专题03 二次函数与方程不等式关系（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与方程、不等式关系，按“基础关系-高频应用-综合攻坚”递进，通过分层题型构建知识网络，渗透几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|3类8题|重基础关系证明与计算、高频不等式解集、难综合应用|从二次函数与方程的交点、最值切入，延伸至不等式解集，再到综合题，形成“概念-应用-综合”逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|3类18题|单选考图像分析、填空考性质应用、解答考实际建模|通过多样化题型巩固知识联系，强化运算能力与推理意识，贴合中考命题趋势|

专题03 二次函数与方程不等式关系 常考题型·精准突破 题型1 二次函数与一元二次方程关系（重） 题型2 二次函数与一元二次不等式关系（高频） 题型3 二次函数与方程及不等式综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数与一元二次方程关系 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 2．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 3．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 ◆题型2 二次函数与一元二次不等式关系 4．已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)对称轴，交点坐标 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数的表达式，转化为顶点式即可得出对称轴为直线，当时，解得，即可得到与轴的交点坐标. （2）根据二次函数的图象和性质，得出满足题意的条件为，且，解得实数的取值范围． （3）根据二次函数的图象和性质，得出函数满足时的函数的值与异号，求得时的函数的值，列关于的不等式并解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，则， ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为； （2）解：若对于任意实数，总有， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数， 抛物线开口向上，与轴没有交点， ，且， ， 整理得， 解得， 实数的取值范围是； （3）解：函数的图象与轴交点为，且， 当时，，不满足题意， 当时，函数为二次函数，且时的函数的值与异号， 时，， ，或， 解得． 5．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 6．在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) ， (2) 的取值范围是且． 【分析】（）先将点横坐标代入抛物线解析式，化简求出用表示的式子；再把含的点坐标代入直线解析式，通过移项、整理等式，推导出与的关系式； （），先分别把横坐标代入抛物线、直线解析式，得到；根据时列出不等式并整理因式分解；结合时的条件，将问题转化为在此区间恒成立，再分和两种情况讨论，利用一次函数单调性求出的取值范围，最后综合得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴ ， ∵点在直线上， 再将代入直线方程， ∴， 整理得； （2）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线解析式为， ∵是抛物线上的点， ∴， ∵是直线上的点， ∴， ∵， ∴， 整理得， 当时，，要使，则必须恒成立， 即， 分两种情况讨论： 当时：， ∴，不等式恒成立，满足条件， 当时：是关于的一次函数，函数随增大而减小， 当时，最大， 即， 解得， ∴， 综上，的取值范围是且． ◆题型3 二次函数与方程及不等式综合 7．已知二次函数（a为常数，）的图象与一次函数的图象交于点，且． (1)若该二次函数的图象经过原点，求的值； (2)线段的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． (3)已知点为二次函数图象上一点，当时， ，求的取值范围． 【答案】(1) (2)是；线段的长度为定值 (3)或 【分析】（1）将点代入二次函数，即可求解； （2）联立，求出两点的坐标，得到两点水平方向的距离和竖直方向的距离，利用勾股定理求解即可； （3）结合（2）可得 ，分别令，，求出或，或，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，点在函数图象上， 将代入二次函数，得， 解得或， ， ； （2）解：线段的长度为定值， 联立，则 ， ∴ ， ∴ ， 解得， ，， ， 两点水平方向的距离为 ，两点竖直方向的距离为 ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 解得 ， 令，得，则， ∴， 解得或， 令，得，则， ∴， 解得或， ∵点为二次函数图象上一点，且， ∴或， ∴或， 解得或， ∴的取值范围为或． 8．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键．利用数形结合思想，二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意，二次函数的图象与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 2．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D选项；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C选项． 【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，当时，有最大值是3． 故A、B、D正确． 抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点是． 故C选项错误，符合题意． 3．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 4．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 5．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 6．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数图象与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式性质，判别式小于0，解不等式即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 即， ∴， 解得． 7．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 8．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和与的关系，再结合对称轴在轴右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 【详解】解：将点代入，得，， 将点代入抛物线解析式，得，整理得，即，故结论③错误； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴与异号， ∴， ∵， ∴，故结论①正确. 将代入，得，解得，故结论②正确； ∵抛物线与轴已经有一个交点在轴的左侧，且对称轴在轴右侧， ∴顶点不可能在轴上， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 二、填空题 9．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 10．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 11．如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与不等式的关系．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键． 先求出点关于对称轴对称的点为，再由函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴当时，则x的取值范围是， 故答案为：． 12．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数交于和两点由函数图象可得， 当或者时，一次函数在二次函数下方，即， ∴或者时，． 故答案为：或． 三、解答题 13．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， 解得． 故当或时，y的值为0． 14．已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 描点，连线，函数图象，如下图： （2）解：由图象可得，当时，或． 15．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】()根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，即可解答； ()根据和二次函数的性质，可以求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令，则：， ， 解得， ∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上， ∴当时，或． 16．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 17．某村合作社为振兴乡村经济，承包荒山种植百亩特色蜜柚．由于果树生长特性，项目初期需要投入大量的人力物力进行养护与培植，直至果树成熟与创收，所以经历了从亏损到盈利的发展过程．如图是该项目年利润 y（万元）与种植时间 x（年）之间关系的二次函数图象（部分）． (1)求年利润y（万元）与种植时间x（年）之间的函数关系式，并说明从哪一年开始，该合作社扭亏为盈； (2)问该合作社第8年利润比上一年增加了多少万元？ 【答案】(1)利润 y与种植时间 x之间的函数关系式为，从第五年开始合作社扭亏为盈 (2)275万元 【分析】（1）首先明确函数为二次函数，可设二次函数的一般式为，将已知的三点，和代入解析式，联立方程组求解系数、和c，得到函数关系式．扭亏为盈对应年利润，因为函数图象与轴正半轴的交点为盈利起始点，所以求解时的正根，即可得到开始盈利的年份． （2）计算第8年和第7年的利润差值，先将和分别代入已求得的函数关系式，得到对应值后作差，即可得到利润增加量． 【详解】（1）设二次函数解析式为， 由图象知：，，是对应抛物线上的三点， ∴，解得， 即利润 y与种植时间 x之间的函数关系式为， 令，即， 解得，， ∴到第四年末盈利为0元， 结合图象知，从第五年开始合作社扭亏为盈； （2）由（1）知抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ∴第8年利润比上一年增加万元． 18．在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物线与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①二次函数的解析式为；② (2) 理由：令则 ， 解得或， ， ， ， ， ， ， ∵点在该抛物线上， ∴点关于的对称点也在该抛物线上， ∴， ∴， 抛物线的解析式为 ， 则抛物线图象开口向下， ∴当时随的增大而减小， ∵点，，在该抛物线上， ． 【分析】（1）①利用二次函数的增减性判断出对称轴为，再代入对称轴公式求出参数，从而得到函数解析式；②将函数解析式配方为顶点式，确定开口方向和顶点坐标，再结合的条件，比较函数值与的大小关系； （2）先通过解方程求出抛物线与轴的交点，结合交点范围确定参数和对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性，将点转化到对称轴右侧，根据开口向下时对称轴右侧的增减性，比较三点的函数值大小． 【详解】（1）①解：已知关于的二次函数，由题意得对称轴为， 可得， 解得， 故二次函数的解析式为． ②解：已知二次函数的解析式为，配方得， 可知抛物线图象开口向下，顶点为， 故当，函数值． （2）略 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数与方程不等式关系 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次函数与一元二次方程关系（重） 题型2二次函数与一元二次不等式关系（高频） 题型3二次函数与方程及不等式综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.【详解】(1)解：二次函数y=a2+bx+2的图象过点A(2,k),B(-1,k), .k=4a+2b+2,k=a-b+2, .4a+2b+2=a-b+2, .3a+3b=0, 解得b=-a, (2)解：由(1)知b=-a, 故二次函数y=ax2+bx+2转化为y=ax2-ax+2, 4 5d, :函数的最大值为24 5-a2-8-a ∴二次函数图象开口向下，即a<0?且24=4， 整理，得a2-a-2=0, 解得a=-1或a=2(舍去)， 故a=-1. 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故抛物线的解析式为y=-x2+x+2. 2.【详解】(1)证明：令y=0,则有x2-mx+m-2=0, .△=b2-4ac=（-m)-4(m-2)=(m-2)+4>0, ,该方程有两个不相等的实数根， ∴.不论m为何实数，二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点 (2)解：当m=2时，则有y=x2-2x, ∴.令y=0,则有x2-2x=0, 解得=0，x3=2 ∴.二次函数与x轴的交点坐标为(0,0)，(2,0). 【详解】a解当x=0时.=名0-旷46- 6 ·点4的坐标为0， 6 11 雕塑04的高为6m。 (2)解：当y=0时，后x-5+6=0, 解得=-1（舍去），x=11, .点D的坐标为(11,0) ∴.OD=llm. ,从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， .OC=OD=11m, ∴.CD=OC+OD=22m」 当=8时，=名8-+6 2 。9 1 ·点8,2)在抛物线y=-x-5列+6上. 6 又3<9 2 顶部F不会碰到水柱. 4.【详解】(1)解：当a=1时，则y=x2-2x+11, 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x2-2x+11=(x-1)2+10, ∴抛物线的对称轴为直线x=1, 当x=0时，y=11, ∴抛物线与y轴的交点为(0,11)： (2)解：若对于任意实数x,总有y>0, 当a=0时，y=4x+2,不满足题意， 当a≠0时，函数y=ar2-(6a-4)x+9a+2为二次函数， ∴抛物线开口向上，与x轴没有交点， ∴.a>0,且△<0， ∴.(6a-4)-4a(9a+2)<0, 整理得-56a+16<0, 解得a>7 :实数。的取值范围是a>名 7: (3)解：函数y=ax-(6a-4)x+9+2的图象与x轴交点为(x,0)(:,0),且x<1<x2, 当a=0时，y=4x+2,不满足题意， 当a≠0时，函数y=ar-(6a-4)x+9a+2为二次函数，且x=1时的函数y的值与a异号， x=1时，y=a-6a+4+9a+2=4a+6. a<0 a>0 14a+6>0:或14a+6<0: 3 解得-2<a<0. 5.【详解】(1)解：根据题意，得二次函数y=-(x-)'+k的图象与x轴交于点A(-3,0),B(m,0)且 m>-3, 六-(3-)+k=0,方=m-3 2,m-3>-6 .h>-3, h-k=-5, h=k-5, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .-(-3-k+5)2+k=0, 整理，得k2-5k+4=0, 解得=1，k=4, 当k=1时，h=1-5=-4<-3,不满足要求，舍去； 当k2=4时，h=4-5=-1>-3,满足要求： 故h=-1,k=4. (2)解：h=-1,k=4, 故二次函数的解析式为y=-(x+1)+4,且抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1, 当y=3时，得-(x+1)+4=3, 解得x=0,x2=-2。 如图所示，此时C(0,3),D(-2,3). 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随×减小而减小， B A .∵a-1≤x≤a+1 3 ∴a+1K-2, 解得a<-3: ∵a-1≤x≤a+1时，函数值y都小于3，且对称轴右侧，y随x增大而减小， .a-1>0, 解得a>l; 综上所述，符合要求的a的取值范围是a<-3或a>1. 6.【详解】(1)解：点A(-2,m）在抛物线y=ar2-2ar-7a-1(a≠0)上， ∴.m=a×(-2)2-2a×(-2)-7a-1 =4a+4a-7a-1 =a-1, :点A(-2,m)在直线y=x+1-a上， 再将4(-2，a-)代入直线方程， 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a-1=k×(-2)+1-a, 2k=2-2a 整理得k=1-a; (2)解：由(1)可知，直线的解析式为y=(1-a)x+1-a, 抛物线解析式为y=ar2-2ar-7a-1, ,M(,)是抛物线上的点， .y=at2-2at-7a-1, N(t,)是直线上的点， .2=(1-a)t+1-a, >y2, at2-2at-7a-1>1-a）)r+1-a, 整理得t+2)(at-3a-1)>0, 当-5<t<-2时，t+2<0,要使t+2at-3a-)>0,则必须at-3a-1<0恒成立， 即a(t-3)-1<0 分两种情况讨论： 当a>0时：t-3<0, at-3)-1<0-1=-1<0,不等式恒成立，满足条件， 当a<0时：at-3a-1是关于t的一次函数，函数随t增大而减小， 当t=-5时，at-3a-l最大， 即-5a-3a-1≤0， 1 解得a之8， <a<0, .8 1 综上，0的取值范围是a2-8且a+0: 7.【详解】(1)解：由题意得，点(0,0)在函数图象上， 将(0,0)代入二次函数y=x2-2ax+a2+a,得a2+a=0, 解得a=-l或a=0, 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a≠0， .a=-1: (2)解：线段AB的长度为定值25， [y=x2-2ax+a2+a 联立y=2x-a ，则2-2a+d2+a=2x-a’ .x2-(2a+2)x+a2+2a=0, :.(x-a)[x-(a+2)]=0, 解得=a,x2=a+2」 y=a,2=a+4, .A(a,a),B(a+2,a+4), “A,B两点水平方向的距离为a+2-a=2,A,B两点竖直方向的距离为a+4-a=4, AB=V22+42=25: (3)解：由(2)可知，=a, .1<y3-a<4, 解得a+1<<a+4, 令y=a+1,得x2-2ar+a2+a=a+1,则x2-2ax+a2=1, (x-a）=l, 解得x=a+l或x=a-1, 令y=a+4,得x2-2ar+a2+a=a+4,则x2-2ax+a2=4, (x-a}=4, 解得x=a+2或x=a-2, :点C(乃)为二次函数图象上一点，且a+1<y<a+4, .a-2<x<a-l或a+1<x<a+2, a-2<-二a+1≤一 2或1 a-1≥0 a+2≥0 解得l≤a≤ 或-2≤as-3 2 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小a的取值范围为2≤a≤ 2或1sas3 2 8.【详解】(1)解：：抛物线y=ar2+br+c(a≠0)经过点A(-2,0),C(4,0), 2+4=1,即x=1 “对称轴为直线x= (2)解：：抛物线y=am2+bx+c(a≠0)经过点A(-2,0),B(2,8),C(4,0), 4a-2b+c=0 ∴.4a+2b+c=8 16a+4b+c=0 a=-1 解得b=2 c=8 .y=-x2+2x+8 ∴.关于x的方程ax2+bx+c=8即为-x2+2x+8=8, 解得×=0，为3=2； (3)解：：直线y=mx+n(m≠0)经过点B(2,8),C(4,0). 2m+n=8 4m+n=0 m=-4 解得1n=16 ∴.直线为y=-4x+16 不等式ax2+bx+c>mx+n为-x2+2x+8>-4x+16 整理得，x2-6x+8<0 即(x-2)x-4)<0 「x-2<0「x-2>0 1x-4>0或x-4<0 x-2<0 解不等式组x-4>0:无解： x-2>0 解不等式组K-4<0:得2<x<4 :.(-2)(x-4)<0解集为2<x<4 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为2<x<4: (4)解：方程ax2+bx+c+k=0即-x2+2x+8+k=0. 整理得x2-2x-(8+)=0, ∴.方程在-1≤x≤5范围内有两个不相等实数根， 设y=x2-2x-(8+k), .△=(-2)2+4(8+k)=36+4k>0, 解得k>-9; 而对称轴x=1在-1≤x≤5范围内，符合要求， 如图： V 5 当x=-1时，(-12-2×(-1)-(8+k)=-k-5≥0： 当x=5时，52-2×5-(8+k)=7-k≥0 「-k-5≥0① 即17-k20② 由①得k≤-5 由②得k≤7 .k≤-5 综上：-9<k≤-5】 综合攻坚知能拔高 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、选择题 题号 1 2 4 5 7 8 答案 0 C D B A D C 二、填空题 9.(0,-1) 10.1或3 11.0<x<4 12.x<-1或x>2 三、解答题 1.【详解】a)解当x=号时，=2×()3引}-2-8 (2)解：当y=0时，2x2-3x-2=0, 1 解得x=2,x2= 2 1 故当x=2或x=2时，y的值为0. 14.【详解】 （1)解：列表， 0 3 y 2 -1 -2 -1 描点，连线，函数图象，如下图： 8 2-10 7456 (2)解：由图象可得，当1≤y≤2时，0≤x≤1或3≤x≤4」 15.【详解】(1)解：：二次函数y=x-(a+1)x-a的图象经过点N(3,2), 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2=32-(a+1)×3-a, 解得a=1, y=x2-2x-1: (2)解：令y=2,则：x2-2x-1=2, (x-3)(x+1)=0 解得=3，七2=-1， :二次函数y=x2-2x-1的二次项系数大于0，抛物线开口向上， 当y>2时，x<-1或x>3. 16.【详解】(1)解：：二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,-5)和B(0,-8), 1+b+c=-5 c=-8 「b=2 1c=8 该二次函数的表达式为y=x2+2x-8=(x+1)2-9, 顶点坐标为（一山，9）： (2)解：由(1)得该二次函数的表达式为y=(x+1)-9, ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=-1, ∴.离对称轴越远，函数值越大， 当x=3时，y=(3+1)°-9=7，且-2-(-=1<3-(（-1=4， 当-2≤x<3时，函数的最大值小于7， :顶点坐标为(-山，-9)，即当-2≤x<3时，函数的最小值为-9， ∴.当-2≤x<3时，-9≤y<7: (3)解：由(2)可知，对称轴为直线x=-1, .B(0,-8) ∴由对称性可知，点C(-2,-8)在该函数的图象上， 由函数图象可知，当y之-8时，x≤-2或x20. 10/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.【详解】(1)设二次函数解析式为y=ax+br+c(a≠0)， 由图象知：(0,0)，4，-75)，(6,300)是对应抛物线上的三点， [c=0 [a=25 .a+b+c=-75 ，解得b=-100 36a+6b+c=300 c=0 即利润y与种植时间x之间的函数关系式为y=25x2-100x, 令y=0,即25x2-100x=0, 解得=0，x2=4, ∴到第四年末盈利为0元 结合图象知，从第五年开始合作社扭亏为盈： (2)由(1)知抛物线解析式为y=25x2-100x, 当x=7时，y=25×7-100×7=525, 当x=8时，y=25×8-100×8=800, ∴第8年利润比上一年增加800-525=275万元. 18.【详解】(1)①解：己知关于x的二次函数y=-x+(2-m)x+2m,由题意得对称轴为x=1, b 2-m 可得= 2a=2x(0 =1 解得m=0, 故二次函数的解析式为y=-x2+2x】 ②解：已知二次函数的解析式为y=-x2+2x,配方得y=-(x-1)+1, 可知抛物线图象开口向下，顶点为1，)， 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故当x≠1，函数值y<1 (2)y2>y3>出 理由：令y=0则-x2+(2-m)x+2m=0, 解得x=2或x=-m, :-1<x<0, .0<m<1, 。b2-m 2a2 12-m<1, .22 1 21<1, 3 1+1<2, :点A(-2t,乃)在该抛物线上， “点A(-21,)关于x=t的对称点A(4,)也在该抛物线上， .2<4t<4, ∴.t<t+1<4t, 抛物线的解析式为y=-x+(2-m)x+2m, 则抛物线图象开口向下， ∴.当x≥t时y随x的增大而减小， :点A(-2,y),B(,),C(+l,)在该抛物线上， y2>3>y. 12/12 专题03 二次函数与方程不等式关系 常考题型·精准突破 题型1 二次函数与一元二次方程关系（重） 题型2 二次函数与一元二次不等式关系（高频） 题型3 二次函数与方程及不等式综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数与一元二次方程关系（重） 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 2．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 3．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． ◆题型2 二次函数与一元二次不等式关系（高频） 4．已知关于的函数（是实数）． (1)当时，直接写出对称轴及与轴的交点坐标； (2)若对于任意实数，总有，求实数的取值范围； (3)设函数的图象与轴交点为，，若，求实数的取值范围． 5．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，点是抛物线与直线的一个公共点． (1)用含的式子分别表示和； (2)是抛物线上的点，是直线上的点，若对于，都有，求的取值范围． ◆题型3 二次函数与方程及不等式综合（难） 7．已知二次函数（a为常数，）的图象与一次函数的图象交于点，且． (1)若该二次函数的图象经过原点，求的值； (2)线段的长是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． (3)已知点为二次函数图象上一点，当时， ，求的取值范围． 8．抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．抛物线与轴另一个交点是 D．当时，有最大值3 3．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 4．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） 6．若二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 8．已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 9．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 10．抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 11．如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________． 12．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 三、解答题 13．已知二次函数 (1)当时，y的值是多少？ (2)当x为何值时，y的值为0？ 14．已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 15．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求自变量的取值范围． 16．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 17．某村合作社为振兴乡村经济，承包荒山种植百亩特色蜜柚．由于果树生长特性，项目初期需要投入大量的人力物力进行养护与培植，直至果树成熟与创收，所以经历了从亏损到盈利的发展过程．如图是该项目年利润 y（万元）与种植时间 x（年）之间关系的二次函数图象（部分）． (1)求年利润y（万元）与种植时间x（年）之间的函数关系式，并说明从哪一年开始，该合作社扭亏为盈； (2)问该合作社第8年利润比上一年增加了多少万元？ 18．在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的对称轴为． (1)当时随的增大而减小，当时随的增大而增大． ①求此二次函数的解析式； ②当时，函数值__________（填“”，“”、“”或“”）； (2)点，，在该抛物线上，若抛物线与轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $