专题四 三角函数与解三角形-【创新教程】2024-2026三年高考数学真题分类特训试卷

最新真题 专题四三角函数与解三角形 分类特训 考点一三角函数 一、选择题 1.(2026·北京卷，8)f(x)=sin(x十p)(0<p<2π)，将f(x)的图象向x轴正方向平移3p个单位 长度，得到的函数图象与f(x)的图象关于x轴对称，则o的取值个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 整 2.(2025·全国一卷，4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan x一 3 的图象的一个对称中心，则a 的最小值为 () 斯 A音 B c D. 3元 3.(2025·天津卷，8)f(x)=sin(ax十9)(w>0,-元<9<π)， [-]上单调递增，且x= 为f)图象的一条对称轴，后0是fx)图象的一个对称中心，当x∈[0，受]时，x)的最小 值为 A.③ C.-1 D.0 2 杯 4.(2025·北京卷，8)设函数f(x)=sin(wx)十cos(wx)(w>0),若f(x+π)=f(x)恒成立，且 fx)在[0，]上存在零点，则。的最小值为 A.8 B.6 C.4 D.3 5.(2024·新课标卷，7)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin 3x一晋的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 如 6.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，9)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=si 2x- ,下列说法正确 4 御 的有 ( A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 7.(2024·北京卷，6)设函数f(x)=sinx(w>0),已知f(x1)=一1，f(x2)=1,且x1一x2|的最小值为 器 乏则。 A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2024·上海卷，14)下列函数中，最小正周期是2π的是 A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x C.y=sin'x+cos2x D.y=sin'x-cos'x 9.(2024·天津卷，7)尼知函数f()=sin3ax+写 的最小正周期为x,则f)在[-]的 最小值为 A、 2 B.3 C.0 D.2 17 二、填空题 10.(2026·全国I卷，13)已知f(x)=2sin(ax+0)(a∈Z,0≤0<2π)是偶函数，f(x)在区间 0,}单调递增，则9= (2π 3- 11.(2026·上海卷，11)已知三角函数f(t)=Asin(wt十p)十B(A>0,B∈R,w>0,0≤9<2π)， 若某物体的运动速度v关于时间t的函数为v=f(t),当v=0或v=4时，其导数为0，且初始 速度为0，速度第一次达到4时，用时0.1秒，则f(t)= 12.(2025·上海卷，5)函数y=cosx在[-，]上的值域为 13.(2024·全国甲卷（文），13)函数f(x)=sinx一√3cosx在[0，π]上的最大值是 14.(2024·北京卷，12)在平面直角坐标系xOy中，角α与角3均以Ox为始边，它们的终边关于 原点对称，若a∈[答，]，则cosB的最大值为 三、解答题 15.(2026·北京卷，16)(13分)已知函数f()=2 sin0s9十2c0 swsin9,>0,g<受 fx)最小正周期为，且f0)>0,f-1. (1)求w,0的值； (2)求f(x)的单调递减区间. 16.(2025·全国二卷，15)已知函数f(x)=cos(2x十p)(0≤9<元)，f(0)=号 (1)求9： (2)设函数g()=fx)+f2一}，求g()的值域和单调区间。 18 考点二三角恒等变换 一、选择题 1,(2026·全国Ⅱ卷，7)已知a为第二象限角，3sin2acos&=8 sin acos2a,则)十sing-(） 2-cos a A子 c 2.(2025·全国二卷，8)已知0<a<元，cos 2 A号 8② 5 C.3② 10 D.2v 10 3.(2024·新课标I卷，4)已知cos(a十3)=m,tan atan3=2,则cos(a一B)= A.-3m B一 c D.3m 4.(2024·全国甲卷（理），8)已知 cos a cos a-sin a ,则ana+) A.23+1 B.23-1 D.1-√3 二、填空题 5.(2026·上海卷，3)已知sina=号，则c0s2a- 6.(2025·北京卷，13)已知a,3∈[0,2π]，且sin(a十3)=sin(a-B),cos(a+B)≠cos(a-B),写出 满足条件的一组（α，3）= 7.(2024·新课标Ⅱ卷，l3)已知a为第一象限角，3为第三象限角，tana十tanB=4,tan atanβ= √2+1，则sin(a+β)= 三、解答题 8.(2026·天津卷，16)14分)已知fx)=im2x+】 (1)求最小正周期； (2)若x[-否，]，求x)的最大值和最小值： 3若ae〔o,引ma=停求o. 19 芳点三 解三角形 [真题题组·实战集训] 一、选择题 1.(2026·北京卷，10)摇杆机械装置，如图，A,B为定点，C,D是动点，AD=1, CD=3,BC= 3AB=4,则c0s∠ABC的取值范围为 A.(0,1) B. 2573 128'80 C.1 「5731 D.16'80 2.(2025·全国二卷，5)在△ABC中，BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A= A.451 B.60 C.1209 D.1359 3.(多选)(2025·全国一卷，1)已知△ABC的面积为子，若c0s2A十cos2B+2sinC=2, cos Acos Bsin C-子，则 ( A.sin C=sin2A+sinB B.AB=√2 C.sin A-+sin B D.AC2+BC2=3 4.(2024·全国甲卷（理），11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°，b2=9 ac,则 sin A+sin C= A.29 B.V39 D.33 13 13 C.2 13 二、填空题 5.(2026·天津卷，12)在△ABC中，BC=4,AC=3,cosA=- 则simB= 6.(2025·上海卷，11)小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完 平 全投射在斜面上，某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆 阳 光 子，与斜面的接触点分别为A、B,它们在阳光的照射下呈现出影子， 杆 阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米； 另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米，则斜面的底角0= .(结果用角度制表 示，精确到0.01°.) 7.(2024·上海卷，11)海上有灯塔O,A,B,货船T,如图，已知A在O正东方向，B在O的正北方 向，O到A、B距离相等，∠BTO=16.5°，∠ATO=37°，则∠BOT= .(精确到0.1) 20 三、解答题 8.(2026·全国I卷，16)15分)已知在△ABC中，AB=3,BC=25,c0sB=5, (1)求cosA; (2)设D,E两点满足：D在BA的延长线上，DE∥BC,AE⊥AC,若DE=√6，求CE. 9(2026·全国Ⅱ卷.1715分)在△ABC中，已知cosB=子cos(A十0十in Asin C=1, (1)证明：△ABC为钝角三角形； (2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长. 21 10.(2025·天津卷，16)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A, c-2b=1,a=√7. (1)求A的值： (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. [真题题组·实战集训2] 1.(2025·北京卷，16)在△ABC中，cosA=- 3,asin C=4/2. (1)求c: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边 上的高， 条件①：a=6; 条件②：asin B=l02 3 条件③：△ABC的面积为10√2. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答得分 22 2.(2024·新课标I卷，15)(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC= √2cosB,a2+b2-c2=√2ab. (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 3.(2024·天津卷，16)（本小题满分14分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知 csB=06-5是-号 (1)求a的值； (2)求sinA的值； (3)求cos(B-2A)的值. 23 4.(2024·新课标Ⅱ卷，15)(13分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinA+ √3cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的周长. 好 5.(2024·北京卷，16)(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7, sin 2B=3 ooB. (1)求∠A: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC 的面积 条件①：b=7;条件@：e0sB-是：条件@：simA-号原. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分， 24(3)存在. (先根据题意表示出相关的量，并将三角形面积 用含t的式子表示出来) 依题意，f(.x)=x+ln(1十x),A(t,t+ln(1+t), C(0,t+ln(1+t)), 由②)得，当=1时，以的方程为y(1+) ++ln1+0,所以B(0,h1+)-+) 若2Sm=15Sam成主，则2×号×0C× 1AC=15×2×B01X|ACI, 即2|OC=15|BO, 即2[+ih1+]=15[ln1+0千： 些理得2-18n1+0+=0, (下面剂断2-13h1+)十=0解的个 数，即为点A的个数) ◆ga)=24-13in1+)+平>0，g') 22-91+4_(21-1)t-42, (1+t)2 (1+t)2 当1(0，)时，g)>0g)单调运增，当 ∈(24时g()<0,g1)单调递减，当1 (4,十o∞)时，g'(t)>0,g(t)单调递增， 又当t→0时，g(t)→0，t→+o∞时，g(t)→十o∞， g0)的机大位为8合）6-13h是>0，g 的极小值为g(4)=20-131n5<0, 作出g(t)的大致图象如图所示 所以g(t)在(0，十∞)上有两个零点，故有两个 这样的点A使2S△wc0=15S△B0· ↑y 专题四三角函数与解三角形 考点一 1.C将f(x)的图象向x轴正方向平移30个单 位长度，得到g(x)=f(x-3p)=sin(x-2p)的 图象.因为g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴 对标，所以3g为(T为f(x)的最小正周期) 9 的奇数倍.又子=工=不，所以30=kx(k=2m十 1n∈Z,即g=号(=2n+1,n∈Z,又0<g< 2,所以g=晋营 2.B狼题如a一晋-经即a-经+百其中k∈Z 又a>0,所以当k=0时，a取得最小值等，故选B 3.A依题可知智十9=2x十受，智十g=,其 中k,n∈Z. 两式相减，得w=4(n-2k)-2=4t-2,t∈Z. 又因为-≥品-() 所以ω≤2，故w=2. 从而9=2kπ十子，结合一x<9<π得9=于 显然fx)=sin(2x+)在[0，]上的最小 位为f(》-im誓=- 2 4.C由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函 数的最小正周期与零点即可求解. 函数f(x)=sin(wx)十cos(wx) =Esin(ox+平)(w>0. 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x十π)可 得kT=π，(k∈N*), 所以T=2红=天(k∈N),即0=2k,(k∈N): ωk 又画数f(x)在[0，]上存在零点，且当x∈ [0,]时，x+平∈[至+]： 所以梁+军≥元，即w≥3： 综上，w的最小值为4.故选：C 5.C由题意可得y=2n(3x-一若 }可知最小正周 期T-，所以y=2n(3-+ =2cos 3x, 画出y=sinx和y=2cos3x在[0,2π]上的函 数图象，观察即可得到6个交点 y2sin(3x-君) 4 y=sinx 0 2 2πx 故选择C. 6.BCA错，代x=0便知：B显然对，两者值域相 同；C显然对，两者最小正周期都为π；D错，前 者对称铅为x=登十，后者是(=暂+x 7.B由题意可知：x1为f(x)的最小值，x2为 f(x)的最大值点， 则l咖=君-受即T= 22. 且w>0,所以w= 8.A对于A,sinx十cosx=√2 =Esin+至)，则T=2x,满足条件，故A 正确； 对于B,sinx心osx=合sin2z,则T-2=,不 2 满足条件，故B错误； 对于C,sinx十cos2x=1,为常值函数，则不存 在最小正周期，不满足条件，故C错误； 对于D,sin2x-c0s2=-60s2红，则T-经=x, 不满足条件，故D错误，故答案选A. g.Afr)=sin3(ar+晋）=sin(3ar+x)= -in3a,由T-无-x得u 3w 3, 即f(x)=-sin2,当x∈[-B·6]时，2z ∈【-] 画出f(x)=-sin2x图 象，如图， 由图可知，f(x)=-sin2x 12 在[一是晋]上递减， 2 所以，当x=晋时f)m =-sin 3 2 10.解析：若a=0,则f(x)为常函数，不符合题意. 故a≠0，由f(-x)=f(x),得sin(0-ax)= sin(0+a.x),所以2cos0sin(a.x)=0,从而cos0 =0.又0≤0<2x:故0=受或0=要 当0=变时，f(x)=2 cos x,与f(x)在 (0,)上单调递增矛质： 当0=受时f)=-2 cost. 9 此时fr)=2 asin,要在(0，)内恒为正， 需|a=1或|a=2 于是f）-2os20-1,应境：竖1. 3 答案：受1 11.解析：由题意，f(t)最小值为0，最大值为4，故 A=B=2, 由速度第一次达到4时用时为0.1秒得t=0 时只能是最小值，t=0.1时取最大值， 故号=0.1pT-Z=0,2>w=10x0) 2sin(10rt+p)+2, 由f0)=2sin9+2=0>sim9=-1p9=受， f)=2sinf10++2 =-2cos(10πt)+2. 答案：-2cos(10πt)+2 12.解析：本题考查了余弦函数的值域. “y=c0s,∈[一受，】由余弦通数的圈 象可知x=一 时0m=0, 当x=0时，ymx=1.故y=cosx在 【-乏，]上的值城为[01. 答案：[0,1] 13.解析：由题意知f(x)=sinx一W3cosx= 2sin(-晋》当x∈[0，x]时，x-晋 m〔-)[-小是f [-√5,2]，故f(x)在[0，π]上的最大值为2. 答案：2 1.解析：a∈[后，引 .'.cos ≤cosa≤cos 3 6 中2≤cs6≤g又日-a=+2%,k长z. .cosB=cos(a+π+2kπ)=cos(a+π) =-coS a, ③ 2 ÷c0sB的最大值为一合 答案：日 15.解：(1)第1步：利用三角恒等变换，将原式化 为标准正弦型 f(x)=2sin wxcos o+2cos wxsin p =2sin(wx+p）. 第2步：结合周期公式与给定范围，求解参数ω 已知f(x)最小正周期T=π，由周期公式T 2π a' 结合w>0,得红=元，解得u=2. G) 第3步：结合已知条件求解参数© 所以f(x)=2sin(2x十p),依题意有f(0)= 2sing>0,结合g<登，得g∈（0，) f()-2sm(2x+p)=2sim(:+9) 2c0s9=1→c0s9= 是，则9=于 故w=29=5 (2)(三角函数的单调性法) 第1步：写出正弦函数的单调递减区间 由(1)得f)=2sim(2x+)月 正弦函数y=sinu的单调递减区间为 [5+2k,受+2kx]eZ. 第2步：解关于x的不等式 令u=2+营，则号+26x≤2x+5<2+2x (k∈Z), 化简得，是十r≤r≤十km质∈Z, 第3步：写出最终单调递减区间 所以f(x)的单调递减区间为 [臣十，径+x],∈Z. 16.解：(1)因国为f0)=c0s9=2且0≤9<x, 所以9=哥 (2)由1)得f)=o(2x+晋】 所以gx)=cos(2x+）计 co(-+引 =o(2x+}十cos2z 9 -号as2 m2 =5cosf2z+晋) 因为x∈R,所以g(x)的值域为[-√5，√3]， 令-x十2kr≤2.x十T≤2k元，k∈Z, 6 得-品叶如≤≤一危+eZ 令2km≤2x+晋<x+2kx,k∈Z, 得是+饭≤位十aez 所以g(x)单调增区间为 【一是x+,音+小∈7， 单调造减区间为[一是十红，是十小4长乙 考点二 1.C因为sin2a=2 sin acos a,代入原式： 3(2sin acos a)cos a=8sin acos 2a-6sin acos a =8sin acos 2a, 因为a为第二象限角，所以sina>0,等式两边 同除以2sina得：3cosa=4cos2a, 因为c0s2a=2c0s2a-1,所以3c0s2a= 42cosa-10→5cosa=4>cosa=告， 在第二象限中，cosa<0,所以c0sa= 2.对 应地，sina=√1-cosa=- 所以+sina 5 2-cos a 2 5+1 5 5+1=1 25+22(W5+1)2: 5 2.D由0心a<x可知0<号<受，因为cos号 所以号，所以血=如号s号 5 =2×5×25=4 5 55 osa=os号-sim号=(5)-(25) =一3 8 所以sin(a-F）=sin acos于-eos asin开 -专×号-(》号-品 3.A由tan atan B=2,得sin asin B=2 cos acos B, cos(a+B)=cos acos B-sin asin B=-cos acos B =m,故cos acos B=-m,所以cos(a-B)= cos acos+sin asin B=3 cos acos B=-3m.故选 择：A. 4.B因为cosa=3,所以tana=1-3, cos a-sin a tan a+1 =2√3-1. 5解折：由题意60s2a=1-2sna-器 答案器 6.解析：由sin(a十B)=sin(a-B),即 sin acos B++cos asin B=sin acos B-cos asin B, 得cos asin B=0,故cosa=0或sinB=0; 同理，由cos(a十B)≠cos(a-), 可得sin asin B≠0，故sina≠0且sinB≠0 则必有cosa=0且sin≠0 故取a=受日=晋可满足题设要求。 答案（台）水答案不唯一） 7.解析：sin(a十B)=sin acos B+cos asin B =cos acos B(tan a+tan B) -4 =4cos acos B= √/1+tana√J1+tan3 -4 V(tan a+tan B)2+(tan atan B-1)2 -4 √J42+2 -2 3 答案：-22 8,解：1f)=in2x+看》，7-恶-2经= 2)xe【-吾]2x∈【-牙·] 2x+吾∈【吾]令1=2x+音， y=sint在[-看，]单调递增。 当1=- 即2x+晋 =sin(）- 2 6 'sin 2a=2sin acos a=2x3x622 3 3 os2a=1-2am。=1-2×(图)号 fa)=sin2a+君） -sin 2acoscos 2asin -2×+×分 3 =26+1 6 考点三 实战集训1 1.D因为A,B为定点，C,D为动点，且AD=1, BC-号，所以点D在以A为圆心，半径为1的 圆上，点C在以B为圆心，半径为号的圆上 连接AC,因为AD=1,CD=3,所以CA≥CD DA=2,当C,A,D三点共线，且，点A在C,D之 间时，等号成立，即CA的最小值为2，此时 ∠ABC最小，如图1所示，在△ABC中，由余弦 +()- 定理得cos∠ABC= 73 2×4X5 80 图1 同理，CA≤CD十DA=4,当C,A,D三点共线， 且D在C,A之间时，等号成立，所以CA的最 大值为4，此时∠ABC最大，如图2所示，在 △ABC中，由余弦定理得cos∠ABC= +- 2×4X2 161 图2 馀上as∠ABC∈品 2.A cos A= AB+AC-BC6+4+23-4 2AB·AC 2√6(1+√3) 23(1十3)=2 2W6(1+√3) =,又0°<A<180,故A =45°. 3.ABC 2=cos 2A+cos 2B+2sin C =1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C, 可得sinA十sinB=sinC,故选项A正确. 由c0 co Bin C=子可知A,B皆为锐商： 若A+B<受，则sin'A+sinB<sin Acos B+ sin Bcos A=sinC,不合题意， 若A+B>受，则sinA+sinB>sin Acos B+ sin Bcos A=sinC,也不合题意， 所以A+B=受，C=受 由cosAcos B=子，可知sin Asin B=十，由 面积可知ab=立' 1 所以c2= sin Asin B=2,故AB=V2,选项B ab 正确. snA十nB=十n sin万-，选项C 正确. AC2十BC2=AB2=2,选项D错误.故本题正确 选项为ABC. .C周为B=吾，B=是ac,所以sinB 号Ain C.in Ain C=吉×是-宁，由余孩 定理可得：8=a+d-ac=号ac,即。十2 13 4ac,sin'A+sin'C 10 -是in Asin C-所以(sinA十sinC) sin'A+sinC+2sin Asin C=13+27 123-4 sinA十sinC=y反 2 5.解析：△ABC中，cosA=-子A∈(0，x 由正弦定理， BC AC sin A sin B' sin B=ACsin A 3X15 4_3W15 BC 4 16 答案，31⑤ 16 6.解析：如国，在A处，anx==2.5,在B处 满足tan∠CED=2.5,(其中ED∥水平面，CE 是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于 E),设BD=y,则ED=1十y, 2.5 0.45 人x 0.4 由勾定理+(2)=0.45， 解得y≈0.098， 于是0=arcsin n0.098≈12.58. 0.45 答案：12.58 7.解析：如图，不妨设OA=OB=a, BT=b,AT=c,则AB=√2a 所以在△ABT中，（√2a)2=b2十c2 -2 be cos53.5°，① 在△0BT中，in16.5 b sin∠BoT,② 在△0AT中，sin37=sin90-∠B0T,③ 联立①②③得∠BOT≈7.8°. 答案：7.8 8.解：(1)由余弦定理， AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB= 9+12-12=9, 所以AC=3,从而AB=AC=3. 因此cosA=AB+AC-BC-9+9-12 2AB·AC 18 (2)以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且 垂直于AC的直线为y轴.由(1)知C(3,0),又 B(3cosA,3sinA)=B(1,2√2)，则AB=(1,2√2)， 设AD=tBA,t>0,则D(-t,-2√2t). 设AE=AD+ABC=(-t+2),-2√2t-2√2λ). 因为DE∥BC且D在BA的延长线上，所 以入>0. 由DE=6,BC=2,得A=E=2 2√32 又AE⊥AC,所以点E的横坐标为0， 即-t十2λ=0，得t=2λ=√2. 于是E(0,-2√2t-2√2λ)=E(0,-6), CE=(-3,-6). 所以CE=√(-3)2+(-6)=3√5. 9.解：(1)证明：在△ABC中，A+B十C=π→ A+C=π-B.所以cos(A+C)=-cosB 代入已知条件得：（一圣）》 +sin Asin C=1→ sin Asin C-16' 7 又cosB=-cos(A十C)= sin Asin C-cos Acos C=3 4 代入sin Asin C=i6 是-Aco C-18→AcoC=-6<0. 7 因为cos Acos C-<0,所以cosA与cosC异号. 由此可知，A或C之中必有一个角的余弦值为 负值，即必有一个角是钝角.所以，△ABC为钝 角三角形. 周为cosB=年，且B∈(0，x),所以 B-品-由△ABC的西 41 公式： x→ac=2, 根据正弦定理，设外接圆直径为2R,则sinA 2R' 10 b sinC-2示sinB=2R, 7 由此可得：sin Asin C=acs1nB代入数字；1 62 7 2×西 ,整理6=2，解得6=2。 在△ABC中，利用余弦定理b2=a2十c2 2accos B 得2=a+2-2×2×是，即a+e=5, 因此(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9, 所以a十c=3, 所以，△ABC的周长为：a十b十c=3十√2. 10.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得 sin Asin B=√3 sin Bcos A,sinA=√3cosA, tanAA= (2)由（一26=1得0=号，由余弦定理a2= 公+2eA得7=+行) 2z(兮)m号，即k+1=28,解之得c=36 =1. (3)由余弦定理得cosB=Q十c2-b 2ac (√7)2+32-12_5√7 2√7X3 7B- ,sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B /21 =sin A[2cos B-1]+2cos Acos Bsin B=3 2 ×[-+2×告××晋 -43 71 实战集训2 1.解：(1)周为0sA=-合A∈(0，)所以si血A =√1-cosA=22 3 由正孩定理有asin C=csin A=2,2。=4V2,解 3 得c=6. (2)如图所示，若△ABC存在，设其BC边上的 高为AD, C D 01 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为cosA =一号<0，这表明此时三角形ABC有两个纯 3 角，而这是不可能的，所以此时三角形ABC不 存在，故BC边上的高也不存在； 若选@，asin B=10E,由asin C=42, 3 有品是号即华-青所以5… a=√b2+c2-2 bccos A= √5+62-2X5x6× 1 3/=9, 由S△ABC= nA 2a·AD得 ADbesinA 3=202 9 9 若选③，△ABC的面积是10√2，则S△BC esin A=bx6x22-=10区. 3 解得b=5,由余弦定理可得a= √b2+c2-2 bccos A 1 √25+36-2·5·6一3=9可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得c0sB,cosC也可以唯 一确定，即B,C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上 的高满足：Sac=a·AD=号AD=10厄，即 1 AD=202 9 2.解：(1)由余弦定理可得：osC=Q+-c 2ab 2, 因为C∈(0，π)，所以C=工 41 1 所以2cosB=sinC=号，即cosB= 因为B∈0，，所以B=音 (2)由(1)可得A=元-B-C= 12元，设△ABC 外接圆的半径为R, 由正孩定理可得：A品BC=2R, b 所以b=√3R,c=√2R,sinA=sin(B+C) =sin Beos C+cos Bsin C=6 4 所以SAc=号besin A=号·5R·ER ,6+√2 4 =3十√5，解得R=2, 所以c=2√2. 10 3.解：(1)设a=2t,c=3t,t>0,则根据余弦定理得 b2=a2+c2-2ac cos B, 即25=4r+9r-2×21×3×是6，解得1=2（负 值舍去)； 则a=4,c=6. (2)因为B为三角形内角，所以sinB =√/1-cos2B - =57 16 根据正弦定理得 sin A sin B,即s1, b 5 sinA5√7 16 解得sinA= 41 (3)因为c0sB=6>0,且B∈(0，x,所以B ∈(o) 由(2)知sinB=5y7 16 因为a<b,则A<B, 所以四A1--是 则sin2A=2 sin Acos A=2×7 33√7 4 4 8 c0s2A=2co2A-1=2×()-1=日， cos(B-2A)=cos Bcos 2A+sin Bsin 2A 品×g+×g- 8641 4解122smA+sA-2 sim(A+)=1, A为三角形ABC的内角， A+晋=受A=吾 (2)'.'v2bsin C=csin 2B, ∴.√2 sin Bsin C=sin Csin2B =2sin Csin Bcos B, 2=2cos B..'.cos B= 29 B=吾C-8 4 a b sin A sin B sin C' 2=b ,.b=2√2，c=√6+√2， 1 2√6十2 2 4 .△ABC的周长为2+√6+3√2 5.解：1)由题意得2snBc0sB=9cosB,周为 A为钝角， 则cosB≠0，则2sinB=3b, 则、b 2 sin B 3 sin A sin A,解得sinA=3 7 2, 7 国为A为税角，则A=于 ②)选择067，又a=1,别n8-骨-答×7 14 -夏周为A-经则B为饭角，别B=音 3 此时A十B=π，不合题意，舍弃； 选择②c0sB,因为B为三角形内角 =33 14 则代入2snB=停》得2X-停6，解 14 得b=3, sin C-sin(A+B)-sin =sin行eosB+cossin B 则S△Ax= 合mC=名×7X3X9 =155 4 选择@mA=号，时有c×9=名5，好 2 得c=5, 则由正弦定理得a sin,即2 5 sinc,解 2 得sinC-5 14 因为C为三角形内角，则cosC=1- 14 sin B-sin(A+C)-sinc =sincosC+eosimC -9×+()×- 则S△ABC= 合aesin B=3×7×5X3 14 -153 4 1 专题五平面向量 考点一 1.A因为a,b不共线，即a≠b,且a,b不为0， 所以2a十yb=xa-3b可化为(2-x)a=-（y+ 3)b,所以二T=0:解得x=2,y=-3,选A. {3+y=0, 2.D将已知条件的两边分别平方得：a十b|2 =a|2+2a·b+|b|2=1, |a-b12=a|2-2a·b+|b|2=3, 两式相减得：4a·b=1一3=一2， 购0：6-合 3.C设b=(x,y),则a-b=(2-x,-y).由 a-b=2,得(2-x)2+(-y)2=4,即(.x-2)2 十y2=4,所以点(x,y)的轨迹是圆心为(2,0)， 半径r=2的圆.又|b|=√x2十y2= √(x-0)2十(y-0)2,点(0,0)在点(x,y)的轨迹 圆上，所以|bmx=2r=4. 4.A由题图知真风对应向量为（一2,2），模长为 2√2≈2.828，等级上属于轻风，选A. 5.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则 4十x2-4x=0,解得x=2.故选择：D. 6.解析：由题意，不妨设a十3b=-入(b十c)=u(2a十c), a=(入-3)b+ac 则 3 入-3=1-—24，解得k=一6. 故 kg 入=1-20 答案：一6 7.解析：因为a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x), 又a⊥(a-b), 所以a·(a-b)=x十1-2x=1-x=0,解 得x=1, 所以a=√1+1=√2. 答案：√2 8解折：A正=Ad+号D心 AD+名(AC-AD) 3 专A+号花=名A店+ 6 号C-a+号G店-店-AC=a-b. CD-AD-AC-2AB-AC-70-b. 从而AE-言a+4b)=吉[6a-b-5a一2b 6 -ci-号c, 故A正.C币=A花.（店-A店）=-子1A =-15. 答案：行a十号6-15 03