1.1 生活中的立体图形（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦“丰富的图形世界”核心内容，系统梳理立体图形的认识（柱体、锥体、球体分类及棱柱特征）和点线面体关系（静态相交与动态生成），构建从具体几何体识别到抽象关系理解再到拓展应用（欧拉公式、旋转体）的学习支架。 资料以生活实例（良渚玉勒、茶杯旋转）培养数学眼光，通过欧拉公式探究、旋转体体积分类讨论发展数学思维，结合题型解题贴士与分层练习，辅助课堂教学与课后查漏补缺，助力学生用数学语言描述空间形式与数量关系。

第一章 丰富的图形世界 1.1 生活中的立体图形 课标要点 1. 从现实物体中抽象出圆柱、棱柱、圆锥、球等几何体，识别并描述其特征。 2. 理解点、线、面、体之间的关系，知道面与面相交得线、线与线相交得点。 3. 能根据几何体的特征（如是否有曲面、棱的数量等）进行简单分类，发展空间观念。 学习重难点 重点 1. 认识常见几何体，能准确说出其名称及基本特征（如底面形状、侧面曲直）。 2. 掌握点、线、面、体的动态关系（点动成线、线动成面、面动成体）。 难点 1. 准确区分易混淆几何体（如圆柱与棱柱、球与椭球），并能清晰描述差异。 2. 理解面与面相交得线、线与线相交得点等抽象关系，形成空间想象能力。 知识点 立体图形的认识（重点） 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 特别提醒 1. 分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体，勿将圆柱归为棱柱。 2. 棱与面：棱柱的侧棱平行且相等；圆柱、圆锥的侧面是曲面，不是平面。 随学随练 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体判定求解即可； 【详解】解：A.是正方体； B.是球； C.是长方体； D.是圆柱体； 2．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 【答案】(1)圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； (2)；． 【分析】本题主要考查了认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （）根据几何体的特点回答即可； （）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：按序号写出各自几何体的名称：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；五棱柱；三棱柱； （2）解：在以上几何体中，是柱体的有；含曲面的有， 故答案为：；． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 知识点 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 特别提醒 1.构成：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。勿颠倒层次。 2.运动：点动成线，线动成面，面动成体。注意旋转体（如直角三角形绕直角边旋转得圆锥）。 3.抽象：几何中的点、线无大小粗细，与现实不同，勿混淆。 随学随练 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）航天飞机拖曳“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为 _________ ． （2）电动车车辐条运动形成的图形可解释为 _________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查几何变换的基本概念，即点、线、面的运动关系．小蚂蚁可视为点，其运动轨迹形成线；车辐条可视为线，其运动轨迹形成面． 【详解】解：（1）小蚂蚁近似看作一个点，其行走时点移动形成路线，因此解释为点动成线； （2）电动车车辐条近似看作一条线，其运动时线移动形成图形，因此解释为线动成面． 故答案为：（1）点动成线；（2）线动成面 2．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，面动成体 (2) 【分析】本题主要考查了求几何体的体积，面动成体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）根据题意可得所得圆柱的底面圆的半径为，高为，据此根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，所得的几何体是圆柱，这一过程体现了面动成体； （2）解：， ∴得到的这个几何体的体积为． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题考查了圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高． （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先分别求解两个立体图形的体积，再求解比值即可． 【详解】（1）解：两个立体图形的体积不相等； 所以同意小红的说法； 故答案为：小红； （2）解：甲的体积： 乙的体积： ∴． 拓展 探究几何体中的点、棱、面之间的关系 1. 欧拉公式定数量 顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）满足 **V - E + F = 2**。已知任意两个量，可求第三个，是验算总数的核心工具。 2. 棱为桥梁列等式 每条棱被两个面共用，也被两个顶点连接。所以**各面边数之和 = 2E**，**各顶点引出的棱数之和 = 2E**，是列方程的关键。 3. 观察去重防漏数 数棱时注意内部和背面隐藏的线，数面时分层数（上、下、侧），最后用欧拉公式验算结果是否成立。 活学活用 1．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)表格见解析， (2)这个多面体的面数为14 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可；根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （2）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：所填数据如表所示： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 二十面体 12 20 30 ， ， ； （2）解：由，得， 这个多面体的面数为14． 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 【答案】(1)4；4；6；6；6；10 (2)11；11；20；；； (3)； 【分析】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识． （1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可； （2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可； ②根据n棱锥的特征填写即可； （3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系； ②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系． 【详解】（1）解：观察与发现：三棱锥中，，，； 五棱锥中，，，； 故答案为：4；4；6；6；6；10； （2）解：猜想：①十棱锥中，，，； ②n棱锥中，，，； 故答案为：11；11；20；；；； （3）解：探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：． 故答案为：；． 拓展 平面图形旋转所得立体图形体积多解问题 1. 明确旋转轴与图形位置 绕不同边（或对角线）旋转，所得几何体不同。关键看旋转轴是否与图形相交、是否穿过图形内部，这决定旋转体是简单体还是组合体。 2. 分析旋转路径，识别组合方式 图形上每一点绕轴画圆。若图形被轴分开，旋转体为“挖空”结构（大体积减小体积）；若图形在轴同侧，则为“拼接”结构（两部分体积相加）。 3. 分类讨论，逐一计算 按不同旋转轴分类，分别画出截面图，确定半径和高，代入圆柱、圆锥体积公式，最后比较各情况下的结果。 活学活用 1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是__________，这一过程体现了__________．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱，③ (2)得到的几何体的体积为或 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，③； （2）解：①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 题型 常见的几何体 解题贴士 先记特征（柱锥球），再按有无曲面、顶点等标准分类。牢记 n 棱柱有 2n 个顶点、3n 条棱、(n+2)个面。解题时先识别图形，再灵活套用这些规律。 ▌例1（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】A 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． ▌对点练1-1（2026·河南商丘·模拟预测）分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 【详解】解：A．选项图形只有曲面，不符合题意； B．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； C．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； D．选项图形只有平面，符合题意． ▌对点练1-2（2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：该作品里绘制了棱柱、棱锥、球体，没有圆锥． ▌对点练1-3（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）下列物体中，可以看成圆柱的是（　　） A．篮球 B．茶叶桶 C．碗 D．冰淇淋蛋筒 【答案】B 【详解】解：茶叶桶可以看成圆柱． 故选：B． 【点睛】圆柱的主要特征是：有两个大小相等、相互平行的圆形（底面），以及连接两个底面的一个曲面（侧面）． 题型 立体图形的分类 解题贴士 按“有无曲面”分两大类；按“有无顶点”再细分。牢记柱、锥、球特征，对比找差异。分类时标准要统一，不重不漏。 ▌例2（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． ▌对点练2-1（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【答案】(1)平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨ (2)柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥ (3)③⑨ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解答即可； （2）根据柱体、锥体、球的定义进行解答即可； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨； （2）解：柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥； （3）解：各面既有平面又有曲面的立体图形：③⑨． ▌对点练2-2（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 【答案】（1）正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体；（2）①②③；⑤；④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． （1）根据几何体特征解答即可； （2）根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】（1）解：①正方体；②圆柱体；③长方体；④球体；⑤圆锥体 故答案为：正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体 （2）柱体有①②③；锥体有⑤；球体有④． 故答案为：①②③；⑤；④ ▌对点练2-3（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 【答案】(1)圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱 (2)③④⑤⑥⑧；①②⑦ 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （1）根据几何体的特点回答即可； （2）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱． （2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦； 故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦． 题型 几何体中的点、棱、面 解题贴士 记牢欧拉公式“顶点数+面数-棱数=2”。数面要分侧面和底面，数棱按侧棱和底棱。多用模型观察，避免遗漏。 ▌例3（25-26七年级上·天津·阶段检测）一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是___________棱柱，这个棱柱有___________个侧面，共有___________条棱． 【答案】 七 7 21 【分析】本题主要考查了棱柱的特点，棱柱的总面数由两个底面和侧面组成，据此可求出棱柱的侧面数，进而求出棱数即可得到答案． 【详解】解：∵棱柱有上下两个底面，且该棱柱由9个面组成， ∴该棱柱有7个侧面， ∴该棱柱是七棱柱， ∴棱柱有条棱， 故答案为：七；7；21． ▌对点练3-1（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有___________个顶点；它由___________个面围成；这些面相交成___________条棱． 【答案】 6 5 9 【分析】本题考查了几何体中的点、棱、面，根据三棱柱的特征进行分析，即可作答． 【详解】解：观察图形得出这个几何体是一个三棱柱， 这个三棱柱有6个顶点；它由5一个面围成；这些面相交成9条棱． 故答案为： ▌对点练3-2（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键． （1）只要将图①〜⑤中各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐含的数量关系，将这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． ▌对点练3-3（2025七年级上·全国·专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，将表格中的空格填写完整： 多面体名称 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 正十二面体 20 12 30 顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是什么？ (2)若一个多面体有12个顶点，且有30条棱，则这个多面体的面数是多少？ 【答案】(1) (2)20． 【分析】（1）根据图形补充表格即可，由之间的数量关系即可得出； （2）由（1）中结论得出结果即可． 【详解】（1）解： 关系式：． （2）解：由（1）中的关系式，得． 故这个多面体的面数是． 题型 动态认识点、线、面、体 解题贴士 牢记“点动成线、线动成面、面动成体”。解题时看清旋转或平移的方向，判断旋转轴或平移路径，想象动态过程，还原最终形状。 ▌例4（25-26七年级上·河南周口·期末）流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面之间的关系，将流星视为一个点，其运动轨迹形成一条线，根据点、线、面、体的关系，点移动生成线，因此用“点动成线”解释． 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． ▌对点练4-1（25-26七年级上·陕西西安·期末）下雨时，司机会打开雨刮器，雨刮器在运动时会形成一个扇面，这个现象用数学知识解释为_____． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点线面的关系，雨刮器的运动是一条线段绕固定点旋转，形成扇形区域，这符合“线动成面”的几何原理． 【详解】解：雨刮器刮片相当于一条线段，当它绕固定端点旋转时，扫过的区域是一个扇形，因此用数学知识解释为“线动成面”． 故答案为：线动成面． ▌对点练4-2（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查了点线面的相关知识，解题的关键是掌握点线面之间的联系与定义． 根据初中几何基本概念，“枪挑一条线”对应点运动形成线，“棍扫一大片”对应线运动形成面． 【详解】在几何中，点的运动轨迹形成线，线的运动轨迹形成面． “枪挑一条线”中枪尖可视为点，挑的动作使点运动成线； “棍扫一大片”中棍子可视为线，扫的动作使线运动成面． 故答案为：点动成线；线动成面． ▌对点练4-3（25-26七年级上·广东深圳·期中）学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为______． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键是理解“线动成面”的几何原理． 分析画卷展开过程中图形的运动形式，对应“线动成面”的几何概念． 【详解】解：画卷展开时，可看作一条线（画卷的边缘）沿着一定方向移动， 因为线的移动会形成面，这种几何变换称为“线动成面”， 所以这个展开过程用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 题型 平面图形旋转所得立体图形 解题贴士 找旋转轴是关键。看图形各点到轴的距离，决定旋转后半径。画草图辅助想象，区分圆柱、圆锥、球及组合体。多练常见图形。 ▌例5（2026·内蒙古通辽·三模）如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过直角顶点B作于点D，根据直角三角形绕直角边所在的直线旋转得到圆锥即可判断． 【详解】解：过直角顶点B作于点D，如图， 则绕直线旋转一周后得到两个圆锥，且这两个圆锥共底面， 故得到选项D的几何体． ▌对点练5-1（25-26六年级下·山东滨州·期末）将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：原图形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是． ▌对点练5-2（2026·陕西榆林·三模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、绕轴旋转一周可得到一个圆锥，故此选项不符合题意； B、绕轴旋转一周，可得到两个圆锥，故此选项不符合题意； C、绕轴旋转一周，可得到圆柱，故此选项符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到一个球体，故此选项不符合题意． ▌对点练5-3（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各平面图形根据面动成体得出对应的几何体，再判断即可． 【详解】解：将图A绕虚线转一周，可以得到类似于球的几何体，不符合题意； 将图B绕虚线转一周，可以得到类似于圆柱的几何体，不符合题意； 将图C绕虚线转一周，可以得到类似于圆台的几何体，符合题意； 将图D绕虚线转一周，可以得到类似于圆锥的几何体，不符合题意． 题型 求平面图形旋转所得立体图形体积 解题贴士 先确定旋转轴，明确旋转体的形状（柱、锥、球或组合体）。找对应半径和高，牢记体积公式，组合体用“加”或“减”法。 ▌例6（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，点、线、面、体四者之间的关系，圆柱的体积； （1）观察图形旋转，可以得到一个圆柱，说明的事实是面动成体，即可作答． （2）根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故答案为：③； （2）解：该几何体的体积为． ▌对点练6-1（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系及旋转体体积的计算，解题的关键是理解面动成体的原理，结合旋转轴和相关边长准确确定旋转后立体图形的组成及参数． （1）根据四边形绕虚线旋转成立体图形的过程，判断体现的点、线、面、体关系； （2）明确沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成，根据圆柱和圆锥的体积公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2）解：由题意得，沿长方形一边旋转后，立体图形由底面半径、高的圆柱和底面半径、高的圆锥组成， ∴得到的立体图形的体积为： ． ▌对点练6-2（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形． (1)小红得到的立体图形可以看成是由 和 构成的，这个现象用数学知识解释为 ． (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)圆柱，圆锥，面动成体 (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了点、线、面、体，圆柱体和圆锥体体积的计算，解答本题的关键是空间想象力及如何确定圆柱和圆锥的高． （1）由旋转后所得的立体图形的形状可判断； （2）由甲图的体积是圆柱体与圆锥体体积的差，乙图的体积是圆柱体与圆锥体体积的和，先分别求解两个立体图形的体积，然后判断即可． 【详解】（1）解：小红得到的立体图形可以看成是由圆柱和圆锥构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体； 故答案为：圆柱，圆锥，面动成体； （2）解：小红的说法正确， 理由：甲的体积：， 乙的体积：， ∴甲，乙两个立体图形的体积不相等， ∴小红的说法正确． ▌对点练6-3（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如图．    (1)该示意图可以由上面右侧四幅图中的第 幅图旋转而成；（填序号） (2)求该“粮仓”的体积．（提示：保留π，，） 【答案】(1)② (2) 【分析】本题主要考查几何体的体积，熟练掌握几何体的特征是解题的关键． （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知该几何体是由第②幅图旋转而成的； 故答案为：②； （2）解：该“粮仓”的体积为： ． 基础通关 1．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱； 选项B的物体形状可以抽象为球体； 选项C的物体形状可以抽象为圆锥； 选项D的物体形状可以抽象为圆柱． 2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 3．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的立体图形进行对比即可得出答案； 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合； D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 4．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】根据几何体的特点判断解答即可． 【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能． ②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能． ③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能． ④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能． ⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能． 综上，可能的是①④⑤，答案选D． 5．如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答． 【详解】解：由左图知，水体积为， 由右图知，空白部分的体积为， ∴瓶子的容积是． 6．下面图形中是圆柱的是_________．圆柱的底面都是_________，并且大小一样． 【答案】 ②⑤ 圆 【分析】本题考查了圆柱的认识和特征，关键是根据特征进行识别； 根据圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样解答即可． 【详解】 解：、、上下粗细不一样，不是圆柱； 、符合圆柱的特征，是圆柱； 两个底面不一样，不是圆柱． 所以上面图形中是圆柱的是②⑤；圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样． 故答案为：②⑤；圆 7．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来被誉为“制扇王国”．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理___________ 解释．（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”） 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，掌握好相关知识是关键． 根据扇骨移动形成扇面的现象，结合数学原理进行分析． 【详解】解：扇骨可以看作一条线，当扇骨移动时，其运动轨迹形成一个扇面，即一个平面图形，这符合“线动成面”的数学原理． 故答案为：线动成面． 8．正方体有_____个面，_____个顶点，经过每个顶点有______条棱． 【答案】 6 8 3 【详解】解：根据正方体的结构特征可得：正方体有6个面，8个顶点，经过每个顶点有3条棱． 9．如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再代入圆锥体积公式计算． 【详解】解：以直角边为轴旋转一周，得到的是圆锥， 圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的体积为 ， 故答案为：． 10．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留)    【答案】 圆柱 或 【分析】本题考查了点、线、面、体，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解，再根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为或底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答，熟练掌握圆知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱； 将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为，高为，体积为； 将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为，高为，体积为； 故答案为：圆柱；或． 11．想一想，连一连． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆柱的认识及特征、圆锥的认识及特征，了解点、线、面、体的关系是解题的关键．圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体．以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．据此分析各平面图形的特点，确定旋转可以形成的立体图形．根据点动成线，线动成面，面动成体的特征即可求解．                【详解】 解：，上下两个直角三角形，都是1个顶点朝上，上边三角形大，下边三角形小，旋转1周形成的是摞起来的两个圆锥，且上面圆锥大，下面圆锥小； ，上下两个直角边拼起来的直角三角形，旋转1周形成的是两个底面拼起来的圆锥； ，长方形上边1个直角三角形，旋转1周形成的是类似谷仓的立体图形，下面是圆柱，上面是圆锥； ，长方形上边1个半圆，旋转1周形成的是下面是圆柱，上面是球． 连线如下： 12．将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③ 【分析】本题主要考查了几何体的分类，柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：①是正方体，属于柱体； ②是长方体，属于柱体； ③是球，属于球体； ④是圆锥，属于锥体； ⑤是六棱柱，属于柱体； ⑥是五棱锥，属于锥体； ⑦是三棱柱，属于柱体； ⑧是圆柱，属于柱体； 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 13．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 素养提升 1．（2026·陕西西安·三模）陕西耀州窑是宋代六大窑系之一，它以独特的剔刻花装饰、莹澈的青釉而著称，是北方青瓷烧造技术的集大成者．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列瓷器的形状最为接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，与给定的图形绕虚线旋转一周所得的几何体最为接近的是选项C的瓷器． 2．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 3．（25-26九年级上·全国·阶段检测）图中的大长方形长、宽，小长方形长、宽，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的表面积计算，关键是根据线动成面的知识得出旋转后的图形；矩形旋转后形成圆柱，根据题意求出大圆柱的侧面积和小圆柱的侧面积，再加上大圆柱的上下两圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： 大圆柱的侧面积：， 小圆柱的侧面积：， 大圆柱上下圆的面积为：， ∴几何体的表面积：． 故选：C ． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）2025年9月3日纪念抗战胜利80周年阅兵仪式中，飞机表演的飞机拉线可以用数学知识解释为________．（填序号：①点动成线，②线动成面，③面动成体．） 【答案】① 【分析】本题主要考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体的几何原理是解题的关键．本题可根据点、线、面、体之间的关系，判断飞机拉线所对应的几何现象，从而选出正确答案． 【详解】解：飞机可视为一个点，其在空中运动的轨迹形成一条线，这一过程对应几何中的点动成线． 故答案为：①． 5．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，将长为、宽为的长方形绕其长所在的直线旋转一周，得到的立体图形的体积是______________（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查圆柱的体积，熟练掌握圆柱的体积公式是解题的关键；由题意可得以所在的边进行旋转，然后根据圆柱的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：以所在的边进行旋转，则形成的图形为圆柱， 此时圆柱的体积为． 故答案为． 6．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是__． 【答案】224 【分析】本题考查认识立体图形．根据直七棱柱的形体特征以及长方形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：这个直七棱柱的每一个侧面都是长为，宽为的长方形， 所以这个直七棱柱的侧面的面积之和为， 故答案为：224． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1是一直角三角形（边竖直），其中，，，为边上的高． (1)将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是______； (2)求图2中几何体的体积（提示：圆锥体积为，其中为底面半径，） 【答案】(1)面动成体 (2) 【分析】本题考查了平面图形旋转后得到的立体图形、圆锥的体积公式，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键． （1）根据面动成体即可解答； （2）根据圆锥的体积公式列式计算即可解答． 【详解】（1）解：将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是面动成体； 故答案为：面动成体； （2）解：，，，， ， 则图2中几何体的体积为． 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)共有9个面；侧面是长方形 (2)21，14 (3)这个棱柱的侧面积之和是 (4)直n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查棱柱的组成，理解棱柱各部分的数量是解题的关键． （1）直接观察七棱柱即可解答； （2）观察七棱柱即可解答； （3）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （4）由七棱柱的规律，总结即可解答． 【详解】（1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点． 故答案为：21，14； （3）， 故这个棱柱的侧面积之和是； （4）直n棱柱共有个顶点，共有条棱． 迁移创新 1．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形． （2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为，代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解． 【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形， 故答案为：． （2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为，圆柱高为，圆锥高为， ∴圆锥的体积为，圆柱的体积为， ∴这个几何体的体积为． 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数； （2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是， 故答案为：； （2）∵一个棱柱只有七个面，必有2个底面， ∴有个侧面， ∴这个棱柱是五棱柱， 故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得， 解得：， 故该多面体的面数为10． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 丰富的图形世界 1.1 生活中的立体图形 课标要点 1. 从现实物体中抽象出圆柱、棱柱、圆锥、球等几何体，识别并描述其特征。 2. 理解点、线、面、体之间的关系，知道面与面相交得线、线与线相交得点。 3. 能根据几何体的特征（如是否有曲面、棱的数量等）进行简单分类，发展空间观念。 学习重难点 重点 1. 认识常见几何体，能准确说出其名称及基本特征（如底面形状、侧面曲直）。 2. 掌握点、线、面、体的动态关系（点动成线、线动成面、面动成体）。 难点 1. 准确区分易混淆几何体（如圆柱与棱柱、球与椭球），并能清晰描述差异。 2. 理解面与面相交得线、线与线相交得点等抽象关系，形成空间想象能力。 知识点 立体图形的认识（重点） 1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 3.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 特别提醒 1. 分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体，勿将圆柱归为棱柱。 2. 棱与面：棱柱的侧棱平行且相等；圆柱、圆锥的侧面是曲面，不是平面。 随学随练 1．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）观察如图所示的8个几何体． (1)按序号写出各自几何体的名称： ； ；   ； ； (2)在以上几何体中，是柱体的有 ；含曲面的有 （填序号）． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 知识点 点、线、面、体的关系 ①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 特别提醒 1.构成：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。勿颠倒层次。 2.运动：点动成线，线动成面，面动成体。注意旋转体（如直角三角形绕直角边旋转得圆锥）。 3.抽象：几何中的点、线无大小粗细，与现实不同，勿混淆。 随学随练 1．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）航天飞机拖曳“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为 _________ ． （2）电动车车辐条运动形成的图形可解释为 _________ ． 2．（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图是一张长，宽的长方形纸片，将此长方形纸片绕其长边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)得到的这个几何体的名称是_________，这一过程体现了_________（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 3．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形． (1)你同意________的说法； (2)为了研究你的猜想是否正确，你需要求出两个立体图形的体积，请列式计算甲、乙立体图形的体积并求出它们的比值是多少？ 拓展 探究几何体中的点、棱、面之间的关系 1. 欧拉公式定数量 顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）满足 **V - E + F = 2**。已知任意两个量，可求第三个，是验算总数的核心工具。 2. 棱为桥梁列等式 每条棱被两个面共用，也被两个顶点连接。所以**各面边数之和 = 2E**，**各顶点引出的棱数之和 = 2E**，是列方程的关键。 3. 观察去重防漏数 数棱时注意内部和背面隐藏的线，数面时分层数（上、下、侧），最后用欧拉公式验算结果是否成立。 活学活用 1．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E． (1)观察与发现：如图，三棱锥中，_________，______，_______；五棱锥中____________，___________，__________． (2)猜想：①十棱锥中，_________，__________，_________； ②N棱锥中，_________，________， ．（用含有n的式子表示） (3)探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系： ； ②棱锥的顶点数（V）、面数（F）棱数（E）之间的等量关系： ． 拓展 平面图形旋转所得立体图形体积多解问题 1. 明确旋转轴与图形位置 绕不同边（或对角线）旋转，所得几何体不同。关键看旋转轴是否与图形相交、是否穿过图形内部，这决定旋转体是简单体还是组合体。 2. 分析旋转路径，识别组合方式 图形上每一点绕轴画圆。若图形被轴分开，旋转体为“挖空”结构（大体积减小体积）；若图形在轴同侧，则为“拼接”结构（两部分体积相加）。 3. 分类讨论，逐一计算 按不同旋转轴分类，分别画出截面图，确定半径和高，代入圆柱、圆锥体积公式，最后比较各情况下的结果。 活学活用 1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是__________，这一过程体现了__________．（填序号） ①点动成线；②线动成面；③面动成体． (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留）． 题型 常见的几何体 解题贴士 先记特征（柱锥球），再按有无曲面、顶点等标准分类。牢记 n 棱柱有 2n 个顶点、3n 条棱、(n+2)个面。解题时先识别图形，再灵活套用这些规律。 ▌例1（2026·四川达州·中考真题）下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 ▌对点练1-1（2026·河南商丘·模拟预测）分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（2026·吉林长春·一模）如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（    ） A．棱柱 B．棱锥 C．球体 D．圆锥 ▌对点练1-3（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）下列物体中，可以看成圆柱的是（　　） A．篮球 B．茶叶桶 C．碗 D．冰淇淋蛋筒 题型 立体图形的分类 解题贴士 按“有无曲面”分两大类；按“有无顶点”再细分。牢记柱、锥、球特征，对比找差异。分类时标准要统一，不重不漏。 ▌例2（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． ▌对点练2-1（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． ▌对点练2-2（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． ▌对点练2-3（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 题型 几何体中的点、棱、面 解题贴士 记牢欧拉公式“顶点数+面数-棱数=2”。数面要分侧面和底面，数棱按侧棱和底棱。多用模型观察，避免遗漏。 ▌例3（25-26七年级上·天津·阶段检测）一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是___________棱柱，这个棱柱有___________个侧面，共有___________条棱． ▌对点练3-1（25-26七年级上·河南平顶山·期中）一个棱柱如图所示，则这个棱柱有___________个顶点；它由___________个面围成；这些面相交成___________条棱． ▌对点练3-2（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ ▌对点练3-3（2025七年级上·全国·专题练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，将表格中的空格填写完整： 多面体名称 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 正十二面体 20 12 30 顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是什么？ (2)若一个多面体有12个顶点，且有30条棱，则这个多面体的面数是多少？ 题型 动态认识点、线、面、体 解题贴士 牢记“点动成线、线动成面、面动成体”。解题时看清旋转或平移的方向，判断旋转轴或平移路径，想象动态过程，还原最终形状。 ▌例4（25-26七年级上·河南周口·期末）流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． ▌对点练4-1（25-26七年级上·陕西西安·期末）下雨时，司机会打开雨刮器，雨刮器在运动时会形成一个扇面，这个现象用数学知识解释为_____． ▌对点练4-2（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）《中国功夫》经典歌词：“卧似一张弓，站似一棵松，不动不摇坐如钟，走路一阵风．南拳和北腿，少林武当功，太极八卦连环掌，中华有神功．棍扫一大片，枪挑一条线…”其中“枪挑一条线，棍扫一大片”用数学知识解释为_________ 、_________ ． ▌对点练4-3（25-26七年级上·广东深圳·期中）学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为______． 题型 平面图形旋转所得立体图形 解题贴士 找旋转轴是关键。看图形各点到轴的距离，决定旋转后半径。画草图辅助想象，区分圆柱、圆锥、球及组合体。多练常见图形。 ▌例5（2026·内蒙古通辽·三模）如图，将直角三角形绕它的斜边所在直线旋转一周后形成的几何体是（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（25-26六年级下·山东滨州·期末）将一个如下图所示的梯形以虚线为轴旋转一周，得到的图形是（     ）． A． B． C． D． ▌对点练5-2（2026·陕西榆林·三模）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到圆柱的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（2026·陕西咸阳·模拟预测）将选项中的图形绕虚线旋转一周，可以得到如图所示的茶杯的是（     ） A． B． C． D． 题型 求平面图形旋转所得立体图形体积 解题贴士 先确定旋转轴，明确旋转体的形状（柱、锥、球或组合体）。找对应半径和高，牢记体积公式，组合体用“加”或“减”法。 ▌例6（25-26七年级上·贵州毕节·期末）如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） ▌对点练6-1（25-26七年级上·陕西西安·期中）下图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． (1)将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是_______（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)求得到的立体图形的体积．（，结果保留） ▌对点练6-2（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到甲、乙两个立体图形． (1)小红得到的立体图形可以看成是由 和 构成的，这个现象用数学知识解释为 ． (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． ▌对点练6-3（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如图．    (1)该示意图可以由上面右侧四幅图中的第 幅图旋转而成；（填序号） (2)求该“粮仓”的体积．（提示：保留π，，） 基础通关 1．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（    ） A． B． C． D． 2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 3．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 5．如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 6．下面图形中是圆柱的是_________．圆柱的底面都是_________，并且大小一样． 7．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来被誉为“制扇王国”．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理___________ 解释．（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”） 8．正方体有_____个面，_____个顶点，经过每个顶点有______条棱． 9．如图，直角三角形三边、、分别长、、，将该三角形以直角边所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______（结果保留一位小数）． 10．如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留)    11．想一想，连一连． 12．将下图中的立体图形分类．（填序号） 柱体___________；锥体___________；球体___________． 13．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 素养提升 1．（2026·陕西西安·三模）陕西耀州窑是宋代六大窑系之一，它以独特的剔刻花装饰、莹澈的青釉而著称，是北方青瓷烧造技术的集大成者．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周，所得的几何体与下列瓷器的形状最为接近的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·开学考试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 3．（25-26九年级上·全国·阶段检测）图中的大长方形长、宽，小长方形长、宽，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·福建漳州·期末）2025年9月3日纪念抗战胜利80周年阅兵仪式中，飞机表演的飞机拉线可以用数学知识解释为________．（填序号：①点动成线，②线动成面，③面动成体．） 5．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，将长为、宽为的长方形绕其长所在的直线旋转一周，得到的立体图形的体积是______________（结果保留） 6．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是__． 7．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图1是一直角三角形（边竖直），其中，，，为边上的高． (1)将图1绕所在直线逆时针旋转一周得如图2所示的几何体，原理是______； (2)求图2中几何体的体积（提示：圆锥体积为，其中为底面半径，） 8．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ (2)这个棱柱一共有 条棱， 个顶点； (3)这个棱柱的侧面积之和是多少？ (4)通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 迁移创新 1．观察下列图形，解决相关问题： (1)把左侧的平面图形绕直线MN旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“”或“”）； (2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留） （已知：，，其中为对应几何体的高，为圆柱底面圆的半径，，为棱锥底面的面积，为棱锥的高） 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究： （1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用： （2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $