1.2空间向量基本定理（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过教室墙角三维模型类比导入，前情回顾平面向量基本定理，构建从二维到三维的知识递进，为学生搭建学习支架。 其亮点在于以问题链引导探究，如“空间向量需几个向量表示”，培养数学眼光。题型训练中证明垂直、求长度等实例，运用基底表示和数量积运算，发展数学思维。课堂小结结构化梳理基底判断、正交分解，规范数学语言。助力学生深化空间观念，教师可高效开展教学。

第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 前情回顾 空间向量的 数量积运算 空间向量的夹角 定义 范围 空间向量的数量积 定义 投影向量 运算律 性质 投影向量 前情回顾 平面向量基本定理     学 习 目 标 1 2 3 了解空间向量基本定理及其意义. 能用基底表示空间向量并掌握空间向量的正交分解. 会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角. 读教材 阅读课本P11-P14，5分钟后完成下列问题： 1. 为了表示空间中的向量，至少需要几个向量来表示？ 我们一起来探究“空间向量基本定理”吧！ 2. 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ 3. 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？ 新课引入 我们所在的教室是一个立体图形，即一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为坐标原点，沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量. 这三个空间向量是不共面的，那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢? 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量基本定理 2 题型训练 新知探究1 探究1 类似地，空间中任意一个向量能否通过有限个向量线性表示？ 如果可以，至少需要几个向量来表示？     思考：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？如何表示？             a i j k P Q O 新知探究1 思考1 如何用三个两两垂直的向量表示空间中任意一个向量？   i j k Q α O   P     新知探究1 p P P ′ A′ B′ C′   O A   C   B   思考2 如果用任意三个不共面的向量还能表示空间中任意一个向量吗？ 如图， ， ， 过点作直线平行于直线OC交平面OAB于点，过点作直线平行于直线OB， 过点作直线平行于直线OA， 过点作直线平行于直线O，可得： 概念 空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . 若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底， 都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 空间的基底有无数个 特别地，我们常研究基向量两两垂直的情况 概念 空间向量基本定理 单位正交基底与正交分解       i j k Q α O   P 概念辨析 向量共线充要条件 平面向量基本定理 空间向量基本定理 向量 ( ≠ 0)与向量 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 ＝λ. 如果1，2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使 ＝λ11＋λ22． 如果三个向量， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 ＝x＋y＋z． 一维 二维 三维 {} {1，2} { ，，} 练习巩固 练习1 已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量， 一定可以与向量=构成空间的另一个基底？ 解：已知{，，}是空间的一个基底，所以不共面， 由共面向量的充要条件可知， 向量=均与共面，所以应该选择. 练习巩固 练习2 若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的 一个基底的是( ) A、 B、 C、 D、 解： , , 均与、 共面； , 均不与共面； , , 均与共面； + ，所以共面。 B 练习巩固 练习3 若{，，}构成空间的一个基底，则，能否 构成空间中的一个基底？ 解：假设这三个向量共面，则存在，使， 整理得， 则，假设不成立，则这三个向量不共面，可作为基底. 练习巩固 练习4 若 是空间的一个基底,且向量 不能构成空间的一个基底，求 解：由于所以 不共线， 由于不能构成空间的一个基底,所以存在使得， 即 所以解得 所以 总结 三个空间向量是否能构成一个基底 是否共面 假设，运用空间向量基本定理，建立，的方程组， 若有解，则共面，不能作为基底； 若无解，则不共面，能作为基底．   可以作为基底 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量基本定理 2 题型训练 空间向量基本定理的应用 题型1 题型探究 例1如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心， 且＝，＝，＝． (1)是否构成空间的一个基底？ (2)如果构成空间的一个基底， 那么用它表示下列向量：， ，，． 解：(1)可以 ； (2)； A C O B C′ O′ B′ A′ G 空间向量基本定理的应用 题型1 题型探究 例2 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示 A B M N P O C 解 证明垂直、平行 题型2 题型探究 例3 如图，在平行六面体 中 ，证明 证明： 设 , 则 , 于是 , 因此,即 证明垂直、平行 题型2 题型探究 例4 如图，在平行六面体中，分别为，的中点.求证. 证明:设 则 所以 A C D B C1 D1 B1 A1 N M 证明垂直、平行 题型2 题型探究 例5 如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. 证明：(1)设 则构成空间的一个单位正交基底. 所以 所以所以. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 证明垂直、平行 题型2 题型探究 例5 如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点. (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E (2)因为 所以 与所成角的余弦值. 求空间直线的长度 题型3 题型探究 例6 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA=2，且PA与AB， AD的夹角均为60°，点M是PC的中点，求BM的长？ 解：设，易知构成空间的一个基底， 则 ∴ ∴的长度为. 求空间直线的长度 题型3 题型探究 例7 如图所示，在平行四边形 中 平面求线段 的长？ 解：以 作为空间的一个基底 则 即线段 的长为7. 课堂小结 空间向量基本定理 基底 空间向量基本定理 单位正交基底 正交分解   空间任意三个不共面的向量   两两垂直，且长度都为1的基地   感谢聆听! $