专题04 二次函数图像与系数关系（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图像与系数关系，通过分层题型设计构建从单一到综合的突破路径，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|5类共20题|含一次/反比例/两个二次函数综合判断（重/高频）及图像与系数关系（难）|从单一函数图像与系数关系到多函数综合，由易到难递进| |综合攻坚|8选择+4填空+6解答|含图像分析、方程根判断、综合应用|整合函数性质与代数推理，深化知识间逻辑关联|

专题04二次函数图像与系数关系 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与二次函数图像综合判断（重） 题型2 反比例函数与二次函数图像综合判断（重） 题型3 函数综合图像判断（高频） 题型4二次函数图像与系数关系（难） 题型5两个二次函数图像综合判断（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与二次函数图像综合判断 1．已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象和性质，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同，分两种情况讨论： 和． 【详解】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同． （Ⅰ）当时 直线经过第一、第三象限，随的增大而增大． 抛物线开口向上，把抛物线函数向下平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，没有符合题意选项． （Ⅱ）当时 直线经过第二、第四象限，随的增大而减小． 抛物线开口向下，把抛物线函数向上平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，选项D符合题意． 故选：D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的性质，掌握一次函数和二次函数解析式与图象的关系是解答本题的关键； 先根据一次函数经过的象限与y轴的交点确定a，c的正负； 然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点进行分析，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； C．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相吻合，符合题意； D．由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意． 故选C． 3．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 4．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． ◆题型2 反比例函数与二次函数图像综合判断 5．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴， 因此四个选项中只有C选项符合题意． 6．已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线，它与轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数、反比例函数综合，掌握各函数的图象与性质是解题的关键． 先根据二次函数的图象和性质，得出、、之间所满足的关系，初步判断一次函数与反比例函数的图象情况，再结合函数交点问题转换为方程问题，通过根的判别式判断一次函数与反比例函数是否有交点，即可得出最终符合要求的选项． 【详解】解：观察二次函数图象， ∵二次函数开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ∴，， 抛物线对称轴为直线， ∴， 得， ∵二次函数经过点， ∴， 得， 由此判断一次函数经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 结合一次函数和反比例函数， 得， 整理得， 其方程根的判别式为， 将，代入上式， 得， 即方程无解， 故一次函数与反比例函数没有交点， 综上，可得答案为A选项． 7．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 8．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． ◆题型3 函数综合图像判断 9．已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象确定的符号以及的值，再根据二次函数解析式的系数符号，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，反比例函数的图象过第一象限，一次函数的图象过一，三象限且过原点， ∴， ∴，，， ∴抛物线的开口向下，对称轴在轴的左侧，抛物线与轴交于正半轴， 故符合要求的只有选项B的图象. 10．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 11．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 12．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． ◆题型4二次函数图像与系数关系 13．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 15．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据开口方向和对称轴可得的符号，即可判断①；根据抛物线经过点，可得，即得到，即可判断②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，即可判断③；由抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即可判断④；由直线经过点，可得，得到，即可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的两根为，，故③正确； 由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为和，当时，抛物线位于直线的上方，即， ∴不等式的解集是，故④正确； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，故⑤错误， 综上，正确的有①③④． 16．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． ◆题型5两个二次函数图像综合判断 17．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 18．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 19．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，过点作轴于，先证明，得到，不妨设点横坐标为，那么点横坐标为，，，最后利用这两点纵坐标的比等于求得答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∴， ∵， ∴， 不妨设点横坐标为，那么点横坐标为， ∵射线分别与二次函数，的图象交于点A，B， ∴，， ∴， ∴． 20．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．二次函数 的图象如图所示，则关于 x 的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题先根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置判断出、的符号，再计算一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断方程根的情况． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴ ∵二次函数图象的对称轴在轴右侧，对称轴公式为， ∴ 又∵， ∴ 对于方程， 判别式 ∵， ∴ ∵ ∴，即 ∴方程有两个不相等的实数根． 2．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图象结合二次函数的图象及性质进行判断即可. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴下方， ∴， ∴，A选项错误； ∵对称轴在轴右侧，抛物线与轴的交点一个在轴左侧，一个在轴右侧， ∴， ∴，C选项错误； ∵， ∴，B选项正确； 当时，， ∴，D选项错误； 3．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，从而确定点所在的象限． 【详解】解：观察函数图象可知： 抛物线开口向下， ， 对称轴在轴左侧，即， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ，， 点在第二象限． 4．如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可； 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 故正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间， ， ， ， ， 抛物线开口向下， ， ， ，，， ，， 故②正确；③错误； ，抛物线开口向下， 时，其函数值大于0， ， 抛物线的顶点在x轴的上方， ， ， 故④错误； 故正确的结论有2个． 5．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 6．二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 7．如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B，点A的横坐标满足，对称轴是直线．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．方程的一个正根大于3小于4 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与x轴交点位置以及特殊点的函数值符号进行判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ∴， ∵ 对称轴为直线， ∴，即 ， ∴，故A错误； 由图可得，时，， 时，， ∴， ∴，即，故B错误； ∵， ∴， 将代入得：， 整理得，故C错误； ∵ 点A的横坐标满足，对称轴为直线， ∴点B的横坐标满足， ∴方程的一个正根大于3小于4，故D正确． 8．如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可； ②根据对称轴得出，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解； ③根据当时，，进行判断即可； ④根据抛物线的对称性进行判断即可； 【详解】解：①由抛物线图象可得，抛物线开口向上， ∴； 对称轴位于轴左侧， ∴符号相同， ∴； 抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入解析式得，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③由可得，当时，， 由②得， ∴，故③错误； ④∵，且两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于直线对称， ∵点在该函数图象上， ∴点也在该函数图象上，故④正确； 综上正确的有3个. 二、填空题 9．如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④． 【答案】①②/②① 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 故①符合题意； ∵当时，函数值小于0， ∴，故②符合题意； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， 故③不符合题意； ∵抛物线与轴交于两点，即一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故④不符合题意； 综上可知，代数式的值为负数的是①②． 10．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键；根据反比例函数的图象在一三象限，一次函数图象与轴的交点，二次函数的图象的对称轴位置，列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是 故答案为： 11．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 12．如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列五个结论：①；②；③对任意实数，不等式恒成立；④若方程的两根为，，则；⑤关于的方程的两根之和为．则结论正确的有_____（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题根据二次函数图像的开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，结合系数符号、函数取值、最值、图像对称性和平移规律，依次分析并判断各个结论是否成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴为， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ，①正确； ， ， 令，则， 抛物线与轴的正半轴交点位于与之间，对称轴为， 抛物线与轴的负半轴交点位于与之间， ，②正确； 抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下， 函数在顶点处取得最大值， 对任意实数，不等式恒成立， 对任意实数，不等式恒成立，即恒成立，③正确； ，， ， 对称轴为， ，即， ， ，即，④错误； 方程可看作原抛物线向右平移个单位后与轴的交点方程， 则平移后抛物线的对称轴为， 两根之和为，⑤正确； 综上所述，正确的为①②③⑤． 三、解答题 13．二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 【答案】(1)直线 (2) (3)，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 14．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2)经过第二、三、四象限，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 15．如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 【答案】(1)A的坐标是，点B的坐标是 (2) 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 16．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 17．阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3) 一元三次方程有1个实数根．理由： 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可， 【详解】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组的解是， 故答案为：． （3）略 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)直接写出点A，B的坐标及顶点的坐标； (2)无论为何值，点始终在某条直线上运动，求该直线的解析式； (3)当时，直线：经过点，与抛物线交于另一点E，M为线段的中点，若点恰好落在抛物线上，求的值； (4)设抛物线与交于G，H两点，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)该直线的解析式为 (3) (4)解：四边形是平行四边形．理由如下： 令 ，得 由根与系数的关系，得 ， ， ， ∴中点坐标为， 而，，中点坐标为，即， 故与中点重合，即与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 【分析】（1）令，则，求出，，由，得到，即可解答； （2）先推导出顶点的坐标为，设，，得到该直线的解析式为，即可解答； （3）当时，抛物线： ，直线过点，推导出直线：，令 ，即 ，得到 ，求出 再根据中点公式，得到 ，解得，即可解答； （4）令，得 由韦达定理知 ，推导出，得到中点坐标为，继而推导出中点坐标为，即，故与中点重合，即与互相平分，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：，，， 令，则， 解得，， ∴，， ， ∴； （2）解：： ，顶点的坐标为， 设，，得 ∴该直线的解析式为； （3）解：当时，抛物线： ，直线过点， ， ， ∴直线：， 令 ，即 ， 由根与系数的关系，得 故 为线段的中点 ， 代入抛物线，得 ， 整理，得 ， 解得； （4）略 37 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数图像与系数关系 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与二次函数图像综合判断（重） 题型2 反比例函数与二次函数图像综合判断（重） 题型3 函数综合图像判断（高频） 题型4二次函数图像与系数关系（难） 题型5两个二次函数图像综合判断（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 一次函数与二次函数图像综合判断 1．已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A．B．C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 3．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． ◆题型2 反比例函数与二次函数图像综合判断 5．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线，它与轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A．B．C． D． 7．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 8．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． ◆题型3 函数综合图像判断 9．已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C．D． 10．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 11．二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 12．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． ◆题型4二次函数图像与系数关系 13．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 15．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根为，； ④不等式的解集是； ⑤当时，二次函数有最大值． 其中正确的有_____ （填写序号）． 16．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 ◆题型5两个二次函数图像综合判断 17．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 18．如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 19．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 20．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．二次函数 的图象如图所示，则关于 x 的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 6．二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B，点A的横坐标满足，对称轴是直线．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．方程的一个正根大于3小于4 8．如图，是坐标原点，已知二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；以上结论正确的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④． 10．一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 11．抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 12．如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列五个结论：①；②；③对任意实数，不等式恒成立；④若方程的两根为，，则；⑤关于的方程的两根之和为．则结论正确的有_____（填写序号） 三、解答题 13．二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 14．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 15．如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 16．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 17．阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为；抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)直接写出点A，B的坐标及顶点的坐标； (2)无论为何值，点始终在某条直线上运动，求该直线的解析式； (3)当时，直线：经过点，与抛物线交于另一点E，M为线段的中点，若点恰好落在抛物线上，求的值； (4)设抛物线与交于G，H两点，判断四边形是否为平行四边形，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数图像与系数关系 常考题型·精准突破 题型1 一次函数与二次函数图像综合判断（重） 题型2 反比例函数与二次函数图像综合判断（重） 题型3 函数综合图像判断（高频） 题型4二次函数图像与系数关系（难） 题型5两个二次函数图像综合判断（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 1． D 2．C 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A． 8．C 9．B 10．C． 11．C． 12．D 13．B 14．B 15．①③④． 16．B17．A． 18．A 19．C 20．B． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B B D C D B 二、填空题 9．①②/②① 10． 11．或 12．①②③⑤ 三、解答题 13．【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 14．【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 15．【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 16． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 17．【详解】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组的解是， 故答案为：． (3) 一元三次方程有1个实数根．理由： 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 18．【详解】（1）解：，，， 令，则， 解得，， ∴，， ， ∴； （2）解：： ，顶点的坐标为， 设，，得 ∴该直线的解析式为； （3）解：当时，抛物线： ，直线过点， ， ， ∴直线：， 令 ，即 ， 由根与系数的关系，得 故 为线段的中点 ， 代入抛物线，得 ， 整理，得 ， 解得； (4)解：四边形是平行四边形．理由如下： 令 ，得 由根与系数的关系，得 ， ， ， ∴中点坐标为， 而，，中点坐标为，即， 故与中点重合，即与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $