26.3二次函数与一元二次方程讲义（3大知识点+8大题型+分层训练）2026-2027年九年级数学上册（人教版）

26.3二次函数与一元二次方程（解析版） 学习目标导航 1、深刻理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系，明确函数图象与x轴交点个数与方程根的情况的对应关系。 2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想在解题中的应用。 洞悉◆教材知识 知识点1、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ； 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点3、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 核心题型◆归纳 【题型1】二次函数与x轴的交点坐标问题 【题型2】二次函数与y轴的交点坐标问题 【题型3】二次函数与x轴的交点个数 【题型4】二次函数与一元二次方程 【题型5】根据图象判断一元二次方程解的情况 【题型6】根据图象求不等式的解集 【题型7】求二次函数的函数值的范围 【题型8】二次函数与方程、不等式的计算与证明综合问题 分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1】二次函数与x轴的交点坐标问题 1．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 2．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：的对称轴为， ，关于直线对称 ∴A点的坐标是， 线段的长度； 故选：D． 【题型2】二次函数与y轴的交点坐标问题 3．将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 4．若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积． 【详解】解：对于， 当时，， 解得，， 所以； 当时，，所以， 所以， 故答案为：3． 【题型3】二次函数与x轴的交点个数 5．设二次函数，是常数，． （1）判断该二次函数的图象与轴的交点的个数，并说明理由； （2）若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标． 【答案】（1）交点的个数有两个或一个； （2），． 【分析】（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式． （2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，的值即可得到函数图象与轴交点的坐标． 【详解】解：（1）令，则， △， 方程有两个不相等实数根或两个相等实根． 二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个； （2）二次函数图象的对称轴是直线， ， ， 二次函数为， 令，则， 解得，， 这个函数图象与轴交点的坐标为，． 6．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 【题型4】二次函数与一元二次方程 7．已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． （1）令，求出y的值，即可得到与y轴的交点坐标，令，求出x的值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）求得抛物线的对称轴，进而求得和时的函数值，即可求得结果． 【详解】（1）抛物线与坐标轴的相交 有以下情况 ①与轴相交，解得：． 此时交点为：， ②与轴相交，此时交点为： 抛物线与坐标轴的交点坐标：，，． （2）∵的对称轴为 当时，y有最大值， 当时， ， 当时， ∴当时，的取值范围为： 8．已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 【题型5】根据图象判断一元二次方程解的情况 9．如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得的点对应的横坐标在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看，的点对应的横坐标在和之间， 而在和之间被选项中的数为， ∴的方程的一个根可能为． 故选：D． 10. 已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 【题型6】根据图象求不等式的解集 11．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 12．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 【题型6】求二次函数的函数值的范围 13．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 14．已知，则当时，的取值范围是 【答案】/ 【分析】先化为顶点式，根据开口方向以及顶点坐标求得最大值为1，抛物线的对称轴可得，当时取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为1 当时，当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键． 【题型8】二次函数与方程、不等式的计算与证明综合问题 15．已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 16．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）    A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C．a＝ D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝−2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，−2），A（−1，m）和b＝−2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴ab＜0，所以A选项的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确； 把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m， 而b＝﹣2a， ∴a+2a﹣2＝m， ∴a＝，所以C选项的结论正确； ∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上， ∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1； 当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1， ∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质． 3．已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可 【详解】解：∵二次函数的图像经过，， ∴对称轴x=，即x=， ∵对称轴x=b， ∴=b，化简得c=b-1， ∵该二次函数的图象与x轴有公共点， ∴△= = = = ∴b=2，c=1， ∴b+c=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值． 4．如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵抛物线与交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，解得：a=，故①正确； ∵E是抛物线的顶点，∴AE=EC，∴无法得出AC=AE，故②错误； 当y=3时，3=，解得：x1=1，x2=﹣3，故B（﹣3，3），D（﹣1，1），则AB=4，AD=BD=，∴AD2+BD2=AB2，∴③△ABD是等腰直角三角形，正确； ∵=时，解得：x1=1，x2=37，∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误． 故选B． 点睛：本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值． 5．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣3，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当a＝3时，经过坐标原点O C．抛物线与直线y＝1无公共点 D．不论a为何值，都过定点 【答案】C 【分析】根据a＝1，判断开口方向，把a＝3代入解析式，即可得出图象过原点，根据左同右异原则即可得出a的范围，把（1，﹣2）代入即可得出答案，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】∵a＝1， ∴抛物线开口向上； 当a＝3时，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x，则过原点； 对称轴为x＝， 当a＞0时，对称轴＞0， ∴对称轴在y轴右侧； 当x＝1时，y＝1﹣a﹣1+a﹣3＝﹣3， ∴不论a为何值，都经过定点（1，﹣3）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，可根据二次函数的系数判断二次函数图象的开口方向、对称轴位置、顶点坐标等． 6．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 7．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____. 【答案】， 【分析】首先根据对称轴求出参数b,再将参数代入方程中求解方程即可. 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 因此方程为 所以可得 故答案为，. 【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的问题，关键在于根据对称轴确定参数. 8．如图，直线与抛物线交于点、，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】不等式的解集，即为二次函数抛物线在一次函数直线下方的的取值范围，将两线的交点坐标求出，即可． 【详解】解：直线与抛物线交于点、，且点在轴上， 点为 令， 即， 则， ， 或， ， 所以点坐标为， ，即抛物线在直线下方，由图可得解集为： 或， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与一次函数图象结合的问题，求解两线的交点并根据函数图像解答是解题的关键． 9．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 10．已知抛物线，直线的对称轴与交于点，点与的顶点的距离是4 （1）求的解析式； （2）若随着的增大而增大，且与都经过轴上的同一点，求的解析式． 【答案】（1）或；（2）或． 【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式求出m，再利用两点间的距离公式求出n； （2）根据一次函数的性质求出k大于0，注意分类讨论解决问题，用待定系数法求一次函数的表达式． 【详解】解：（1） 的对称轴与 的交点为 ， 的对称轴为， ， ， 顶点坐标为， ， ∴ ， ∴或； （2）①当时，与轴交点为， 随的增大而增大， ， ⅰ．当经过点 时， 则有， 解得， ∴（不符，舍去）； ⅱ．当经过点 时， 则有 ，， ； ②当时， 令 则， 则， 与 轴交于点 ， ⅰ．当经过点 时，则有 ，， ∴（不符，舍去）； ⅱ．当经过点 时， 则有 ，， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、两点间的距离、待定系数法求一次函数表达式等，在解决（2）小题时进行分类讨论是关键． 11．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 12．已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与轴恒有1个交点，要使总交点数为3，则抛物线与轴需要有2个不同交点，利用一元二次方程根的判别式求解范围，结合选项得出结果． 【详解】是抛物线， 二次项系数满足，即，排除选项； 当时，代入得， 抛物线与轴恒有个交点， 要使抛物线与坐标轴共三个交点，需抛物线与轴有2个不同交点； 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得； 综上可得a的范围是且； 结合选项可知，只有选项的4符合要求． 13．已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴、轴的交点，由抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标得出当时，，或，即可得出结果．抛物线的对称轴以及抛物线的性质；理解时，得出的值是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，与轴交于点， ∴当时，， 即纵坐标为的点是或， ∴或， ∴关于的一元二次方程有个解． 故选：C． 14．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 15．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 16．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 17．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 18．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 【答案】①④/④① 【分析】根据和的函数值相同求出二次函数的对称轴，进而根据的函数值大于的函数值，即离对称轴越近函数值越大即可判断①；根据时，即可判断②；根据和关于直线对称，即可判断③；根据当时，，当时，，二次函数与x轴的一个交点在3和4之间，即可判断④． 【详解】解：∵和的函数值相同， ∴二次函数对称轴为直线， ∵ ∴离对称轴越近函数值越大， ∴二次函数开口向下，故①正确； ∵时，， ∴二次函数与y轴交于正半轴，故②错误； ∵和关于直线对称， ∴时，，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴二次函数与x轴的一个交点在3和4之间， ∴方程的正根在3与4之间，故④正确； 故答案为：①④； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确根据表格中的数据求出二次函数的对称轴方程是解题的关键． 19．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 20．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 21．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 22．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 23．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 24．对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)② (2)①；② 【分析】（1）逐一判断每个多边形的每一条边所在线段与直线是否有公共点，可通过将线段端点代入直线方程两侧或联立求交点坐标来判定，排除那些存在某条边与直线无交点的多边形，最终只需找出三条边均与直线有公共点的那个多边形即可； （2）①平移后的抛物线要与三角形每一边都有两个交点，关键在于确定临界状态，即抛物线与某条边恰好相切（一个交点）时的值，通过联立方程并令判别式为零求出临界，再结合图形位置确定满足“两个交点”的取值范围； ②若存在实数使得抛物线与三角形三边均有两个交点，可先确定临界情形，即抛物线过顶点且与对边相切，将的坐标代入抛物线可得的关系式，由的坐标得出边所在直线解析式之后结合抛物线与相切的临界状态得出的另一个关系式，两式联立即可解出,结合双重交错的定义以及函数图象，即可确定满足条件的的取值范围． 【详解】（1）如图，在同一坐标系中画出，以及，，，四边形， 与中， 边与无交点，四边形ABCD中， ，边与无交点，均不符合题意， 三边均与相交，因此图象和是交错的. （2）①，， 二次函数解析式为， 如图1，平移之前函数与每边均有两个交点， 将M向右平移个单位长度得到图象， 所以平移后的二次函数解析式为， 若图象和是双重交错的， 二次函数与线段均有两个交点， 如图2 ，为临界状态，此时图象和边相切， 设线段所在直线解析式为， 代入，解得， 所以线段所在直线解析式为 联立二次函数与线段所在直线解析式 得， 整理得， 所以， 解得， 所以要使图象和是双重交错的，则d的取值范围是． ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的， 如图3，临界状态为抛物线过点且与线段相切，则 设线段所在直线解析式为， 将，代入解得， 所以线段所在直线解析式为， 当抛物线过点时，代入得， 解得：①， 当抛物线与线段相切时， 联立抛物线与解析式消去得， 整理得， 当时， 解得②， 由①②得：， 整理得，解得， ∴ 因为与线段必须有两个交点， 所以抛物线的对称轴须在之间， 即， ∴， 综上所述，若存在实数c使得图象M和是双重交错的，则． 【点睛】本题以“双重交错”这一新定义为载体，核心考查一次函数与二次函数的图象性质（平移、对称轴、开口方向），以及直线与抛物线交点个数的代数判定方法（联立方程、判别式 ），解题的关键在熟悉一次函数与二次函数的图像以及性质，特别是通过数形结合找到临界状态——当图象与某条边相切或经过顶点时，交点个数发生会发生变化，通过联立方程并令可求出参数的临界值，但必须进一步验证切点或交点是否在线段上，且需结合对称轴位置（如第（2）②问中需满足 ）确保抛物线与三条线段同时满足双交点条件，而非仅与所在直线相交，整个过程体现了数形结合、分类讨论以及临界分析的核心思想． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3二次函数与一元二次方程（原卷版） 学习目标导航 1、深刻理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系，明确函数图象与x轴交点个数与方程根的情况的对应关系。 2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想在解题中的应用。 洞悉◆教材知识 知识点1、二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点 a＞0 a＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两个不相等的实数根x1，x2 有两个相等的实数根x1＝x2 没有实数根 当b2－4ac＜0时 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． ； 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点3、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 核心题型◆归纳 【题型1】二次函数与x轴的交点坐标问题 【题型2】二次函数与y轴的交点坐标问题 【题型3】二次函数与x轴的交点个数 【题型4】二次函数与一元二次方程 【题型5】根据图象判断一元二次方程解的情况 【题型6】根据图象求不等式的解集 【题型7】求二次函数的函数值的范围 【题型8】二次函数与方程、不等式的计算与证明综合问题 分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1】二次函数与x轴的交点坐标问题 1．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2】二次函数与y轴的交点坐标问题 3．将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 4．若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 【题型3】二次函数与x轴的交点个数 5．设二次函数，是常数，． （1）判断该二次函数的图象与轴的交点的个数，并说明理由； （2）若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标． 6．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【题型4】二次函数与一元二次方程 7．已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 8．已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【题型5】根据图象判断一元二次方程解的情况 9．如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【题型6】根据图象求不等式的解集 11．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 12．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【题型7】求二次函数的函数值的范围 13．已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 14．已知，则当时，的取值范围是 【题型8】二次函数与方程、不等式的计算与证明综合问题 15．已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 16．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 1．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）    A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间 C．a＝ D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2 3．已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（    ） A． B．2 C．3 D．4 4．如图，抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2.其中正确结论的个数是（　   　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．关于抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a﹣3，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．当a＝3时，经过坐标原点O C．抛物线与直线y＝1无公共点 D．不论a为何值，都过定点 6．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 7．若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为_____. 8．如图，直线与抛物线交于点、，且点在轴上，点在轴上，则不等式的解集为______． 9．已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 10．已知抛物线，直线的对称轴与交于点，点与的顶点的距离是4 （1）求的解析式； （2）若随着的增大而增大，且与都经过轴上的同一点，求的解析式． 11．二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 12．已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．已知的图象如图所示，则关于的一元二次方程有（    ）个解 A．个 B．个 C．个 D．个 14．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 15．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A． 图象开口向上 B． 当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 16．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 17．下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 18．已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 19．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 20．定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 21．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 22．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 23．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 24．对于平面直角坐标系中的函数图象M和多边形P，若多边形P的每条边均与图象M有公共点，则称图象M和多边形P是交错的；若多边形P的每条边均与图象M有两个公共点，则称图象M和多边形P是双重交错的，设，，，． (1)设一次函数的图象为图象M，下面的多边形中，M和______是交错的（填所有满足要求的多边形的序号）； ①，②，③，④四边形； (2)设二次函数的图象为图象M． ①若，，将M向右平移个单位长度得到图象，若图象和是双重交错的，则d的取值范围是______； ②若存在实数c使得图象M和是双重交错的，直接写出a的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $