专题05 不等式与不等式组 （11大题型+暑假培优讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题05 不等式与不等式组 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 不等式的性质 知识点二 解一元一次不等式 知识点三 解一元一次不等式组 知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 不等式的定义和解集 题型2 不等式的性质 题型3 一元一次不等式的定义和解 题型4 在数轴上表示不等式的解集 题型5 求一元一次不等式解的最值 题型6 列一元一次不等式 题型7 用一元一次不等式解决实际问题 题型8 用一元一次不等式解决几何问题 题型9 求不等式组的解集 题型10 不等式和方程综合问题 题型11 不等式组与实际问题 常考考点 命题风向 1.基础概念：不等式定义、不等号识别、不等式的解与解集、解集在数轴上表示 2.不等式性质：三条基本性质辨析、易错变号规则、利用性质变形比较大小 3.一元一次不等式：解一元一次不等式、步骤规范、整数解/非负整数解限定题型 4.一元一次不等式组：公共解集判断、四种解集口诀、不等式组求解步骤 5.含参不等式（组）：根据解集情况、有无解、整数解个数求参数范围 6.不等式与方程综合：方程解的正负性、解的取值范围结合不等式求参数 7.实际应用题：取值范围、方案选择、最值问题、资源分配经典题型 （1）基础层（选择、填空） 考查不等式性质判断、数轴表示解集、简单不等式求解、基础整数解查找。高频陷阱：乘除负数忘记变号、数轴空心实心混淆、方向画反。 （2）中档解答（必考） 规范解不等式（组）、求解限定整数解、方程与不等式综合求参数。重在步骤完整、解集准确、数轴作图规范。 （3）拔高压轴 ①含参不等式组整数解个数分类讨论；②不等式组多方案最值应用题；③不等式与方程组、代数式求值综合探究。 命题四大固定趋势 （1）考点融合强：性质、求解、参数、方程综合混搭出题，单一考点极少单独考查。 （2）参数题为拉分核心：根据解集、有无解、整数解个数定参数范围，是高频难点。 （3）应用侧重方案型：不再简单列式，侧重整数解、最优方案、最值选取实际场景。 （4）细节失误重灾区：不等号变号错误、数轴画法不规范、参数边界等号取舍出错。 考情解码： 1.性质核心：加减不变号；正数乘除不变号；负数乘除必须变号，是全章第一易错点。 2.数轴规范：空心圈不含等号，实心点含等号；大于向右、小于向左。 3.解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找（无解）。 4.整数解解题逻辑：先解通用解集，再锁定整数，反向推导参数边界，注意临界取舍。 5.含参避坑：参数范围必须验证等号是否成立，多数失分源于多等号、漏等号。 6.方程不等式综合：先解方程用参数表示解，再根据正负、大小列不等式求范围。 7.应用题关键：设未知数、列不等式、取正整数解、对比取值选出最优方案。 知识点一 不等式的性质 （1）不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. （2）不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. （3）不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 知识点二 解一元一次不等式 （1） 去分母； （2） 去括号； （3） 移项； （4） 合并同类项； （5）未知数的系数化为1.在（1）~（5）的变形中，一定要注意不等号的方向是否需要改变. 知识点三 解一元一次不等式组 （1）先求出各个不等式的解，再确定其公共部分，即为原不等式组的解集. （2）借助数轴，熟练掌握四种基本不等式组的解集. 不等式组（b<a） 数轴表示 解集 口诀 x>a 同大取大 x<b 同小取小 b<x<a 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题 列不等式（组）解应用题的基本步骤： （1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字； （2）设：可以直接设，也可以间接设； （3）列：根据题目中能表示全部含义的不等关系列出不等式（组）； （4）解：解出所列的不等式（组）的解集； （5）验：检验所得结果是否正确，考虑所得的解是否符合问题的实际意义； （6）答：写出答案. 题型1 不等式的定义和解集 【例1-1】下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义，判断给出的每个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用等号连接，是等式，不是不等式； ⑤用不等号连接，是不等式； 因此不等式共有3个． 【例1-2】一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 用不等号连接的整式式子为不等式；能使不等式成立的所有未知数的值组成解集。 【变式训练1-1】已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【答案】D 【分析】已知不等式解集为，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，， ∴ -3不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项，， ∴ 1是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如，但，不是不等式的解， ∴ C错误； 对于D选项，所有大于的数都满足， ∴ 大于的数都是这个不等式的解，D正确． 【变式训练1-2】下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1-3】下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 题型2 不等式的性质 【例2-1】在数学活动课上，老师布置了一个摸卡片比大小的游戏，游戏规则是：准备张相同的卡片，上面分别写有，，，，，，将卡片正面朝下放置在桌上，并打乱顺序．参与者从中随机抽取三张交给老师，这三张卡片分别记为，，，老师依次将任意两张卡片上的数的和告诉参与者，参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．小敏同学抽取结果如下表： 卡片代号 ， ， ， 两数和 请推断出哪张卡片最大（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】设卡片，，上的数字分别为，，，根据题意表示出两数之和，再利用不等式的性质比较大小即可． 【详解】解：设卡片，，上的数字分别为，，， 由题意可知，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即卡片上的数字最大． 【例2-2】下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质判断各选项正误即可． 【详解】解：A、由得到，但无法得出，故本选项错误； B、由得，则，故本选项错误； C、当时，，不满足，故本选项错误； D、由得，两边同除以，得，故本选项正确． 加减不变不等号方向；乘除正数方向不变，乘除负数必须改变不等号方向。 【变式训练2-1】下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解：对于A，∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴，A变形错误． 对于B，∵，两边减得，再同除以，不等号方向改变，∴，B变形错误． 对于C，∵，，当时，，∴，C变形错误． 对于D，∵，可知，且，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴，D变形正确． 【变式训练2-2】若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式性质对各选项逐一判断，可通过举反例排除错误选项． 【详解】A．取，，满足，但，故该选项错误，不符合题意． B．取，，满足，但，故该选项错误，不符合题意． C．， 根据不等式性质，不等式两边同乘同一个负数，不等号方向改变， ，故该选项正确，符合题意． D．， 根据不等式性质，不等式两边同乘同一个正数，不等号方向不变， ，故该选项错误，不符合题意． 【变式训练2-3】若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.∵，∴ ，故A错误； B.∵，，∴，故B正确； C.∵，∴，，故C错误； D.∵，，∴，故D错误. 题型3 一元一次不等式的定义和解 【例3-1】下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 【详解】解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 【例3-2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 只含一个未知数、未知数次数为 1、整式不等式；使不等式成立的未知数所有取值为解集。 【变式训练3-1】已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵不等式 的解集是，不等号方向发生改变， ∴可得， ∴解得． 【变式训练3-2】若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察题目方程组的系数特征，发现两式相加可直接得到的值为，再根据列不等式求解即可得m的取值范围. 【详解】解： 由得：， ∵， ∴，解得:, ∴m的取值范围为. 【变式训练3-3】已知关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解原一元一次不等式，再根据题目给出的解集列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵不等式的解集为， ∴ ， 两边同乘得 ， 移项合并得 ， 解得． 题型4 在数轴上表示不等式的解集 【例4-1】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴知，两个负整数解只能是，由此可确定a的取值范围． 【详解】解：根据数轴知，两个负整数解只能是， 所以数a表示的点在表示的点的左边，但不能在表示的点的左边， 即． 【例4-2】已知某个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】从数轴可知：不等式组的解集是． 大于向右画，小于向左画；有等号画实心点，无等号画空心圈。 【变式训练4-1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 在数轴上表示为： 【变式训练4-2】如图是两位同学在讨论一个不等式的求解过程，他们讨论的不等式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在数轴上表示一元一次不等式的解集，找到未知数系数为负数，并且不等式的解为的即为所求． 【详解】解：A、，解得：，系数为正数，不改变不等式的符号，故该选项不符合题意； B、，解得，解集不符合，故该选项不符合题意； C、，解得：，系数为负数，改变不等式的符号，解集符合，故该选项符合题意； D、，解得：，解集不符合，故该选项不符合题意． 【变式训练4-3】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据数轴确定不等式的解集，再根据不等式有3个非负整数解，确定该不等式的非负整数解，从而确定的取值范围． 【详解】解：由数轴可得该不等式的解集为， ∵该不等式恰好有3个非负整数解， ∴该不等式的非负整数解为0，1，2， ∴． 题型5 求一元一次不等式解的最值 【例5-1】已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 【例5-2】已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 先求出不等式解集，结合整数条件筛选，确定最大、最小整数解。 【变式训练5-1】已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 【变式训练5-2】已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意可得，易知，结合可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴的最小值是． 【变式训练5-3】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 题型6 列一元一次不等式 【例6-1】某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设答对道题，先表示出答错或不答的题量，再根据竞赛规则计算总得分，结合优秀的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：∵设小明答对了道题，一共回答道题， ∴答错或不答的题量为道． 由题意可得：总得分为． ∵优秀选手要求得分是分或分以上，即总得分大于等于， ∴列出不等式为． 【例6-2】本学期学校打算以知识竞赛的方式评选“博雅之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示答对得分和答错或不答的扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可 【详解】解：设答对道题， ∵总题数为50道， ∴答错或不答的题数为道，答对得分为，答错或不答共扣分，要求得分不低于120分，即总得分大于等于120， 因此可得不等式： 找准题目不等关系，设未知数，用不等号列出整式不等式。 【变式训练6-1】某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的两室一厅两种户型，且建楼的土地面积不超过总土地面积的．求的户型最多可以建多少套？设的户型可以建套，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设的户型建套， ∴的户型建套， ∵每幢楼共5层，建楼土地面积为底层占地面积，因此总建楼占地面积等于所有户型总建筑面积除以5， ∴套户型对应的建楼占地面积为，套户型对应的建楼占地面积为， 又∵建楼的土地面积不超过总土地面积的，总地块面积为， ∴． 【变式训练6-2】2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长．某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：，，，，若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n，C，D组人数和为m）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意明确不等关系，睡眠时间不少于8小时的学生对应C，D两组，要求该部分学生占总人数的比例超过，根据占比关系列不等式整理即可得到结果． 【详解】解：睡眠时间不少于8小时的学生对应C，D组，人数和为，总人数为，要求占比超过， 列不等式得， 是总人数，， ． 【变式训练6-3】“的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拆解题目描述，结合非正数的定义转化为不等式即可； 【详解】解：∵的5倍为，的5倍与2的和为， 又∵非正数的定义为小于或等于的数， ∴可列不等式为． 题型7 用一元一次不等式解决实际问题 【例7-1】《九章算术》是我国古代重要的数学著作，书中记载：粮仓中储存了黍、稷、稻三种粮食，总重量为石．已知稷的重量是黍的倍；为了应对荒年，规定“备荒用的稻粮，必须多于黍、稷两种粮食的总和”，才能保证灾年供应．设黍的重量为石，下列说法中错误的是（     ） A．稷的重量是石 B．为满足备荒要求，可列不等式 C．当石时，稻粮与黍、稷两种粮食的总和相等 D．当石时，满足备荒要求 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出稷和稻的重量，再结合备荒要求列出不等式，求解后逐一判断选项正误即可． 【详解】解：设黍的重量为石， 稷的重量是黍的倍， 稷的重量为石， 故选项A正确； 黍和稷的总重量为， 三种粮食总重量为石， 稻的重量为石， 要求稻的重量多于黍、稷两种粮食的总和， 可列不等式， 故选项B正确； 解不等式得：，即时满足备荒要求， 当时，稻的重量为，黍稷总重量为，二者相等， 故选项C正确； 当时，可得，即稻的重量小于黍稷总重量，不满足备荒要求， 故选项D错误． 【例7-2】某文具店推出优惠活动：购买笔记本不超过本时，每本售价元；超过本时，超过的部分每本售价元．小明带了元去买笔记本，设他可以买本笔记本（），则下列能正确表示题意的不等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据优惠规则分两部分计算购买笔记本的总花费，结合总花费不超过80元列出不等式，即可选出正确选项． 【详解】∵， ∴前10本笔记本的总价为元，超过10本的部分数量为本，这部分总价为元， ∵小明总共带了80元，总花费不超过80元， ∴可得不等式． 审清题意找出不等关系，设未知数列不等式，求出解集后选取符合实际意义的答案。 【变式训练7-1】小明“五一”期间由于乘飞机旅游产生了近300公斤的碳排量．学习《低碳生活》一课后，小明决定每天步行上下学来弥补这些碳排量．在不考虑其它因素的情况下，若每步行1公里减少的碳排放量按0.04公斤计算，小明每天上下学共需要走6公里的路程，则小明至少需要步行多少天减少的碳排量才会不少于其“五一”期间乘飞机产生的碳排量的一半？设小明需要步行x天，则x的最小值为（     ） A．300 B．500 C．625 D．1250 【答案】C 【分析】设小明需要步行x天，通过飞机产生的碳排量的一半与步行减少的碳排量的关系，建立不等式即可求解； 【详解】解：设小明需要步行x天，根据题意，得 解得 为正整数， 的最小值为625． 【变式训练7-2】某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于90分，那么他至少要答对（    ） A．题 B．题 C．题 D．题 【答案】A 【分析】设答对题数为未知数，根据题目给定的得分规则列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小正整数即可得到结果． 【详解】解：设小亮答对道题，则答错或不答的题数为道，由题意得： ， 展开整理得：， 解得：， 为正整数，的最小值为，即小亮至少要答对13题． 【变式训练7-3】某商品进价元，标价元，打折后利润率不低于，最多可打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】B 【分析】根据利润率不低于的条件结合利润率利润进价列不等式求解即可． 【详解】解：设该商品可以打折， 根据题意列不等式得， 化简得， 移项合并得， 解得， 的最小值为7，即最多可打7折． 题型8 用一元一次不等式解决几何问题 【例8-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 【例8-2】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 结合几何公式建立数量关系，找出不等条件列出不等式，结合图形限制筛选合理结果。 【变式训练8-1】数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 【变式训练8-2】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【变式训练8-3】2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 【答案】A 【分析】根据题意可得，列出不等式，求得最小整数解即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧， ， 即， 解得， 为正整数， ∴的最小值为， 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次不等式的应用，根据题意得出是解题的关键． 题型9 求不等式组的解集 【例9-1】不等式组解集表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分． 【详解】解：解不等式， 可得， 解不等式， 可得， 故不等式组的解集为． 【例9-2】已知两个不等式的解集在数轴上如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴不等式组的解集为. 分别解出每个不等式解集，再取公共部分；口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 【变式训练9-1】已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是5，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别解不等式得到不等式组的解集，确定最大整数解，再根据两个整数解的差求出最小整数解，据此确定的取值范围． 【详解】解： 由得， 由得，即， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为， ∵最大整数解与最小整数解的差是， ∴最小整数解为， ∴． 【变式训练9-2】不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集内的整数，统计整数解的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵为整数， ∴的整数解为0，1，2，共3个． 【变式训练9-3】不等式组的整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先对不等式组中的两个不等式分别求解，得到不等式组的公共解集后，在解集范围内找出符合条件的整数个数． 【详解】解：原式 对于不等式① 移项得， ， 解得． 对于不等式② 移项得， ， 解得． 故不等式组的解集为， 即满足解集内的整数有3和4，共2个． 题型10 不等式和方程综合问题 【例10-1】若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键． 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 【例10-2】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 解方程用参数表示未知数，代入不等关系求出参数取值范围。 【变式训练10-1】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是求出．先解方程组得出，再根据为正数，为非负数判断①，把代入可判断②，将代入可判断③． 【详解】解：由得， 为正数，为非负数， ， ，故①错误； 当时，，， ，故②正确； 当时，，， 此时，故③正确， 正确的有②③， 故选：B． 【变式训练10-2】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与二元一次方程组的综合．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，解之求得a、b的值即可得出答案． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故选：D 【变式训练10-3】已知关于、的方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论： ①；②当时，；③当时，此方程组的解也是方程的解．其中正确的是(　 　)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式的解法．用加减法解出方程组，根据方程组的解对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ①②得，， ①②得，， 由题意得，，， ，， ，①正确； ， 解得：，②正确； 时，，，③正确； 故选：D． 题型11 不等式组与实际问题 【例11-1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【例11-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 找出题目中两组不等关系，列出不等式组求解，结合实际选取符合条件的整数解。 【变式训练11-1】若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的苹果不足5个，列出不等式组即可． 【详解】解：∵若干个苹果分给个小孩，每人分3个余7个， ∴苹果的总数为个． ∵每人分5个时，只有最后1人分不到5个，前个小孩每人都分到5个， ∴前个小孩共分苹果个，最后一人分到的苹果数为． ∵苹果数不能为负数，且最后一人分到的苹果不足5个， ∴． 【变式训练11-21】某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【答案】 共有名同学 【分析】结合题意列出一元一次不等式组即可得解． 【详解】解：设共有名同学，则这些书有本， ， 解得， 为整数， ， 共有名同学． 【变式训练11-3】（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【答案】（1）；（2）6名 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程的解法和不等式组的应用是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）设共有名同学，根据若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本建立不等式组，解不等式组，结合为正整数求解即可得． 【详解】解：（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）设共有名同学， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， 答：共有6名同学． 【变式训练11-4】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【答案】(1)沙包的单价为12元，篮球的单价为30元 (2)一共有三种方案，分别是：方案一：购买沙包52个，购买篮球38个；方案二：购买沙包53个，购买篮球37个；方案三：购买沙包54个，购买篮球36个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买沙包个，购买篮球个，根据采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设沙包的单价为元，篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：，， 答：沙包的单价为12元，篮球的单价为30元． （2）解：设购买沙包个，购买篮球个，根据题意得： 解得：， 一共有三种方案，分别是： 方案一：购买沙包52个，购买篮球38个； 方案二：购买沙包53个，购买篮球37个； 方案三：购买沙包54个，购买篮球36个． 【变式训练11-5】某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【答案】运输方案共1种：甲型货车5辆、乙型货车5辆；最低运费3800元 【分析】本题考查不等式组解应用题，读懂题意，准确列出不等式组求解是解决问题的关键． 设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意，列不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组： ， 解不等式①得； 解不等式②得； ， 则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆； 总运费为：（元）， 答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元． 【变式训练11-6】《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 【变式训练11-7】绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【答案】490块 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 设70块坯布可以打卷，根据“若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余”建立不等式组求解即可． 【详解】解：设70块胚布可以打卷， 则由题意得 解得， 所以整数 所以坯布数量块． 【变式训练11-8】已知和的值都是正数．求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．根据题意列出不等式组，解不等式组即可，注意求解不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了． 【详解】解：依题意得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 即a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 不等式与不等式组 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 不等式的性质 知识点二 解一元一次不等式 知识点三 解一元一次不等式组 知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 不等式的定义和解集 题型2 不等式的性质 题型3 一元一次不等式的定义和解 题型4 在数轴上表示不等式的解集 题型5 求一元一次不等式解的最值 题型6 列一元一次不等式 题型7 用一元一次不等式解决实际问题 题型8 用一元一次不等式解决几何问题 题型9 求不等式组的解集 题型10 不等式和方程综合问题 题型11 不等式组与实际问题 常考考点 命题风向 1.基础概念：不等式定义、不等号识别、不等式的解与解集、解集在数轴上表示 2.不等式性质：三条基本性质辨析、易错变号规则、利用性质变形比较大小 3.一元一次不等式：解一元一次不等式、步骤规范、整数解/非负整数解限定题型 4.一元一次不等式组：公共解集判断、四种解集口诀、不等式组求解步骤 5.含参不等式（组）：根据解集情况、有无解、整数解个数求参数范围 6.不等式与方程综合：方程解的正负性、解的取值范围结合不等式求参数 7.实际应用题：取值范围、方案选择、最值问题、资源分配经典题型 （1）基础层（选择、填空） 考查不等式性质判断、数轴表示解集、简单不等式求解、基础整数解查找。高频陷阱：乘除负数忘记变号、数轴空心实心混淆、方向画反。 （2）中档解答（必考） 规范解不等式（组）、求解限定整数解、方程与不等式综合求参数。重在步骤完整、解集准确、数轴作图规范。 （3）拔高压轴 ①含参不等式组整数解个数分类讨论；②不等式组多方案最值应用题；③不等式与方程组、代数式求值综合探究。 命题四大固定趋势 （1）考点融合强：性质、求解、参数、方程综合混搭出题，单一考点极少单独考查。 （2）参数题为拉分核心：根据解集、有无解、整数解个数定参数范围，是高频难点。 （3）应用侧重方案型：不再简单列式，侧重整数解、最优方案、最值选取实际场景。 （4）细节失误重灾区：不等号变号错误、数轴画法不规范、参数边界等号取舍出错。 考情解码： 1.性质核心：加减不变号；正数乘除不变号；负数乘除必须变号，是全章第一易错点。 2.数轴规范：空心圈不含等号，实心点含等号；大于向右、小于向左。 3.解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找（无解）。 4.整数解解题逻辑：先解通用解集，再锁定整数，反向推导参数边界，注意临界取舍。 5.含参避坑：参数范围必须验证等号是否成立，多数失分源于多等号、漏等号。 6.方程不等式综合：先解方程用参数表示解，再根据正负、大小列不等式求范围。 7.应用题关键：设未知数、列不等式、取正整数解、对比取值选出最优方案。 知识点一 不等式的性质 （1）不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. （2）不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. （3）不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 知识点二 解一元一次不等式 （1） 去分母； （2） 去括号； （3） 移项； （4） 合并同类项； （5）未知数的系数化为1.在（1）~（5）的变形中，一定要注意不等号的方向是否需要改变. 知识点三 解一元一次不等式组 （1）先求出各个不等式的解，再确定其公共部分，即为原不等式组的解集. （2）借助数轴，熟练掌握四种基本不等式组的解集. 不等式组（b<a） 数轴表示 解集 口诀 x>a 同大取大 x<b 同小取小 b<x<a 大小小大中间找 无解 大大小小无处找 知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题 列不等式（组）解应用题的基本步骤： （1）审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字； （2）设：可以直接设，也可以间接设； （3）列：根据题目中能表示全部含义的不等关系列出不等式（组）； （4）解：解出所列的不等式（组）的解集； （5）验：检验所得结果是否正确，考虑所得的解是否符合问题的实际意义； （6）答：写出答案. 题型1 不等式的定义和解集 【例1-1】下面给出了5个式子：①，②，③，④，⑤，其中不等式有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例1-2】一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 用不等号连接的整式式子为不等式；能使不等式成立的所有未知数的值组成解集。 【变式训练1-1】已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【变式训练1-2】下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 题型2 不等式的性质 【例2-1】在数学活动课上，老师布置了一个摸卡片比大小的游戏，游戏规则是：准备张相同的卡片，上面分别写有，，，，，，将卡片正面朝下放置在桌上，并打乱顺序．参与者从中随机抽取三张交给老师，这三张卡片分别记为，，，老师依次将任意两张卡片上的数的和告诉参与者，参与者猜出其中哪张卡片上的数最大．小敏同学抽取结果如下表： 卡片代号 ， ， ， 两数和 请推断出哪张卡片最大（     ） A． B． C． D．无法确定 【例2-2】下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 加减不变不等号方向；乘除正数方向不变，乘除负数必须改变不等号方向。 【变式训练2-1】下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式训练2-2】若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】若，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型3 一元一次不等式的定义和解 【例3-1】下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 只含一个未知数、未知数次数为 1、整式不等式；使不等式成立的未知数所有取值为解集。 【变式训练3-1】已知的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】若关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知关于的不等式的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型4 在数轴上表示不等式的解集 【例4-1】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰好只有两个负整数解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例4-2】已知某个关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（     ） A． B． C．或 D．或 大于向右画，小于向左画；有等号画实心点，无等号画空心圈。 【变式训练4-1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图是两位同学在讨论一个不等式的求解过程，他们讨论的不等式可能是（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有3个非负整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型5 求一元一次不等式解的最值 【例5-1】已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【例5-2】已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 先求出不等式解集，结合整数条件筛选，确定最大、最小整数解。 【变式训练5-1】已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【变式训练5-2】已知实数x，y满足，并且，则的最小值是（   ） A．-1 B． C． D． 【变式训练5-3】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 题型6 列一元一次不等式 【例6-1】某班举行环保知识竞赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀选手（85分或85分以上），为求小明至少答对几道题，设小明答对了道题，下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例6-2】本学期学校打算以知识竞赛的方式评选“博雅之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（     ） A． B． C． D． 找准题目不等关系，设未知数，用不等号列出整式不等式。 【变式训练6-1】某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的两室一厅两种户型，且建楼的土地面积不超过总土地面积的．求的户型最多可以建多少套？设的户型可以建套，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长．某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：，，，，若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n，C，D组人数和为m）（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】“的5倍与2的和是非正数”用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 题型7 用一元一次不等式解决实际问题 【例7-1】《九章算术》是我国古代重要的数学著作，书中记载：粮仓中储存了黍、稷、稻三种粮食，总重量为石．已知稷的重量是黍的倍；为了应对荒年，规定“备荒用的稻粮，必须多于黍、稷两种粮食的总和”，才能保证灾年供应．设黍的重量为石，下列说法中错误的是（     ） A．稷的重量是石 B．为满足备荒要求，可列不等式 C．当石时，稻粮与黍、稷两种粮食的总和相等 D．当石时，满足备荒要求 【例7-2】某文具店推出优惠活动：购买笔记本不超过本时，每本售价元；超过本时，超过的部分每本售价元．小明带了元去买笔记本，设他可以买本笔记本（），则下列能正确表示题意的不等式是（     ） A． B． C． D． 审清题意找出不等关系，设未知数列不等式，求出解集后选取符合实际意义的答案。 【变式训练7-1】小明“五一”期间由于乘飞机旅游产生了近300公斤的碳排量．学习《低碳生活》一课后，小明决定每天步行上下学来弥补这些碳排量．在不考虑其它因素的情况下，若每步行1公里减少的碳排放量按0.04公斤计算，小明每天上下学共需要走6公里的路程，则小明至少需要步行多少天减少的碳排量才会不少于其“五一”期间乘飞机产生的碳排量的一半？设小明需要步行x天，则x的最小值为（     ） A．300 B．500 C．625 D．1250 【变式训练7-2】某校组织开展“中国航天成就”知识竞赛，共有道竞赛题．规定答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．如果小亮参加本次比赛，总分想要不低于90分，那么他至少要答对（    ） A．题 B．题 C．题 D．题 【变式训练7-3】某商品进价元，标价元，打折后利润率不低于，最多可打（     ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 题型8 用一元一次不等式解决几何问题 【例8-1】用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 结合几何公式建立数量关系，找出不等条件列出不等式，结合图形限制筛选合理结果。 【变式训练8-1】数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【变式训练8-2】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 题型9 求不等式组的解集 【例9-1】不等式组解集表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【例9-2】已知两个不等式的解集在数轴上如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 分别解出每个不等式解集，再取公共部分；口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 【变式训练9-1】已知关于x的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是5，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】不等式组的整数解的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练9-3】不等式组的整数解有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型10 不等式和方程综合问题 【例10-1】若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例10-2】若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解方程用参数表示未知数，代入不等关系求出参数取值范围。 【变式训练10-1】已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练10-2】已知关于x的不等式组的解集为，则a，b的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练10-3】已知关于、的方程组的解为正数，为非负数，给出下列结论： ①；②当时，；③当时，此方程组的解也是方程的解．其中正确的是(　 　)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型11 不等式组与实际问题 【例11-1】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【例11-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 找出题目中两组不等关系，列出不等式组求解，结合实际选取符合条件的整数解。 【变式训练11-1】若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【变式训练11-21】某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分本，那么剩余本；如果前面的每名同学分本，那么最后一人分到了书但是不到本．则共有多少名同学． 【变式训练11-3】（1）解方程：； （2）把一些书分给同学，若每人分3本，则余8本；若前面的每名同学分5本，则最后一人有但分不到3本．则共有多少名同学？ 【变式训练11-4】某校为补充课间体育器材，计划采购沙包和篮球共90个，已知每个篮球的价格比每个沙包的价格高18元，购买5个沙包和8个篮球共花费300元． (1)沙包和篮球的单价各是多少元？ (2)若采购总资金不超过1764元，且篮球的数量不少于沙包数量的，请问有几种购买方案？写出所有购买方案． 【变式训练11-5】某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？ 【变式训练11-6】《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【变式训练11-7】绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【变式训练11-8】已知和的值都是正数．求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $