河北秦皇岛市山海关第一中学2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷

**基本信息** 山海关一中2025届高三二模数学卷，以主干知识为载体，通过梯度化问题设计与创新情境，考查数学抽象、逻辑推理及运算能力，适配高考模拟检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、分位数、圆锥体积、椭圆离心率等|第8题函数零点考查数形结合，第11题曲线方程分析体现数学眼光| |填空题|3题15分|切线方程、线性规划、比赛计数|第14题比赛计数结合逻辑推理，考查数学思维| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何、抛物线、导数、数列创新|第19题数列探究题要求构造与论证，第18题导数多问设计梯度，体现创新意识与数学语言表达|

山海关第一中学2025-2026学年高三年级下学期第二次模拟考试 数学答案 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.阅卷老师应严格按照此答案进行阅卷，必要时可增加答案要点，但应该提前与阅卷组组长沟通并通知阅卷组。 3.请各位考生按照答案中评分标准认真核对。 4.阅卷结束后，阅卷老师请与阅卷公司核对阅卷结果是否已经上传，无误之后即可结束阅卷。 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 B B C C D C D A BD BCD ACD 4 54 15． 【解】（1） 由正弦定理得 ，……1 分 由 ，得 。……2 分 因为 ，所以 ，故 。……3 分 第二步：利用辅助角公式，根据角的范围求出角 。 即 。……4 分 又因为 ，所以 ，……5 分 所以 ，故 。……6 分 （2） 在 中，由余弦定理得 ， 所以 ，又 ，所以 。……8 分 第二步：利用 ，求得 的长度。 因为 为 的中点，所以 ，……10 分 则 ，所以 ， 即 的长为 。……13 分 16． （1）【证明】解法一（线面平行的判定定理）： 如图①，取棱 上一点 ，使得 ，连接 ，， 因为 ，， 所以 ，且 。……2 分 因为四边形 为菱形，，所以 ，且 ，所以 ，且 ，……4 分 所以四边形 为平行四边形，所以 。……5 分 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 。……6 分 解法二（面面平行的性质）： 取棱 上一点 ，使得 ，连接 ，，如图②， 因为 ，，所以 ，……2 分 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 。……3 分 同理可证 平面 。……4 分 又 ， 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 。……5 分 因为 平面 ，所以 平面 。……6 分 解法三（向量法）： 取 中点 ，连接 ，，，，作 ，垂足为 ，如图③， 在菱形 中，，，所以 为等边三角形，所以 ，又因为 ，，， 平面 ，所以 平面 。……2 分 在 中，，易得 ， 由余弦定理得 ， 而 ，所以 ， 所以 ，即 ， 又因为 ，所以 。……3 分 又因为 平面 ，所以 ，又因为 ，，， 平面 ，所以 平面 ，所以 平面 ，又 ， 平面 ，所以 ，。……4 分 以 的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系 -，则 ，，，，，，……5 分 ，， 设平面 的法向量为 ，则 即 取 ，则平面 的一个法向量为 。……6 分 ，……7 分 所以 ，……8 分 因为 平面 ，所以 平面 （易错：必须写上 平面 ）。……10 分 （2）【解】 由（1）知 ，， 设平面 的法向量为 ， 由 得 取 ，……12 分 记 与平面 所成角为 ，则 。……14 分 综上， 与平面 所成角的正弦值为 。……15 分 17． 【解】（1） 由题意可设点 ，则 ，得 ，……2 分 因为 ，所以 ，得 ，……4 分 将②代入①中，得 ，解得 或 ，……5 分 故抛物线 的方程为 或 。……6 分 （2）若 ，则抛物线 的方程为 。 设 ，， 若 ，则 ：，易得此时不合题意；……7 分 若 ，由于 ， 两点关于直线 对称， 故 ，可得 ，……9 分 则线段 中点的纵坐标为 ，将其代入 中，可得 ， 又 ， 化简可得 ，……11 分 由 且 ， 化简可得 ，， 则 为方程 的两个不相等的实数根，……13 分 故 ，所以 或 ， 即 的取值范围为 。……15 分 18．（1） 当 时， ，．……1 分 令 ，则 ， 令 ，得 ；令 ，得 ． 故 在 上单调递增，在 上单调递减．……3 分 故 ，则 （等号不恒成立），即 的单调递减区间为 ，无单调递增区间．……5 分 （2） 当 时，，不妨设 ，且 ，则 ，，，所以 ，而 ．……7 分 若存在 ，使得 ，则 ，得 ．……8 分 令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，而 ， 故方程 在 时无实数解， 所以不存在 ，使得 成立．……10 分 （3） 恒成立，即 恒成立，令 ， 由 ，得 ．……11 分 令 ，则 ，则 在 上单调递增．……12 分 又 ，，则存在 ，且 ，即 ， 使得当 时，；当 时，， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增．……14 分 所以 ， 即 ，即 ， 又 ，得 ．……15 分 而 ，设 ，，则 ，则 在 上单调递增， 而 ，， 故 的取值范围为 ．……17 分 19．（1） 由题意知 为无穷递增正整数数列，， 当 时，，∴ ，故 ； 当 时，，∴ ，故 ． 故 或 ． 当 时，，符合条件， 则 或 或 或 ． 又 为各项均为整数的无穷递增数列，则 或 ．……2 分 当 时， 或 或 或 ， 当 时，，符合题意； 当 时，，符合题意； 当 或 时，不满足数列 为递增数列，故舍去． 综上， 的所有可能值为 7，9，15，17．……6 分 （2） ① 的最大值为 1 013，理由如下：……7 分 （ⅰ）当 时符合题意且 ．……8 分 （ⅱ）假设 中存在偶数，且首个偶数为 ，∵ 为递增数列，∴ 存在 ，使得 或 ，故 ． ∴ 为奇数，此时 、 均不为偶数，与 为偶数矛盾． ∴ 中各项均为正奇数．又 为递增数列，∴ ，即 ，即 ． 综上， 的最大值为 1 013．……10 分 ② 讨论 m 的最小值 的最小值为 7，理由如下（方法：分别就 ， 讨论成立情况）： （ⅰ）首先证明 时，存在符合条件的 ： 当 的前 7 项为 1，2，3，9，27，45，2 025 时，，且可构造 的后续项使其符合题意（如可取 ）．……11 分 （ⅱ）其次证明 ． 由题知当 时，， ∴ ，， 进而有 ，∴ ，∴ ．……14 分 （ⅲ）最后证明 ． 假设存在 符合题意且 ，∵ ，∴ 当 时，， ∴ 存在 ，有 ，从而 ， ∴ ，∴ ，从而 ． ∵ ，∴ 当 时，， ∴ 存在 ，有 ，从而 为整数， 又 ，∴ 为 5 的倍数，与 矛盾，∴ ． 综上， 的最小值为 7．……17 分 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 山海关第一中学2025-2026学年高三年级下学期第二次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1. 本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂然. 如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试上无效。 4. 考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 数据91，89，90，92，95，87，93，98，91，86的80%分位数为（ ） A. 93 B. 93. 5 C. 94 D. 94. 5 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 母线长相等的两个圆锥，侧面展开图的圆心角之和为，若它们的侧面积之比为，则体积比为（ ） A. B. C. D. 6. 正项数列的前项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为，过原点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若向量与的夹角为锐角，则 D. 若，则向量在上的投影向量的坐标为 10. 已知函数的定义域为，，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 数列是等比数列 D. 当时， 11. 已知方程所表示的曲线即为函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数不存在零点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线与直线平行，则________. 13. 已知实数满足，当取得最大值时，________. 14. 两位同学进行乒乓球比赛，约定先净胜3局者胜，随即比赛结束. 若恰好经过9局比赛结束，则这9局比赛中，两位同学胜负的所有情况种数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求; （2）若，，为的中点，求的长. 16. （15分） 如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，，，，. （1）证明：平面; （2）求与平面所成角的正弦值. 17. （15分） 已知抛物线的焦点为，直线与交于点，且. （1）求抛物线的方程; （2）若，且抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围. 18. （17分） 已知函数，是的导函数. （1）当时，求函数的单调区间. （2）当时，是否存在，使得成立?请说明理由. （3）若恒成立，求实数的取值范围. 19. （17分） 已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或. （1）若，，写出的所有可能值. （2）若. ①当时，求的最大值; ②当时，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $