精品解析：甘肃省临洮中学、临洮县第二中学等校2025-2026学年高二下学期期末联考数学试卷

高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一、二册占，选择性必修第一、二册占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 3. 已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 根据表中数据，得到关于的线性回归方程为，则（ ） x 3 4 5 6 7 y 10 12 15 16 18 A. 4.2 B. 4.4 C. 4.6 D. 4.8 5. 在等腰直角三角形中，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 2026年美加墨世界杯首次扩至48支球队．小组赛阶段，48支参赛球队分为12个小组，每个小组内每支球队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛，则小组赛阶段需进行比赛（ ） A. 32场 B. 40场 C. 48场 D. 72场 7. 从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在函数的图象上，点B在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 10. 已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角所对的边分别为，且，的面积为，则（ ） A. 为直角三角形 B. C. D. 的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 13. 已知函数的导函数，且，则________． 14. 已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求； （3）求数列的前n项和． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有1个零点，求的取值范围； （3）若是增函数，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． （1）若是的中点，证明：平面． （2）若，，求直线与平面所成角的大小． 18. 已知椭圆：的离心率为，抛物线：的焦点为，椭圆与抛物线交于点，且． （1）求椭圆及抛物线的标准方程； （2）若直线与椭圆、抛物线都相切，求直线的方程． 19. 某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立． （1）当时，求； （2）求时训练结束的概率； （3）记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一、二册占，选择性必修第一、二册占． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合是全体整数形成的集合， 而中元素都不是整数平方，， 所以. 2. 复数的实部为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，因此该复数的实部为. 3. 已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断其在区间上的符号，进而确定原函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小. 【详解】由的图象可知，当时，的图象位于  轴下方， 即在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递减， 因为， 所以，故D正确. 4. 根据表中数据，得到关于的线性回归方程为，则（ ） x 3 4 5 6 7 y 10 12 15 16 18 A. 4.2 B. 4.4 C. 4.6 D. 4.8 【答案】A 【解析】 【分析】先求得样本中心点，代入线性回归方程，即可求解. 【详解】由题意，可得，， 所以样本中心点为， 代入线性回归方程，得，解得. 5. 在等腰直角三角形中，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将所求向量的模长平方，利用向量数量积运算律展开后代入已知的边长、夹角条件计算，再开方得到结果. 【详解】已知等腰直角中，，， 因此，且与的夹角为，故. 所以  ， 因此. 6. 2026年美加墨世界杯首次扩至48支球队．小组赛阶段，48支参赛球队分为12个小组，每个小组内每支球队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛，则小组赛阶段需进行比赛（ ） A. 32场 B. 40场 C. 48场 D. 72场 【答案】D 【解析】 【详解】第一步，支球队分为个小组，故每个小组有支球队. 第二步，组内为单循环赛，即任意两支球队仅进行场比赛，因此比赛场数为从支球队中任选支的组合数： . 第三步，个小组的总比赛场数为场. 7. 从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过条件概率公式即可求解. 【详解】设事件为“取出的个小球中至少有个是红球”，事件为“取出的个小球都是红球”， 从个球中任取个，总取法为种， 包含一红一白、两红两类情况，共种，故， 两红的取法共种，故， 由于，故，根据条件概率公式： ，故A正确. 8. 如图，点A在函数的图象上，点B在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出点坐标，表示出，通过求导，利用单调性求最值. 【详解】设点，由，得，其中， 即. 令， ，令， 得，结合，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此当时，取极大值，也是最大值，最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意得，，，；二面角的平面角为，，故. 对选项A，，与方向一致，又且，由线面平行判定定理得，故A正确. 对选项B，由，，，得平面， 又，故平面，故B正确. 对选项C，，平面的法向量为， 因为与法向量不平行，故不垂直于，C错误. 对选项D，，，即，故D正确. 10. 已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由圆上恰有个点到直线的距离为，推出圆心到直线的距离为，再结合直线过点，得出点到圆心的距离不小于，计算各选项点到圆心的距离即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径, 若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离， 即直线是圆心为、半径为的小圆的切线， 要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外， 即点到的距离. 对于A：点到的距离为，A正确； 对于B：点到的距离为，B正确； 对于C：点到的距离为，C正确； 对于D：点到的距离为，D错误. 11. 已知的内角所对的边分别为，且，的面积为，则（ ） A. 为直角三角形 B. C. D. 的周长为 【答案】BD 【解析】 【分析】先由余弦定理与面积公式写出，利用同角平方关系建立等式，结合均值不等式得到含的四次不等式，由平方非负唯一解出，结合等号成立时，进而算出的值，再用余弦定理逐一验证四个选项对错． 【详解】由，得， 所以， 由，得 所以 整理得， 由，当且仅当时，等号成立， 得， 所以， 整理得，即， 因为，所以，解得， 所以， 将，，代入， 所以， 对于A，，，任意两边平方和都不等于第三边平方，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由二倍角的余弦公式，可得. 故答案为：. 13. 已知函数的导函数，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的导函数，求出函数的表达式，代入求解即可. 【详解】由函数的导函数，得（其中为常数）， 又，从而，得， 从而，所以. 14. 已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性转化成焦点到渐近线的距离求解即可. 【详解】由双曲线的对称性可知不妨设直线l的表达式为，即， 点A，B到直线l的距离分别为，，由题意可知A，B关于C的右焦点对称， ，从而，得 从而C的离心率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）求； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为（），由得， 由成等比数列，得，即， 展开整理得，因，故， 联立，解得，， 因此. 【小问2详解】 由等差数列前项和公式，得. 【小问3详解】 由， 设数列的前项和为， 则. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恰有1个零点，求的取值范围； （3）若是增函数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）因式分解得到是的一个零点，根据二次因式无实根的条件求解的范围； （3）增函数等价于导函数在上恒非负，利用一元二次不等式恒成立求解的范围. 【小问1详解】 对求导得， 又，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ，显然是的一个零点. 要使恰有1个零点，需二次方程无实根， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 若是增函数，则对任意，恒成立. 二次函数开口向上，故对应方程 ， 解得. 故的取值范围为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为． （1）若是的中点，证明：平面． （2）若，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 连接交于， 在三棱柱中，侧面是平行四边形， 所以是的中点， 又因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明； （2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以二面角的平面角， ，，， 在平面内作， 因为平面，平面， 所以，即两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，即，，， 设， ， 由，得， 所以，解得，即， ，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设直线与平面所成角为， 所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为． 18. 已知椭圆：的离心率为，抛物线：的焦点为，椭圆与抛物线交于点，且． （1）求椭圆及抛物线的标准方程； （2）若直线与椭圆、抛物线都相切，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为. （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求抛物线方程；根据点在抛物线上及椭圆离心率得到，，代入椭圆方程求解即可. （2）设出直线方程，与抛物线方程、椭圆方程联立，结合相切时求解即可. 【小问1详解】 抛物线：的焦点为，点在抛物线上， 由抛物线定义得，代入得，解得， 故抛物线方程为. 点在抛物线上，则有. 由椭圆离心率，得，即. 椭圆方程可化为. 将点代入椭圆方程得，解得. 则. 故椭圆方程为. 【小问2详解】 设直线：， 当不存在时，若与抛物线相切，则，但与椭圆相切要求，矛盾，故斜率存在.  当直线与抛物线相切时， 联立，整理得， 由，得，化简得，即.  当直线与椭圆相切时， 联立，整理得， 由，得， 代入，化简得， 整理得，即，解得（负值舍去）， 所以，此时. 故直线的方程为或，即或. 19. 某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立． （1）当时，求； （2）求时训练结束的概率； （3）记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：． 【答案】（1） （2） （3）因为该同学恰好经过m次投篮后训练结束，所以为偶数，故的可能取值为， ； ； ； . 则， 两边同乘以得， ， 两式作差得， 即 . 【解析】 【分析】（1）2次投篮得分，说明1次投中，1次没有投中； （2）时训练结束，说明前2次得分为0，第3、第4次得分为0，后两次得分为2或； （3）先求时的概率，再利用期望的计算公式求出的值判断. 【小问1详解】 2次投篮得分，说明1次投中，1次没有投中， 因此. 【小问2详解】 时训练结束，说明前2次投篮为投中1次，未投中1次，得分． 第3次、第4次投篮为投中1次，未投中1次，得分． 第5次、第6次投篮为连续2次投中，或连续2次未投中，得分或． 故时训练结束的概率为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $