暑假预习：二次函数与不等式、二次函数最值问题专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与不等式、最值两大核心考点，通过精选例题与变式题，系统覆盖图像法解不等式及含参/区间最值问题，强化数形结合与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与不等式|4例+4变式|图像法解二次函数自身/与一次函数不等式，结合交点、对称轴|从图像直观到代数推理，构建“形→数”转化链条| |二次函数最值问题|3例+3变式|含参数最值、区间最值、平移后最值，涉及配方与顶点坐标|从基本最值到综合应用，形成“代数运算→几何意义”递进关系|

暑假预习：二次函数与不等式、二次函数最值问题专项训练 暑假预习：二次函数与不等式、二次函数最值问题专项训练 考点目录 二次函数与不等式 二次函数最值问题 考点一 二次函数与不等式 例1．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 例2．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 例3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 例4．（2026·浙江杭州·二模）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 变式1．（2026·河北石家庄·一模）已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 变式2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 变式3．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 变式4．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 考点二 二次函数最值问题 例1．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 例2．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 例3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线（a为常数，），设． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线有最小值，求T的值． 变式1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 变式2．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 变式3．（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：二次函数与不等式、二次函数最值问题专项训练 暑假预习：二次函数与不等式、二次函数最值问题专项训练 考点目录 二次函数与不等式 二次函数最值问题 考点一 二次函数与不等式 例1．（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 例2．（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 例3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 例4．（2026·浙江杭州·二模）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 变式1．（2026·河北石家庄·一模）已知一次函数（）的图象不经过第三象限，抛物线G的解析式为（），则当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】A 【分析】首先由一次函数得到，，然后得到抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限，联立求出两个函数交点的横坐标为0和3，然后结合图象求解即可． 【详解】解：∵一次函数（）的图象不经过第三象限， ∴， ∴ ∵抛物线G的解析式为 ∴抛物线开口向下，顶点坐标在第一象限， 联立一次函数和抛物线，得 解得或 ∴一次函数和抛物线的交点的横坐标为0和3， 示意图如下： ∴由图象可得，当时，． 变式2．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 变式3．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 变式4．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 考点二 二次函数最值问题 例1．（25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①②最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线解析式为，再根据解析式确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可； ②不妨设，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）不妨设，，分点P在上方和在下方，分别表示出线段的长，根据二次函数的性质，建立不等式求解即可． 【详解】（1）①解：时，抛物线变形为， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； ②解：根据题意，得点为直线上的动点， 轴交抛物线于点Q． ，， ，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ， ∴当，的长度最大，且最大值为，此时． （2）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． ， 当，， 解得， 根据题意，得点A在点B左侧， ． 抛物线与y轴交于C． 故当，， ， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． 当点P在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，线段的长随着的增大而增大， ， 解得； 当点P不在上时，根据题意，得，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，且在对称轴直线的右侧，线段的长随着的增大而增大， ， 综上所述，m的取值范围是或； 例2．（2026·江苏盐城·三模）已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 例3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线（a为常数，），设． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线有最小值，求T的值． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式，代入系数即可求出对称轴； （2）先根据抛物线有最小值确定，再将顶点纵坐标用表示，结合最小值为得到的关系式，再通过整式变形化简，即可求出的值． 【详解】（1）解：由抛物线为， 抛物线对称轴为直线； （2）解：∵抛物线有最小值， ∴抛物线开口向上，即，抛物线的最小值为顶点纵坐标，顶点横坐标为， 将代入解析式得： ， 由最小值为得， ， 整理得， ∵， ， ， 变式1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 变式2．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 变式3．（2026·河南南阳·二模）在二次函数中，图象经过点和．    (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最小值为，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，    (3)的值为6或2 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用配方法化成顶点式即可得到二次函数图象的顶点坐标，根据描点法画出图象即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，根据的范围进行解答即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）解：， 二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，，解得， ∴抛物线与轴的交点为和， 画函数图象略； （3）由题意，二次函数的图象向右平移个单位长度， 新函数为． 此时函数图象开口向上，对称轴是直线，函数的最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，图象对应的函数最小值为， 或， 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， 即 ， 解得：或4（舍去）； 当，即时，此时当时，图象对应的函数最小值为， b ， 解得：或4（舍去）； 综上所述，的值为6或2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $