专题十 计数原理-【创新教程】2022-2026五年高考数学真题分类特训试卷

最新真题 专题十计数原理 分类特训 考点一计数原理、排列与组合 一、选择题 1.(2026·全国Ⅱ卷，6)把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A,B两个技术攻关组，要求每组4人，其 中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有 () 整 A.10种 B.12种 C.16种 D.24种 2.(2023·全国甲卷（理），9)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两 斯 天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 () A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 3.(2023·全国乙卷（理），7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课 外读物中恰有1种相同的选法共有 () A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 杯 4.(2023·新课标Ⅱ卷，3)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样 方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别 有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有 () A.C6·C2种 B.C0·C28种 C.C0。·C0种 D.C0·C0种 5.(2022·新高考Ⅱ卷，5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙 如 和丁相邻，则不同的排列方式共有 ( 锕 A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 二、填空题 6.(2025·上海卷，9)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾 均是家长，则不同的排列种数有 种 7.(2024·新课标Ⅱ卷，14)在如图的4×4方格表中选择4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格 被选中，则共有 种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 97 8.(2024·上海卷，10)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积 皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为 9.(2023·新课标I卷，13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种 (用数字作答). 考点二二项式定理 一、选择题 1.(2026·北京卷，4)已知(a一√x)7的展开式中的x2的系数为280，则a= A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.(2024·北京卷，4)在(x一√)4的二项展开式中，x3的系数为 ( A.6 B.-6 C.12 D.-12 3.(2022·北京卷，8)若(2x-1)1=a4x十a3x3+a2x2十a1x十a0,则a0十a2十a4= A.40 B.41 C.-40 D.-41 二、填空题 4.(2026·天津卷，11)(x+2y)4的展开式中x3y的系数为 5.(2026·上海卷，6)在(x2+x)5的展开式中，x项的系数为 6.(2025·上海卷，4)在二项式(2x一1)的展开式中，x3的系数为 7.(2025·天津卷，11)在(x一1)6的展开式中，x3项的系数为 8.(2025·北京卷，12)已知(1-2x)4=a-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x,则a= a1十a2+a3十a4= 9.(2024·全国甲卷，13)3+ 的展开式中，各项系数中的最大值为 10.(2024天津卷11在(+) 的展开式中，常数项为 11.(2024·上海卷，6)在(x十1)”的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x的系数为 12.(2023·天津卷，1D在2x- 的展开式中，x2的系数为 13.(202·新高考I卷，13)1-兰x+y)°的展开式中xy的系数为 (用数字作答). 98则可知当m=一时，ana一》最大，即a-月最大，此 2 时AB的直线方程为y一y= y3十y: 即4z-(y3+y:)y+yy:=0, 又y+y=8+气8=二8Cy+）=8m=-4E. yI y2 yIy2 -15 则AB的直线方程为4x十4√2y一16=0，即x十√2y一4 =0. 专题十计数原理 考点一 1.C由于A,B两组是有标号的，我们首先考虑将除甲、 乙、丙、丁外的其余4人进行分配.甲、乙必须在同组，丙、 丁不能在同组，因此共有两类可能：第一类：甲、乙都在A 组，此时A组还需要2人，B组需要4人，因为丙、丁不 能同组，所以丙、丁中必须有一个分在A组，另一个分在 B组：若丙在A组，丁在B组：A组己有{甲，乙，丙}，还 需从剩下的4人中选1人，有C=4种：若丁在A组，丙 在B组：同理有C!=4种.共计4十4=8种.第二类：甲、 乙都在B组.同理对称的有8种方案.所以，总的分配方 案数为8十8=16种. 2.B不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e, 假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取 2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A=12种 方法， 同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种 方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5 ×12=60种.故选B. 3.C首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读 物里，选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式，则共有C·A=120(种).故选C. 4.D根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽取40人，高 中部抽取20人.不同的抽取方法有C·C,故选D. 5.B先利用捆绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的 位置，则有AAC=24种，故选B. 6.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人，共有 A·A=288种. 答案：288 7.解析：第一空：A=4!=24; 第二空：15+21+33+43=112 答案：24112 8.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异，且元素中 最多有一个奇数，剩余全是偶数. 先研究集合中无重复数字的三位偶数； (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种； (2)若个位不为0，这样的偶数有C·C·C=256种； 所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种. 答案：329 9.解析：当从这8门课中选修2门课时，共有C·C=16; 当从这8门课中选修3门课时，共有C·C十C·C= 48:综上可知，共有64种不同的选课方案. 答案：64 10 考点二 1.A(a一√)？的展开式的通项T+1=Ca-',(-√)'， r=0,1,2,…,7.令r=4,得T,=Cax2,所以C1a3= 280,解得a=2. 2.A(x一√)的展开式的通项T+1=Cx-(一√)= (-1rCx,令4-合=3，解得及=2，所以在(x √)的展开式中，x3的系数为(-1)C=6. 3.B当x=1时，1=a:十ag十a2十a1十ao①；当x=-1 时，81=a:一a3十a:-a1+a②：①+②得原式=41. 4.解析：(x+2y)中T,+1=Cx(2y)'=2rCx'y 要得到xy项需：{4-=3 =1, ∴.r=1, ∴.所求项的系数为C12=8. 答案：8 5,解析：由题意，通项为C·(x2)·x=C·x0-”,则 10一r=7,解得r=3,x2项的系数为C3=10. 答案：10 6.解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法. ,(2x-1)展开式的通项T+1=C5(2x)-”.(-1)y= (-1yC2-r·xi, 令5-r=3, 得r=2, x3的系数为：C2(-1)2=80. 答案：80 7.解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数，T,+1= Cx-(-1)=(-1)C6x-,令6-r=3,∴.r=3. ∴.展开式中含x3的系数为(-1)3C=一20. 答案：一20 8.解析：利用赋值法可求o,利用换元法结合赋值法可求 a1十a十ag十a:的值， 令x=0,则a。=1, 又(1-2x)'=a-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x', 故(1-2x)=a。十a1(-2.x)+a2(-2x)2+a(-2.x)3+ a,(-2x), 令t=-2x,则(1+t)'=a十at+a2t+at+a,t, 令t=l,则ao十a1十a2十ag十a,=2,故a1十a2十ag十a =15 答案：115 9.解析：（仔+）”的展开式的通项为T1 0一k c() ·x,设第k十1项的系数最大， (c() ≥（） 则 ()≥()” 解得<< 2,因为k∈Z,所以k=8, 所以展开式中第9项的系数最大，为C(合）广=5， 答案：5 10.解析：因为（侣+兮） 的展开式的通项为T,+1= C(2）(传）=3-*Cw-=0.1.6 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3°C=20. 答案：20 2 11.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数的和 是(1十1)”=32，所以n=5,该二项式的展开式的通项 公式是T,+1=C5·x·1',令5-r=2,得r=3,则x2 项的系数为C=10. 答案：10 12.解折：展开式的通项公式T+=C2x)-(一士) =(-1)X2i-XCXx18-46 令18一4k=2,可得k=4, 则x2项的系数为(-1)‘×2-4×C6=4×15=60. 答案：60 13.解析：原式等于(x十y)-(红十)，由二项式定理，其展 开式中xy的系数为C-C=C-C=-28. 答案：-28 专题十一数系的扩充与复数的引入 实战集训1 1.ACD由=3+2i,得=3-2i,A正确；x=√32+2 =√/13≠5，B错误；x2=(3+2i)2=9+12i-4=5+12i, C正确，+3=6+21=6+21)8-D=2∈R.D正确. -i3+i 10 2.B(1-3i)2=1-2×1×3i+(3i)2=1-6i-9 =-8-6i. 3.C因为名=2+i,=1-3i,所以名1十2=2+i+1-3i =(2+1)+(1-3)i=3-2i,则x1+2|=|3-2i训 =√3+（-2)F=√13. 4.C由(1+5i)i=一5+i,即知虚部为1，选C. 5.A 11=-i -1i 6,B先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出，由i· +2=21可得，2=二2+21=2+2，所以：1=√2+2 i =2√2，故选：B. 7.C由题知=1+iD(:-1),之=1+1-1故选择：C 8.C|z=√+1=√2. 9.A因为=5十i,所以x=5一i,故ig十x)=10i 10.D因为之=√2i,所以之·=2，故选D 11.C÷=-1-i,则x=i(-1-i)=-i-=1-i. 12.A周为-，所以=名所以发- 1-i 一i.故选A. 13.A由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i一3=6+8i,所以 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限. 故选A 14.C(a+i)(1-ai)=a-ai+i+a=2a+(1-a2)i=2, 所以2a=2。解得a=1.故这C. {1-a2=0, 15.解析：(3+i)=9++6i=8+6i. 答案：8+6i 16.解析：本题考查了复数的模、以及复数的运算 3+ is 13+il==√/0. i 1 答案：√10 10 17,解析：本题考查了复数的运算，复数的模的最值. 设x=a十bi(a,b∈R) g=()2, .(a+bi)2=(a-bi)2, 解得a=0或b=0, g1, .应当a=0,|b1或b=0,a≤1， ,|之一2一3i表示复平面上之的对应点与(2,3)的距 离，可知当之位于(0,1)时，之一2一3i取得最小 值为2√2 答案：2√2 18.解析：设之=1十bi(b∈R,且b≠0)， 2 所以+21+i+中=1+bi+2:0-二) 1+b2 +平+()小 =1+2 因为m∈R,所以62=0，解得6=士1， 所以m=1计子 =1+1=2. 答案：2 19.解析：(W5+i)·(W5-2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√⑤i. 答案：7-√5i 20.解析：由题意可得5，+14=5+14(2-3=52+131 2+3i (2+3i)(2-3i) 13 =4+i. 答案：4十i 21.解析：1-i这=1-i(1+i)=2-i,11-i这=|2-i=√5. 答案：W5 实战集训2 1.C 5(1+)=5(1-卫=1-i,故选C. (2+i)(2-iD 5 2+i 2+i 2.B由题意可得：=1十十行=1-1中 =i2+D 2i-1=1-21,则=1+2i.故选B, 1 3.C由题意可得2++2=2-1-2i=1-2i, 则|2++2|=|1-2i=√2+(-2)产=√5.故选：C. 4.D对原式两边同时乘以i得：之一1=i,即x=1十i,所以 =1一i,即之十之=2，故选D. 5.D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i=2-2i+4=6-2i, 故选D 6.A由题设，之=1一2i,=1十2i,代入有a十b十1十（2a 2)i=0,故a=1,b=一2，选择A. 7.C由￥=1+=-1+ ,故选C 一1 4-1 3 3 8,B由条件可知之=3i=-4-3i所以=5. 1 专题十二统计与统计案例 实战集训1 1.B将数据从小到大排列为4,5,6,8,12，中间数为6， 选B. 2.A对于A:回归方程y=-1.17x+1370.7,斜率为负， 且相关系数|r|=0.91表示相关程度较高，故判断为负 相关，A选项正确；对于B:当x=10时，y=-1.17×10 +1370.7=1359,回归方程所求y,得到的是预测值，实 际值不一定等于预测值，B项错误；对于C:由选项B分 析可知C选项错误；对于D:相关系数|r=0.91,接近于 1,说明两变量线性相关程度较高，故存在线性关系。 3