第二章有理数的运算暑假预习基础知识梳理.2026-2027学年人教版数学七年级上册

第二章有理数的运算暑假基础知识梳理 学习目标 知识目标 1. 完整掌握有理数加、减、乘、除、乘方的底层运算法则，理解每一条法则的几何含义 2. 可以完成有理数混合运算，牢记完整运算优先级规则，能够开展含乘方、绝对值、多层括号的复杂计算 3. 熟练使用加法交换律、结合律、乘法全套运算律完成有理数简便运算 4. 掌握大数科学记数法的书写、原数还原操作，可以精准判断近似数的精确度、推算近似数对应的取值区间 5.可以解决数轴动点、数值程序流程图 能力目标 1. 建立固定的计算思路：先判定符号，再计算绝对值，落实初中数学转化思想，实现减法转加法、除法转乘法 2. 依托数轴、面积模型等图形完成数形结合的运算推导，可以自主归纳乘方符号、多因数相乘的符号规律 3.养成步骤完整、书写规范的计算习惯，可以自主识别计算的高频易错点、完成结果自查核心素养目标树立严谨的运算习惯，感受有理数运算在海拔温差、收支统计、水位变化等现实场景的应用，为后续整式运算、方程学习筑牢计算基础 知识点01:有理数加法法则 ①同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和大于每一个加数，同为负数相加时，和 小于每一个加数。 ②异号相加：异号相加,取绝对值较大的数的符号，再把较大的绝对值与较小的绝对值做差,大的绝对值减去小的绝对值。 ③与0相加：任何数与0相加都等于 这个数本身。 知识点02:有理数的加法运算率 ①加法交换律:交换加数的位置，和不变a+b=b+a。 ②加法结合律:三个加数相加，先把前两个加数相加或先把 后两个加数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。 知识点03:初中有理数加法常用5类凑合策略 1. 相反数优先结合：互为相反数的两数相加结果为0 2. 同分母分数优先结合 3. 凑整优先：相加结果为整数的数字优先组合 4. 符号一致的数字优先合并 5. 带分数拆分：把带分数拆分为整数、分数两个部分分别完成计算，拆分之后的数字符号和原数保持一致。 实战演练 1.将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ） A． B． C． D． 2.下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3.如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 知识点01:有理数减法法则 1.有理数减法核心法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a+(-b) 2.有理数减法的本质：把减法运算完全转化为小学已经掌握的有理数加法，实现统一计算。 知识点02:数轴视角的减法含义 1.数轴上两点的距离公式：代表数字a、b的两个点之间的距离等于Ia-bI 海拔、温差类的实际问题都可以借助该公式完成求解，高度差、温度差永远为非负数。 知识点03:有理数加减混合运算 所有包含加减的混合算式，都可以先统一改写为全部为加法的形式，之后依托加法交换律、结合律开展简便运算。 例：(-3.2)-(-4.7)+(-5.8)-(+2.7) 转化为 -3.2+4.7-5.8-2.7。 易错点拨 1.两变原则（减法变加法的核心要求） 完成减法转加法时必须做到两处改动，缺一不可： - 第一处：减号转变为加号 - 第二处：减数更换为它对应的相反数 易错反例：3-(-2) 错误改写为3-2，只改变符号没有更换减数；-5-3错误改写为-5+3，减数没有取反。 2 .有理数的减法不存在小学阶段“大数减小数”的限制，小数减去大数可以得到负数结果。 3. 有理数的减法不具备交换律：被减数和减数不能随意调换位置。 4. 特殊计算结果： - 一个数减去0，结果等于这个数字本身：a-0=a - 一个数减去它自身，结果为0：a-a=0 计算做题的注意事项: 1. 符号书写规范 ①当减数为负数的时候，需要添加括号来区分符号：5-(-3)，不可以书写成5--3，避免出现符号混淆。 ②式子里存在多个连续负号时，优先先完成化简：a-(-b)=a+b ,a-(+b)=a-b 2. 分步计算避坑流程 有理数减法标准解题步骤： ①第一步：完成“两变”，把全部减法统一转为加法 ②第二步：抄写所有数字，确认每一个数字自带的符号没有出现错误 ③第三步：使用加法的运算法则完成计算，可以优先合并相反数、同号的数字来简化运算 3. 混合运算的优先级要求 有理数加减混合运算属于同级运算，整体遵循从左往右的计算顺序；存在括号的时候优先计算括号内部的算式。 典型错题：1-2+3错误计算为1-(2+3)，擅自添加括号改变运算结果。 4. 实际应用题审题要点 ①温差、海拔高度差、水位落差类题型，最后的结果需要取绝对值，高度差值一定是非负的。 ②收支、升降类题目：上升、收入记为正数，下降、支出记为负数，对应数值带入算式完成计算。 5. 简便运算的易错提醒 ①使用交换律挪动数字位置的时候，必须同步带走数字前方的符号：-8+5-3可以调整为-8-3+5，不可以改写为-8+3+5。 ②去括号的对应规则：括号前是减号，去掉括号之后括号内部全部符号需要完成变号 实战演练 1.下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 3．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（   ） A． B．-5 C．1 D．5 5．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米     知识点01: 有理数的乘法法则 1.两数相乘的计算规则：同号得正，异号得负并把绝对值相乘 ①正数 × 正数 = 正数 ②负数 × 负数 = 正数 ③正数 × 负数 = 负数 ④任何有理数和0相乘，结果都为0 知识点02: 多个非零有理数相乘的符号规律: 多个不为0的数字相乘时最终结果的符号由负因数的数量决定： ①负因数个数为偶数 → 积为正数 ②负因数个数为奇数 → 积为负数 计算流程：先判定整体符号，再将全部乘数的绝对值做乘法运算。 知识点03: 倒数的定义 乘积等于1的两个有理数互为倒数：若ab=1，则a与b互为倒数 ①a的倒数为1/a，a不等于0 ② 0不存在倒数 ③正数的倒数依旧为正数，负数的倒数依旧为负数 知识点04:有理数乘法三大运算率 小学的全部运算律在有理数范围内完全成立： 1. 交换律：ab=ba，调换两个因数的位置，乘积不变 2. 结合律：(ab)c=a(bc)，调整计算的先后顺序，乘积不变 3. 分配律：a(b+c)=ab+ac，是七年级最核心的高频考点，可以用来完成复杂算式的简便运算 知识点05:特殊运算结论 ①一个数乘1,结果等于它本身:a×1=a ②一个数乘-1,结果等于它的相反数:a×(-1)=-1 知识点06:乘除混合运算规则 乘除属于同级运算，可以先将全部除法转化为乘法之后统一计算。 易错点拨 1. 符号判定出错 多个有理数相乘时统计负因数数量失误，偶数个负数相乘结果误算为负、奇数个负数相乘结果误算为正。 2. 乘法分配律漏乘、符号出错 去括号时只乘括号内第一项，遗漏剩余的项；括号内部带有负数，展开之后没有对应调整符号。 3. 忽略因数0 算式中包含数字0仍然去计算绝对值乘积，得到错误的非零结果。 4. 倒数概念混淆 错误认为0存在倒数；相反数与倒数概念混淆，相反数和为0，倒数积为1。 5. 书写格式不规范 连续书写两个负号，例如(-4)×-7，负数因数没有添加括号，容易造成符号误读。 6. 混淆乘除和减法的运算特性 乘法满足交换律，减数、被减数不可以随意互换，学生容易在计算中随意调换被乘数、乘数之外的数字位置。 做题注意事项 1. 标准解题步骤 第一步：清点全部负因数的数量，确定最终结果的正负；只要算式存在因数0，直接得出结果0。 第二步：剥离全部数字的符号，取出所有因数的绝对值开展乘法运算。 第三步：将提前判断得到的符号标注在绝对值乘积的前方，得到最终答案。 2. 简便运算的做题要求 ①交换、结合因数时，需要同步携带数字前方自带的符号，不可只挪动数字本体。 ② 乘法分配律做题要点：括号外侧的因数需要完整乘遍括号内部的每一项，不可以出现漏乘；括号前是负数，展开后每一项符号都要翻转。 ③优先组合可以约分、凑出整数的数字，降低大数计算的失误概率。 3. 实际应用题审题提示 ①水位升降、海拔变化、油耗收支类场景：上升、收入、向东记为正数，下降、支出、向西记为负数，将对应数值带入列式。 ②最终结果的正负对应现实场景的变化方向，完成计算之后结合题意核验结果合理性。 4. 混合运算的注意事项 ①除属于同级运算，无括号时按照从左到右的顺序计算。 ②有多层括号时，优先计算小括号内部的算式，再计算中括号。 ③有理数乘方优先级高于乘法，先完成乘方计算，再开展乘法运算。 实战演练 1.下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2.下列式子中，积的符号为负的是（  ） A．. B． C． D． 3．的倒数是（     ） A． B． C． D． 4．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点01:有理数除法运算法则 有理数除法拥有两套等价的运算规则： 1. 法则一（转化思想）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数a÷b=a×1/b 2. 法则二（符号判定）：两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除。 3. 特殊规定：0除以任何一个不为0的数，结果都等于0；0不可以作为除数 知识点02:多个有理数乘除混合运算 ①乘除属于同级运算，所有除法可以全部转化为乘法，按照有理数乘法的规则完成计算。 ②计算流程：先统计全部负因数的数量确定最终结果符号，再计算所有数字绝对值的乘除。 知识点03:倒数配套知识点 ①定义：乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数为\frac1a，a eq 0。 ②基础性质：0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数；1的倒数等于自身。 ③符号规律：商的符号判定逻辑和乘法完全一致。 知识点04:商的特殊结论 ①一个数除以1，结果等于它本身：a÷1 = a ②一个数除以-1，结果为它的相反数：a÷(-1)= -a ③两个相同的非零有理数相除，商为1：a÷ a = 1 (a不等于0) ④互为相反数的两个非零有理数相除，商为-1：a÷(-a) = -1 (a不等于0) 知识点05:有理数的除法没有交换率 a÷b≠b÷a被除数与除数不可随意互换位置。 易错点拨  ①除数为0的致命错误 学生经常忽略除数不能为0的限制，写出5\div 0这类无意义的算式；部分题目设置0作为除数的陷阱，没有第一时间识别。 ②除法转倒数时符号出错 将除法转化为乘法的过程中，只颠倒数字的数值，忘记同步翻转符号 ③符号判断失误 多个有理数进行乘除混合运算时，负号的数量统计错误，最终商的正负判断出现偏差。 ④混淆倒数与相反数 把相反数的运算逻辑套用到除法计算中，错误认为除以一个数等于加上它的相反数，没有落实乘倒数的规则。 ⑤乘除混合运算顺序出错 无括号的前提下，违背从左到右的运算顺序，优先计算右侧的除法；随意调换被除数、除数的位置。 ⑥分数形式的符号错误 分数-a/b，a/-b等价于-a/b学生容易忽略分子分母的负号，对最终结果的符号判断错误。 ⑦带分数计算失误 开展除法运算前没有先将带分数转化为假分数，直接拆分计算，出现计算错误。 做题注意事项 1. 标准解题步骤 ①第一步：校验除数是否为0，除数为0时该算式没有意义。 ②第二步：将全部除法统一改写为乘法，被除数保持不变，除数替换为它的倒数。 ③第三步：清点所有负因数的个数，判断商的最终符号；式子中只要出现因数0，直接得出结果0。 ④第四步：取出全部数字的绝对值完成乘除运算，最后标注提前确定的符号。 2. 计算规范要求 ①参与计算的带分数必须先化为假分数，小数优先统一转化为分数，降低计算出错概率。 ②书写的时候被除数、除数的位置不可颠倒；除法转化为乘法之后，优先对可以约分的数字进行化简。 ③ 最终的计算结果需要化为最简分数，假分数可以根据要求转化为带分数。 3. 混合运算的做题要点 ①乘除属于同级运算，没有括号时严格按照从左向右的顺序开展计算。 ②存在括号时优先计算括号内部的数值；乘方的运算优先级高于除法，需要先完成乘方计算，再进行除法。 ③移动数字位置时需要连带数字前方自带的符号一同移动，不可以单独挪动数字。 4. 实际应用题审题提示 ①水位变化、温差、平均分、工程效率类题型：上升、收入、向东记为正数，下降、支出、向西记为负数。 ②平均速度、单位耗油量类的除法问题，要区分被除数和除数，不可颠倒二者顺序。 ③完成计算之后结合现实场景校验结果合理性，海拔、温度的数值应当符合生活常识。 实战训练 1.计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 2．计算的结果等于（ ） A．3 B． C．2 D． 3．（ ） A．2 B． C．1 D．4 3．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 4．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 知识点01:乘方基础定义 求n个相同因数相乘的运算叫作乘方，记作a^n ①a：底数，代表重复相乘的数字 ②n：指数，表示相同因数的个数 ③a^：幂，为乘方运算的最终结果 读法：a^n读作a的n次方；指数为2时称作平方，指数为3时称作立方。 知识点02: 乘方的符号规律 1. 正数的任意次幂结果均为正数 2. 负数的奇次幂结果为负数，负数的偶次幂结果为正数 3. 0的任意正整数次幂的结果都为0 补充：底数为0、指数为0没有数学意义 知识点03:高频易混概念辨析 (-a)^n与-a^n存在本质区别： 1. (-a)^n：底数是-a，完整的含义为n个-a相乘 2. -a^n：底数是a，代表先完成a^n的计算，再求取它的相反数 举例如： (-2)^2=4，底数为-2；-2^2=-4，底数为2 知识点04:特殊运算结论 ①1的任意次幂结果都等于1 ② -1的奇次幂等于-1，-1的偶次幂等于1 ③一个数的平方具备非负性：a^2≧0，任意有理数的平方结果不会小于0 知识点05:乘方逆运算 开方为乘方对应的逆运算，七年级阶段以平方、立方的逆运算为主。 知识点06:混合运算定位 乘方属于最高级别的基础运算，运算优先级高于乘除、加减。 易错点拨 1. 底数判断错误（全章节最高频失分点） 学生经常混淆(-a)^n与-a^n，忽略括号对于底数的界定。例如计算-3^2时错误判定底数为-3，算出结果9，正确底数为3，最终结果为-9。 2. 符号判断失误 负数的乘方计算中，忘记区分指数的奇偶性；底数为负数，指数为奇数时结果误写为正数，指数为偶数时结果误写为负数。 3. 书写格式不规范 底数为负数分数时没有添加括号，直接改变底数。 4. 乘方概念认知偏差 将乘方理解为底数与指数做乘法，例如把2^3错误2×3=6，正确的计算逻辑为2×2×2=8 5. 0的乘方规则出错 错误认为0^0有意义；将0的乘方结果错写为不为0的数值。 6. 运算优先级混淆 有理数混合运算里，优先计算乘除后计算乘方，违背先乘方、后乘除的运算顺序。 7. 平方非负性认知不足 忽略a^2≥0的特征，在代数式求值题型中漏看平方的取值 标准解题步骤 ①精准识别算式的底数，重点确认底数是否带有括号，判断底数的真实数值 ②对照指数的奇偶性，提前判断最终结果的正负 ③计算底数绝对值的乘方数值 ④将已经判定的符号补充到计算结果前方，得到最终答案 实战演练 1.计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2.若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 3．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 4．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 知识点01:运算顺序 1.核心层级顺序：先完成乘方运算，再开展乘除计算，最后进行加减运算 2.同级运算规则：加减、乘除都属于同级运算，不存在括号的前提下，需要从左向右依次计算 3.括号运算规则：存在多层括号时，按照从小到大的顺序计算，先计算小括号内部的算式，再计算中括号，最后计算大括号 补充：绝对值的运算优先级和括号一致，需要优先完成绝对值内部的计算 易错点拨 1.符号类错误 最常出现的失分类型，多重负号、去括号的过程当中非常容易出现符号翻转失误；乘方底数判断出错，(-a)^n和-a^n的符号计算混淆。 2.运算顺序错误 违背既定的优先级顺序，最典型的错误为先计算加减、后计算乘方；同级运算没有按照从左向右的顺序计算，随意调换数字的位置。 3.抄写类失误 移项、脱式计算的过程中抄错数字、漏写负号，将题目内的数值抄写错误，后续所有的计算全部出错。 4.概念类陷阱 带分数没有转为假分数直接参与乘除运算；除数取0；科学记数法、近似数相关的读数计算出现偏差 实战演练 按照运算顺序，计算第一步应算（ ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 知识点拨01:基础定义 把绝对值大于10的大数,书写为a×10^n的标准形式,需要同时满足两条约束： ①1≦a<10的,a的整数部分仅有一位数字 ②n为正整数 知识点拨02:核心规律 ① n 的数值等于原数整数数位的总数量减去1 示例：数字56000000一共拥有8位整数，n=8-1=7，写作 5.6 ×10^7 ②负数同样可以使用科学记数法表示，负号保留在系数a的前方，例：-32000=-3.2×10^4 ③大数还原：将a×10^n的小数点向右移动n位，位数不足时补充0即可得到原始数字 知识点03:近似数相关配套考点 使用科学记数法记录的近似数，判断精确度时需要先将数字还原为原数，再确认精确的数位。 易错点拨 1. 系数a范围出错 书写时a没有落在[1,10)区间，例如将4200写作42x10^2，a=42超出了取值范围，不符合规范。 2. 指数n计算失误 混淆指数和整数位数的对应关系，n错误取为整数位数本身，例如12000共5位整数，错误写作1.2×10^5，正确结果为1.2×10^4。 3. 负数书写疏漏 对负大数进行科学记数法转换时丢失负号，例如-7800错误写为7.8x10^3。 4. 大数还原计算错误 位数出现偏差，例如3.1×10^5错误还原为31000。 5. 精确度判断错误 直接基于科学记数法的形式判定精度，没有先还原原数。例2.4×10^4实际精确到千位，学生容易误判为十分位。 标准解题步骤 ①第一步：确定系数a，将原数的小数点向左移动，保证移动之后a满足1≤ a<10 ②第二步：统计小数点向左移动的总位数，该数值即为指数n ③第三步：补齐符号，负数保留前置负号，完成书写 ④大数还原：把a的小数点向右移动n位，空位补0 实战练习 1.太阳系是由太阳和围绕它运动的各类天体及其所占有的空间区域共同组成的天体系统，按引力影响算，太阳系的半径可达2光年（1光年约94600亿千米），数据94600用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 4．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章有理数的应用暑假基础知识梳理 学习目标 知识目标 1. 完整掌握有理数加、减、乘、除、乘方的底层运算法则，理解每一条法则的几何含义 2. 可以完成有理数混合运算，牢记完整运算优先级规则，能够开展含乘方、绝对值、多层括号的复杂计算 3. 熟练使用加法交换律、结合律、乘法全套运算律完成有理数简便运算 4. 掌握大数科学记数法的书写、原数还原操作，可以精准判断近似数的精确度、推算近似数对应的取值区间 5.可以解决数轴动点、数值程序流程图 能力目标 1. 建立固定的计算思路：先判定符号，再计算绝对值，落实初中数学转化思想，实现减法转加法、除法转乘法 2. 依托数轴、面积模型等图形完成数形结合的运算推导，可以自主归纳乘方符号、多因数相乘的符号规律 3.养成步骤完整、书写规范的计算习惯，可以自主识别计算的高频易错点、完成结果自查核心素养目标树立严谨的运算习惯，感受有理数运算在海拔温差、收支统计、水位变化等现实场景的应用，为后续整式运算、方程学习筑牢计算基础 知识点01:有理数加法法则 ①同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。即符号相同的数相加，和的符号与加数的符号一致，把绝对值相加。同为正数相加时，和大于每一个加数，同为负数相加时，和 小于每一个加数。 ②异号相加：异号相加,取绝对值较大的数的符号，再把较大的绝对值与较小的绝对值做差,大的绝对值减去小的绝对值。 ③与0相加：任何数与0相加都等于 这个数本身。 知识点02:有理数的加法运算率 ①加法交换律:交换加数的位置，和不变a+b=b+a。 ②加法结合律:三个加数相加，先把前两个加数相加或先把 后两个加数相加，和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。 知识点03:初中有理数加法常用5类凑合策略 1. 相反数优先结合：互为相反数的两数相加结果为0 2. 同分母分数优先结合 3. 凑整优先：相加结果为整数的数字优先组合 4. 符号一致的数字优先合并 5. 带分数拆分：把带分数拆分为整数、分数两个部分分别完成计算，拆分之后的数字符号和原数保持一致。 实战演练 1.将式子省略括号和加号后变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据去括号规则，负负得正，正负得负， 则，选项符合题意． 2.下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 3.如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B 知识点01:有理数减法法则 1.有理数减法核心法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数a-b=a+(-b) 2.有理数减法的本质：把减法运算完全转化为小学已经掌握的有理数加法，实现统一计算。 知识点02:数轴视角的减法含义 1.数轴上两点的距离公式：代表数字a、b的两个点之间的距离等于Ia-bI 海拔、温差类的实际问题都可以借助该公式完成求解，高度差、温度差永远为非负数。 知识点03:有理数加减混合运算 所有包含加减的混合算式，都可以先统一改写为全部为加法的形式，之后依托加法交换律、结合律开展简便运算。 例：(-3.2)-(-4.7)+(-5.8)-(+2.7) 转化为 -3.2+4.7-5.8-2.7。 易错点拨 1.两变原则（减法变加法的核心要求） 完成减法转加法时必须做到两处改动，缺一不可： - 第一处：减号转变为加号 - 第二处：减数更换为它对应的相反数 易错反例：3-(-2) 错误改写为3-2，只改变符号没有更换减数；-5-3错误改写为-5+3，减数没有取反。 2 .有理数的减法不存在小学阶段“大数减小数”的限制，小数减去大数可以得到负数结果。 3. 有理数的减法不具备交换律：被减数和减数不能随意调换位置。 4. 特殊计算结果： - 一个数减去0，结果等于这个数字本身：a-0=a - 一个数减去它自身，结果为0：a-a=0 计算做题的注意事项: 1. 符号书写规范 ①当减数为负数的时候，需要添加括号来区分符号：5-(-3)，不可以书写成5--3，避免出现符号混淆。 ②式子里存在多个连续负号时，优先先完成化简：a-(-b)=a+b ,a-(+b)=a-b 2. 分步计算避坑流程 有理数减法标准解题步骤： ①第一步：完成“两变”，把全部减法统一转为加法 ②第二步：抄写所有数字，确认每一个数字自带的符号没有出现错误 ③第三步：使用加法的运算法则完成计算，可以优先合并相反数、同号的数字来简化运算 3. 混合运算的优先级要求 有理数加减混合运算属于同级运算，整体遵循从左往右的计算顺序；存在括号的时候优先计算括号内部的算式。 典型错题：1-2+3错误计算为1-(2+3)，擅自添加括号改变运算结果。 4. 实际应用题审题要点 ①温差、海拔高度差、水位落差类题型，最后的结果需要取绝对值，高度差值一定是非负的。 ②收支、升降类题目：上升、收入记为正数，下降、支出记为负数，对应数值带入算式完成计算。 5. 简便运算的易错提醒 ①使用交换律挪动数字位置的时候，必须同步带走数字前方的符号：-8+5-3可以调整为-8-3+5，不可以改写为-8+3+5。 ②去括号的对应规则：括号前是减号，去掉括号之后括号内部全部符号需要完成变号 实战演练 1.下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 2．某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解∶， 即冷藏室温度比冷冻室温度高． 3．将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 4．计算的结果为（   ） A． B．-5 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 5．泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 答案】B 【详解】解： 米， 所以下午的水位为米．     知识点01: 有理数的乘法法则 1.两数相乘的计算规则：同号得正，异号得负并把绝对值相乘 ①正数 × 正数 = 正数 ②负数 × 负数 = 正数 ③正数 × 负数 = 负数 ④任何有理数和0相乘，结果都为0 知识点02: 多个非零有理数相乘的符号规律: 多个不为0的数字相乘时最终结果的符号由负因数的数量决定： ①负因数个数为偶数 → 积为正数 ②负因数个数为奇数 → 积为负数 计算流程：先判定整体符号，再将全部乘数的绝对值做乘法运算。 知识点03: 倒数的定义 乘积等于1的两个有理数互为倒数：若ab=1，则a与b互为倒数 ①a的倒数为1/a，a不等于0 ② 0不存在倒数 ③正数的倒数依旧为正数，负数的倒数依旧为负数 知识点04:有理数乘法三大运算率 小学的全部运算律在有理数范围内完全成立： 1. 交换律：ab=ba，调换两个因数的位置，乘积不变 2. 结合律：(ab)c=a(bc)，调整计算的先后顺序，乘积不变 3. 分配律：a(b+c)=ab+ac，是七年级最核心的高频考点，可以用来完成复杂算式的简便运算 知识点05:特殊运算结论 ①一个数乘1,结果等于它本身:a×1=a ②一个数乘-1,结果等于它的相反数:a×(-1)=-1 知识点06:乘除混合运算规则 乘除属于同级运算，可以先将全部除法转化为乘法之后统一计算。 易错点拨 1. 符号判定出错 多个有理数相乘时统计负因数数量失误，偶数个负数相乘结果误算为负、奇数个负数相乘结果误算为正。 2. 乘法分配律漏乘、符号出错 去括号时只乘括号内第一项，遗漏剩余的项；括号内部带有负数，展开之后没有对应调整符号。 3. 忽略因数0 算式中包含数字0仍然去计算绝对值乘积，得到错误的非零结果。 4. 倒数概念混淆 错误认为0存在倒数；相反数与倒数概念混淆，相反数和为0，倒数积为1。 5. 书写格式不规范 连续书写两个负号，例如(-4)×-7，负数因数没有添加括号，容易造成符号误读。 6. 混淆乘除和减法的运算特性 乘法满足交换律，减数、被减数不可以随意互换，学生容易在计算中随意调换被乘数、乘数之外的数字位置。 做题注意事项 1. 标准解题步骤 第一步：清点全部负因数的数量，确定最终结果的正负；只要算式存在因数0，直接得出结果0。 第二步：剥离全部数字的符号，取出所有因数的绝对值开展乘法运算。 第三步：将提前判断得到的符号标注在绝对值乘积的前方，得到最终答案。 2. 简便运算的做题要求 ①交换、结合因数时，需要同步携带数字前方自带的符号，不可只挪动数字本体。 ② 乘法分配律做题要点：括号外侧的因数需要完整乘遍括号内部的每一项，不可以出现漏乘；括号前是负数，展开后每一项符号都要翻转。 ③优先组合可以约分、凑出整数的数字，降低大数计算的失误概率。 3. 实际应用题审题提示 ①水位升降、海拔变化、油耗收支类场景：上升、收入、向东记为正数，下降、支出、向西记为负数，将对应数值带入列式。 ②最终结果的正负对应现实场景的变化方向，完成计算之后结合题意核验结果合理性。 4. 混合运算的注意事项 ①除属于同级运算，无括号时按照从左到右的顺序计算。 ②有多层括号时，优先计算小括号内部的算式，再计算中括号。 ③有理数乘方优先级高于乘法，先完成乘方计算，再开展乘法运算。 实战演练 1.下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 2.下列式子中，积的符号为负的是（  ） A．. B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 3．的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 4．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 知识点01:有理数除法运算法则 有理数除法拥有两套等价的运算规则： 1. 法则一（转化思想）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数a÷b=a×1/b 2. 法则二（符号判定）：两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除。 3. 特殊规定：0除以任何一个不为0的数，结果都等于0；0不可以作为除数 知识点02:多个有理数乘除混合运算 ①乘除属于同级运算，所有除法可以全部转化为乘法，按照有理数乘法的规则完成计算。 ②计算流程：先统计全部负因数的数量确定最终结果符号，再计算所有数字绝对值的乘除。 知识点03:倒数配套知识点 ①定义：乘积为1的两个数互为倒数，a的倒数为\frac1a，a eq 0。 ②基础性质：0没有倒数；正数的倒数为正数，负数的倒数为负数；1的倒数等于自身。 ③符号规律：商的符号判定逻辑和乘法完全一致。 知识点04:商的特殊结论 ①一个数除以1，结果等于它本身：a÷1 = a ②一个数除以-1，结果为它的相反数：a÷(-1)= -a ③两个相同的非零有理数相除，商为1：a÷ a = 1 (a不等于0) ④互为相反数的两个非零有理数相除，商为-1：a÷(-a) = -1 (a不等于0) 知识点05:有理数的除法没有交换率 a÷b≠b÷a被除数与除数不可随意互换位置。 易错点拨  ①除数为0的致命错误 学生经常忽略除数不能为0的限制，写出5\div 0这类无意义的算式；部分题目设置0作为除数的陷阱，没有第一时间识别。 ②除法转倒数时符号出错 将除法转化为乘法的过程中，只颠倒数字的数值，忘记同步翻转符号，例：-6\div(-3)错误转化为-6\times\frac13。 ③符号判断失误 多个有理数进行乘除混合运算时，负号的数量统计错误，最终商的正负判断出现偏差。 ④混淆倒数与相反数 把相反数的运算逻辑套用到除法计算中，错误认为除以一个数等于加上它的相反数，没有落实乘倒数的规则。 ⑤乘除混合运算顺序出错 无括号的前提下，违背从左到右的运算顺序，优先计算右侧的除法；随意调换被除数、除数的位置。 ⑥分数形式的符号错误 分数-a/b，a/-b等价于-a/b学生容易忽略分子分母的负号，对最终结果的符号判断错误。 ⑦带分数计算失误 开展除法运算前没有先将带分数转化为假分数，直接拆分计算，出现计算错误。 做题注意事项 1. 标准解题步骤 ①第一步：校验除数是否为0，除数为0时该算式没有意义。 ②第二步：将全部除法统一改写为乘法，被除数保持不变，除数替换为它的倒数。 ③第三步：清点所有负因数的个数，判断商的最终符号；式子中只要出现因数0，直接得出结果0。 ④第四步：取出全部数字的绝对值完成乘除运算，最后标注提前确定的符号。 2. 计算规范要求 ①参与计算的带分数必须先化为假分数，小数优先统一转化为分数，降低计算出错概率。 ②书写的时候被除数、除数的位置不可颠倒；除法转化为乘法之后，优先对可以约分的数字进行化简。 ③ 最终的计算结果需要化为最简分数，假分数可以根据要求转化为带分数。 3. 混合运算的做题要点 ①乘除属于同级运算，没有括号时严格按照从左向右的顺序开展计算。 ②存在括号时优先计算括号内部的数值；乘方的运算优先级高于除法，需要先完成乘方计算，再进行除法。 ③移动数字位置时需要连带数字前方自带的符号一同移动，不可以单独挪动数字。 4. 实际应用题审题提示 ①水位变化、温差、平均分、工程效率类题型：上升、收入、向东记为正数，下降、支出、向西记为负数。 ②平均速度、单位耗油量类的除法问题，要区分被除数和除数，不可颠倒二者顺序。 ③完成计算之后结合现实场景校验结果合理性，海拔、温度的数值应当符合生活常识。 实战训练 1.计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 2．计算的结果等于（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 3．（ ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 3．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 知识点01:乘方基础定义 求n个相同因数相乘的运算叫作乘方，记作a^n ①a：底数，代表重复相乘的数字 ②n：指数，表示相同因数的个数 ③a^：幂，为乘方运算的最终结果 读法：a^n读作a的n次方；指数为2时称作平方，指数为3时称作立方。 知识点02: 乘方的符号规律 1. 正数的任意次幂结果均为正数 2. 负数的奇次幂结果为负数，负数的偶次幂结果为正数 3. 0的任意正整数次幂的结果都为0 补充：底数为0、指数为0没有数学意义 知识点03:高频易混概念辨析 (-a)^n与-a^n存在本质区别： 1. (-a)^n：底数是-a，完整的含义为n个-a相乘 2. -a^n：底数是a，代表先完成a^n的计算，再求取它的相反数 举例如： (-2)^2=4，底数为-2；-2^2=-4，底数为2 知识点04:特殊运算结论 ①1的任意次幂结果都等于1 ② -1的奇次幂等于-1，-1的偶次幂等于1 ③一个数的平方具备非负性：a^2≧0，任意有理数的平方结果不会小于0 知识点05:乘方逆运算 开方为乘方对应的逆运算，七年级阶段以平方、立方的逆运算为主。 知识点06:混合运算定位 乘方属于最高级别的基础运算，运算优先级高于乘除、加减。 易错点拨 1. 底数判断错误（全章节最高频失分点） 学生经常混淆(-a)^n与-a^n，忽略括号对于底数的界定。例如计算-3^2时错误判定底数为-3，算出结果9，正确底数为3，最终结果为-9。 2. 符号判断失误 负数的乘方计算中，忘记区分指数的奇偶性；底数为负数，指数为奇数时结果误写为正数，指数为偶数时结果误写为负数。 3. 书写格式不规范 底数为负数分数时没有添加括号，直接改变底数。 4. 乘方概念认知偏差 将乘方理解为底数与指数做乘法，例如把2^3错误2×3=6，正确的计算逻辑为2×2×2=8 5. 0的乘方规则出错 错误认为0^0有意义；将0的乘方结果错写为不为0的数值。 6. 运算优先级混淆 有理数混合运算里，优先计算乘除后计算乘方，违背先乘方、后乘除的运算顺序。 7. 平方非负性认知不足 忽略a^2≥0的特征，在代数式求值题型中漏看平方的取值 标准解题步骤 ①精准识别算式的底数，重点确认底数是否带有括号，判断底数的真实数值 ②对照指数的奇偶性，提前判断最终结果的正负 ③计算底数绝对值的乘方数值 ④将已经判定的符号补充到计算结果前方，得到最终答案 实战演练 1.计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2.若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负性判断各选项式子的取值范围，即可选出结果一定为正数的选项． 【详解】∵对任意有理数，都有，， A选项，当时，，0不是正数，A选项不符合题意； B选项，当时，，0不是正数，B选项不符合题意； C选项，∵，∴，无论取任何有理数，结果都是正数，C选项符合题意； D选项，当时，，结果为负数，D选项不符合题意． 3．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 4．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同指数幂的除法法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 5．计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算的运算法则是解题的关键．遵循先计算乘方再处理符号的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 知识点01:运算顺序 1.核心层级顺序：先完成乘方运算，再开展乘除计算，最后进行加减运算 2.同级运算规则：加减、乘除都属于同级运算，不存在括号的前提下，需要从左向右依次计算 3.括号运算规则：存在多层括号时，按照从小到大的顺序计算，先计算小括号内部的算式，再计算中括号，最后计算大括号 补充：绝对值的运算优先级和括号一致，需要优先完成绝对值内部的计算 易错点拨 1.符号类错误 最常出现的失分类型，多重负号、去括号的过程当中非常容易出现符号翻转失误；乘方底数判断出错，(-a)^n和-a^n的符号计算混淆。 2.运算顺序错误 违背既定的优先级顺序，最典型的错误为先计算加减、后计算乘方；同级运算没有按照从左向右的顺序计算，随意调换数字的位置。 3.抄写类失误 移项、脱式计算的过程中抄错数字、漏写负号，将题目内的数值抄写错误，后续所有的计算全部出错。 4.概念类陷阱 带分数没有转为假分数直接参与乘除运算；除数取0；科学记数法、近似数相关的读数计算出现偏差 实战演练 按照运算顺序，计算第一步应算（ ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 知识点拨01:基础定义 把绝对值大于10的大数,书写为a×10^n的标准形式,需要同时满足两条约束： ①1≦a<10的,a的整数部分仅有一位数字 ②n为正整数 知识点拨02:核心规律 ① n 的数值等于原数整数数位的总数量减去1 示例：数字56000000一共拥有8位整数，n=8-1=7，写作 5.6 ×10^7 ②负数同样可以使用科学记数法表示，负号保留在系数a的前方，例：-32000=-3.2×10^4 ③大数还原：将a×10^n的小数点向右移动n位，位数不足时补充0即可得到原始数字 知识点03:近似数相关配套考点 使用科学记数法记录的近似数，判断精确度时需要先将数字还原为原数，再确认精确的数位。 易错点拨 1. 系数a范围出错 书写时a没有落在[1,10)区间，例如将4200写作42x10^2，a=42超出了取值范围，不符合规范。 2. 指数n计算失误 混淆指数和整数位数的对应关系，n错误取为整数位数本身，例如12000共5位整数，错误写作1.2×10^5，正确结果为1.2×10^4。 3. 负数书写疏漏 对负大数进行科学记数法转换时丢失负号，例如-7800错误写为7.8x10^3。 4. 大数还原计算错误 位数出现偏差，例如3.1×10^5错误还原为31000。 5. 精确度判断错误 直接基于科学记数法的形式判定精度，没有先还原原数。例2.4×10^4实际精确到千位，学生容易误判为十分位。 标准解题步骤 ①第一步：确定系数a，将原数的小数点向左移动，保证移动之后a满足1\le a<10 ②第二步：统计小数点向左移动的总位数，该数值即为指数n ③第三步：补齐符号，负数保留前置负号，完成书写 ④大数还原：把a的小数点向右移动n位，空位补0 实战练习 1.太阳系是由太阳和围绕它运动的各类天体及其所占有的空间区域共同组成的天体系统，按引力影响算，太阳系的半径可达2光年（1光年约94600亿千米），数据94600用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，n为整数，解题关键是正确确定a和n的值． 【详解】将原数表示为科学记数法时，移动小数点得到符合要求的a，小数点移动的位数即为n的绝对值， ∵，满足， ∴94600用科学记数法可表示为． 2．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定百位数字，根据四舍五入取近似值，再用科学记数法表示，保证精确度符合要求． 【详解】由题意得，将数精确到百位为． 3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 4．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 学科网（北京）股份有限公司 $