专题十二 统计与统计案例-【创新教程】2024-2026三年高考数学真题分类特训试卷

最新真题 分类特训 专题十二 统计与统计案例 一、选择题 1.(2026·全国I卷，1)样本数据6,8,4,5,12的中位数为 A.5 B.6 C.8 D.9 2.(2026·天津卷，3)为研究候鸟迁徙数量与空气质量指数的关系，在不 候鸟迁徙数量 同空气质量指数(x)下统计候鸟迁徙数量(y),所得数据如图所示，其 中y与x的样本相关系数r=一0.91，根据最小二乘法算得y= 一1.17x+1370.7,下列说法正确的是 ( .w..y 将 A.y与x负相关 空气质量指数x B.当x=10时，y一定为1359 C.当x=10时，y一定小于1359 D.两变量无线性关系 3.(2025·全国二卷，1)样本数据2,8,14,16,20的平均数为 的 A.8 B.9 C.12 D.18 4.(2024·天津卷，3)下列图中，线性相关系数最大的是 杯 y … 如 5.(2024·上海卷，13)已知沿海地区气温和海水表层温度相关，且样本相关系数为正数，对此描 述正确的是 ( ) 御 A.沿海地区气温高，海水表层温度就高 B.沿海地区气温高，海水表层温度就低 C.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D.随着沿海地区气温由低到高，海水表层温度呈下降趋势 器 二、解答题 6.(2026·全国Ⅱ卷，15)(13分)从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测 试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 345355365375385395405415425首次出现故障的时间/天 65 (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀 分布)； (2)记p为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率的估计值. (i)求p; (ⅱ)该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时 间小于365天的件数，假设X~B(100,p),求E(X),D(X). 66 7.(2026·北京卷，17)(13分)现从全校学生中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人 数如下： 成绩分组 [81,94] (94,107] (107,120 (120,135] (135,150 人数 40 60 60 28 12 每个学生成绩相互独立，以频率估计概率，完成下列问题： (1)求数学成绩不高于120分的概率； (2)从学校随机抽取4人，求2人不低于120分且2人不高于94分的概率； (3)每组数据取左端、中间、右端，比较、、s的大小关系 67 8.(2026·上海卷，17)(14分)本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题 满分6分. 某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与 记录，数据如下： 某颗粒 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 物密度 二氧化 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 硫密度 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率 是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪 种进行分析，并请你判断相关系数在（一1,0），(0,1)，(1,2)哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份(x)的平均数为2018，y(颗粒物密度)关于x(年份)的回归方程拟 采用y=106.544e061r-201或y=a(x一2014)十83.743.若知2023年实际颗粒物浓度为 3.88,则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 68 9.(2025·全国一卷，15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随 机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患有该疾病的概率为p,求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. P(x≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 n(ad-bc)2 附：x=(a+b(c+d(a+c)h+d 69 10.(2025·上海卷，17)2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是 历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列. 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73 214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=一0.311x十，年份x的平均数为2006，预测 2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）. 70 11.(2024·全国甲卷（理），17)(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工 厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合极品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、 乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设力为升级改造后抽取的n件产品的优级品 率，如果p>p+1.65 D1一卫)，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数 2 据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（√150≈12.247） n(ad-bc)2 P(K≥k) 0.050 0.010 0.001 附：K2=(a+b)(c+dD(a+c)b+d)' 3.841 6.635 10.828 71 12.(2024·上海卷，19)(14分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3 小题满分6分， 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中随机抽取 580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）与学业成绩的数据如表所示： 时间范围 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) 学业 优秀 5 44 42 3 1 成绩 不优秀 134 147 137 40 27 (1)该地区29000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时） (3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时 有关？ n(ad-bc)2 附：x-a+bc十dac6+0)1=a+b+c+d.P(X23.841)≈0.05. 72专题十二统计与统计案例 1.B将数据从小到大排列为4,5,6,8,12，中间数 为6，选B. 2.A对于A:回归方程y=一1.17x十1370.7，斜率 为负，且相关系数r=0.91表示相关程度较高，故 判断为负相关，A选项正确；对于B:当x=10时，y =-1.17×10+1370.7=1359,回归方程所求y, 得到的是预测值，实际值不一定等于预测值，B项 错误；对于C:由选项B分析可知C选项错误；对于 D:相关系数r=0.91,接近于1，说明两变量线性 相关程度较高，故存在线性关系 3.C平均数为号(2+8+14+16+20)=是×60 5 =12. 4.A观察4幅图可知，A图散点分布比较集中， 且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效 果比较好，呈现明显的正相关，r值相比于其他 3图更接近1. 5.C因为沿海地区气温和海水表层温度相关，且 样本相关系数为正数，所以随着沿海地区气温 由低到高，海水表层温度呈上升趋势， 6.解：(1)根据频率分布直方图知，组距为10.各区 间的频率计算如下：[345,355)的频率为0.005 ×10=0.05;[355,365)的频率为0.010×10 0.10[365,375)的频率为0.02×10=0.20； [375,385)的频率为0.025×10=0.25；[385， 395)的频率为0.015×10=0.15. 设第一四分位数为Q1·因为前两组的累积频率 为0.05十0.10=0.15<0.25，而前三组累积频 率为0.15十0.20=0.35>0.25，所以第一四分 位数位于区间[365,375)内.根据比例关系：Q1 =365+0.250.15×10=365+5=370(天) 0.20 设中位数为M.前三组的累积频率为0.35<0.50， 前四组的累积频率为0.35十0.25=0.60>0.50，所 以中位数位于区间[375,385)内.根据比例关系：M =375+0.500.35×10=375+6=381(天). 0.25 (2)(ⅰ)首次故障时间小于365天即落在区间 [345,365)内.根据频率估计概率，得：p= 0.05+0.10=0.15 (i)已知X一B(100,0.20).根据二项分布的期 望与方差公式：E(X)=n=100×0.15=15, D(X)=np(1-p)=100×0.15×0.85=12.75. 7.解：(1)第1步：计算不高于120分的累计频数 数学成绩不高于120分的人数为前三组人数之 和，为40+60+60=160. 第2步：用频率估计概率 用频率估计概率，则数学成绩不高于120分的 板奉P-268-0.8 故数学成绩不高于120分的概率为0.8. (2)第1步：分别计算对应事件的概率 成绩不低于120分的概率P,=28十12-=0.2， 200 =0.2 成绩不高于94分的概率卫，0字 139 第2步：识别概率模型 从学校随机抽取4人，可以看作4次独立重复 试验， 第3步：代入公式计算结果 要求2人不低于120分且2人不高于94分， 则其概率P。=C·P·P=6X0.22×0.2 =0.0096. 故所求概率为0.0096. (3)第1步：明确方差公式 根据表格知道各组频数不变，总频数n=200,各组 所取样本数据，设为x;,n,为各组数据的频数，i 1,2,3,4,5,则=40x十60x+60z,+28x4十12x 200 ,(x,-) x2=1 第2步：套用公式求三种方差 取左端点时，x:为81,94,107,120,135. T=40X81+60×94+60X107+28×120+12X135 200 =101.4, 方差2=20[40×(81-101.4)产+60X(91 101.4)2+60×(107-101.4)2+28×(120 101.4)2+12×(135-101.4)2]=225.24. 取中点时，x;为87.5,100.5,113.5,127.5， 142.5, 无中 40×87.5+60×100.5+60×113.5+28×127.5+12×142.5 200 =108.1. 方差= 20040×(87.5-=108.1)2+60☒ (100.5-108.1)2+60×(113.5-108.1)2+28 ×(127.5-108.1)2+12×(142.5-108.1)2]= 234.64. 取右端点时，x;为94,107,120,135,150， t6-40X94+60×107+60X120+28X135+12X150 200 =114.8, 方差2=206[40×(91-14.8)2+60X(107 114.8)2+60×(120-114.8)2+28×(135- 114.8)2+12×(150-114.8)2]=244.36. 第3步：下结论 对比可得方差大小关系：<<. 8.解：(1)由题意，设该年份颗粒物的密度大于二 氧化硫密度为事件A,显然满足题意共有7年， 故P(A)=弓，故孩年份颗鞋物的窑度大于二氧 7 化硫密度的概率为 (2)经分析应选择散点图，因相关系数r的取值 范围是[一1,1]，所以可以排除区间(1,2)， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二 氧化硫密度也呈现减少的趋势，二者变化方向 一致，属于正相关，因此r>0,综上，相关系数r 的取值区间为(0,1). (3)由题意，设样本中心(2018，y), y=日101.02+87.02+57,46+21.85+1.76 +8.86+5.03+4.63+3.86)≈33.499， 故33.499=a(2018-2014)+83.74→a≈ -12.561,y=-12.561(.x-2014)+83.743, 故x=2023时，此时y=106.544e046120%-2010≈ 1.681,差值绝对值为2.199， y=-12.561(2023-2014)+83.743 ≈29.306，差值绝对值为33.186>2.199， 故y=106.544e0.61r-201对于2023年的预测 值与实际值的差值绝对值更小. 9.解：(1)在1000个样本中，超声波检查结果不正 帝的人中惠有孩我病的领率为8=0.9， 以样本频率估计总体概率，p的估计值为0.9 (2)H。:超声波检查结果与是否患病无关， n(ad-bc)2 X-(a+b)(c+d)(a+e)(b+d) 1000×(20×20-780×180)2 12250 800×200×200×800 16 10.828, 概率小概率值α=0.001的独立性检验，应拒绝 零假设H。,即超声波检查结果与是否患病 有关. 10.解：(1)由题意，数据最大值为216.93，最小值 为206.78， 故极差为216.93-206.78=10.15， 中位数为209.35十210.68=210.015. 2 (2)由题意，数据共有10个，211以上数据共有 4个， 故设恰有2个211以上为事件A, P(A)-Ci:C-3 101 所以，格有2个数据在21以上的概率为品 (3)由题意，此赛成续y的年均数为品× (206.78+207.46+207.95+209.34+209.35 +210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)= 211.399. 故y=-0.311x十6过(2006,211.399)，则6= 835.265. 即y=-0.311x+835.265, 故要当x=2028时，y=204.557,故2028年冠 军队的成绩约为204.56. 11.解：(1)列联表如下： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 K:=150(26X30-24X70)=4.6875 96×54×100×50 .3.841<4.6875<6.635, .有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级 品存在差异，没有99%的把握认为甲乙两车间 产品的优级品存在差异 (2》由1)知，p-8=0.64.p=0,5 .p+1.65 b(1-p2=0.5十1.65， .5×0.5 150 =0.5+1.65×12.247 0.5 ≈0.567. :p>p+1.65/1 (1-) 能认为生产智能化升级改造后，该工厂产品 的优级品率提高了. 12.解：(1)580人中体育锻炼时长不小于1小时人 数占比P=2+3+1+87+40+2-器，该 580 地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小 于1小时的人教约为2900×装=12500人 (2)该地区初中学生锻炼平均时长约为： 0,5×(5+134)+0.5+1×(44+147) 5802 2 +1+1.5×(42+137)+1,5+2×(3+40) 2 2 +2+2.5×1+27)1 2 22≈0.9h. 2 (3)列联表 时长[1,2) 其他时长 合计 优秀 45 50 95 不优秀 177 308 485 合计 222 358 580 提出零假设H。:成绩优秀与日均体育锻炼时 长不小于1小时且小于2小时无关， X2-580X(45X308-177X50 95×485×222×358 ≈3.976>3.841. 有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育 锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关. 专题十三概率、随机变量及其分布 考点一 1.C由题意，C=AUB→C=AUB=A∩B. 2.B本题考查相互独立事件的概率乘法公式： AB独立.P(A∩B)=P(A)·P(B)= 3.B甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能， 丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能， P=景合故选B 4.解析：由题意，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7. 答案：0.7 3