专题十三 考点一 概率-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训试卷

专题十三概率、随机变量及其分布 考点一 1.C由题意，C=AUB→C=AUB=A∩B. 2.B本题考查相互独立事件的概率乘法公式 'AB独立.P(A∩B)=P(A)·P(B)= 3.B甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能，丙不在 持头，且甲或乙在播尾的共有8种可能，P=员=子，故 选B. 4.ABD对于AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式 可知AB正确：对于C,三次传输译码为1，则可能是三次 全部译为1，或者有两次译为1，则概率为CB(1一B)十 (1一B),故C错误；对于D,可以采用特值法或者作差法 计算.三次传输方案译为0的概率为Ca(1一a)2+(1 a)3,单次传输译为0的概率为1一a,而Ca(1一a)十(1 -a)3-(1-a)=(1-a)a(1-2a)>0,所以D正确. 5.A令事件A,B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好 滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰， 则P(A)=0.6,P(B)=0.5, P(AB)=P(A)十P(B)-0.7=0.4, 所以PG=PAB)=-a8故选A 6.D总事件数共C=7X6=21, 2 取到的2个数互质的为 第一个数取2时，第二个数可以是3,5,7； 第一个数取3时，第二个数可以是4,5,7,8； 第一个数取4时，第二个数可以是5,7； 第一个数取5时，第二个数可以是6,7,8； 第一个数取6时，第二个数可以是7； 第一个数取7时，第二个数可以是8； 所以P=3十4+2+3+1+114_2 21 =21-3 7.D设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P。,在 第二盘与乙比赛连藏两盘的概率为P。,在第二盘与丙 比赛连赢两盘的概率为P两， 由题意 Pp=1[p:(1-p)十p3(1-p:] =1p2十p1p3一2p1p2p P2=p:[p1(1-p)+p(1-p1] =p1p2十p2p3一2p1p2p3, P丙=p[p1(1-p2)+p,(1-1)] =p1pa+p:p3一2p1p:pg, 所以P而一P=:(p一p1)>0, P两-P=p1(p3-p2)>0, 所以P两最大，故选D. 8.解析：由题意，P(AUB)=P(A)十P(B)=0.7. 答案：0.7 9.解析：第一空：箱子中共有1+2+3=6个球，其中黄球有 2个， 从6个球中取一个球，取不到黄球的概率P=6一2=4 66 =2 31 有放回的取三次，相当于三次独立重复试验， “三次都设有取到黄琼的概率卫=（号）=品 Io 第二空：设A={三次都没取到黄球}. B={三次至少取到一次红球}.第二空要求的是 P(BA),先求P(B|A), 在“没取到黄球”的条件下，只能取到红球或白球，共1十 3=4个球. 单次取到红球概率】 ,单次取到白球的概率3 4 P(BA)即三次都没取到黄球的前提下，三次都没取到 红球P(B|A)= (）-器 27 所以P(B1A)=1-P(BA)=1-27=32 64641 837 答案：2764 10.解析：本题相当于(1,3,5,7}与{2,4,6,8}的搭配问题， 总共有A=24种方法， 把甲的卡片标号分为A,=1,3},A2={5,7}两组，把乙 的卡片标号分为B1={2,4},B,={6,8}两组， 要使甲得分不少于两分，甲的卡片标号大的次数至少 有两次， ①A与B,搭配，一共有A·A=4种； ②A,与B2搭配，只能是5配8,7配6,1配4,3配2，一 共有1种： ③A。与B1中一个，与B2中一个搭配； (1)若B1选择2，则B。必不能选8，故{5,7}与{2,6}搭 配，〈1,3}与{4,8}搭配，一共有2种： (2)若B,选择4，分两种情况： (i){5,7}与{4,6}搭配，{1,3}与{2,8}搭配，一共有1 ·A十1=3种； (iⅱ){5,7}与{4,8}搭配，{1,3}与{2,6}搭配，一共有 2种； 所以甲的卡片标号大的次数至少有两次的情况有12 种，所以甲总得分不低于2分的概率P=是-子 1 答案： 11.解析：记前三个球的号码分别为a、b、c,则共有A=120 种可能，令1m一n1= latb_atbtc= 2 3 a+b-2c|≤0.5可得：a+6-2c≤3，根据对称性：c 6 =1或6时，均有2种可能；c=2或5时，均有10种可 能；c=3或4时，均有16种可能：故满足条件的共有56 #可能，P=瓷品 答案：5 7 12.解析：由题可知，A题库占比为2，B题库占比为子，C 题库占此为子P=是×0.92+号×0.86+号×0.72 17 201 答案品 13.解析：设甲选到A为事件M,乙选到A为事件Q,乙选 到B为事件N, 则甲选到A的概率为P(M) C-3 C=5 乙选了A项活动，他再选择B项活动的概率为P(NQ)= C P(QN)_C」 1 P(Q)C 2 答案：号 1 2 14.解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n, 4n,6n,所以总数为15n, 所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n: 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n: 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n: 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为 事件A,所以P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05: 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B, 黑球总共有2n+n十3n=6n个，白球共有9n个， 所以P(B)=9n=3 15n5 答案：0.05 5 15,解析：设“甲、乙都入选”为事件A,则P(A)= C_3 10 答案：品 16.解析：从正方体的8个顶点中任选4个，有C%=70(种) 不同的选法，其中这4个，点在同一平面的情况有侧面6 种，对棱面6种共有12种不同的情况，所以这4个点在 月-个平西的版车为P号-多 答案：35 17.解：(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25× 0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65× 0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁). (2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，则 P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+ 0.002)×10=1-0.11=0.89. (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选 一人患这种疾病}，则由条件概率公式，得 P(C1B)=PCBC=0.1%×0.023X10=0.001×0.23 P(B) 16% 0.16 =0.0014375≈0.0014. 考点二 实战集训1 1.A依题意，X的分布列为 X -6 -5-4 -3-2 -101 2345 6 1 3 3 4 9 9 69933 31 63636363636363636363636363 X)=-3×高+3高- 2.B本题考查正态分布曲线下面积，线性相关系数r的 性质.A中，X~N(:,G),根据正态分布曲线的对称性 可知P(X≤一o)=P(X≥H十a),故A正确；C、D中，由 相关系数r的性质，当|x越趋于1，线性相关性就越强， |r越接近0，线性相关性就越弱，故C、D都正确.B中， X~N(1,2),YN(2,2),P(X<1)=P(Y<2),故B 错误 3.BC由题意得XN(1.8,0.1), Y~N(2.1,0.12), 故P(X>2)<P(X>十o)=1一P(X<u十o)<0.2,故 B正确，A错误； P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5, P(2<Y2.1)=P(2.1Y<2.2)=0.8413-0.5=0.3413, P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1) =0.3413十0.5=0.8413>0.8，故C正确，D错误. 19 4.C对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50， 所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误： 对于B,亩产量低于1100kg的稻田所占比例为 6+12+18+30×100%=66%,故B不正确： 100 对于C,稻田亩产量的极差最大为1200一900=300，最 小为1150一950=200，故C正确； 对于D,由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100]的频 数为100-(6+12+18+24+10)=30， 所以年均值为0×(6×925+12×975+18X1025+ 30×1075+24×1125+10×1175)=1067,故D错误. 5.解析：由题意，{a+0.3十6-1→6=0.6. (-a+b=0.5 答案：0.6 6,解析：本题考查了离散型随机变量的数学期望 E[X]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=6.3. 答案：6.3 7.解析：本题考查了条件概率， 二项分布的期望， 设，A,表示第一次跑5圈， A。表示第二次跑5圈， B表示一周跑11图. P(B)=P(A1)·P(A,/A)+P(A)P(A,/A) =0.5×0.6+0.5×0.6 =0.3+0.3=0.6. 1周运动量不达标，每次5圈和周均10圈. P(A1)·P(Ag/A1)=0.5×0.4=0.2. ∴.1周运动量达标为1一0.2=0.8， 则X~B(4,0.8), ∴.E(X)=np=4X0.8=3.2. 答案：0.63.2 8解折：P(X=3)=5XX3=号P(X=2)= 53 5 -号PX=1D-号-云 5=1 故E(X)=1+2X12+3X12=61 25 25 注：每个球至少被取出一次的概率为1 () 61 1251 所以BXW=ΣX)=6x武-器 9.解析：由题意可知，P(X>2)=0.5,故P(X>2.5) =P(X>2)-P(2<X2.5)=0.14. 答案：0.14 1 10.解：)P(X=1)=p=3,P(X=2)=b1-g)=9: p(X=3)=p1-p)°=27 4 P(X=4)=(1-p)3=7 所以X的分布列为： 1 2 3 3 9 27 > (2)记q=1一p. ()当kN一1时，事件P(X>k)表示前k次都未投 中，所以P(X>)=g=(1一) (i)设A:X>k+m,B:X>k 因此P(X>k+mX>k)=P(AIB)=PCAB) P(B) P(X>k+m)_(1-p)+m P(X>k) (1-°=0-)， 又由(i)知P(X>m)=(1一饣)m, 所以P(X>k+m|X>k)=P(X>m). 8最新真题 专题十三 概率、随机变量及其分布 分类特训 考点一概率 一、选择题 1.(2026·上海卷，14)事件A和事件B为独立随机事件，事件C表示为事件A和B至少一个发 生，则C= () A.A∩B B.AUB C.A∩B D.AUB 2.(2025·上海卷13)已知事件A,B相互独立，事件A发生的概率为P(A)-2事件B发生的 将 概率为P(B)= 2,则事件AnB发生的概率P(AnB)为 ( A日 B司 c D.0 3.(2024·全国甲卷（文），5)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概 率是 的 A B号 C. n号 4.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷，12)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到 杯 1的概率为a(0<α<1)，收到0的概率为1一a;发送1时，收到0的概率为(0<<1)，收到1 的概率为1一3.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次； 三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到 的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1， 则译码为1) () A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率为(1一α)(1一3) 如 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为B(1一)2 C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为B(1一3)2+(1一3) 御 D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译 码为0的概率 5.(2023·全国甲卷（理），6)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70% 的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该 同学也爱好滑冰的概率为 ( 器 A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 6.(2022·新高考I卷，5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 () A日 B号 c n号 7.(2022·全国乙卷，10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知 该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2，力，且p3>p2>1>0.记该棋手连胜两盘的 概率为p,则 () A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 113 二、填空题 8.(2026·上海卷，4)已知事件A,B互斥，且P(A)=0.2,P(B)=0.5,则P(AUB)= 9.(2026·天津卷，13)箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球.有放回地取三次，每次取一个，三 次都没取到黄球的概率是 ;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率 是 10.(2024·新课标I卷，14)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分 别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中， 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使 用).则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 11.(2024·全国甲卷（理），16)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中无放回地随机 取3次，每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的 平均值，则m与n之差的绝对值不大于。的概率为 12.(2024·上海卷，8)某校举办科学竞技比赛，有A,B,C3种题库，A题库有5000道题，B题库 有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的 正确率是0.86，C题库的正确率是0.72.现他从所有的题中随机选一题，正确率是 13.(2024·天津卷，13)A,B,C,D,E五项活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率 为 ;已知乙选了A项活动，他再选择B项活动的概率为 14.(2023·天津卷，13)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5：4：6. 这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到 的三个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率 为 15.(2022·全国乙卷，13)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选 的概率为 16.（2022·全国甲卷，15)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一平面上的概率为 三、解答题 17.(2022·新高考Ⅱ卷，19)(12分)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患 者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： 频率/组距 0.023 0.020 0.017 0.012 0.006 88 010203040506070 8090年龄/岁 114 (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总 人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概 率（以样本数据中患者年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确 到0.0001). 考点二随机变量及其分布 [真题题组·实战集训l1] 一、选择题 1.(2026·全国I卷，8)设U={(x1,x2,x3)|x:∈{-2，一1,1,2}，i=1,2,3}为空间中64个点构 成的集合，点P(1,1,1),记样本空间2=Cv{P}.从2中随机取一个点，定义随机变量X如 下：对2中的每个点A(x1x2,x3),令X(A)=x1十x2十x3,则X的数学期望为 A-员 C.0 D. 2.(2025·天津卷，5)已知r为相关系数，测下列说法中错误的是 A.若X~N(,o2),则P(X≤-o)=P(x≥μ十o) B.若X≈N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1)<P(Y<2) C.|Y越接近1，相关性越强 D.|Y越接近0，相关性越弱 3.(多选)(2024·新课标I卷，9)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动 茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口 后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收人X服从正态分 布N(1.8,0.12).假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布V(x,s2),则（若随机变量Z服从正 态分布V(,o2),则P(Z<4十σ)≈0.8413) () A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 4.(2024·新课标Ⅱ卷，4)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到 各块稻田的亩产量 (单位：kg),并部分整理得下表： 115