盒，下面是三个同学制作的过程及计算出的收纳盒的容积。 李林同学看了上面三个同学的作品，提出一个大胆的猜想：在正方形铁皮的四个角上剪去的正方形的边越长，折成的无盖盒子的容积就越大。你认为李林的猜想正确吗？请说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体和正方体 一、通用解题核心步骤 1. 审题定类型：读题先判断题型是求棱长、表面积还是体积。重点观察关键词：框架、铁丝对应棱长；贴膜、粉刷、包装对应表面积；占用空间、容积、装东西对应体积。 2. 找准长宽高：严格对应长方体长、宽、高数据，正方体棱长统一，单位不统一必须先统一单位再计算。 3. 判断面数、是否含盖：表面积问题是高频易错点，根据生活场景判断是6面、5面或4面，不盲目套公式。 4. 公式代入验算：熟练套用公式，计算后核对单位，面积用平方单位，体积用立方单位，杜绝单位混用。 二、高频题型解题技巧 1. 棱长总和问题：长方体棱长总和=（长+宽+高）×4，正方体棱长总和=棱长×12。已知棱长总和反求棱长，用除法逆推，常用于框架制作、铁丝围图形题目。 2. 表面积实际应用：完整物体用6个面总面积；鱼缸、无盖水箱、游泳池只算5个面；通风管、烟囱、柱子只求4个侧面积。粉刷墙壁题目记得扣除门窗空白面积，避免多算。 3. 体积与容积问题：体积是物体外部所占空间大小，容积是内部可容纳空间大小。常规题目直接套用公式：长方体体积=长×宽×高，正方体体积=棱长×棱长×棱长，通用公式：底面积×高。 4. 浸水、拼切变化问题：物体完全浸没，上升水的体积=物体体积；切割立体图形，每切一次增加两个切面面积；拼接图形每拼一次减少两个贴合面面积。 四、长方形与正方形相同点与不同点 类型1 长方体有关棱长的应用解决问题 典型例题1：图图妈妈的生日马上到了，图图特意给妈妈挑选了礼物（如图），给下面礼品盒捆丝带，打结处需35厘米，一共要多长丝带？ 【答案】215厘米 【分析】这道题需结合图中礼品盒上捆丝带的方法，数出长、宽、高各自的条数：长有2条，宽有2条，高有4条，结合长20厘米、宽20厘米、高25厘米，分别计算2条长、2条宽、4条高的长度后再求和，最后再加上打结处的长度即可，据此解答。 【详解】根据分析： 2条长：（厘米） 2条宽：（厘米） 4条高：（厘米） 丝带长： （厘米） 答：一共要215厘米长的丝带。 变式训练：用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽8厘米的长方体框架，那么它的高应该是多少厘米？（焊接处长度忽略不计） 【答案】6厘米 【分析】正方体有12条棱，用棱长8厘米乘12求出正方体框架的总长，再除以4求出长方体框架的长、宽、高的和，再减去长与宽的和就得到长方体框架的高。 【详解】8×12＝96（厘米）   96÷4＝24（厘米）   24－（10＋8） ＝24－18 ＝6（厘米） 答：它的高应该是6厘米。 类型2 正方体的特征 正解决问题 典型例题2：1．把一根铁丝焊成一个长方体框架，长8米，宽6米，高4米，如果把它焊成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少米？ 【答案】6米 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出这个长方体的棱长总和，也就是铁丝的长度；焊成一个正方体，正方体的棱长总和等于长方体棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【详解】（8＋6＋4）×4÷12 ＝（14＋4）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝72÷12 ＝6（米） 答：正方体框架的棱长是6米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式、正方体棱长总和公式是解答本题的关键。 变式训练：把两个棱长都是5厘米的小正方体拼成一个长方体，那么拼成的长方体的棱长和是多少？ 【答案】80厘米 【分析】根据题意，把两个棱长都是5厘米的小正方体拼成一个长方体，那么拼成的长方体的长是（5×2）厘米，宽是5厘米，高是5厘米；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 【详解】长：5×2＝10（厘米） （10＋5＋5）×4 ＝20×4 ＝80（厘米） 答：拼成的长方体的棱长和是80厘米。 类型3 长方体有关棱长的应用解决问题 典型例题3：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长是4cm、宽是3cm、高是5cm。 （1）正方体的棱长是多少厘米？ （2）正方体的表面积是多少平方厘米？ （3）正方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）4厘米； （2）96平方厘米； （3）64立方厘米 【分析】（1）长方体的棱长＝（长＋宽＋高）×4代入数据求出长方体的棱长也就是正方体的棱长总和，再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，求出正方体棱长； （2）将数据代入正方体表面积公式：S＝6a2，计算即可； （3）将数据代入正方体体积公式：V＝a3，计算即可。 【详解】（1）（4＋3＋5）×4÷12 ＝12×4÷12 ＝4（厘米） 答：正方体的棱长是4厘米。 （2）4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 答：正方体的表面积是96平方厘米。 （3）4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 答：正方体的体积是64立方厘米。 【点睛】本题主要考查正方体棱长总和、表面积、体积公式的灵活应用，求出正方体的棱长是解题的关键。 变式训练：把一根铁丝焊成一个长方体框架，长8米，宽6米，高4米，如果把它焊成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少米？ 【答案】6米 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出这个长方体的棱长总和，也就是铁丝的长度；焊成一个正方体，正方体的棱长总和等于长方体棱长总和，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，即可解答。 【详解】（8＋6＋4）×4÷12 ＝（14＋4）×4÷12 ＝18×4÷12 ＝72÷12 ＝6（米） 答：正方体框架的棱长是6米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式、正方体棱长总和公式是解答本题的关键。 类型4 长方体的展开图解决问题 典型例题4：一个长方体，底面是一个边长为2分米的正方形，它的侧面展开图也是一个正方形，这个长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】32立方分米 【分析】由题意可知，长方体的侧面展开图也是一个正方形，则该长方体的底面周长等于长方体的高，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。 【详解】2×2×（2×4） ＝4×8 ＝32（立方分米） 答：这个长方体的体积是32立方分米。 【点睛】本题考查长方体的体积，明确该长方体的底面周长等于长方体的高是解题的关键。 变式训练：下图是一个长方体纸箱的展开图。做这样一个纸箱，至少需要多少平方分米纸板？ 【答案】158平方分米 【分析】由长方体的展开图可知，从同一个顶点引出的三条棱分别是80cm、50cm、30cm，由此计算出长方体表面积，并把单位转化为平方分米。 【详解】（30×50＋30×80＋50×80）×2÷100 ＝（1500＋2400＋4000）×2÷100 ＝7900×2÷100 ＝15800÷100 ＝158（平方分米） 答：至少需要158平方分米纸板。 【点睛】掌握长方体的表面积计算公式是解答本题的关键。 类型5   长方体表面积的计算解决问题 典型例题5：佳佳用3D打印机打印了一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的塑料材质的长方体。 (1)给这个长方体的表面涂上颜色，涂色面积是多少平方厘米？ (2)如果将这样的两个长方体拼成一个较大的长方体，这个较大的长方体的表面积最小是多少平方厘米？ 【答案】(1)184平方厘米 (2)288平方厘米 【分析】（1）求涂色面积即求长方体的表面积：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝长方体表面积； （2）要使拼成的长方体表面积最小，应该将两个最大面进行拼接，即大长方体的表面积比原来两个小长方体的表面积总和减少了两个最大的面的面积。 【详解】（1）（8×5＋4×5＋8×4）×2 ＝（40＋20＋32）×2 ＝92×2 ＝184（平方厘米） 答：涂色面积是184平方厘米。 （2）原长方体的最大面的面积：8×5＝40（平方厘米） 184×2－40×2 ＝368－80 ＝288（平方厘米） 答：这个较大的长方体的表面积最小是288平方厘米。 变式训练：一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了24平方厘米、16平方厘米、12平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】52平方厘米 【分析】表面积分别增加了24平方厘米（即为两个前面的面积）、16平方厘米（即为两个上面面积）、12平方厘米（即为两个侧面面积），长方体相对的面面积相等，增加的面积和就是原来长方体的表面积，由此求出长方体的表面积。 【详解】16＋24＋12＝52（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是52平方厘米。 类型6  长方体表面积的应用解决问题 典型例题6：体育馆的游泳池长40米，宽22米，深2米。 （1）建造这个游泳池需要挖土多少立方米？ （2）要在游泳池的四壁和底面铺上瓷砖，铺瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）游泳池每周换一次水，每小时注水120立方米，要给游泳池注入1.5米深的水，需要多少小时？ 【答案】（1）1760立方米； （2）1128平方米； （3）11小时 【分析】（1）要求出需要挖土多少立方米，就是求游泳池的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可； （2）分析题目，根据“要在游泳池的四壁和底面铺上瓷砖”可知铺瓷砖的面积等于长方体的前后面、左右面、下面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：铺瓷砖的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此代入数据列式计算； （3）根据长方体的体积＝长×宽×高求出1.5米深的水有多少立方米，再除以每小时注水的体积即可解答。 【详解】（1）40×22×2 ＝880×2 ＝1760（立方米） 答：建造这个游泳池需要挖土1760立方米。 （2）40×22＋40×2×2＋22×2×2 ＝880＋80×2＋44×2 ＝880＋160＋88 ＝1128（平方米） 答：要在游泳池的四壁和底面铺上瓷砖，铺瓷砖部分的面积是1128平方米。 （3）40×22×1.5÷120 ＝880×1.5÷120 ＝1320÷120 ＝11（时） 答：要给游泳池注入1.5米深的水，需要11小时。 变式训练：有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】1064平方厘米 【分析】本题要求计算长方体切割成小正方体后表面积的增加量。 首先，根据长方体的尺寸和小正方体的棱长，计算可切割的小正方体数量。 其次，计算每个小正方体的表面积和总表面积。然后，计算原长方体表面积。 最后，求差。 据此列式解答即可。 【详解】计算小正方体的数量： 长方向：10 ÷ 2 ＝ 5（个） 宽方向：8 ÷ 2 ＝ 4（个） 高方向：6 ÷ 2 ＝ 3（个） 小正方体总数：5 × 4 × 3 ＝20×3 ＝ 60（个） 计算每个小正方体的表面积： （平方厘米） 计算所有小正方体的总表面积： （平方厘米） 计算原长方体的表面积： （平方厘米） 计算增加的表面积： （平方厘米） 答：这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了1064平方厘米。 【点睛】增加的原因是切割后内部面暴露，增加了表面积。 切1次增2个面，小正方体总表面积减原长方体表面积，即得增量。 类型7 正方体表面积的应用解决问题 典型例题7：如图，一个长方体如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。 (1)原长方体的体积是多少？ (2)正方体与长方体相比，表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】(1)144立方厘米 (2)48平方厘米 【分析】（1）根据题意，原来长方体的长和宽相等，是6厘米；用6厘米减去2厘米可以算出原来长方体的高是4厘米。长方体的体积＝长×宽×高。 （2）正方体的表面积比长方体的表面积多了4个长6厘米、宽2厘米的长方形的面积之和。 【详解】（1）6×6×（6－2） ＝6×6×4 ＝144（立方厘米） 答：原来长方体的体积是144立方厘米。 （2）6×2×4＝48（平方厘米） 答：表面积增加了48平方厘米。 变式训练：正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】20平方分米 【分析】用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，即这个正方体框架的棱长是24÷12＝2分米。用卡纸将5个面包起来，因为正方体每个面的面积都相同，正方体一个面的面积为：棱长×棱长，即2×2＝4平方分米，那么5个面的面积为4×5＝20平方分米，所以需要20平方分米的卡纸。 【详解】24÷12＝2（分米） 2×2×5＝20（平方分米） 答：做这个正方体灯笼（无底）至少需要20平方分米的卡纸。 类型8 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积）解决问题 典型例题8：有一个长方体木块，长是10cm，宽是8cm，高是6cm，把它切割成棱长是2cm的小正方体，这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】 1064平方厘米 【分析】本题要求计算长方体切割成小正方体后表面积的增加量。 首先，根据长方体的尺寸和小正方体的棱长，计算可切割的小正方体数量。 其次，计算每个小正方体的表面积和总表面积。然后，计算原长方体表面积。 最后，求差。 据此列式解答即可。 【详解】计算小正方体的数量： 长方向：10 ÷ 2 ＝ 5（个） 宽方向：8 ÷ 2 ＝ 4（个） 高方向：6 ÷ 2 ＝ 3（个） 小正方体总数：5 × 4 × 3 ＝20×3 ＝ 60（个） 计算每个小正方体的表面积： （平方厘米） 计算所有小正方体的总表面积： （平方厘米） 计算原长方体的表面积： （平方厘米） 计算增加的表面积： （平方厘米） 答：这些小正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了1064平方厘米。 【点睛】增加的原因是切割后内部面暴露，增加了表面积。 切1次增2个面，小正方体总表面积减原长方体表面积，即得增量。 变式训练：把4个完全一样的正方体一字排开，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是540平方厘米。如图，原来一个正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】180平方厘米 【分析】观察图形可知，拼成的长方体的表面积比4个小正方体的表面积之和减少了2×（4－1）＝6个小正方形的面。一个小正方体有6个面，那么4个小正方体一共有4×6＝24个小正方形的面。所以拼成的长方体的表面积相当于小正方形的面的数量为24－6＝18个。已知拼成的长方体的表面积是540平方厘米，由步骤一可知该长方体的表面积相当于18个小正方形的面的面积。那么小正方形一个面的面积为540÷18＝30平方厘米。因为一个正方体有6个面，且这6个面都是完全一样的小正方形，已知小正方形一个面的面积是30平方厘米。所以一个正方体的表面积为30×6＝180平方厘米。 【详解】6×4－2×（4－1）＝18（个） 540÷18＝30（平方厘米） 30×6＝180（平方厘米） 答：原来一个正方体的表面积是180平方厘米。 类型9 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米）解决问题 典型例题9：一个长方体水箱，从里面量得长是30厘米，宽是15厘米，小明将3D打印的模型（如图）放入水箱后（完全浸没，水没有溢出），水深20厘米；当取出模型后，水深16厘米。模型的体积是多少立方分米？（损耗忽略不计） 【答案】1.8立方分米 【分析】根据题意，3D打印的模型的体积＝下降的水的体积。长方体的体积＝长×宽×高。换算以立方分米为单位的数。 【详解】30×15×（20－16） ＝450×4 ＝1800（立方厘米） 1800立方厘米＝1.8立方分米 答：模型的体积是1.8立方分米。 变式训练：放纸鸢：在中国南方一带，端午节儿童放纸鸢称为“放殃”。聪聪和爸爸利用端午假期，自制一个长方体纸鸢框架。 （1）如图是聪聪和爸爸拼搭的一个长方体框架，已经拼搭了一部分，还需要（    ）根20厘米长的竹棒，（    ）根35厘米的竹棒和（    ）根25厘米长的竹棒。 （2）如果要给这个长方体纸鸢框的每个面贴上彩色玻璃纸，至少需要多少平方厘米的彩色玻璃纸？（接头处忽略不计） （3）这个长方体纸鸢的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）3；3；2 （2）4150平方厘米 （3）17.5立方分米 【分析】（1）根据长方体的特征可知，长方体有12条棱，长、宽、高各有4条。从图中可知，20厘米、35厘米、25厘米长的竹棒分别有1根、1根、2根，进而得出还需竹棒的根数。 （2）要给这个长方体纸鸢框的每个面贴上彩色玻璃纸，求至少需要彩色玻璃纸的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求解。 （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个长方体纸鸢的体积，然后根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位即可。 【详解】（1）20厘米的竹棒还需：4－1＝3（根） 35厘米的竹棒还需：4－1＝3（根） 25厘米的竹棒还需：4－2＝2（根） 如图是聪聪和爸爸拼搭的一个长方体框架，已经拼搭了一部分，还需要（3）根20厘米长的竹棒，（3）根35厘米的竹棒和（2）根25厘米长的竹棒。 （2）（25×20＋25×35＋20×35）×2 ＝（500＋875＋700）×2 ＝2075×2 ＝4150（平方厘米） 答：至少需要4150平方厘米的彩色玻璃纸。 （3）25×20×35 ＝500×35 ＝17500（立方厘米） 17500立方厘米＝17.5立方分米 答：这个长方体纸鸢的体积是17.5立方分米。 类型10 容积单位间的进率与换算（升和毫升）解决问题 典型例题10：一辆货车的油箱长1.2米，宽0.5米，高0.4米。（箱壁厚度忽略不计） （1）这辆货车油箱的容积是多少升？ （2）如果每升汽油7.8元，加满一箱油，需要多少钱？ 【答案】（1）240升； （2）1872元 【分析】（1）利用长方体的体积公式将油箱的体积计算出来，再利用1立方米＝1000升即可将体积转化为容积； （2）用求出的油箱的容积乘每升的汽油价格7.8元，即可求出加满一箱油的价格。 【详解】（1）1.2×0.5×0.4 ＝0.6×0.4 ＝0.24（立方米） 0.24×1000＝240（升） 答：这辆货车油箱的容积是240升。 （2）240×7.8＝1872（元） 答：加满一箱油，需要1872元。 变式训练：一种调料分“桶装”和“袋装”两种不同的包装，“袋装”每袋200毫升，每袋2元；“桶装”每桶3升，每桶24元。 （1）一桶调料相当于几袋的容量？ （2）一个饭店想买9升这种调料，只买一种包装，买哪种比较合算？ 【答案】（1）15袋；（2）买桶装的 【分析】（1）根据“1升＝1000毫升”将3升换算成毫升，再计算3升里面包含几个200毫升即可。 （2）分别计算两种包装都买9升各需要多少钱，买此种包装的袋数（桶数）×每袋（每桶）需要的钱数＝买这种包装需要的钱数，依此计算并进行比较即可。 【详解】（1）3升＝3000毫升 5袋200毫升是1000毫升，3000毫升是3个1000毫升 5×3＝15（袋） 答：一桶调料相当于15袋的容量。 （2）按袋数买： 9升＝9000毫升 9000毫升是9个1000毫升，则需要买200毫升的袋数：5×9＝45（袋） 45×2＝90（元） 按桶数买：3个3升是9升，则9升需要买3桶； 3×24＝72（元） 72＜90 答：买桶装的比较合算。 类型11  体积与容积单位间的进率及换算解决问题 典型例题11：一个正方体容器的底面积是49平方厘米，这个容器最多能装多少毫升水？ 【答案】 343毫升 【分析】正方体的底面积是边长乘边长，已知底面积是49平方厘米，可得出正方体的棱长（因为7×7＝49，所以棱长是7厘米）；然后根据“正方体体积（容积）＝底面积×高”求出正方体容器的容积；最后将体积单位立方厘米换算成毫升（1立方厘米＝1毫升），即可得到容器最多能装的水的量。 【详解】7×7＝49（平方厘米） 49×7＝343（立方厘米） 343立方厘米＝343毫升 答：这个容器最多能装343毫升水。 变式训练：小敏家汽车的油箱是一个近似的长方体。从里面量长大约是50厘米，宽大约是40厘米，高大约是30厘米。92号无铅汽油每升7.25元。 （1）如果给这个油箱加满92号无铅汽油，带600元够吗？ （2）这辆车每行100千米大约耗油8升，这一箱油能从小敏家开到800千米外的南京吗？ 【答案】（1）够用 （2）不能 【分析】（1）用长×宽×高算出油箱的容积，根据1000立方厘米＝1升进行单位换算，再乘无铅汽油每升的价格可知加满需要多少钱，与600元比较可知够不够； （2）每行100千米大约耗油8升，用800千米除以100千米可算出800千米里有几个100千米，再乘8可算出需要消耗多少升油，与油箱容积比较可知能不能。 【详解】（1）50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） ＝60（升） 7.25×60＝435（元） 600＞435 答：带的钱够用。 （2）8×（800÷100）＝64（升） 64＞60 答：这一箱油不能从小敏家开到南京。 类型12 长方体的体积解决问题 典型例题12：五年级数学课本长26厘米、宽18.5厘米、厚0.9厘米。它的体积是多少？ 【答案】432.9立方厘米 【分析】数学课本为长方体形状，课本体积等于对应长方体体积；根据长方体体积＝长×宽×高可求解。 【详解】26×18.5×0.9＝432.9（立方厘米） 答：它的体积是432.9立方厘米。 变式训练：如图，一个长方体如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。 (1)原长方体的体积是多少？ (2)正方体与长方体相比，表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】(1)144立方厘米 (2)48平方厘米 【分析】（1）根据题意，原来长方体的长和宽相等，是6厘米；用6厘米减去2厘米可以算出原来长方体的高是4厘米。长方体的体积＝长×宽×高。 （2）正方体的表面积比长方体的表面积多了4个长6厘米、宽2厘米的长方形的面积之和。 【详解】（1）6×6×（6－2） ＝6×6×4 ＝144（立方厘米） 答：原来长方体的体积是144立方厘米。 （2）6×2×4＝48（平方厘米） 答：表面积增加了48平方厘米。 类型13 长方体的体积解决问题 典型例题13：把下图所示的长方体木料切割成最大的正方体，正方体的体积是多少立方分米？最多能切成几个这样的正方体？ 【答案】125立方分米；20个 【分析】由题意可知，切成的最大的正方体的棱长是5分米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，根据公式计算出体积；用长方体的长除以5，求出商和余数，商就是最多能切成正方体的个数。 【详解】5×5×5＝125（立方分米） 10.3米＝103分米 103÷5＝20（个）⋯⋯3（分米） 答：正方体的体积是125立方分米，最多能切成20个这样的正方体。 变式训练：往一个棱长为5分米的正方体鱼缸里倒入50升水，再竖直放入一根长方体铁条（水没有溢出且铁条也未完全浸没），这时量得鱼缸水面高度为25厘米，请你算一算，这根长方体铁条的底面积是多少平方分米？ 【答案】5平方分米 【分析】先求出放入铁条后一共的体积，再减去原来水的体积，得出水面上升的体积也就是放入水中的铁条的体积，再除以浸在水中铁条的高也就是水的高度，就得铁条底面积。 【详解】25厘米＝2.5分米，50升＝50立方分米 （5×5×2.5－50）÷2.5 ＝（62.5－50）÷2.5 ＝12.5÷2.5 ＝5（平方分米） 答：这根长方体铁条的底面积是5平方分米。 【点睛】解答此题关键是明确水面上升的体积就是放入水中的铁条的体积。 类型14  体积的等积变形（长方体、正方体）解决问题 典型例题14：一个已盛水长方体容器（容器壁的厚度不计），长8dm、宽5dm、高10dm。小明将一个棱长是4dm的正方体铁块放进容器完全没入水中，这时，容器中的水刚好满。小明再将铁块拿出后，此时容器中水面下降多少分米？ 【答案】1.6分米 【分析】正方体铁块的体积就是将铁块拿出后，水降低部分的长方体的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入求出水降低部分的长方体的高即为水面下降的高度。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 64÷8÷5＝1.6（分米） 答：此时容器中水面下降1.6分米。 变式训练：有一块棱长是6厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一块横截面面积是20平方厘米的长方体模具，这个长方体模具的长是多少厘米？ 【答案】10.8厘米 【分析】先根据正方体的体积＝（a为正方体棱长）求出正方体铁块的体积； 长方体模具体积与正方体体积相同，长方体底面积已知，根据长方体的体积＝底面积×高即可求长方体的长。 【详解】6×6×6÷20＝10.8（厘米） 答：这个长方体模具的长是10.8厘米。 类型15  立体图形的切拼（长方体、正方体的体积）解决问题 典型例题15：佳慧玩具店新进一批棱长8厘米的正方体积木，为了便于库存管理，店员准备把这些积木存放到长48厘米、宽24厘米、高16厘米的长方体收纳箱里，每个收纳箱最多能存放多少块积木？ 【答案】36块 【分析】用长方体收纳箱的长48厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的长能放多少块积木； 用长方体收纳箱的宽24厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的宽能放多少块积木； 用长方体收纳箱的高16厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的高能放多少块积木； 最后用乘法求出这个收纳箱最多能存放多少块积木。 【详解】（48÷8）×（24÷8）×（16÷8）＝36（块） 答：每个收纳箱最多能存放36块积木。 变式训练：如图所示，下面的几何体是由若干个棱长是2厘米的小正方体搭成的，如果想在此基础上搭成一个长方体，至少还需要多少块这样的小正方体？此时这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】11块；192立方厘米 【分析】这个几何体下面一层有4排，每排有3个小正方体，这个几何体有2层。搭成的长方体最少有2层，每层4排，每排3个小正方体，一共有（4×3×2）个小正方体。可以数出几何体中有13个小正方体，搭成的长方体中小正方体个数减去原来几何体中小正方体的个数，即可算出至少还需要多少块这样的小正方体。 小正方体的棱长是2厘米，搭成的长方体的长是（2×3＝6）厘米，宽是（4×2＝8）厘米，高是（2×2＝4）厘米。长方体体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【详解】3×4×2＝24（块） 24－13＝11（块） 2×3＝6（厘米） 2×4＝8（厘米） 2×2＝4（厘米） 6×8×4＝192（立方厘米） 答：至少还需要11块这样的小正方体。此时这个长方体的体积是192立方厘米。 类型16 长方体、正方体的容积解决问题 典型例题16：AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、专业水质监测、智能安全加温、实时查看鱼儿等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。小培家的长方体智能鱼缸长60厘米，宽和高都是45厘米。 (1)鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） (2)已知鱼缸里有86.4升水，水深多少厘米？（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】(1)0.945 平方米 (2)32 厘米 【分析】（1）本题考查长方体表面积的实际应用。鱼缸四周贴防爆膜，即求长方体前、后、左、右四个面的面积之和，不包括上、下两个面。已知长、宽、高，分别计算前后面和左右面的面积，相加得到总面积，最后根据进率将平方厘米换算为平方米。 （2）本题考查长方体体积公式的逆运算及容积单位换算。已知水的体积和鱼缸的长、宽，求水深（即水的高度）。首先将水的体积单位升换算为立方厘米，再根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”，用体积除以底面积（长×宽）即可求出水深。 【详解】（1）前、后面面积： （平方厘米） 左、右面面积： （平方厘米） 四周总面积：（平方厘米）单位换算：平方厘米平方米 答：一共需要贴 0.945 平方米的防爆膜。 （2）体积单位换算： 立方厘米 鱼缸底面积：（平方厘米） 水深：（厘米） 答：水深32厘米。 变式训练：爸爸购买了一个长9分米，宽3分米，高4分米的长方体玻璃鱼缸。 (1)做这个鱼缸用了多少玻璃？ (2)这个鱼缸最多能装多少水？（玻璃厚度忽略不计） (3)爸爸加水到3.3分米高后，开始布置鱼缸微景观，底砂、假山石、水草等全部浸入后水面上升了0.2分米，爸爸放入的物品总体积是多少？ 【答案】(1)123平方分米 (2)108立方分米 (3)5.4立方分米 【分析】（1）鱼缸为无盖长方体，需计算5个面的面积（底、前、后、左、右）。 （2）鱼缸容积即长方体的体积，直接应用公式计算。 （3）水面上升高度对应物品排开水的体积，等于物品总体积，利用底面积乘上升高度求解。初始水深3.3分米为干扰信息，不影响计算结果。 【详解】（1）（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：做这个鱼缸用了123平方分米的玻璃。 （2）（立方分米） 答：这个鱼缸最多能装108立方分米的水。 （3）（立方分米） 答：爸爸放入的物品总体积是5.4立方分米。 类型17 不规则物体的体积算法（长方体、正方体）解决问题 典型例题17：一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，这块铁块的体积是水深从2.8分米到4分米的这部分水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高计算。 【详解】8×5×（4－2.8）＝48（立方分米） 答：这块铁块的体积是48立方分米。 变式训练：如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】首先观察题目中的图形和条件：长方体水槽的长为10厘米、宽为8厘米，放入铁块后水面从8厘米上升到9.5厘米；铁块是长5厘米、宽4厘米的长方体。 思考过程：要计算铁块的高，需先确定铁块的体积——根据“排水法”，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积（因为水槽是封闭的长方体容器，水面上升的空间体积就是铁块占据的体积）。 接下来，先计算水面上升的高度，再用“水槽底面积×水面上升高度”算出上升水的体积（即铁块体积），最后利用“长方体体积＝长×宽×高”的公式，变形得到“高＝体积÷（长×宽）”，代入铁块的长和宽即可求出高。 【详解】水面上升的高度：9.5－8＝1.5（厘米） 水槽的底面积：10×8＝80（平方厘米） 上升水的体积：80×1.5＝120（立方厘米） 铁块的底面积：5×4＝20（平方厘米） 铁块的高：120÷20＝6（厘米） 答：这个铁块的高是6厘米。 1．方形雨水管横截面是4分米的正方形，每一节雨水管长2米，做25节这样的雨水管至少需要多少平方米的铁皮？ 【答案】80平方米 【分析】要求雨水管需要铁皮的面积，也就是求雨水管的侧面积，则直接用（雨水管的长×高＋宽×高）×2，求出一节雨水管的面积，用一节雨水管的面积乘上25，即可求出25节这样的雨水管需要的面积。 【详解】4分米＝0.4米 （0.4×2＋0.4×2）×2×25 ＝1.6×2×25 ＝3.2×25 ＝80（平方米） 答：做25节这样的雨水管至少需要80平方米的铁皮。 2．一间教室的长8米，宽6.5米，高4米，要粉刷教室的四壁和顶部，扣除门窗的面积22平方米，每平方米需用0.5千克的白灰，粉刷这间教室要用多少千克的白灰？ 【答案】73千克 【分析】把教室的内空间看成一个长方体，实际是求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需用的白灰质量就可求出粉刷这间教室要用多少千克的白灰。 【详解】（8×6.5＋8×4×2＋6.5×4×2－22）×0.5 ＝（52＋64＋52－22）×0.5 ＝146×0.5 ＝73（千克） 答：粉刷这间教室要用73千克的白灰。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 3．一个长方体游泳池，长50米，宽30米，高4米，如果水深3米，蓄水的体积是多少立方米？ 【答案】4500立方米 【分析】一个长方体游泳池，长50米，宽30米，水深3米，根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出蓄水的体积。 【详解】50×30×3 ＝1500×3 ＝4500（立方米） 答：蓄水的体积是4500立方米。 4．用一根长24分米的铝丝做一个长3分米，宽2分米的长方体框架，做成的长方体框架的高是多少分米？ 【答案】 1分米 【分析】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等。长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4求出长、宽、高的和，然后减去长和宽即可求出高。 【详解】 （分米） 答：长方体框架的高是1分米。 5．一个长方体容器，长是30厘米，宽是12厘米，高是8厘米，里面装有4厘米深的水，现将一块石头浸没水中，水面升高到6厘米的位置，这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】 720立方厘米 【分析】往盛水的容器里放入一个石头后，水面升高了，升高了的水的体积就是这石头的体积，升高的部分是一个长30厘米，宽12厘米，高2厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是720立方厘米。 6．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 【答案】 升 【分析】首先比较铁块的高度与玻璃缸的高度，确定铁块浸入水中的高度。因为铁块棱长为分米，玻璃缸高为分米，，所以铁块浸入水中的体积即为正方体铁块的体积。玻璃缸内无水部分是一个长分米、宽分米、高分米的长方体。分别计算出铁块体积和无水部分体积，相减即可求出溢出水的体积。注意单位换算：立方分米升。 【详解】 （立方分米） （立方分米） （立方分米） 立方分米升 答：缸里的水会溢出升。 7．一块长20厘米，宽16厘米的长方形铁皮，从它的4个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】420立方厘米 【分析】看图可知，长方体铁盒的长＝长方形的长－正方形边长×2，长方体铁盒的宽＝长方形的宽－正方形边长×2，长方体铁盒的高＝正方形边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出长方体铁盒的容积。 【详解】20－3×2 ＝20－6 ＝14（厘米） 16－3×2 ＝16－6 ＝10（厘米） 14×10×3＝420（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是420立方厘米。 8．把一块石头浸没在一个长4分米、宽3分米的长方体容器中，水面高度由38厘米上升到43厘米，这块石头的体积是多少立方分米？ 【答案】6立方分米 【分析】先统一题目中的单位，即38厘米＝3.8分米，43厘米＝4.3分米。 把石头浸没在水中，水面上升部分的体积与石头的体积相等。 已知水面从3.8分米上升到4.3分米，升高的高度＝上升后的水面高度－原来的水面高度，即 4.3－3.8＝0.5（分米）。 长方体容器中，上升部分的水呈长方体形状，其体积＝容器的长×容器的宽×水面升高的高度。由于上升的水的体积＝石头的体积，因此代入长、宽和升高的高度，即可求出石头的体积。 【详解】38厘米＝3.8分米     43厘米＝4.3分米 4×3×（4.3－3.8） ＝4×3×0.5 ＝12×0.5 ＝6（立方分米） 答：这块石头的体积是6立方分米。 9．学校舞蹈教室长9米，宽6米，高3米，门窗总面积是12.5平方米，现在要粉刷它的天花板和四壁。如果每平方米需用涂料0.6千克，那么粉刷这样一间舞蹈教室要多少千克涂料？ 【答案】78.9千克 【分析】教室可以看作是一个无盖的长方体，那么需要粉刷的面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高－门窗面积，已知教室长9米，宽6米，高3米，门窗总面积是12.5平方米，把数据代入计算即可得出需要粉刷的面积，每平方米需用涂料0.6千克，然后用0.6乘需要粉刷的面积即可解答。 【详解】9×6＋2×9×3＋2×6×3－12.5 ＝54＋54＋36－12.5 ＝108＋36－12.5 ＝144－12.5 ＝131.5（平方米） 0.6×131.5＝78.9（千克） 答：粉刷这样一间舞蹈教室要78.9千克涂料。 10．做一个长5分米、宽3分米、高1.5分米的抽屉（如图，木板的厚度忽略不计）。 （1）需要多少平方分米的木板？ （2）抽屉的容积为多少立方分米？ 【答案】（1）39平方分米 （2）22.5立方分米 【分析】（1）求做抽屉需要木料的面积，就是求这个长方体抽屉的5个面的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出需要木料的面积； （2）根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，即求出抽屉的容积。 【详解】（1）5×3＋（5×1.5＋3×1.5）×2 ＝15＋（7.5＋4.5）×2 ＝15＋12×2 ＝15＋24 ＝39（平方分米） 答：需要39平方分米的木料。 （2）5×3×1.5 ＝15×1.5 ＝22.5（立方分米） 答：抽屉的容积为22.5立方分米。 11．一个用硬纸板做成的长方体影集封套，长30厘米，宽24厘米，高5厘米，封套的左面不封口（如图）。做这个封套至少需要多少平方厘米的硬纸板？（只列式不计算） 【答案】（30×24＋24×5）×2＋30×5 【分析】求做这个封套至少需要硬纸板的面积，就是求这个长方体5个面的面积和，根据长方体表面积＝（长×宽＋宽×高）×2＋长×高，据此解答。 【详解】（30×24＋24×5）×2＋30×5 ＝（720＋120）×2＋30×5 ＝840×2＋30×5 ＝1680＋150 ＝1830（平方厘米） 答：做这个封套至少需要1830平方厘米的硬纸板。 12．如图，一个长方体玻璃缸中水深5分米，将一块棱长是6分米的正方体铁块投入水中，玻璃缸里的水会溢出多少立方分米？ 【答案】104立方分米 【分析】看图可知，长方体玻璃缸的长8分米，宽和高都是7分米，长方体玻璃缸的长×宽×空余部分的高度＝空余部分的容积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体体积－长方体玻璃缸空余部分的容积＝溢出的水的体积，据此列式解答。 【详解】6×6×6－8×7×（7－5） ＝6×6×6－8×7×2 ＝216－112 ＝104（立方分米） 答：玻璃缸里的水会溢出104立方分米。 13．李师傅要做一个无盖的长方体铁皮水槽，用来给蔬菜浇水。水槽从内部量，长1.2米、宽0.5米、高0.4米（铁皮厚度忽略）。 （1）这个水槽最多能装多少升水？ （2）若每平方米铁皮售价120元，李师傅买铁皮要花多少钱？ 【答案】（1）240升 （2）235.2元 【分析】（1）求水槽最多能装水多少升，就是求这个水槽的容积，根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位的换算。 （2）先求出这个无盖长方体的表面积；根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个无盖长方体需要铁皮的面积，再乘每平方米铁皮的售价，即可解答。 【详解】（1）1.2米＝12分米；0.5米＝5分米；0.4米＝4分米 12×5×4 ＝60×4 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个水槽最多能装240升水。 （2）1.2×0.5＋（1.2×0.4＋0.5×0.4）×2 ＝1.2×0.5＋（0.48＋0.2）×2 ＝1.2×0.5＋0.68×2 ＝0.6＋1.36 ＝1.96（平方米） 1.96×120＝235.2（元） 答：李师傅买铁皮要花235.2元。 14．某市的一座小游园正在紧锣密鼓地建设中。按照规划图纸，工人叔叔需要在园内挖一个长5.2米、宽28分米、深2.4米的长方体景观水池。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在水池的四壁和底面贴上长4分米、宽2分米的瓷砖，至少需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】（1）14.56平方米； （2）662块 【分析】先统一单位，1米＝10分米，从小单位到大单位，除以进率。 （1）水池的占地面积即为长方体的底面面积，用长×宽计算得到； （2）贴瓷砖的总面积是长方体的底面积加上侧面积，即1个长×宽、2个宽×高和2个长×高的面积。再算出一块长方形瓷砖的面积，最后用需要贴瓷砖的总面积除以一块长方形瓷砖的面积，得到需要的瓷砖数量。 【详解】（1）28分米＝2.8米 5.2×2.8＝14.56（平方米） 答：这个水池的占地面积是14.56平方米。 （2）28分米＝2.8米 4分米＝0.4米 2分米＝0.2米 （5.2×2.4＋2.8×2.4）×2 ＝（12.48＋6.72）×2 ＝19.2×2 ＝38.4（平方米） 38.4＋14.56＝52.96（平方米） 52.96÷（0.4×0.2） ＝52.96÷0.08 ＝662（块） 答：至少需要662块这样的瓷砖。 15．学校要开设游泳课程，修建一个长25米、宽8米、高2.5米的游泳池。 (1)要在游泳池四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ (2)用一台每分钟注水2立方米的水泵向水池内注水，多长时间后水深可以达到1.5米？ 【答案】(1)365平方米 (2)150分钟 【分析】（1）已知游泳池长25米、宽8米、高2.5米，在游泳池四周和底面贴上瓷砖，可知游泳池是一个无盖的长方体，根据长方体无盖表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入长宽高的数值，即可求出贴瓷砖的面积。 （2）水的形状是一个长25米、宽8米、高1.5米的长方体，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数值，求出水的体积。再根据水泵每分钟注水2立方米的速度，用水的总体积除以每分钟的注水量，即可求出注水所需的时间。 【详解】（1）25×8＋（25×2.5＋8×2.5）×2 ＝200＋（62.5＋20）×2 ＝200＋82.5×2 ＝200＋165 ＝365（平方米） 答：贴瓷砖的面积是365平方米。 （2）25×8×1.5÷2 ＝200×1.5÷2 ＝300÷2 ＝150（分钟） 答：150分钟后水深可以达到1.5米。 16．一个教室长10米、宽7米、高3.5米，黑板及门窗面积24平方米，要粉刷四壁和顶棚（地面不刷），粉刷面积是多少？ 【答案】165平方米 【分析】根据题意，要粉刷的是四壁和顶棚，实际就是这个长方体的教室的5个面的面积，再减去黑板及门窗面积；根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高），代入数据，求出这个长方体教室5个面的面积，再减去黑板及门窗面积，就是要粉刷的面积。 【详解】10×7＋（10×3.5＋7×3.5）×2－24 ＝70＋（35＋24.5）×2－24 ＝70＋59.5×2－24 ＝70＋119－24 ＝189－24 ＝165（平方米） 答：粉刷面积是165平方米。 17．学校计划将一间长8米，宽6米，高4米房间改造成智慧教室。工人师傅要粉刷教室的屋顶和四面墙壁（除去门窗和黑板的面积29.6平方米），粉刷面积是多少平方米？如果平均每平方米用0.3千克涂料，至少需要多少千克涂料？ 【答案】130.4平方米；39.12千克 【分析】根据题意，要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积，就是需粉刷的面积；最后用平均每平方米需用的涂料质量乘粉刷的面积，求出粉刷这间教室需涂料的总质量。 【详解】8×6＋8×4×2＋6×4×2 ＝48＋64＋48 ＝160（平方米） 160－29.6＝130.4（平方米） 0.3×130.4＝39.12（千克） 答：粉刷面积是130.4平方米，至少需要39.12千克涂料。 18．江津是中国知名的花椒之乡，某农户准备了一个长方体礼盒，装独立小盒包装的花椒。礼盒从里面量长40厘米、宽12厘米、高6厘米，每小盒花椒的包装是长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体，最多可以放多少盒？ 【答案】48盒 【分析】解决此类装箱问题，不能简单地用大体积除以小体积，需要分别计算沿长、宽、高各能放多少个，再相乘。因为礼盒的长、宽、高分别是小盒长、宽、高的倍数，所以可以直接相除，无剩余空间。 【详解】（40÷5）×（12÷4）×（6÷3） ＝ ＝48（盒） 答：最多可以放48盒。 19．一块长16厘米、宽8厘米的长方形纸板，四角各截去一个边长是2厘米的正方形，把剩下的折成一个盒子，求这个盒子的容积。 【答案】96立方厘米 【分析】由图可知，这个长方体盒子的长是（16－2×2）厘米，宽是（8－2×2）厘米，高是2厘米，根据“”求出这个盒子的容积。 【详解】长：16－2×2 ＝16－4 ＝12（厘米） 宽：8－2×2 ＝8－4 ＝4（厘米） 高：2厘米 12×4×2＝96（立方厘米） 答：这个盒子的容积是96立方厘米。 20．店铺升级时，工人要给一个无盖正方体木箱的外表刷漆，这个木箱的棱长是1.2米，若每平方米需要0.3千克油漆，至少需要多少千克油漆？ 【答案】2.16千克 【分析】刷漆的面积＝棱长×棱长×5，刷漆的面积×每平方米需要的油漆质量＝需要的油漆总质量。 【详解】1.2×1.2×5×0.3 ＝7.2×0.3 ＝2.16（千克） 答：至少需要2.16千克油漆。 21．一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，这块铁块的体积是水深从2.8分米到4分米的这部分水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高计算。 【详解】8×5×（4－2.8） ＝8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方分米） 答：这块铁块的体积是48立方分米。 22．佳慧玩具店新进一批棱长8厘米的正方体积木，为了便于库存管理，店员准备把这些积木存放到长48厘米、宽24厘米、高16厘米的长方体收纳箱里，每个收纳箱最多能存放多少块积木？ 【答案】36块 【分析】用长方体收纳箱的长48厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的长能放多少块积木； 用长方体收纳箱的宽24厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的宽能放多少块积木； 用长方体收纳箱的高16厘米÷棱长8厘米＝长方体收纳箱的高能放多少块积木； 最后用乘法求出这个收纳箱最多能存放多少块积木。 【详解】（48÷8）×（24÷8）×（16÷8） ＝6×3×2 ＝18×2 ＝36（块） 答：每个收纳箱最多能存放36块积木。 23．手工课上，同学们利用一张长方形硬纸板制作无盖文具收纳盒。长方形纸板长32厘米，宽22厘米，从纸板的四个角分别裁去1个边长为4厘米的正方形，剩余部分正好可以拼接粘成一个无盖收纳盒（纸板厚度忽略不计）。 (1)制作这个收纳盒实际使用了多少硬纸板？ (2)这个收纳盒的容积有多大？ 【答案】(1)640平方厘米 (2)1344立方厘米 【分析】（1）制作收纳盒实际使用的硬纸板面积，等于原长方形纸板的面积减去四个角裁去的正方形面积之和。长方形面积；正方形面积。 （2）收纳盒的容积即为其体积。折叠后，收纳盒的长和宽分别是原纸板的长和宽减去两个裁去正方形的边长，高即为裁去正方形的边长。根据长方体体积公式进行计算。 【详解】（1）32×22－4×4×4 ＝704－64 ＝640（平方厘米） 答：制作这个收纳盒实际使用了640平方厘米硬纸板。 （2）32－4×2 ＝32－8 ＝24（厘米） 22－4×2 ＝22－8 ＝14（厘米） 24×14×4＝1344（立方厘米） 答：这个收纳盒的容积是1344立方厘米。 24．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】首先观察题目中的图形和条件：长方体水槽的长为10厘米、宽为8厘米，放入铁块后水面从8厘米上升到9.5厘米；铁块是长5厘米、宽4厘米的长方体。 思考过程：要计算铁块的高，需先确定铁块的体积——根据“排水法”，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积（因为水槽是封闭的长方体容器，水面上升的空间体积就是铁块占据的体积）。 接下来，先计算水面上升的高度，再用“水槽底面积×水面上升高度”算出上升水的体积（即铁块体积），最后利用“长方体体积＝长×宽×高”的公式，变形得到“高＝体积÷（长×宽）”，代入铁块的长和宽即可求出高。 【详解】水面上升的高度：9.5－8＝1.5（厘米） 水槽的底面积：10×8＝80（平方厘米） 上升水的体积：80×1.5＝120（立方厘米） 铁块的底面积：5×4＝20（平方厘米） 铁块的高：120÷20＝6（厘米） 答：这个铁块的高是6厘米。 25．爸爸购买了一个长9分米，宽3分米，高4分米的长方体玻璃鱼缸。 (1)做这个鱼缸用了多少玻璃？ (2)这个鱼缸最多能装多少水？（玻璃厚度忽略不计） (3)爸爸加水到3.3分米高后，开始布置鱼缸微景观，底砂、假山石、水草等全部浸入后水面上升了0.2分米，爸爸放入的物品总体积是多少？ 【答案】(1) 123平方分米 (2) 108立方分米 (3) 5.4立方分米 【分析】（1）鱼缸为无盖长方体，需计算5个面的面积（底、前、后、左、右）。 （2）鱼缸容积即长方体的体积，直接应用公式计算。 （3）水面上升高度对应物品排开水的体积，等于物品总体积，利用底面积乘上升高度求解。初始水深3.3分米为干扰信息，不影响计算结果。 长方体的体积=长×宽×高 【详解】（1）（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：做这个鱼缸用了123平方分米的玻璃。 （2） （立方分米） 答：这个鱼缸最多能装108立方分米的水。 （3） （立方分米） 答：爸爸放入的物品总体积是5.4立方分米。 26．为了迎接夏季开放，某中学新建了一个游泳池。该游泳池内部尺寸为：长50米、宽25米、深2米，现在需要完成以下三项工作。 (1)装修工作。施工队需要为游泳池的底面和四周侧壁贴满防水瓷砖。贴瓷砖的总面积是多少平方米？ (2)安全注水。根据安全规定，游泳池日常使用时，水深不得超过1.2米。若按此最大安全水深注水，需要向池中注水多少立方米？ (3)定期换水。每月换水时，需将游泳池里的水全部抽至附近一个内部棱长是15米的正方体蓄水池中。蓄水池内已经存有深为1米的水。现将第（2）问中相应体积的水全部抽入该蓄水池，蓄水池内的水深将达到多少米？（结果用分数表示） 【答案】(1)1550平方米 (2)1500立方米 (3)米 【分析】（1）已知游泳池为长方体，给游泳池的底面和四周侧壁贴满防水瓷砖，贴瓷砖的面积等于长方体四个侧面和一个底面面积之和，即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数值计算即可；（2）游泳池日常使用时，水深不得超过1.2米，若按此最大安全水深注水，即注入水的体积是一个长50米，宽25米，高1.2米的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高代入计算即可；（3）计算出长方体中水的体积，除以正方体蓄水池的底面积，即为正方体蓄水池上升的水的高度，加上原来高度1米即为现在正方体蓄水池的水深，结果用分数表示。 【详解】（1）       答：贴瓷砖的总面积是 1550 平方米。 （2）按最大安全水深注水，水的体积为： =1500（立方米）   答：需要向池中注水 1500 立方米。 （3）1500÷（15×15）＋1 ＝1500÷225＋1 ＝＋1 ＝（米） 答：蓄水池内的水深将达到 米。 27．AI智能模块化鱼缸是一款科技感十足的智能鱼缸，它拥有自动定时喂食、专业水质监测、智能安全加温、实时查看鱼儿等多种功能，让养鱼这件事变得更加简单。小培家的长方体智能鱼缸长60厘米，宽和高都是45厘米。 (1)鱼缸的四周是钢化玻璃，为了防止玻璃自爆，需要在玻璃上贴一层防爆膜，一共需要贴多少平方米的防爆膜？（损耗忽略不计） (2)已知鱼缸里有86.4升水，水深多少厘米？（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】(1) 0.945 平方米 (2) 32 厘米 【分析】（1）本题考查长方体表面积的实际应用。鱼缸四周贴防爆膜，即求长方体前、后、左、右四个面的面积之和，不包括上、下两个面。已知长、宽、高，分别计算前后面和左右面的面积，相加得到总面积，最后根据进率将平方厘米换算为平方米。 （2）本题考查长方体体积公式的逆运算及容积单位换算。已知水的体积和鱼缸的长、宽，求水深（即水的高度）。首先将水的体积单位升换算为立方厘米，再根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”，用体积除以底面积（长×宽）即可求出水深。 【详解】（1）前、后面面积： =5400（平方厘米） 左、右面面积： 45×45×2=4050（平方厘米） 四周总面积：（平方厘米）单位换算：平方厘米=0.495平方米 答：一共需要贴 0.945 平方米的防爆膜。 （2）体积单位换算： 立方厘米 鱼缸底面积：60×45=2700（平方厘米） 水深：86400÷2700=32（厘米） 答：水深32厘米。 28．如图所示，下面的几何体是由若干个棱长是2厘米的小正方体搭成的，如果想在此基础上搭成一个长方体，至少还需要多少块这样的小正方体？此时这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】11块；192立方厘米 【分析】这个几何体下面一层有4排，每排有3个小正方体，这个几何体有2层。搭成的长方体最少有2层，每层4排，每排3个小正方体，一共有（4×3×2）个小正方体。可以数出几何体中有13个小正方体，搭成的长方体中小正方体个数减去原来几何体中小正方体的个数，即可算出至少还需要多少块这样的小正方体。 小正方体的棱长是2厘米，搭成的长方体的长是（2×3＝6）厘米，宽是（4×2＝8）厘米，高是（2×2＝4）厘米。长方体体积＝长×宽×高，把数据代入计算即可。 【详解】3×4×2 ＝12×2 ＝24（块） 24－13＝11（块） 2×3＝6（厘米） 2×4＝8（厘米） 2×2＝4（厘米） 6×8×4 ＝48×4 ＝192（立方厘米） 答：至少还需要11块这样的小正方体。此时这个长方体的体积是192立方厘米。 29．李叔叔想要制作一个长方体的玻璃容器，下图是这个玻璃容器的展开图。 (1)制作这个玻璃容器需要多少平方分米玻璃？（玻璃厚度忽略不计） (2)制作完成后往容器里注水，将B面作为底面放在水平桌面上，水面高是1.2分米，如果将A面作为底面放在水平桌面上，水面高多少分米？ 【答案】(1)27平方分米 (2)1.6分米 【分析】由长方体的玻璃容器展开图可知，这个长方体的长是3分米，宽是2分米，高是1.5分米。 （1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 （2）B面为底，长是3分米，宽是2分米，水的高度是1.2分米，水的体积＝长×宽×水的高；A面为底面时，长是3分米，宽是1.5分米，水的高＝水的体积÷长÷宽。 【详解】（1） =27（平方分米） 答：制作这个玻璃容器需要27平方分米玻璃。 （2） （立方分米） （分米） 答：水面高1.6分米。 30．在一次我是班级小主人主题班会活动中，五（1）班的学生用边长是18厘米的正方形铁皮为班级制作无盖的收纳盒，下面是三个同学制作的过程及计算出的收纳盒的容积。 李林同学看了上面三个同学的作品，提出一个大胆的猜想：在正方形铁皮的四个角上剪去的正方形的边越长，折成的无盖盒子的容积就越大。你认为李林的猜想正确吗？请说明理由。 【答案】李林的猜想是错误的。 理由：例如在边长是18厘米的正方形铁皮的四个角上，分别剪一个边长是4厘米的正方形，折成无盖的盒子后，盖子底面的边长是10厘米，高是4厘米，则容积是：10×10×4＝400（立方厘米），400＜432，所以李林的猜想是错误的。 【分析】用边长18厘米的正方形铁皮制作无盖收纳盒时，需要在四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折起四边。 盒子底面边长：（因为左右、上下各剪去了一个），盒子的高：，容积公式： 题目中给出了三个同学的计算结果，我们再计算几个更大的值，看容积的变化来验证李林的猜想是否正确。 【详解】： =400（立方厘米）（比432小） ： =320（立方厘米）（继续变小） ： =216（立方厘米）（继续变小） 李林的猜想是错误的。 理由：例如在边长是18厘米的正方形铁皮的四个角上，分别剪一个边长是4厘米的正方形，折成无盖的盒子后，盖子底面的边长是10厘米，高是4厘米，则容积是：10×10×4＝400（立方厘米），400＜432，所以李林的猜想是错误的。 1 学科网（北京）股份有限公司 $