4.1 函数 学案- 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

4.1 函数 考点1: 函数的概念 函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.[如y＝2x，y＝等，y都是x的函数.] · 理解函数的概念要注意以下四点： ①有两个变量； ②一个变量变化，另一个变量随之变化； ③一个自变量x的值只能对应唯一一个y值，但一个确定的y值可以对应多个不同的x的值；[如y＝x2是函数，而|y|＝x不是函数] ④函数不是数，它是在一个变化过程中两个变量之间的关系.[对于变量x与y，可以说y是x的函数，不能说y是函数] 练习1. 1. 如图所示的图象中，表示y是x的函数的个数为( ).   A.4　    B.3　    C.2　    D.1 2. 下列各关系中，不是函数关系的是( ). A.y＝－x(x≤0)　　　　　　B. y＝±x(x≥0) C. y＝x(x≥0)　　　　　　 D. y＝－x(x≥0) 3. 下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是( ). A.y＝x2　     B.y＝±x C.|y|＝x＋1　     D.y2＝x 4. 对于圆的面积公式S＝πR2，下列说法中，正确的为( ). A. π是自变量 B. R2是自变量 C.R是自变量 D. πR2是自变量 5. 下列变量之间不是函数关系的是( ). A. 正方形的周长和面积 B. 李华一天的心跳速度与时间 C. 三角形的底边长和面积 D. 买苹果时苹果数量和总价 6. 下列变量之间的关系中，具有函数关系的有( ). ①三角形的面积与高 ②多边形的内角和与边数 ③圆的面积与半径 ④＝中的y与x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 下列变量间的关系是函数关系的是　    .(填序号) ①长方形的长与面积；②S＝πr2；③y＝±. 考点2: 函数的三种表示方法 1. 表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法 2. 三种表示方法的特点： 表示法 定义 优点 缺点 列表法 用表格列出自变量的值和与之对应的函数值，表示两个变量之间的函数关系 能清晰地显示出自变量的值和与之对应的函数值 只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌 关系式法 用含自变量的代数式表示函数的方法 简明扼要、规范准确、便于计算 并非适用于所有函数 图象法 用图象表示两个变量之间的函数关系 能直观、形象地显示出数据的变化趋势，为研究函数的性质提供了方便 所画出的图象是近似的、局部的，因此由图象确定的函数往往不够精确 · ①共性：给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值 ②一般地，函数的三种表示方法可以互相转化 ③并不是所有的函数都可以用这三种方法表示，如气温关于时间的函数，只能用列表法和图象法表示. 练习2. 1. 甲、乙两队参加“端午情，龙舟韵”的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，其中正确的有( ). ①乙队率先到达终点        ②甲队比乙队多走了126米 ③在47.8秒时，两队所走的路程相等       ④从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢 A．3个 B．2个 C．1个 D．0 2. 某游泳池水深200cm，现需换水，若每小时水位下降30cm，那么水的深度h(cm)与时间t(小时)的关系式是 　　    　    .  3. 一艘轮船装载2 800吨货物，写出平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间的关系式为　    .  4. 某公司送农资下乡，某汽车油箱内剩余油量Q(升)与汽车行驶路程s(千米)有如下关系: 行驶路程s(千米) 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q(升) 40 35 30 25 20 … (1)油箱中原有油多少升? (2)写出油箱内剩余油量Q与汽车行驶路程s之间的关系式； (3)这辆汽车最多行驶多少千米? 考点3: 函数值及自变量的取值范围 1. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. · ①在求函数值时，一定要明确是自变量为多少时的函数值； ②函数反映了两个变量之间的关系，而函数值是一个数值； ③一般地，一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的； ④一个自变量对应的函数值是唯一确定的，但一个函数值对应的自变量的值可以是多个. 已知 欲求 本质 函数表达式、自变量的值 函数值 求代数式的值 函数表达式、函数值 自变量的值 解方程 2. 常见函数表达式中自变量取值范围的确定： 类型 特点 举例 自变量的取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x－1 全体实数 根式型 等号右边是二次根式 y＝ 使根号下式子的值大于或等于0的实数 零次幂 (或负整数幂) 等号右边是关于自变量的零次幂或负整数次幂 y＝x0，y＝x－2 使底数不为0的实数 分母型 等式右边的自变量在分母的位置上 y＝ 使分母不为0的实数 复合型 包含以上情况中的至少2种 y＝ 使各部分都有意义的实数 · 实际问题中自变量的取值范围：一是必须使含有自变量的代数式有意义；二是满足实际问题的意义.如S＝πr2中，若r表示圆的半径，则r的取值范围应为r＞0. 练习3. 1. 变量x，y的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律，当x＝－4时，y的值是( ). x … －2 －1 0 1 2 3 … y … －8 －1 0 1 8 27 … A. －64　　　 　B.64　　 　　C. －48　 　　　D.48 2. 根据以下程序，当输入x＝－时，输出的结果y＝( ). A.＋1　　　　B.－1 C.－－1　　　D.－＋1 3. 函数y＝中，自变量x的取值范围是　    .  巩固练习： 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是( ). 2. 函数y＝中，自变量x的取值范围是( ). A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 3. 某布店新进了一批花布，卖出的数量x(米)与售价y(米)的关系如表： 数量x(米) 1 2 3 4 … 售价y(元) 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 … 那么y与x的关系式是( ). A．y＝8x＋0.3 B．y＝(8＋0.3)x C．y＝8＋0.3x D．y＝8＋0.3＋x 4. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( ). A． B． C． D． 5. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中，正确结论的个数是( ). A．4 B．3 C．2 D．1 6. 如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y的值为　    .  7. 某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y(元)与所存月数x之间的关系式为　    . 8. 已知矩形的周长为24，设它的一边长为x，那么它的面积y与x之间的函数关系式为　    . 9. 如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A运动至点A停止，设运动的路程为x，△ABP的面积为y，且y与x之间的关系如图2所示，则平行四边形ABCD的周长为　    ． 图1 图2 10. 小明骑车上学，当他骑了一段时间后,想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校.他离家的距离(米)与所用的时间(分钟)的关系如图所示.根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是　    米；  (2)小明在书店停留了　    分钟；  (3)本次上学途中，小明一共骑行了　    米；  (4)据统计，骑车的速度超过330米/分钟就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度在安全限度内吗?请说明理由. 11. 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2m/s，到达坡底时小球的速度达到40m/s. (1)求小球的速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数关系式； (2)求t的取值范围； (3)求3.5s时小球的速度； (4)求n(s)时小球的速度为16 m/s. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 函数 考点1: 函数的概念 函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.[如y＝2x，y＝等，y都是x的函数.] · 理解函数的概念要注意以下四点： ①有两个变量； ②一个变量变化，另一个变量随之变化； ③一个自变量x的值只能对应唯一一个y值，但一个确定的y值可以对应多个不同的x的值；[如y＝x2是函数，而|y|＝x不是函数] ④函数不是数，它是在一个变化过程中两个变量之间的关系.[对于变量x与y，可以说y是x的函数，不能说y是函数] 练习1. 1. 如图所示的图象中，表示y是x的函数的个数为( B ).   A.4　    B.3　    C.2　    D.1 2. 下列各关系中，不是函数关系的是( B ). A.y＝－x(x≤0)　　　　　　B. y＝±x(x≥0) C. y＝x(x≥0)　　　　　　 D. y＝－x(x≥0) 3. 下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是( A ). A.y＝x2　     B.y＝±x C.|y|＝x＋1　     D.y2＝x 4. 对于圆的面积公式S＝πR2，下列说法中，正确的为( C ). A. π是自变量 B. R2是自变量 C.R是自变量 D. πR2是自变量 5. 下列变量之间不是函数关系的是( C ). A. 正方形的周长和面积 B. 李华一天的心跳速度与时间 C. 三角形的底边长和面积 D. 买苹果时苹果数量和总价 6. 下列变量之间的关系中，具有函数关系的有( C ). ①三角形的面积与高 ②多边形的内角和与边数 ③圆的面积与半径 ④＝中的y与x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7. 下列变量间的关系是函数关系的是　 ②   .(填序号) ①长方形的长与面积；②S＝πr2；③y＝±. 考点2: 函数的三种表示方法 1. 表示函数的方法一般有：列表法、关系式法和图象法 2. 三种表示方法的特点： 表示法 定义 优点 缺点 列表法 用表格列出自变量的值和与之对应的函数值，表示两个变量之间的函数关系 能清晰地显示出自变量的值和与之对应的函数值 只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，不能反映出函数变化的全貌 关系式法 用含自变量的代数式表示函数的方法 简明扼要、规范准确、便于计算 并非适用于所有函数 图象法 用图象表示两个变量之间的函数关系 能直观、形象地显示出数据的变化趋势，为研究函数的性质提供了方便 所画出的图象是近似的、局部的，因此由图象确定的函数往往不够精确 · ①共性：给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值 ②一般地，函数的三种表示方法可以互相转化 ③并不是所有的函数都可以用这三种方法表示，如气温关于时间的函数，只能用列表法和图象法表示. 练习2. 1. 甲、乙两队参加“端午情，龙舟韵”的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，其中正确的有( C ). ①乙队率先到达终点        ②甲队比乙队多走了126米 ③在47.8秒时，两队所走的路程相等       ④从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢 A．3个 B．2个 C．1个 D．0 2. 某游泳池水深200cm，现需换水，若每小时水位下降30cm，那么水的深度h(cm)与时间t(小时)的关系式是 　h＝200－30t　.  3. 一艘轮船装载2 800吨货物，写出平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间的关系式为　v=　.  4. 某公司送农资下乡，某汽车油箱内剩余油量Q(升)与汽车行驶路程s(千米)有如下关系: 行驶路程s(千米) 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q(升) 40 35 30 25 20 … (1)油箱中原有油多少升? 油箱中原有油40升. (2)写出油箱内剩余油量Q与汽车行驶路程s之间的关系式； 油箱内剩余油量Q与汽车行驶路程s之间的关系式为Q＝40－＝40－s. (3)这辆汽车最多行驶多少千米? 这辆汽车最多行驶400千米 考点3: 函数值及自变量的取值范围 1. 函数值：对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值. · ①在求函数值时，一定要明确是自变量为多少时的函数值； ②函数反映了两个变量之间的关系，而函数值是一个数值； ③一般地，一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的； ④一个自变量对应的函数值是唯一确定的，但一个函数值对应的自变量的值可以是多个. 已知 欲求 本质 函数表达式、自变量的值 函数值 求代数式的值 函数表达式、函数值 自变量的值 解方程 2. 常见函数表达式中自变量取值范围的确定： 类型 特点 举例 自变量的取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x－1 全体实数 根式型 等号右边是二次根式 y＝ 使根号下式子的值大于或等于0的实数 零次幂 (或负整数幂) 等号右边是关于自变量的零次幂或负整数次幂 y＝x0，y＝x－2 使底数不为0的实数 分母型 等式右边的自变量在分母的位置上 y＝ 使分母不为0的实数 复合型 包含以上情况中的至少2种 y＝ 使各部分都有意义的实数 · 实际问题中自变量的取值范围：一是必须使含有自变量的代数式有意义；二是满足实际问题的意义.如S＝πr2中，若r表示圆的半径，则r的取值范围应为r＞0. 练习3. 1. 变量x，y的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律，当x＝－4时，y的值是( A ). x … －2 －1 0 1 2 3 … y … －8 －1 0 1 8 27 … A. －64　　　 　B.64　　 　　C. －48　 　　　D.48 2. 根据以下程序，当输入x＝－时，输出的结果y＝( D ). A.＋1　　　　B.－1 C.－－1　　　D.－＋1 3. 函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠－1　.  巩固练习： 1. 下列图象中，表示y是x的函数的是( C ). 2. 函数y＝中，自变量x的取值范围是( C ). A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 3. 某布店新进了一批花布，卖出的数量x(米)与售价y(米)的关系如表： 数量x(米) 1 2 3 4 … 售价y(元) 8＋0.3 16＋0.6 24＋0.9 32＋1.2 … 那么y与x的关系式是( B ). A．y＝8x＋0.3 B．y＝(8＋0.3)x C．y＝8＋0.3x D．y＝8＋0.3＋x 4. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( C ). A． B． C． D． 5. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，已知摩托车速度小于汽车，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中，正确结论的个数是( B ). A．4 B．3 C．2 D．1 6. 如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y的值为　　2　　.  7. 某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y(元)与所存月数x之间的关系式为 y＝0.2x＋100_. 8. 已知矩形的周长为24，设它的一边长为x，那么它的面积y与x之间的函数关系式为 y＝x(12－x)_. 9. 如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A运动至点A停止，设运动的路程为x，△ABP的面积为y，且y与x之间的关系如图2所示，则平行四边形ABCD的周长为 14 ． 图1 图2 10. 小明骑车上学，当他骑了一段时间后,想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校.他离家的距离(米)与所用的时间(分钟)的关系如图所示.根据图象回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是　1 500　米；  (2)小明在书店停留了　　4　　分钟；  (3)本次上学途中，小明一共骑行了　2 700　米；  (4)据统计，骑车的速度超过330米/分钟就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度在安全限度内吗?请说明理由. (4)由图象可知，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度为450米/分钟， ∵450＞330， ∴小明买到书后继续骑车到学校的这段时间内的骑车速度不在安全限度内. 11. 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2m/s，到达坡底时小球的速度达到40m/s. (1)求小球的速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数关系式；v=2t (2)求t的取值范围；0≤t≤20 (3)求3.5s时小球的速度；7 m/s (4)求n(s)时小球的速度为16 m/s. n＝8 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $