河北秦皇岛市第三中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷A

**基本信息** 高二数学期末试卷，以导数、统计、概率等知识为载体，通过科研实验、创城志愿等真实情境，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，注重基础与应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数切线、线性回归、排列组合|基础概念与运算，如切线斜率、回归方程求解| |多选题|3/18|二项分布、相关系数、分配问题|多角度辨析，如散点图相关性判断、分配方案概率| |填空题|3/15|导数计算、概率期望、函数极值|综合应用，如函数极值条件判断、比赛胜利概率期望| |解答题|5/77|独立性检验、回归分析、函数单调性|真实情境探究，如睡眠与肥胖关联检验、AI研发数据回归建模|

秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第二学期 期末考试 高二数学试卷A 参考答案 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C C D B A C B ACD AB BCD 二、填空题答案 12. 5 13. 16 14. ②③ 三、解答题 15.（15分） 解： (1)解:由表格中的数据知，缺觉组志愿者共100人，其中腹部脂肪面积显著增加的有80人， 所以缺觉组志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率为 饱睡组的志愿者共100人，其中腹部脂肪面积显著增加的有20人， 所以饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率为 (2)解:根据列联表中的数据，可得 因为72>10.828，根据小概率值a=0.001的独立性检验 所以有99.9%的把握推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联. 答：（1）0.8，0.2；（2）有99.9%的把握推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联. 16.（15分） 解： (1)由题可知，共有7人，从中随机选取3人有种取法， 全部选取男生有 种，全部选取女生有 种 所以，选取的3人中既有男生又有女生的概率为 (2)由题可知，X可能的取值有:0，1，2,3，X服从超几何分布， 所以X的分布列为 0 1 2 3 X的数学期望 答：（1）；（2）分布列见上， 17.（15分） 解： （1）二项式 展开式中，所有项的二项式系数之和为 由 ，得 (2)由n=8得二项式为，其展开式通项为 )r （r=0，1，2，…，8） 令=3，解得r=，不满足r0，1，2，…，8}，故展开式中不含x3的项，对应系数为0. （3）设第 项系数为ar=)r 当k为奇数时ar<0，不可能为最大值，仅需比较r为偶数时的系数大小. 令r=2m(m=0,1,2,3,4)，相邻偶数项的系数比值为: = 当m=0，1,2时比值大于1，系数递增;当m=3时比值小于1，系数递减， 故m=3即r=6时系数最大. 将k=6代入通项得:T7=)6=1792x-5，即系数最大的项为1792x-5. 答：（1）；（2）0；（3）1792x-5 18.（17分） 解： （1）由表1数据：， 故线性经验回归方程： （2）令 ，由表2得 ， 故 ，即非线性回归方程： （3）由题意得(1)中的线性经验回归方程为，其残差平方和为 (2)中的线性经验回归方程为，其残差平方和为 因为Q1>Q2，所以(2)中经验回归方程的拟合效果好. 答：（1）；（2）；（3）的拟合效果好 19.（15分） 解： （1）当 时， 求导得： 所以曲线 在点 处的切线的斜率为 （2） 的定义域为 求导得： 令 ，则 ，即 令 ，因为 ，则 ① 当 ，即 时， 恒成立，故 所以 在 上单调递增 ② 当 ，即 时， 的两根为： 因为 ，，所以 ， 所以当 或 时，，， 单调递增； 当 时，，， 单调递减 综上： 当 时， 在 上单调递增 当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减 其中，， （3）不等式 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立 令 ，则 则 令 ，则 因为 ，所以 ，则 在 上单调递增 即 在 上单调递增 又 ，所以当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增 所以 在 处取得最小值，为 ，所以 所以实数 的取值范围为 答： （1） （2）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 、 上单调递增，在 上单调递减，其中 ， （3） 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市第三中学2025-2026学年度第二学期 期末考试 高二数学试卷A 命题人 李金宇 试卷说明：考试时长为120分钟，满分150分。单选题8个小题，每小题只有一个正确答案，共40分；多选题3个小题，每小题有2个或3个正确答案，共计18分；填空题3个，共计15分；解答题5个，共计77分。 一、单选题 1. 曲线在处的切线的斜率为（     ） A．4 B．3 C． D． 2. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，若经验回归方程为，则表格中的数据的值为（     ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 m 6.7 A．2.4 B．4.2 C．4.8 D.9.6 3. 用0~9这10个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（     ） A．504 B．576 C．648 D．720 4. 已知随机变量的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 5. 学校测试AI智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统。平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为0.4，0.4，0.2。若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为90%，80%，70%。现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（     ） A．0.81 B．0.82 C．0.83 D．0.84 6. 的展开式中含项的系数为（ A.80 B. .10 D. 7. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（     ） 参考数据：，， . A.790 B.2720 C.430 D.1360 8. 若函数在定义域内有两个不同的零点，则实数的取值范围（     ） A. B. C. D. 二、多选题 9.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（     ） A. B. C. D. 10. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（     ） A. 图（1）中成对样本数据呈负相关 B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 11. 将甲、乙、丙、丁、戊5位教师分配到、、三所学校支教，若每所学校至少分配一位教师，则（     ） A．共有300种不同的分配方法 B．甲分配到学校的概率为 C．若甲、乙两位教师必须分配到同一所学校，则共有36种不同的分配方法 D．甲不能分配到学校同时乙必须分配到学校的概率为 三、填空题 12．已知，则      . 13．甲乙两人比赛投篮，在每局比赛中两人分别投篮两次，若每局投进的次数之和不小于3，则称该局比赛胜利．已知甲乙两人投篮相互独立，且投进的概率均为．记甲乙两人胜利的局数为，若进行了27局比赛，则       14．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①； ②； ③函数在区间上是增函数. 其中正确的判断是      .（写出所有正确的序号） 四、解答题 15.某科研团队为了研究睡眠不足与腹部肥胖之间的关联，邀请了200名志愿者参与研究，这些志愿者都处于久坐环境且食物不限量供应.将志愿者随机分成两组，缺觉组每天只能睡4小时，饱睡组睡饱睡足，每天不超过9小时，持续2周后，得到如下数据. （1）缺觉组、饱睡组的志愿者腹部脂肪面积显著增加的频率分别是多少？ 受试者 腹部脂肪面积 合计 无明显变化 显著增加 缺觉组 20 80 100 饱睡组 80 20 100 合计 100 100 200 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断睡眠不足与腹部肥胖之间有关联？ 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附：，． 16. 为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感与参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二（1）班某小组有4名男生，3名女生，现从中随机选取3人作为志愿者参加活动． （1）求选取的3人中既有男生又有女生的概率； （2）记参加活动的女生人数为，求的分布列及数学期望． 17. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． （1）求正整数的值． （2）求展开式中含的项的系数． （3）求展开式中系数最大的项． 18. 某人工智能科技公司对其产品研发年投资额 （单位：百万元）与其年销售量 （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图。 表1 1 2 3 4 5 0.5 1 1.5 2.5 4.5 （1）求年销售量 关于年投资额 的线性经验回归方程； （2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用 作为年销售量 关于年投资额 的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程； 表2： 1 2 3 4 5 -0.7 0 0.4 0.9 1.5 （3）根据表3数据，用残差平方和 比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果。 表3： 2 3 4 5 的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2 参考公式：，； 参考数据：，。 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线的斜率； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $