第20章 二次根式（6考点+14易错+易错训练）（知识清单）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学“二次根式”单元知识清单系统梳理了二次根式的定义、性质、运算及应用，涵盖定义判定、有意义条件、最简根式、四大性质、四则运算、分母有理化六大核心知识点，构建了从概念理解到性质应用再到综合运算的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点+对点训练”三维架构呈现知识体系，14个易错点分类标注解题技巧，如“二次根式性质化简”强调“先判断后化简”培养数学思维，配套综合练习题强化应用意识。教师可精准把握重难点，学生能自主查漏补缺，高效提升运算能力与推理意识。

第20章 二次根式 知识点一 二次根式的定义 形如 （）的式子叫做二次根式。 判定双重条件：①含有二次根号；②被开方数为非负数。 辨析示例：、是二次根式；、不是二次根式。 知识点二 二次根式有意义的条件 单个根式： 有意义 分式嵌套根式： 有意义 根式位于分母： 有意义 知识点三 最简二次根式判定三标准 1.被开方数不含分母、小数； 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 3.分母位置不含二次根号。 辨析：、、非最简；、为最简二次根式。 知识点四 二次根式四大核心性质 1. 2. 3.乘法性质：，逆用用于根式拆分化简 4.除法性质：，逆用用于分式根式化简 知识点五 二次根式四则运算法则 1. 乘法运算：系数相乘、根式相乘，结果化为最简；例： 2. 除法运算：优先化简、优先分母有理化；例： 3. 加减运算：先化简，再合并，同类才可合并；例：，不可合并 4. 混合运算顺序：先乘方→再乘除→后加减；有括号先算括号内；平方差、完全平方公式全域适用：、 知识点六 分母有理化 1. 单项式根式分母：，示例： 2. 多项式共轭根式分母（高频）：； 易错点1 求二次根式的值 易错提醒 易错点：忽略算术平方根为非负数；代入负数计算出错；根式化简不彻底直接求值。 解题技巧：牢记，算术平方根结果恒非负；先化简二次根式，再代入数值计算；负数代入时优先平方运算，规避符号错误。 【对点训练】1．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：当时，． 易错点2 求二次根式中的参数 易错提醒 易错点：遗漏被开方数非负条件；多个根式叠加时取值范围求解不全。 解题技巧：所有二次根式被开方数必须≥0；多个根式共存时，联立不等式组求解参数取值范围；结合题干整数、正数等限制条件精准取值。 【对点训练】2．若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 易错点3 二次根式有意义的条件 易错提醒 易错点：混淆分式与二次根式复合题型条件；只看单一根式，遗漏多重限制。 解题技巧：纯二次根式：被开方数≥0；根式分式复合型：被开方数≥0且分母≠0；多个条件同时满足，取取值范围的交集。 【对点训练】3．若，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，列不等式组，确定的值，然后代入代数式中计算的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， 将代入原式求： ∴． 易错点4 利用二次根式的性质化简 易错提醒 易错点：误用，忽略绝对值；根据字母正负去绝对值出错。 解题技巧：核心性质：；先判断字母或式子的正负性，正数直接去绝对值，负数变相反数；严格遵循“先判断、后化简”。 【对点训练】4．如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 易错点5 二次根式的乘除混合运算 易错提醒 易错点：乘除公式混用；根号内外数值随意运算；运算后未化为最简根式。 解题技巧：熟记公式、；同次根式根号内、外分别运算，最后统一化简为最简二次根式。 【对点训练】5．计算：． 【答案】 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 易错点6 分母有理化 易错提醒 易错点：单项、多项分母有理化方法混淆；分子漏乘对应因式；化简不彻底。 解题技巧：单项分母：分子分母同乘分母根式；两项分母：利用平方差公式，同乘共轭根式；有理化后彻底化简，保证分母无根式、根式为最简。 【对点训练】6．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 易错点7 已知最简二次根式求参数 易错提醒 易错点：不清楚最简二次根式定义；同类最简根式条件遗漏；参数取值验证缺失。 解题技巧：最简二次根式：被开方数无分母、无开得尽方的因数；同类最简二次根式：被开方数相同、根指数相同；联立方程求解参数，验证满足最简条件。 【对点训练】7．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 易错点8 复合二次根式的化简 易错提醒 易错点：不会配方变形；拆分数值错误；化简后符号出错。 解题技巧：针对型根式，配方转化为完全平方形式；寻找两个数满足和为a、积为b；开方后保留非负结果，完成化简。 【对点训练】8．一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 易错点9 二次根式的加减运算 易错提醒 易错点：不同类二次根式盲目合并；化简不彻底导致合并错误。 解题技巧：二次根式加减本质是合并同类二次根式；先将所有根式化为最简，再合并被开方数相同的根式；不同类根式不可合并。 【对点训练】9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错点10 二次根式的混合运算 易错提醒 易错点：运算顺序混乱；乘法公式误用；根式运算与整式运算规则混淆。 解题技巧：遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”；灵活运用平方差、完全平方公式简化运算；每一步化简，最终结果为最简根式。 【对点训练】10．计算： (1) (2) 【答案】(1)6 (2)2 【分析】（1）先根据二次根式的乘除法计算，然后化简即可； （2）先根据平方差公式展开，然后加减解题即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 易错点11 已知字母的值，化简求值 易错提醒 易错点：直接代入复杂数值计算繁琐出错；化简过程符号、公式出错。 解题技巧：先化简代数式，再代入字母数值；含根式的字母优先有理化、简化数值；分步运算，规避计算失误。 【对点训练】11．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据平方差公式直接求解； （2）先求出的值，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴ ． 易错点12 已知条件式，化简求值 易错提醒 易错点：强行求解字母值，运算复杂；不会整体代入、变形条件式。 解题技巧：优先对已知条件式变形，构造整体（和、差、积、平方和）；不单独求未知数，整体代入化简后的式子；大幅简化运算，提升准确率。 【对点训练】12．阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一．用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，，求的值． 【答案】(1)34 (2) 【分析】（1）由配方公式得到，进而代值求解即可； （2）由配方公式得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 易错点13 比较二次根式的大小 易错提醒 易错点：平方比较时忽略正负；作差、作商方法使用混乱。 解题技巧：正数根式：平方后比较大小；异号根式：正数大于负数；同分母根式比较分子，同分子根式比较分母；复杂式子用作差法、作商法精准判断。 【对点训练】13．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 易错点14 二次根式的应用 易错提醒 易错点：几何、实际问题建模错误；根式结果未化简、未取合理近似值。 解题技巧：结合几何边长、距离、面积公式列根式算式；运算后化为最简二次根式；实际问题根据需求保留近似值，保证结果符合实际意义。 【对点训练】14．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 一、单选题 1．（25-26八年级下·青海西宁·期末）下列化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质及运算法则，逐一化简各选项判断正误． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、， ∵， ∴，正确，故选项符合题意． 2．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）已知，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简二次根式得到的最简形式，再用“夹逼法”估算无理数的大小，即可确定的范围． 【详解】解：， 且，即， ． 3．（25-26八年级下·广东江门·期末）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知直线（为常数，）经过，两点，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线和直线的交点为，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵直线（为常数，）经过，， 又， ∴随着的增大而减小， 对于直线，随着的增大而增大，当时，， ∴直线和直线交于点， ∴关于的不等式的解集即的解集为． 5．（25-26八年级下·山东德州·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，则有， ∴． 6．（25-26七年级下·山东滨州·期末）若，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且， ， ． 二、填空题 7．（25-26八年级下·广东珠海·期末）若是整数，正整数的最小值是_______． 【答案】2 【分析】先化简二次根式，根据二次根式的性质，若二次根式的结果为整数，则被开方数需为完全平方数，据此找出满足条件的最小正整数． 【详解】解：， 是整数，是正整数， 必须是完全平方数， ∴最小的正整数为． 8．（2026年江苏省南京市中考考前数学试卷）计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 9．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，计算：______． 【答案】 【分析】先对原式通分、因式分解后约分，化简原式后再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 因为，则原式． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】且 且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂的定义，分别列出关于的不等式，求解后取公共部分，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足： ， 解得且且． 三、解答题 11．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 12．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期末）先化简再求值，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算减法，再将除法转化成乘法运算，最后将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时 原式． 13．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 14．（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料，解答下列问题：材料：已知，求的值． 解答示例： ． 又，， 这种方法称为“构造乘积对偶法”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法进行求解即可； （2）结合已知条件和（1）的结果，推出，进行求解即可. 【详解】（1）解：， ∵， ∴， （2）解：由（1）可知： 又∵， 得， ∴， 两边平方得，解得. 当时，，符合题意； 故. 15．（25-26八年级下·河南安阳·期末）小明同学根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． (1)用“”“”或“”填空： ______0； ______0； ______0； (2)由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由； (3)请利用上述结论填空：小明同学在做一个面积为对角线相互垂直的四边形风筝时，用来做对角线的竹条至少要 ． 【答案】(1)；；； (2)；理由如下： ∵，， ∴， ∴； (3)60 【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论； （2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可； （3）根据对角线互相垂直的四边形面积相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得，； ； ； （2）略 （3）解：如图， 设，， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要． 16．（25-26八年级下·吉林四平·期末）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为_____；（填最简二次根式） (2)求长方形木板的面积． 【答案】(1) (2)长方形木板的面积为 【详解】（1）解：由题意，∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， （2）解：由题意得， ∴， ， ． 答：长方形木板的面积为． 17．（25-26八年级下·广东江门·期末）“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取． (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔，这座山顶部到海边的最短距离约为，天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能否看到大海？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海，理由如下： 当时， ， ∵， ∴天气晴朗时站在山顶部（人的身高忽略不计）能看到大海． 【分析】（1）把代入中，求解d的值即可； （2）把代入中，求解d的值，再与60比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）略 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20章二次根式 知识脉络 ◇ 脉|络1重构 二次根式的定义 我们把形如Va(a≥0)的式子叫做二次根式 考点一：二次根式的相关概念 二次根式有意义的条件 根号内的式子要0 双重非负性 二次根式的概念 个非负数的算术平方根的平方等于它本身 考点二：二次根式的性质 个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值， 利用二次根式的基本性质进行化简 考点三：二次根式的化简 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简 乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 考点一：二次根式的乘除法 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 二次根式的乘除 ①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号） 考点二：最简二次根式 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相 同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 考点一：二次根式的加减法 二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二 次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 二次根式的加减 考点二：二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的 通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。 考点三：分母有理化 知识盘点 知识点一二次根式的定义 形如√ā(Q≥0)的式子叫做二次根式。 判定双重条件：①含有二次根号；②被开方数为非负数。 辨析示例：Vx-1、V5是二次根式；-2、Vx(x<0)不是二次根式。 知识点二二次根式有意义的条件 单个根式：VA有意义一A≥0 分式嵌套根式： A B 有意义一(A≥0 B≠0 1 根式位于分母： A 有意义一A>0 知识点三最简二次根式判定三标准 1.被开方数不含分母、小数： 2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式： 3.分母位置不含二次根号。 辨析：V12、 5为最简二次根式。 知识点四二次根式四大核心性质 1(a}=aa≥0】 288-lal-1 (a≥0) a<0】 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.乘法性质：Va/6=Vab(a≥0，b≥0)，逆用用于根式拆分化简 4除法性质： Va-ga (a≥0，b>0) 逆用用于分式根式化简 知识点五二次根式四则运算法则 1.乘法运算：系数相乘、根式相乘，结果化为最简；例：23×3V6=6/18=18√2 20=4=2 2除法运算：优先化简、优先分母有理化：例： 3.加减运算：先化简，再合并，同类才可合并：例：V12+V27=23+3V3=53,V2+3不可合并 4.混合运算顺序：先乘方→再乘除→后加减；有括号先算括号内；平方差、完全平方公式全域适用： (a±b2=a2±2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2 知识点六分母有理化 1=a(a>0,示例：62 1单项式根式分母：aa 3V6 1=Va-6 2.多项式共轭根式分母（高频）：a+96 1-a+6 a-b a-b a-b 易错汇总 易错点1求二次根式的值 易错点：忽略算术平方根为非负数；代入负数计算出错：根式化简不彻底直接求值。 解题技巧：牢记VQ≥0(a≥0)，算术平方根结果恒非负：先化简二次根式，再代入数值计算：负数代入时 优先平方运算，规避符号错误。 【对点训练】1.当=时，二次根式V+3 的值为( A.4 B.3 C.2 D.1 易错点2求二次根式中的参数 3/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点：遗漏被开方数非负条件：多个根式叠加时取值范围求解不全。 解题技巧：所有二次根式被开方数必须≥0；多个根式共存时，联立不等式组求解参数取值范围：结合题 干整数、正数等限制条件精准取值。 【对点训练】2.若V5-2m 一个整数，则正整数m的值可以是( A.4 B.3 C.2 D.1 易错点3二次根式有意义的条件 易错点：混淆分式与二次根式复合题型条件；只看单一根式，遗漏多重限制。 解题技巧：纯二次根式：被开方数≥0：根式分式复合型：被开方数≥0且分母≠0：多个条件同时满足， 取取值范围的交集。 【对点训练】3.若=3+v6-2x-4,则（x+m 易错点4利用二次根式的性质化简 易错点：误用√a=α，忽略绝对值：根据字母正负去绝对值出错。 解题技巧：核心性质：√ā=：先判断字母或式子的正负性，正数直接去绝对值，负数变相反数：严格 遵循“先判断、后化简”。 【对点训练】4.如果Vx-2=2-x,那么( ) A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2 易错点5二次根式的乘除混合运算 易错点：乘除公式混用：根号内外数值随意运算；运算后未化为最简根式。 解题技巧：熟记公式a5=aba2≥0，b≥0、呢= Ya-ga (a≥0，b>0:同次根式根号内、外分别运算， 4/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 最后统一化简为最简二次根式。 22 【对点训练】5.计算： 易错点6分母有理化 易错点：单项、多项分母有理化方法混淆；分子漏乘对应因式；化简不彻底。 解题技巧：单项分母：分子分母同乘分母根式：两项分母：利用平方差公式，同乘共轭根式；有理化后彻 底化简，保证分母无根式、根式为最简。 a= 【对点训练】6.已知“3+2，b=反-V5,则a与b的关系是( A.a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1 易错点7已知最简二次根式求参数 易错点：不清楚最简二次根式定义；同类最简根式条件遗漏；参数取值验证缺失。 解题技巧：最简二次根式：被开方数无分母、无开得尽方的因数；同类最简二次根式：被开方数相同、根 指数相同：联立方程求解参数，验证满足最简条件。 【对点训练】7。若”为正整数，并且使得 ”是一个最简二次根式，则”的值不可能是() A.1 B.2 C.3 D.4 易错点8复合二次根式的化简 易错点：不会配方变形；拆分数值错误；化简后符号出错。 解题技巧：针对a士2b型根式，配方转化为完全平方形式：寻找两个数满足和为a、积为b:开方后保 留非负结果，完成化简。 【对点训练】8.一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如： 5/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6-V万、3+22都是复合二次根式。其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如： 5+2W万-VP+(+2x1x5-+可-1+巨.请你利用上述方法化简复合二次根式： 8-215=() A.V6-2 B.5-V5 c.5-1 D.-1 易错点9二次根式的加减运算 易错点：不同类二次根式盲目合并；化简不彻底导致合并错误。 解题技巧：二次根式加减本质是合并同类二次根式：先将所有根式化为最简，再合并被开方数相同的根式： 不同类根式不可合并。 【对点训练】9.计算： ①25-3V5 22(6-5)W5-26 易错点10二次根式的混合运算 易错点：运算顺序混乱；乘法公式误用：根式运算与整式运算规则混淆。 解题技巧：遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”；灵活运用平方差、完全平方公式简 化运算：每一步化简，最终结果为最简根式。 【对点训练】10.计算： )2xv6÷ a2+5)(-)+j 6/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错点11 已知字母的值，化简求值 易错点：直接代入复杂数值计算繁琐出错；化简过程符号、公式出错。 解题技巧：先化简代数式，再代入字母数值；含根式的字母优先有理化、简化数值；分步运算，规避计算 失误。 【对点训练]11，已知=5+，)=5-1，求下列各式的值。 (1)9: 2+0+ 易错点12已知条件式，化简求值 易错点：强行求解字母值，运算复杂；不会整体代入、变形条件式。 解题技巧：优先对已知条件式变形，构造整体（和、差、积、平方和）；不单独求未知数，整体代入化简 后的式子：大幅简化运算，提升准确率。 【对点训练】12.阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一.用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有： a2+b2=(a+b)2-2aba2+b2=(ab}+2ab 用配方思想方法，解答下面问题： 0尼知：x+上6，求+的值 ②已知：a-2b=4,ab=3,(a≥0620)，求a+2b的值 易错点13比较二次根式的大小 易错点：平方比较时忽略正负；作差、作商方法使用混乱。 解题技巧：正数根式：平方后比较大小；异号根式：正数大于负数：同分母根式比较分子，同分子根式比 较分母；复杂式子用作差法、作商法精准判断。 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【对点训练】13.下列结论正确的是( ) 5、5、3 3 A.5>5>5 B.5>5 5 V533 3、5. c.5>5>5 D.5>5> > 易错点14二次根式的应用 易错点：几何、实际问题建模错误；根式结果未化简、未取合理近似值。 解题技巧：结合几何边长、距离、面积公式列根式算式：运算后化为最简二次根式：实际问题根据需求保 留近似值，保证结果符合实际意义。 【对点训练】14如图，李明家有一块长方形空地16CD,长BC为历m,宽4B为52m 现要在空地 中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草荐，其中长方形水池的长为(0+m,宽 为io-1m D (I)求长方形空地ABCD的周长.（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为 元妇。且每平方米产卓将5。若车明家格所种的车赛全部简皆完 则销售收入为多少元？ 8/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 易错训练 一、单选题 1.(25-26八年级下.青海西宁·期末)下列化简正确的是( A.6-6B.0.5-5 V6_32 D.2-5}=5-2 5 C.222 2.(25-26八年级下山东菏泽期末)已知m=V32-V8,则实数m的范围是( A.1<m<2 B.2<m<3 c.3<m<4 D.4<m<5 3.(25-26八年级下·广东江门期末)如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为27cm和75cm的两 个小正方形，则剩下部分的面积为( 27 75 A.48cm2 B.78cm2 C.90cm2 D.102cm 4.(25-26八年级下-江苏南通：期末)已知直线y=kx+b〈k为常数，k0)经过A-6,36: B4V2,22两点，则关于x的不等式2kx<x-2b的解集是( A.x>42 B.x<22 C.x>-V6 D.x<-/6 5.(25-26八年级下·山东德州期末)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简 (a+1+(b-1)-(b-a的结果是( ) 91。 0 A.2a B.-2b C.-2 D.0 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.（25-26七年级下-山东滨州：期末)若-2<a<2:则化简a+5+a-5的结果为 ) A.2a B.2V5 c.-2V5 D.-2a 二、填空题 7.(25-26八年级下·广东珠海期末)若78n是整数，正整数n的最小值是 8.(2026年江苏省南京市中考考前数学试卷)计算： 9 8- R2: 9.(25-26八年级下四川成都期末)已知m=V3,计算： L m+1 m2+m 10.（25-26九年级下·山东烟台·期末)函数y= x+3+x+2P中，自变量x的取值范国是 三、解答题 1.《2526七年级下甘肃兰州期末)计算：-3P-4x2+8+1-】 2 12.(25-26八年级下黑龙江鸡西期未)先化简2,2a-31再求值，其中a=1+3 a+1a2-1 a+1 3 2 13。（25-26八年级下广东珠海：期末)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如G,2-的式子， 这样的式子我们可以将其进一步化简，3=3×5_35,2 2×V2+1 =2V2+2,这种 59V5×9V55 V2-1V2-1V2+1 化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： 2 )化简：7 3 (2)化简：6+95 10/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级下广东汕头期末)阅读材料，解答下列问题：材料：已知V8-X-3-X=1,求 只8-x+3-x的值. 解答示例： :8-x-V3-xV8-x+V3-x=(V8-x)2-(V3-x)2=8-x-3+x=5 又.V8-x-V3-x=1,∴.V8-x+9V3-x=5, 这种方法称为“构造乘积对偶法”· 问题：已知V50-x+V10-x=10 (1求V50-x-/10-x的值： (2)求x的值. 15.(25-26八年级下·河南安阳·期末)小明同学根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般” 的方法探究下面二次根式的运算规律。 (1)用“>”“<”或“=”填空： 2+3-2RV2×3 0: 0 5+5-29V5×5 0: (2)由(1)中各式猜想a+b与2√ba≥0，b≥0的大小，并说明理由： (3)请利用上述结论填空：小明同学在做一个面积为450cm对角线相互垂直的四边形风筝时，用来做对角 线的竹条至少要cm. 16.(25-26八年级下·吉林四平期末)有一块长方形木板ABCD,木工甲采用如图的方式，将木板的长 AD增加3cm:宽AB增加63cm'得到-个面积为147m的正方形AEFG 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)正方形AEFG的边长为Cm;(填最简二次根式) (2)求长方形木板ABCD的面积. 17.(25-26八年级下·广东江门期末)“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远.如图，若观测 点的高度为hkm,观测者视线能达到的最远距离为dkm,则d≈V2hR,其中R是地球半径，通常取 6400km (1)小王站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为0.02km,他观测到远处一艘船刚露出海平面， 求此时d的值： (2)已知一座山的海拔320m,这座山顶部到海边的最短距离约为60k,天气晴朗时站在山项部（人的身 高忽略不计)能否看到大海？请说明理由， 12/12