专题02 二次函数解析式求法（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数解析式三种基本求法（一般式、顶点式、交点式）及综合应用，构建从基础到拔高的系统性训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|4题型12题（含图像信息题）|一般式（三点代入）、顶点式（顶点坐标）、交点式（与x轴交点）、综合题（多条件融合）|从解析式形式选择到方程求解，结合图像信息，培养推理能力与几何直观| |综合攻坚·知能拔高|选择8题+填空4题+解答6题（含实际应用题）|实际情境建模（如体育抛物线、建筑轮廓）|联系生活实际，通过数据分析与模型构建，发展应用意识与数据观念|

专题02 二次函数解析式求法 常考题型·精准突破 题型1、利用一般式求二次函数解析式（重） 题型2、利用顶点式求二次函数解析式（高频） 题型3、利用交点式求二次函数解析式（难） 题型4、综合题求二次函数解析式（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1、利用一般式求二次函数解析式 1．已知二次函数图象经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，﹣3），求此二次函数的解析式． 【答案】y=x2+2x-3 【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，所以设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C点坐标代入求出a即可． 【详解】解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1）， 把C（0，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1， 所以抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 2．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 3．如图，一个二次函数的图象经过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离，求二次函数的解析式．熟练掌握两点间的距离公式，待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上，设的坐标为， ， ， 所以点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ，解得：， 这个二次函数的解析式为． ◆题型2、利用顶点式求二次函数解析式 4．已知抛物线的顶点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了求解二次函数解析式，掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键． 利用顶点坐标代入顶点形式，再展开为标准形式即可求解． 【详解】解：∵抛物线中，顶点坐标为， ∴由顶点式可得 ． 5．已知抛物线顶点为，且经过点，求二次函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求抛物线的解析式． 先设抛物线的解析式为：，然后把点代入，得关于的方程，求出即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， 把点代入得： 即 解得 ∴抛物线的解析式为：． 6．已知一个二次函数的图象如图所示，根据图象可得： (1)二次函数的解析式为 ； (2)函数图象的顶点坐标为 ； (3)图象的对称轴为直线 ； (4)当 时，有最大值是 ； (5)当 时，随的增大而增大． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)，； (5)． 【分析】本题考查的知识点是从二次函数图象获取信息、待定系数法求二次函数解析式，解题关键是从二次函数图象中获取正确信息． （1）由题意得，该二次函数的图象过点、、，设该二次函数的解析式为，将代入解析式即可得解； （2）从二次函数图象即可得解； （3）从二次函数图象即可得解； （4）从二次函数图象即可得解； （5）从二次函数图象即可得解． 【详解】（1）解：依题意得，该二次函数的图象过点、、， 设该二次函数的解析式为， 将代入解析式， 得， ， 该二次函数的解析式为， 故答案为：； （2）解：由图得，函数图象的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：由图得，图象的对称轴为直线， 故答案为：； （4）解：由图得，当时，有最大值是， 故答案为：，； （5）解：由图得，时，随的增大而增大， 故答案为：． ◆题型3、利用交点式求二次函数解析式 7．若二次函数的图象与轴的交点为，，且过点，求此二次函数的解析式并直接写出图象的对称轴． 【答案】，对称轴为直线． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称轴，根据二次函数的图象与轴的交点为，，设二次函数的解析式为，因为二次函数的图象过点，可以求出，从而求出二次函数的解析式为，再根据解析式求出对称轴即可． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 二次函数的图象过点， 可得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 整理可得：， 抛物线的对称轴为直线． 8．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．求抛物线解析式及顶点坐标． 【答案】，． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．根据抛物线与轴相交于，两点，设抛物线的交点坐标式解析式是，把点的坐标代入解析式，求出值可得抛物线的解析式为，把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得：，由解析式可得抛物线的顶点坐标是． 【详解】解：抛物线与轴相交于，两点， 设抛物线的解析式是， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线的解析是，抛物线的顶点坐标是． 9．已知抛物线与x轴交于点，且过点． (1)求指物线的解析式和顶点坐标； (2)请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． 【答案】(1)， (2)①向下平移5个单位，，②向左平移个单位， 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识． （1）利用待定系数法求出函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据二次函数平移的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，可设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 即， ∵， ∴顶点坐标； （2）平移方法有： ①向下平移5个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∵顶点坐标； ∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为， 即向下平移5个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上； ②向左平移个单位，得到：， 理由：把代入得出， ∴向左平移个单位，抛物线的顶点为， 即向左平移个单位，得到：，平移后抛物线的顶点落在直线上． ◆题型4、综合题求二次函数解析式 10．如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 11．已知二次函数的图象经过两点，求二次函数的表达式． 【分析】待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先把、的坐标分别代入得到、的方程组，然后解方程求出、，从而得到抛物线解析式． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ． 12．已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 【答案】(1) (2) 【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）将点代入即可求出c； （2）把点代入即可求出函数表达式． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点； ∴将点代入得；． （2）解：设函数的表达式为， ∵函数图象经过点， ∴把点代入得； ； ∴函数的表达式为：． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 2．如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当时对应的的值，即可得到实心球掷出的水平距离． 【详解】解：为， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，可得：， 解得：，（舍去）， 所以实心球掷出的水平距离为米． 3．二次函数的部分对应值如表：下列说法错误的是（    ） x 0 1 y 5 1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为 【答案】D 【分析】先代入表格中的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：将，，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为． ∵， ∴抛物线开口向上，A正确； 抛物线对称轴为直线，故B正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，C正确； 抛物线顶点坐标为，函数的最小值为，不是，D错误． 4．已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先代入已知点坐标得到和关于的表达式，再根据顶点在第一象限的条件确定的取值范围，最后将表示为的一次式，即可求出的取值范围. 【详解】解：∵二次函数过点和， ∴ ， 整理得， ∵抛物线顶点在第一象限，且过和， ∴抛物线的开口向下，即，顶点横坐标为， ∴， ∴， 即，综上得 ， ∵，代入，得：， ∵， ∴， ∴，即. 5．平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先确定直线的方程，设出抛物线上点的坐标，分别表示出点到直线的距离和的长度，根据题意列等式化简，即可求出的值． 【详解】解：由题意可得，直线轴且过，因此直线的方程为． 设抛物线上任意一点， ∵点到直线的距离与相等， ∴点到直线的距离，由两点间距离公式得 ∵，， ∴， 由，两边同时平方得： 展开得： 整理得：， 该等式对任意恒成立， 因此， 解得． 6．如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 7．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 8．如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误； 令，则， 解得， ∴， ∴， 故C选项正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； ∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 故D选项错误． 二、填空题 9．若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将点代入二次函数得：，解得：． 10．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 11．若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【答案】 【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解：定弦抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点间的距离为， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，横坐标减，再向下平移个单位，纵坐标减， 可得平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为. 12．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 【答案】 【分析】先求出点的横坐标为，设这条抛物线的表达式为，再利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：点的横坐标为， 设这条抛物线的表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴． 三、解答题 13．已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 14．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 【答案】 【分析】本根据二次函数图象经过原点得到，再结合图象经过点，进而联立方程求出的值，确定二次函数的解析式． 【详解】解：函数图像经过原点和点， ， 解得：， 二次函数的解析式为． 15．已知抛物线的对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与抛物线总有两个交点． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)证明：由， 得， 即， ，且． ． 直线与抛物线总有两个交点. 【分析】（1）根据抛物线的顶点公式即可解答； （2）列方程，根据时，即可证明直线与抛物线总有两个交点． 【详解】（1）解： 抛物线的对称轴为直线 ． ，则， 抛物线的解析式为； （2）略 16．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 17．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出点坐标，设，求出的坐标，进而求出的长，计算即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， ， 解得，                                   抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 抛物线的解析式为 对称轴为直线， 在中，当时，， ， 如图，设点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式， 在中，当时，， ， ． 同理可得直线的解析式为，                      在中，当时，， ， ， ． ∴是定值，且． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数解析式求法 常考题型·精准突破 题型1、利用一般式求二次函数解析式（重） 题型2、利用顶点式求二次函数解析式（高频） 题型3、利用交点式求二次函数解析式（难） 题型4、综合题求二次函数解析式（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1、利用一般式求二次函数解析式 1．已知二次函数图象经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，﹣3），求此二次函数的解析式． 2．已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 3．如图，一个二次函数的图象经过三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且． (1)求点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． ◆题型2、利用顶点式求二次函数解析式 4．已知抛物线的顶点坐标为，求此抛物线的函数表达式． 5．已知抛物线顶点为，且经过点，求二次函数解析式． 6．已知一个二次函数的图象如图所示，根据图象可得： (1)二次函数的解析式为 ； (2)函数图象的顶点坐标为 ； (3)图象的对称轴为直线 ； (4)当 时，有最大值是 ； (5)当 时，随的增大而增大． ◆题型3、利用交点式求二次函数解析式 7．若二次函数的图象与轴的交点为，，且过点，求此二次函数的解析式并直接写出图象的对称轴． 8．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点．求抛物线解析式及顶点坐标． 9．已知抛物线与x轴交于点，且过点． (1)求指物线的解析式和顶点坐标； (2)请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线上，并写出平移后相应的抛物线解析式． ◆题型4、综合题求二次函数解析式 10．如图所示，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为．求该抛物线的函数解析式． 11．已知二次函数的图象经过两点，求二次函数的表达式． 12．已知二次函数的图象如图所示． (1)写出c的值； (2)求出二次函数的表达式 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．二次函数的部分对应值如表：下列说法错误的是（    ） x 0 1 y 5 1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为 4．已知二次函数的图象过点和．若此抛物线的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．平面直角坐标系中有点，点，过点作直线轴，点为抛物线（）上任意一点，若点到直线的距离与相等，则的值为（） A． B． C．1 D．2 6．如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 7．已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 二、填空题 9．若二次函数的图像过点，则a的值为______． 10．已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 11．若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 12．2026年6月11日晚，“吴越杯”足球赛决赛，金华队对阵温州队．金华队在第83分钟时一记大力抽射，扳平比分．最终点球以战胜温州队，获得冠军．如图，据球迷目测，该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为_________． 三、解答题 13．已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 14．如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．求此二次函数的解析式； 15．已知抛物线的对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与抛物线总有两个交点． 16．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 17．已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点在轴下方的抛物线上运动，直线，分别交抛物线的对称轴于点，，当点，均在点的下方时，试判断是否为定值？若是，求这个定值；若不是，请说明理由． 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次函数解析式求法 内容概览 目常考题型精准突破 题型1、利用一般式求二次函数解析式（重） 题型2、利用顶点式求二次函数解析式（高频） 题型3、利用交点式求二次函数解析式（难） 题型4、综合题求二次函数解析式（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 1.【详解】解：设抛物线解析式为y=a(x+3)(x1), 把C(0,-3)代入得a3。(-1)=-3,解得a=1, 所以抛物线解析式为y=(x+3)(×1),即y=x2+2x3. 2.【详解】(1)解：把A(0,1),B(4,5),C(9,12)代入y=ar+br+c(a≠0)得： c=1 2 c=1 ，解得a=45, 16a+4b+c=5 81a+9b+c=12 b= 37 45 ys 2x+3 4 45 x+1: (2)解：y= 45+1 2.372 1009 x+ 45 4 360, 371009 ·抛物线的顶点坐标为-4，一360： 1009 1729 :平移后的顶点移动到点(-2,2) 2-()2 360 360: 29 1729 故平移的方法是先向右平移4个单位，再向上平移360个单位。 3.【详解】(1)解：点A(-2,0),B(8,0), 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=|8-(-2)=10=10 .OC=AB, .0C=10 点C在y轴的正半轴上，设C的坐标为(0，)， .y>0 .0C=y=10 所以点C的坐标是(0,10) (2)解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)， 二次函数经过三个点A(-2,0),B(8,0),C(0,10). 5 a=- 8 15 4a-2b+c=0,解得： 3b= 4 64a+8b+c=0 c=10 c=10 ·这个三次函数的解析式为少二++了 x+10 4 4.【详解】解：，抛物线y=-x2+br+c中a=-1,顶点坐标为（-l,4), “由顶点式可得y=-[x-(订+4 =-(x+1)2+4 =-x2-2x+3, 5.【详解】解：设抛物线的解析式为：y=a(x-l)2+5, 把点(2,7)代入y=a(x-1)2+5得：(2-1)2a+5=7, 即a+5=7, 解得a=2, ∴.抛物线的解析式为：y=2(x-1)2+5】 6.【详解】(1)解：依题意得，该二次函数的图象过点(-5,0)、（-1,0)、(-3,2)， 设该二次函数的解析式为y=a(x+5)(x+1), 将(-3,2)代入解析式， 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 得a(-3+5)(-3+1)=2, as 2 该次高数的解折式为=红+5x+小=-3 2, 故答案为：y=-亏x2-3x-): (2)解：由图得，函数图象的顶点坐标为(-3,2)， 故答案为：（-3,2)： (3)解：由图得，图象的对称轴为直线x=-3, 故答案为：x=-3: (4)解：由图得，当x=-3时，y有最大值是2， 故答案为：-3,2： (5)解：由图得，x≤-3时，y随x的增大而增大， 故答案为：x≤-3」 7.【详解】解：设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1), 二次函数的图象过点(0,1)， 可得：1=-3a, 1 解得：a=- 3 :二次函数的解析式为y=+3x-)。 整理可得：y=r2 x+1 3 3 2 抛物线的对称轴为直线x= 2a 2×-3 8.【详解】解：抛物线y=a2+bxr+c与x轴相交于A(-l,0),B(4,0)两点， 设抛物线的解析式是y=a(x+1)(x-4)」 把点C(0,2)的坐标代入解析式， 可得：a(0+1)x(0-4)=2 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 解得：a=- 2’ 苑物线的解折式为=+x-4)。 10 整理得 y=- 325 抛物线的顶点坐标是 28 抛物线的解析是y=- 。物线的点标》 325 9.【详解】(1)解：，抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),可设抛物线解析式为y=(x-1(x-3), 把C(0,-3)代入得：3a=-3, 解得：a=-1, 故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3. :y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, ∴顶点坐标(2，)： (2)平移方法有： ①向下平移5个单位，得到：y=-(x-2)-4, 理由：把x=2代入y=-2x得出y=-4, ,顶点坐标(2，)： ∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为(2，-4)， 即向下平移5个单位，得到：y=-(x-2-4,平移后抛物线的顶点落在直线y=-2x上： 1 理由：把y=1代入y=-2x得出y=- 2 向左T移个单位，桃衡线的顶点为)。 5 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 响东平个￥代，得到y=气+日广+1，平移后线的饭点希在皮线，2上 10. 【详解】解：将A(-l,0)代入y=a(r-1)+4,得0=4a+4, 解得a=-1, ∴.抛物线的函数表达式为y=-(x-1)+4」 11.【详解】解：把A(0,1),B(2,-)代入y=x2+bx+c, [c=1 得14+2b+c=-1” b=-3 解得c=1· ∴y=x2-3x+1. 12.【详解】(1)解：二次函数y=ar+2x+c(a≠0)的图象经过点(0,3)： .将点(0,3)代入y=ax2+2x+c(a≠0)得：c=3. (2)解：设函数的表达式为y=r+2x+3(a≠0)， ·函数图象经过点A(3,0) ∴把点A(3,0)代入y=ax2+2x+3(a≠0)得：0=9a+2x3+3 a=-1; ∴.函数的表达式为：y=-x2+2x+3. 综合攻坚知能拔高 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D A 二、填空题 9.2 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.y=-x2+4x 11.（-1,-4) 12.y= +12 80 三、解答题 13.【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为y=ax2+br+c(a≠0)， c=0 将 代入， 得a-b+c=-11 0,0)(-1,-11)(1,9) a+b+c=9 a=-1 解得b=10 c=0 .这个二次函数的表达式为y=-x2+10x 14. 【详解】解：函数图像经过原点和点A(-4,0), [c=0 (-4)}a-4×(-4)+c=0 a=-1 解得：1c=0 ∴.二次函数的解析式为y=-x2-4x 15.【详解】(1)解：抛物线y=ax+4x的对称轴为直线x=2. 4 .X=- 4=2,则a=-1' 2a ∴.抛物线的解析式为y=-x2+4x； 「y=x-2 2)证明：由1y=-x2+4x' 得x-2=-x2+4x. 即x2+(k-4)x-2=0, △=(k-4)}-4×1×(-2)=(k-4)+8,且(k-4)≥0. △=(k-4)+8>0 .直线y=x-2与抛物线y=-x+4x总有两个交点. 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=ax(x-10), 当t=2时，AD=4, ∴点D的坐标为(2,4) ∴.将点D坐标代入解析式得-16a=4, 1 解得：a=-4; 1 5 抛物线的函数表达式为少=一4+2， 4 (2)解：由抛物线的对称性得BE=OA=t, .AB=10-2t, 当x=时，AD=- 1+3 4 2 ∴，矩形ABCD的周长=2(AB+AD) =20-20(+] =-12+t+20 2 =-+ 1 20, 41 ∴当，=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为2， 17.【详解】(1)解：依题意，把(0,3)，(2，-1)，(4,3)分别代入y=a2+bx+c, 3=c 得-1=4a+2b+c. 3=16a+4b+c a=1 解得b=-4 c=3 ∴.y=x2-4x+3. (2)解：依题意，把x=-1代入y=x2-4x+3, 得y=（-1-4×(-)+3=8,即m=8: 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把x=1代入y=x2-4x+3, 得y=1P-4×1+3=0,即n=0: (3)解：图略， y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)}-1 “顶点坐标为(2，)，对称轴方程为x=2. (4)解：观察(3)的函数图象： 3 1 -4-3-2-10 i八234 1 2 -3 当-1≤y<3时，则0<x<4 当0<x≤t时，-1≤y<3, ∴.结合函数图象，得2≤t<4 18.【详解】(1)解：~抛物线y=ax+br-2(a≠0)交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点， a-b-2=0 16a+4b-2=0' 1 022 解得 b=2 39 抛物线的函数解析式为y)x3 2-2 (2)解：在y= 21 x-2中，当x=0时，y=-2, 2 .C(0,-2). 「4k+b'=0 设直线BC的解析式为y=+b,则b=-2, 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得 b'=-2 ∴直线BC的解析式为y 2-2, :抛物线的解析式为y=x2_3 2 -2 2 3 对称轴为直线x=-2=3 2× 12 在y=。x-2中，当x= 2 2时，y 222-5 13 4 如，设点Pa- Γ-2, 设直线AP的解析式为y=K'(x+1)(K≠0)， 将点p的坐标代入，得《a+)-2 2-2, 解得”=a-4)。 、直线4p的解析式y=n-4(x+), 在=a-40+中，当x=时.-4+--5， w=-0--+ 9/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理可得直线Bp的解析式为y-a+1(x-4)。 在=a+c4到中，当x时.+侵小0 w3- .DM+DN=-5m+15515 -n+ +n= 444 4 六DM+DN是定值，且DM+Dw=S 4 10/10