吉林长春市第八中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 长春八中高二下学期期末数学试卷，以医学研究、全民健身等现实情境为载体，通过函数、概率统计等知识考查数学眼光观察、数学思维思考及数学语言表达现实世界的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、正态分布、充要条件等|基础概念辨析，如第2题正态分布考查数据意识| |多选题|3/18|概率统计、事件独立性等|多选项辨析，如第9题综合考查统计知识| |填空题|3/15|函数奇偶性、最值等|简洁计算，如第12题奇函数求值| |解答题|5/77|函数切线与单调性、概率分布列、回归分析等|现实情境应用，如第16题医学研究独立性检验，第18题全民健身回归预测|

高二下学期数学期末考试答案 1．B【详解】由集合，，则. 2．D 3．B【详解】， 所以“”可以推出“”，但“”不可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件， 4．B【详解】方法一：总选法，全护士，故至少有1名医生的选法. 方法二：至少有1名医生的选法. 5．C【详解】当时，可得，解得， 当时，可得， 所以. 6．A【详解】对于，当时，，排除B； 由，排除C； 对于，当上单调递减，排除D. 7．A【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减；因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 8．D【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以，选项A错误.因为当时，，所以， 令得，（舍去），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 函数在处取到极大值. 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，且函数的图象关于原点对称. 函数的图象： 结合函数图象可知的零点个数为3，分别是、0、，选项B错误. 的极值点个数为2，分别是、1，选项C错误. 若方程有三个实数根，则的取值范围是，选项D正确. 9．ABD【详解】对于A，8个数从小到大排列，因为，且，可得第25百分位数是1，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，因为样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数关系，故相关系数为-1，故C不正确；对于D，由，说明在的显著水平下，不能拒绝原假设，即认为独立，故D正确； 10．BC【详解】对于A，，A错误； 对于B，，，则，B正确；对于C，，C正确； 对于D，，则与不相互独立，D错误. 11．BD【详解】因为定义在上的函数的图象关于点成中心对称， 所以， 又是偶函数，所以，且函数的图象关于轴对称， 即， 即，对于A项，由上不能得出图象关于轴对称， 只能得出关于中心对称，故A错误； 对于B项，易知，所以为奇函数，故B正确； 对于C项，由上只能得出的一个周期为，故C错误； 对于D项，由上易知，， 所以，故D正确； 12．1【详解】因为是R上的奇函数，所以 13．【详解】函数的定点为， 故直线满足（）. 将化为，则 . 由基本不等式，，当且仅当即时取等号. 结合，解得，，此时.所以最小值为 14． 【详解】作出函数的图象，如图所示， 当时，由可得， 即，故. 由图知，和关于轴对称得， 所以.令，则， 若关于的方程至少有7个不同的解， 当时，有1个解，，而，有1个解，故原方程有1个解； 当时，有3个解，假设，则， 故有1个解，有3个解，有3个解， 所以原方程共有7个解； 当时，有4个解，假设， 则， 故有1个解，有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有8个解； 当时，有3个解，假设， 则，，，故有1个解，有4个解，有2个解，原方程共有7个解；当时，有2个解，假设，则，故有4个解，有2个解，共有6个解，综上所述，关于的方程至少有7个不同的解时， 15．(1)切线方程为； (2)单调递减区间为，单调递增区间为； (3)最小值为，最大值为. 【详解】（1）函数的定义域为，， 所以，即切点为，， 由点斜式得切线方程为，即. （2）将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，故为极小值点，计算端点与极值点的函数值： 比较大小：，因此：最小值为；最大值为. 16．(1)分布列： 1 2 3 4 (2)提出统计假设：岁人群的体质健康与性别无关. 根据列联表中的数据，经计算得到， 因为，假设成立， 所以依据小概率值的独立性检验，不能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 如果把所有数据都扩大10倍后， ，， 所以依据小概率值的独立性检验，能据此推断岁人群的体质健康与性别有关. 与之前的结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化. 17．(1)(2) 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，，，，所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ，， ，， 所以. 18．(1)，第月份开始(2)， 【详解】（1）因为，， 所以， 因此与的回归直线方程为，由，因为，所以取7，所以利用回归直线方程预测从第个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下. （2）由题意可知，，因为，所以或（舍去），所以，. 19．（1）；（2）答案见解析；（3）. 【详解】解：. （1），解得. （2）. ①当时，，， 在区间上，；在区间上， 故的单调递增区间是，单调递减区间是. ②当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ③当时，，故的单调递增区间是. ④当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和，单调递减区间是. （3）若要命题成立，只须当时，， 由可知 当时，所以只须 对来说，， （1）当时，在上有，∴ 这时，由得； （2）当时，， 设，则， ∴在递减，， ∴当时，， 综上所述，满足题意的. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2025-2026学年度下学期期末考试 高二年级（数学）试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（    ） A．15 种 B．18 种 C．21 种 D．25 种 5．若，其中，，，，，，均为实数，则（     ） A．31 B．32 C．63 D．64 6．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．设函数，则满足的x取值范围是 A．(3,+∞) B．(0,) C．(,+∞) D．(3,0) 8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．的零点个数为2 C．的极值点个数为3 D．若方程有三个实数根，则的取值范围是 二、多选题：本体共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（   ） A．数据，，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1； B．已知随机变量，若，，则； C．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； D．由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断X与Y独立 10．某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（   ） A． B． C． D．与相互独立 11．若定义在上的函数的图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．图象关于轴对称 B．为奇函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，共15分。 12．若函数为R上的奇函数，当时，，则的值为________. 13．已知直线过函数图象的定点，则最小值为______． 14．已知函数，若关于的方程（）恰有四个不同的解，记为（），设，则______；若关于的方程至少有7个不同的解，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 （1）求在处的切线方程． （2）求的单调区间． （3）求在区间上的最值． 16．（15分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解30~40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表： 性别 健康状况 合计 不感冒 感冒 男 12 18 30 女 6 24 30 合计 18 42 60 （1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布列和期望； （2）依据小概率值的独立性检验，能否据此推断30~40岁人群的体质健康与性别有关？若把表中所有数据扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的关联性，结论会有怎样的变化？不必说明理由。 附：，其中． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．（15分）一辆汽车上有n个座位，编号从1到n．现在编号为1到n的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． （1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率P； （2）当时，设X为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为i的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量X的期望． 18．（17分）2015年到2025年我国把全民健身上升为国家战略，提出力争在2025年实现全民健身与竞技体育的协调发展．某高校积极响应此号召，首先以身示范，开展了以“塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后．学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份变量 1 2 3 4 5 体重超重的人数 640 540 420 300 200 （1）若该大学体重超重人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，求出与的回归直线方程，并利用回归直线方程预测从第几个月份开始该大学体重超重的人数降至50人以下； （2）已知该校在此次主题活动中，每位学生选择游泳项目的概率都为，且互不影响．现从该校学生中随机抽取5人，记这5人中选择游泳项目的人数为，若，求的数学期望和方差． 附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；②参考数据： 19．（17分）已知函数. （1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值 （2）讨论的单调区间； （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $