湖北十堰市郧阳中学2026届高三最后一次模拟考试（全真模拟）数学试题

绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证和条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑．非选择题用黑色签字作答，字体工整，笔记清楚． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，且，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知点，，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．下列有关复数，的等式中错误的是（ ） A． B． C． D． 4．若和都为基底，则不可以为（ ） A． B． C． D． 5．若实数，是方程在区间上不同的两根，则（ ） A． B． C． D． 6．若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知正四面体的棱长为6，先后在其中放入一大一小两个球，，使得球为该正四面体的内切球，球与球及正四面体的三个侧面相切，记球和球的半径分别为，，则（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件A，B满足，，则（ ） A．事件A，B相互独立 B．事件A，B互斥 C． D． 10．已知，是抛物线C：上异于坐标原点O的两个动点，且以为直径的圆过点O，过点O作于点M，则（ ） A．直线的斜率为 B．直线过定点 C．点M的轨迹方程为 D．的重心G的轨迹为抛物线 11．设满足以下两个条件的有穷数列为，，…，为n（）阶“期待数列”：①；②则下列说法正确的是（ ） A．若等比数列为（）的“期待数列”，则公比 B．若等差数列既是（）的“期待数列”又是递增数列，则公差 C．记n阶“期待数列”的前k项和为（，2，…，n），则 D．若存在，使得n阶“期待数列”的前k项和，则数列总不能为n阶“期待数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若（）则的值为__________． 13．正整数，其中,，1，2，…，k．记．从集合中随机抽取一个数n，则的概率为__________． 14．已知椭圆C：（）的右焦点为，经过坐标原点O且斜率的直线l与椭圆C交于A，B两点，设的中点为M，的中点为N，以线段为直径的圆经过点O，则C的离心率的取值范围__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知O为的外心，D为上一点，且，． （1）求角B；（2）若，求面积的取值范围； 16．（本小题15分） 已知函数，a为大于0的常数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：． 17．（本小题15分） 一电动机器人宇树需放入电池才能启动．现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池．每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉． （1）在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； （2）设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为： 其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率．设X表示电动机器人宇树前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； 18．（本小题17分） 已知平面直角坐标系上一动点Q满足，，． （1）求点Q的轨迹曲线C的方程； （2）斜率为的直线与曲线C交于A，B两点，点． ①求直线，的斜率之和； ②的外接圆圆心M是否在某定直线上？说明理由． 19．（本小题17分） 已知四面体，，，，，N为的三等分点（靠近B），M为的中点，过点M的动平面交射线，，于P，Q，R． （1）如图，当时，①求的长． ②空间中一动点T，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点T，使得？并说明理由． （2）当时，记四面体内切球的半径为r，求r的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学答案 1 2 3 4 5 6 8 10 父 D C D AC ABD ACD 12.0 231 13.2000 5,6-0 14 15·【详解】(1)因为2cosB(acosC+ccosA)=b 2cos B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B 又sin AcosC+sin Ceos A=-sin(M+C)=sin(π-B)=sinB,所以 0<B<π，所以sinB>0, sB=1 .B=π 即 2,由0<B<π，所以3； Same-acsin B-axxc 1 (2)由题意 2 21 24， a c c=asinCsinc 由正弦定理有：sinA sinC,所以sinAsinA, B=π A+C=2 由(1)由3，所以 3， (模拟) 由正弦定理得： 2 cos Bsin B=sinB,又 sinC sin(B+A)sin Bcos A+cos Bsin A 3 cosA, +cosB=3 1 1 所以sinA sinA sin A 2 sinA 2 tan A 2. 0<A< 2 0<C< 2 A+C=2π <A< 又△ABC为锐角三角形，所以 3,所以6 折yanA> <2,所以 3, 3533 0< <5 所以tanA sin A 82 3W533 所以△ABC面积的取值范围为 82 16.【解】(1D）函数的定义域为0,1).由题意， 品2 11 a= (i)若 4,则-+x-a≤0，于是/'()50.当且仅当0=4， =2时，f()=0,所以 G))我0a-0,g上西食“ 2, .wa 西，4西 2 2 )时， 1-V1-4a1+V1-4a )单调递减， 2 ，2 单 m1-1-4a x-1+≥1x-,2 调递增.（ⅲ）若a≤0，则2，当（ 时，'()<0，当 r∈ m1-V1-4a ,f>0,所r 1-1-4a】 2 2 单调递减， )单调递 增综上所述，当“二4时，函数()在(0,1)上单调递减， 1 0<a< 当 )上单调递减， 1-V1-4a1+V1-4a 、2 2 )上单调递增； 1-V1-4a 0,1 1--4a,1 当a≤0时，函数f(x)在 上单调递减， 2 )上单调递增. (2)由(1)知， 0<a< f()有两个极值点当且仅当 4 0<x1人) 由于f(的两个极值点，满足-2+x-a=0,所以本+为=1，·名=0，则0 由r)4-号+an0-)小=0-*nx-日5-2%+50-0恤 世8-号+号-2+0-加：0克， g'()=x-2+(1-2x)nx+x(0-x)=(1-2x)nx-1 告4分t,0-2加<0，所以g00.新日e 1 0, E（”2单调递减，又 9=+。-1+2n-3+m4 82)F281+4"28. 3+ln4 f3)-x>3+血4 所 g()>82 8,即 8 17.【详解】(1)设事件A表示第一次取出时为可充电池，事件A表示第一次取出时为一次性电池，事 件B表示第二次取出时为一次性电池，则 P=P4P川A)-P4P(@4)-子品.f a-名2.所以 P(4B) P(4B)-4= P(B)99 20: (2)由题意，X的可能取值为1,2,3， Px==)-含器.P=2=川0K=业=0 339 3×2+2×3-27 2×1=1 所以 xv=)-号2哥品 18,【小问1详解】由思意知，2-D=2W5<E=2V5,所以动点Q的轨迹为双曲线的右支， 2a=2V2,2c=25,即a=V2,c=V3,所以b=Vc2-a=l,所以点Q的轨迹曲线c的方程为 (x>0). 【小问2详解】O设直线AB的方程为y=-x+m,A(,）,B(:,）,直线AP和BP的斜率分别 16m2-4(2m2+2)>0 -y=1 2m>V2 2 2-4V2m+2m2+2≥0 为，k,联立y=-t+m得，x2-4mr+2m2+2=0,由题意得 ,解得 m>1, 于 是 +x2=4m xx2=2m2+2 所 以 k+=当-1+1s-20-0+(G-2)0-） x-2x2-2 (x-2)(x2-2) _(s-2)(m-1-x)+(-2)(m-1-x)_(m+10(x+x）-2x-4(m-1） (x-2)(x2-2) (x-2)(x-2) _m+)-4m-2(2m2+2）-4m-）-0 (x-2)(x2-2) ，所以店+=0.②直线AP的中垂线为 y-+1--2x-5+2 直线BP的中垂线为2-2， 联立直线方程 y-当+1--2x-+2 X一 2 y-1( 2 y-五+1-五-2 x-专+2)】 2 2方子方 得： 区-20m-1-)-s-2m-1-.x=- 于是 (m-1-x)(m-1-x2) 2-) S-m-引5+--a-+】,代入-m=26-ma+》当0=3 3 x=三(m+1) 点P在直线AB上，不符合题意，故2 当-1. 0-0y-(-=(2-x) 2-X1 4+2)=x ,y+ 0-1y-好-)=(2-)x 2-1v+3 又消x得： 推出(2- y+4+2)=x 推出： ，得： -汇5+4-2(+月=[m1-2-)广(m-12-小y,得 642m+2--6-s-少，x4,a-0m-小6- x(m1) 又m≠3，所以 a0-.△Pea小0--0- ,消去 m得x+y-3=0,故M必在直线x+y-3=0上. 19.【小问1详解】 ow-0oi-丽+ocoa-o丽gc 1 所以 36 ×12os号 =1+1+4+2c0s0+4c 9 s0+等os0-号+4oms0-号8 oM-雨 3 93 09,所以 =3 0A=20m0B=3000c-40 ②设OP=x,O0=y,OR=z,则 y 2,所以 ow-or+00+2o际 y 112=1 一+一 由共面定理，得xy32,记棱长为1的正四面体的体积为'%，所以'o-P=z少， 1.12 2 1=二+二+ ≥33 1-1-2-1 由均值不等式 x y 3z 32,此时当xy3z3,即x=y=3,2=2,'。0取得最 小值， OM-0P+100+OR 则此时 3 3 3 ,即M证+M0+M派=0，故M是△POR的重心， 对空间中任意点红)则T严=TM+M师， TP=TM+MP)'=TM'+2TM.MP+MP 同理T0=TM+2M.M0+M0,R2=7M+2M.M派+MR2, 所以4()-币+70+7R=3W+2M-(P+M0+Mm)+M+M0'+R =37W+d(M)2d(M）,故不存在空间中一点使得d(T)Kd(M) 1 【小问2详解】 由勾股定理， Pe=x2+y2 PR=x2+2 OR=vy2+z2 cos∠QPR= 由余弦定理， 2++2,所以 sin opR= Vx+y.vx+2 灯z r=- Sarony+ 所以 ，所以 x+y+x+xy2+xy2+y222 1 一十一十 11t-1 '(t)=1+ f)-1+1+hr-2+2, 1 当11 2时 f'()=1+ 11t-1 =>0 1 11r-2+2 f'()=1+1-1 ==0 0<1<1 11时，令 6=10-3v5 解 110,所以 以f(0)m=f(6)=1+1+1-1r=2-10r=12+35 ,rs46 11,所以3（当 4-5 t=时取等)所以r的最大值为3.