精品解析：黑龙江齐齐哈尔市建华区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度下学期期末学业考试 初一数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 是整数，属于有理数，∴ 排除A； ∵ 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴选项B符合题意； ∵ 是有限小数，可化为分数，属于有理数，∴ 排除C； ∵ 是分数，属于有理数，∴ 排除D． 2. 如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向， ∴， ∵， ∴． 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况． 全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况． 【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意； 选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意； 选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意； 选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴两边同时除以得，则A不符合题意； ∵， ∴两边同时加上得，则B不符合题意； ∵ ∴两边同时乘以得，则C符合题意； ∵ ∴两边同时乘以，得 再同时减去得，则D不符合题意； 故选：C． 5. 五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到点C的坐标． 【详解】解：如图，根据已知可建立平面直角坐标系， 所以点C的坐标是． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，即可得出关于x，y的二元一次方程组． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组 ． 故选：A． 7. 有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：∵的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为，是无理数， 则输出， ∴y的值是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换． 8. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长最短的节气是（ ） A. 春分 B. 小满 C. 立秋 D. 大寒 【答案】D 【解析】 【详解】解：观察图象的纵坐标（白昼时长/小时）可知，大寒：白昼时长介于小时和小时之间，春分、小满、立秋：白昼时长均大于小时， ∴选项中白昼时长最短的节气是大寒，对应选项D． 9. 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A. 平板弹墨线 B. 建筑工人砌墙 C. 弯河道改直 D. 测量跳远成绩 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 10. 对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新运算规则化简不等式组，求解得到x的取值范围，再根据整数解的个数确定m的取值范围即可． 【详解】解：，， 原不等式组化为：， 不等式组的解集为． 不等式组有且只有2个整数解，大于的最小两个连续整数为， ， 解不等式组得． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第___________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限．结合，得出点在第二象限，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵ ∴点在第二象限， 故答案为：二． 12. 若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 在正实数范围内定义一种新运算“★”：，如：．请你运用这种计算方式计算式子：________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 14. 已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． 【答案】62 【解析】 【分析】设原两位数的个位数字为，十位数字为，根据数位数字之和、新数与原数的数量关系列方程组求解. 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， 根据题意列方程组： ， 整理第二个方程得 ， 解得 ， 因此原来的两位数为 . 15. 若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况画出图形，利用平行线的性质与垂直的定义，结合角度的和差关系计算的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： (1) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到钝角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， ； (2) 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到锐角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， 综上可知，或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 三．解答题（本题共9道大题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解：由①②，得 ， 解得， 把代入①，得 ， 解得， ∴这个方程组的解是． 19. 过程性探究 解不等式组：， 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得 ． （2）解不等式，得 ． （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为： ． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：解不等式，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 20. 过程性探究 如图，已知：于点，点是上一点，于点，．求证：． 证明：，， （ ）． （ ）， （ ）． 又， ． （ ）， （ ）． 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【详解】略 21. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？ （2）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据运算程序列不等式求出的取值范围； （2）根据运算程序列不等式组求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， 解得：． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中的三个顶点坐标分别为，，．将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别为点，，的对应点． （1）画出； （2）点的坐标是 ； （3）在内部存在一点，其变换后的对应点到轴的距离为 ； （4）若连接，，可得四边形，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求; （2） （3） （4）17 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质画出图形即可； （2）根据点的位置直接写出点的坐标即可； （3）利用平移的性质即可求解； （4）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标是； 【小问3详解】 解：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点， 即， ∴点到轴的距离为； 【小问4详解】 解：四边形的面积是． 23. 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》提出，增强学生体质，大力开展“阳光体育”运动．某区教育部门想了解该区名小学生每天参加体育活动的时长情况，随机抽取几所学校部分小学生进行调查，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 学生平均每天参加体育活动时长频数分布直方图 学生平均每天参加体育活动时长扇形统计图 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）教育局抽取的小学生有 人，扇形统计图中的值是 ； （3）直接补全频数分布直方图； （4）估计全区每天参加体育活动时长达到80分钟及以上的小学生有多少人？ 【答案】（1）抽样调查 （2）300；30 （3）补全频数分布直方图如下： （4）估计全区每天参加体育活动时长达到80分钟及以上的小学生约有1760人． 【解析】 【分析】（1）根据题意可判断是抽样调查； （2）根据A组的人数和占比可求得教育局抽取的小学生人数，进而求得扇形统计图中的值； （3）求得B组的人数，即可补全频数分布直方图； （4）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：题目中是随机抽取几所学校部分小学生调查，不是对全区3200名小学生全部调查，所以是抽样调查； 【小问2详解】 解：（人）， ， ∴； 【小问3详解】 解：（人）， 图略； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全区每天参加体育活动时长达到80分钟及以上的小学生约有1760人． 24. 请你根据以下素材，探索完成任务． 背景 某校组织学生去农场实践基地进行学农实践，体验小番茄的采摘、包装和销售． 素材一 包装小番茄时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式； 素材二 精包装：每份斤，售价元； 简包装：每份斤，售价元． 请完成下列任务： （1）任务一：实践日上午共卖出两种包装的小番茄份，销售总收入元．求精包装、简包装各卖出多少份？ （2）任务二：实践日下午新采摘小番茄斤，要求全部进行分装，两种包装都要有，请直接写出共有多少种包装方案； （3）任务三：在任务二的条件下，每个精包装的成本为元，每个简包装的成本为元．若包装总成本不超过元，请直接写出所有符合条件的分装方案． 【答案】（1）精包装卖出份、简包装卖出份 （2）共有种包装方案 （3）方案一：精包装份、简包装份；方案二：精包装份、简包装份 【解析】 【分析】（1）设精包装卖出份、简包装卖出份，根据题意列方程组，据此求解即可； （2）设精包装a份，简包装b份，且为正整数，根据总重量列方程得：，据此求解即可； （3）根据题意得到，结合（2），据此求解即可． 【小问1详解】 解：设精包装卖出份、简包装卖出份， 根据题意得， 解得， 答：精包装卖出份、简包装卖出份； 【小问2详解】 解：设精包装a份，简包装b份，且为正整数， 根据总重量列方程得：， ∵为正整数，， ∴， ∴，，，，，共5种包装方案； 【小问3详解】 解：根据题意得总成本：， ∵， ∴， ∴， 解得， 结合（2）， ∴， ∴和符合题意， ∴方案一：精包装份、简包装份；方案二：精包装份、简包装份． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，，且．过点作轴于点． （1）如图， ， ； （2）如图，过点作交轴于点．作与的角平分线相交于点，求的度数； （3）若点是坐标轴上一点，且满足，请直接写出点的坐标； （4）若点是轴负半轴上一点，过点作交射线于点（点不与点重合）．作与的角平分线，两条角平分线所在的直线相交于点，则 °． 【答案】（1），3 （2）； （3）点的坐标为或或或； （4）45或135 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性，求出，的值即可； （2）过作，利用平行线的判定和性质以及角平分线的定义解决问题即可； （3）分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算，分别求解即可； （4）分两种情况讨论，利用平行线的判定和性质以及角平分线的定义解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图，过作， ∵轴， ∴轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ∵轴于， ∴， ∴，， ∴； 设交轴于点，连接，设， ∵， 即，解得， ∴， 当点是轴上一点时，设点， 则， 由题意得， 即，解得或， ∴点的坐标为或； 当点是轴上一点时，设点， 则， 由题意得， 即，解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或； 【小问4详解】 解：当点在射线上时，如图，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵与的角平分线所在的直线相交于点， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段上时，如图，过作，点是的延长线上的一点， ∵， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵与的角平分线所在的直线相交于点， ∴，， ∴，， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末学业考试 初一数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 4. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（　　） A. B. C. D. 7. 有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长最短的节气是（ ） A. 春分 B. 小满 C. 立秋 D. 大寒 9. 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A. 平板弹墨线 B. 建筑工人砌墙 C. 弯河道改直 D. 测量跳远成绩 10. 对于，定义一种新的运算“※”，规定：，若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，点在第___________象限． 12. 若，则___________． 13. 在正实数范围内定义一种新运算“★”：，如：．请你运用这种计算方式计算式子：________． 14. 已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________． 15. 若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 三．解答题（本题共9道大题，共72分） 17. 计算： 18. 解方程组： 19. 过程性探究 解不等式组：， 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得 ． （2）解不等式，得 ． （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为： ． 20. 过程性探究 如图，已知：于点，点是上一点，于点，．求证：． 证明：，， （ ）． （ ）， （ ）． 又， ． （ ）， （ ）． 21. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？ （2）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中的三个顶点坐标分别为，，．将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，其中点，，分别为点，，的对应点． （1）画出； （2）点的坐标是 ； （3）在内部存在一点，其变换后的对应点到轴的距离为 ； （4）若连接，，可得四边形，则四边形的面积是 ． 23. 《国家中长期教育改革和发展规划纲要》提出，增强学生体质，大力开展“阳光体育”运动．某区教育部门想了解该区名小学生每天参加体育活动的时长情况，随机抽取几所学校部分小学生进行调查，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 学生平均每天参加体育活动时长频数分布直方图 学生平均每天参加体育活动时长扇形统计图 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）； （2）教育局抽取的小学生有 人，扇形统计图中的值是 ； （3）直接补全频数分布直方图； （4）估计全区每天参加体育活动时长达到80分钟及以上的小学生有多少人？ 24. 请你根据以下素材，探索完成任务． 背景 某校组织学生去农场实践基地进行学农实践，体验小番茄的采摘、包装和销售． 素材一 包装小番茄时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式； 素材二 精包装：每份斤，售价元； 简包装：每份斤，售价元． 请完成下列任务： （1）任务一：实践日上午共卖出两种包装的小番茄份，销售总收入元．求精包装、简包装各卖出多少份？ （2）任务二：实践日下午新采摘小番茄斤，要求全部进行分装，两种包装都要有，请直接写出共有多少种包装方案； （3）任务三：在任务二的条件下，每个精包装的成本为元，每个简包装的成本为元．若包装总成本不超过元，请直接写出所有符合条件的分装方案． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，，且．过点作轴于点． （1）如图， ， ； （2）如图，过点作交轴于点．作与的角平分线相交于点，求的度数； （3）若点是坐标轴上一点，且满足，请直接写出点的坐标； （4）若点是轴负半轴上一点，过点作交射线于点（点不与点重合）．作与的角平分线，两条角平分线所在的直线相交于点，则 °． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $