1.3.1空间直角坐标系（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，涵盖其构建、点与向量的坐标表示及空间两点间距离、对称点坐标等核心内容。课堂导入通过回顾空间向量基本定理和单位正交基底，类比平面直角坐标系建立过程，搭建从二维到三维的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用类比迁移教学法，引导学生用数学眼光观察空间形式，结合长方体、直三棱柱等实例训练，培养数学思维中的推理能力。概念辨析与题型训练结合，帮助学生用数学语言精确表达空间关系，课堂小结结构化梳理知识，既提升学生空间想象与运算能力，又为教师提供清晰教学流程和实例支持。

第一章 空间向量与立体几何 1.3.1 空间直角坐标系 前情回顾 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底。 注：由空间向量基本定理知，任一向量都可以由不共面的3个向量唯一表示。 空间向量基本定理： 前情回顾 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直， 且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用表示. 由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，， ，使. 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 单位正交基底与正交分解： 学 习 目 标 1 2 3 在平面直角坐标系的基础上，理解空间直角坐标系. 能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标. 掌握空间两点间的距离公式，并能求对称点的坐标. 读教材 阅读课本P16-P18，5分钟后完成下列问题： 1. 空间直角坐标系的坐标轴有什么要求？ 我们一起来探究“空间直角坐标系”吧！ 2. 如何利用两点坐标求空间向量的坐标？ 新课引入 学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础. 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与工轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算. 平面向量 类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢? 空间向量 学习过程 01 03 02 目录 1 空间直角坐标系 2 题型训练 新知探究1 类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？ 数的 运算 化归 空间向量 的运算 数的 运算 化归 类比 空间直角 坐标系？ 一一对应 点的 坐标 平面向量 的坐标 一一对应 点的 坐标 空间向量 的坐标 平面直角 坐标系 平面向量 的运算 新知探究1 建系： 在平面内选取一点和一个单位正交基底以为原点，分别以, 的方向为轴,轴的正方向建立平面直角坐标系； 坐标表示：如图，对平面内任一向量，存在唯一实数对，使 =，我们把 中的有序数对 叫做向量 的坐标，记作 ； 探究1 类似地，能否建立空间直角坐标系， 建立空间向量坐标与空间点的坐标的一一对应呢？ 问题1 你还记得平面向量的坐标表示吗？ 建系：单位正交基底 坐标表示： O A(x,y) 概念 空间直角坐标系 空间直角坐标系： 原点 标轴 单位长度 平 面 空 间 原点 原点 两条相互垂直的数轴：轴、轴 三条两两垂直的数轴、轴 单位长度为 单位长度为 空间直角坐标系，其中为单位正交基底，为原点，坐标轴为轴、轴、轴，坐标平面为平面， 平面，平面. 概念 空间直角坐标系 空间直角坐标系－建系： 在空间中选取一点和一个单位正交基底以为原点，分别以, 的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系； 通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面： 平面， 平面，平面。 斜二测画法 空间直角坐标系 概念 空间直角坐标系 空间向量的坐标表示： 在空间直角坐标系 中，给定向量，作(如图)；由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，可简记作. 也就是说以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系，从而互相转化. 注意： 数组既可以表示向量坐标，也可以表示点坐标； 表示向量坐标有“=”, 表示点坐标直接跟在字母后面。 向量终点的坐标 A(x,y,z) 向量的坐标OA=(x,y,z) 一一对应 概念 空间直角坐标系 如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴 轴和轴于点和. 可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为 ，且， 设点在轴、轴和轴上的坐标分别是和 空间中点坐标的确定： O x y z A B C D A' 求某点A的坐标的方法： 先找到点A在xOy平面上的射影A'，过点A'向x轴作垂线，确定垂足B. 其中|OB|,|BA'|,|A'A|即为点A坐标的绝对值，按O→B→A'→A确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)， 即可得到相应的点A的坐标 概念辨析 1.坐标面上和坐标轴上的点的特征： 2.关于坐标面和坐标轴对称的点的特征： 规律：关于谁对称谁不变，其余相反。 3.由点坐标写向量坐标： 向量的坐标＝终点坐标－起点坐标。 点的位置 xOy平面 xOz平面 yOz平面 点的坐标 (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z) 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 点的坐标 (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) 在坐标平面或坐标轴 的射影坐标 ——缺谁谁就为0. 练习巩固 练习1 在长方体OABC－D′A′B′C′中，|OA|=3， |OC|=4， |OD′|=2， 写出所有点的坐标. 练习巩固 练习2 已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为 　 　　 　 .  (4，0，－1) 练习3 若为空间的一个单位正交基底， 则的坐标为　　 .  (3，2，－1) 练习巩固 练习4 如图，在长方体中，，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标. 解(1)，，. (2)， ， ， . 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量基本定理 2 题型训练 求空间点、向量的坐标 题型1 题型探究 例1 在空间直角坐标系中, (1)坐标平面____与x轴垂直，_____与y轴垂直，____与z轴垂直； (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标； 在平面内的射影坐标为____________ 在平面内的射影坐标为____________ 在平面内的射影坐标为____________ (3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是 ___________. (4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________. Oyz Oxz Oxy (0，3，4) (2，0，4) (2，3，0) (－1,－3,－5) (1，0，0) 求空间点、向量的坐标 题型1 题型探究 例2 在直三棱柱中， 为中点， 为中点，建立适当的空间直角坐标系， 求向量， , 的坐标？ 解建立如图所示的空间直角坐标系 设， ， ， , . 求空间点、向量的坐标 题型2 题型探究 例3 在长方体，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出的坐标； (2)写出向量，的坐标. 解： (1)，，； (2)； 与坐标有关的对称性 题型2 题型探究 例4 已知点是点(3，4，5)在坐标平面内的射影，求||？ 解：，所以|| 与坐标有关的对称性 题型2 题型探究 例5 在空间直角坐标系中，点关于点的对称点 的坐标是（       ） ． ． ． ． 解：设所求对称点为，则点为线段的中点， 类比直角坐标系中的中点坐标公式可得： 解得，故选 C 与坐标有关的对称性 题型2 题型探究 例6 在空间直角坐标系中，点 (1)求点关于轴的对称点的坐标； (2)求点关于平面的对称点的坐标； (3)求点关于点的对称点. 解：(1)点关于轴的对称点为. (2)点关于平面对称的对称点为. (3)设对称点，则点为线段的中点，由中点坐标公式， 可得 所以. 课堂小结 空间直角坐标系 空间直角坐标系 空间向量的坐标表示 空间向量基本定理 不共面，则对，唯一有序实数组，使得 点的坐标 向量的坐标 空间直角坐标系 感谢聆听! $