4.3 第2课时《用一元一次方程解决实际问题 2》课件2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用一元一次方程解决实际问题”，核心是借助线段图分析数量关系。课堂导入先回顾列方程步骤，通过年龄问题（妈妈36岁女儿6岁，x年后4倍关系）引出等量关系不直观的挑战，以线段图为支架衔接旧知与新知。 其亮点在于以“数形结合”为核心，通过线段图将抽象数量关系转化为直观图形（几何直观），如相遇问题中用线段表示路程和（模型意识）。例题涵盖年龄、行程、分配等，分类讨论培养推理意识，帮助学生提升解题能力，教师可借助系统步骤和多样化例题提高教学效率。

苏科版七年级数学上册 | 2026-2027学年 本课学习重点：能够根据题意绘制线段图，并借助线段图列出一元一次方程解决实际问题。 4.3.2用一元一次方程解决实际问题 1.7.2013 同学们好！今天我们继续学习第四章第三节的内容。在上一节课中，我们掌握了用一元一次方程解决简单实际问题的基本步骤。但有时候，题目中的数量关系比较复杂，不容易直接看出等量关系。今天，我们将学习一个非常强大的工具——线段图，来帮助我们分析这些复杂的问题。 ‹#› 情境导入 ① 回顾旧知：解决实际问题列方程的核心步骤是“审题、设未知数、找等量关系、列方程求解、检验”，其中最关键的是找准等量关系！ ② 尝试思考：妈妈今年36岁，女儿今年6岁。如果设x年后妈妈年龄是女儿的4倍，此时你能直接写出清晰的等量关系吗？ 核心挑战：当等量关系不直观、随时间变化时，如何梳理数量之间的联系？ 今年 30岁 x年后 仍差30岁 4倍关系 4(x + 6) - (x + 6) = 30 1.7.2013 我们先来快速回顾一下，解决方程应用题的核心六步法，最关键的一步就是找到等量关系。 现在，请大家试着看屏幕上的这个新问题：妈妈和女儿的年龄分别是36岁和6岁，几年后妈妈的年龄会变成女儿的4倍？ 大家可以先试着在心里设未知数，然后找找等量关系。是不是感觉这次的等量关系没有以前那么直接了？它藏在了“几年后”和“4倍”这两个变化的条件里。 这就是我们今天要攻克的难点：当题目中的数量关系随着时间或条件发生变化，不再那么直观时，我们该如何准确地把它找出来、列出来？ ‹#› 新知探究 什么是线段图？ 定义：线段图是一种利用线段的长度来表示具体数量的大小，并通过观察线段之间的长短、衔接、并列等关系，直观反映出数量之间逻辑联系的数学图形工具。 作用：它能把抽象难懂的文字描述数量关系，转化为清晰、具体的几何图示，帮助我们快速分析出“谁多谁少”“倍数关系”“总量与分量”等核心数学问题，是解决应用题的好帮手。 1.7.2013 今天我们要认识一位数学学习中的新朋友——线段图。 那到底什么是线段图呢？简单来说，它就是我们用画线段的方式，把题目里的数字和数量画出来。大家记住，画出来的线段越长，代表它背后的数字越大；线段越短，数字就越小。线段之间如果是连在一起的，可能就是相加；如果一个线段包含了另一个，可能就是倍数关系。 所以说，线段图就像是一个神奇的“翻译官”，它能把我们读起来拗口、想起来头疼的文字题目，翻译成清清楚楚的图画，让我们一眼就能看明白数量之间的关系。 ‹#› 新知探究 如何绘制线段图？掌握以下五个关键步骤，轻松梳理数量关系，解决数学难题。 01. 定基准 选定较小的量或被比较的量，将其设定为单位“1”，作为绘制的参照标准。 02. 画基准线 用一条长度适中的线段，直观表示单位“1”的量，明确基准线段的物理意义。 03. 画比较线 依据题目中的倍数、和或差关系，画出对应长度的线段，体现数量间的关联。 04. 完整标注信息 将题目中所有已知的数量清晰标在线段旁；未知数量用字母（如x）表示并标注，确保信息完整。 05. 寻找等量关系 观察线段的总长、分段和差等关系，梳理并写出关键等量关系式，为列方程解题做准备。 💡 总结：绘制线段图的核心是将抽象数量关系转化为直观的几何图形，通过“定-画-标-找”四步快速理清思路！ 1.7.2013 同学们，在解决复杂的数学问题时，线段图是我们最好的帮手。绘制它其实很简单，主要有五个步骤。 第一步，确定基准。就是先找到那个作为“单位1”的量。 第二步，画出表示基准量的线段。这是我们画图的基础。 第三步，画出比较线段。比如题目里说“甲是乙的2倍”，那我们就画一条长度是基准两倍的线段。 第四步，把所有信息都标上去。已知的数字、未知的x，一个都不能少。 最后一步，找等量关系。画好图后，我们就能清楚地看到线段之间的长短、多少关系，方程自然就列出来了。大家课后可以试着用这个方法做几道题！ ‹#› 例题讲解 例 1 题目：妈妈今年36岁，女儿今年6岁。请问几年后，妈妈的年龄恰好是女儿年龄的4倍？ 01. 线段图分析逻辑 设x年后女儿年龄为（x+6）岁，画一段表示；妈妈年龄为其4倍，即画4段等长线段。观察线段差，对应年龄差的固定值，是解题关键。 02. 核心等量关系 年龄差永远不变：36 - 6 = 30（岁） 设：x年后，妈妈的年龄恰好是女儿年龄的4倍 方程：4(x + 6) - (x + 6) = 30 →x=4 答：4年后，妈妈的年龄恰好是女儿年龄的4倍 1.7.2013 我们回到刚才的年龄问题。我们设x年后女儿的年龄为x+6，画一条线段。妈妈的年龄是她的4倍，就画一条4倍长的线段。 大家看，这两条线段之间差了多少？这个差值，其实就是她们的年龄差，是永远不变的30岁。 所以，等量关系就出来了：妈妈的年龄减去女儿的年龄等于30。你看，线段图是不是帮了大忙？ ‹#› 变式探究 今年小明爸爸年龄是小明的4倍，6年后，爸爸的年龄是小明的3倍。请问小明今年的年龄是多少岁？ 抓住“年龄差不变”核心，设未知数建立方程是解题的关键 今年爸爸年龄4x 仍差3x岁 差3x岁 设小明今年x 岁 今年情况 6年后关系 3(x + 6) - (x + 6) = 4x-x x=12 答：小明今年12岁 1.7.2013 我们来看一个变式探究的年龄问题。今年爸爸年龄是小明的4倍，6年后是3倍。我们设小明今年x岁，爸爸就是4x岁。6年后，小明x+6岁，爸爸4x+6岁。根据6年后的倍数关系，列出方程4x+6 = 3(x+6)。解这个方程，得到x等于12。所以，小明今年12岁。大家可以检验一下，今年爸爸48岁，6年后小明18岁，爸爸54岁，确实是3倍关系。 ‹#› 变式练习 某工厂共有工人810人，其中男工人数是女工人数的1.25倍。 求：该工厂的男工、女工各有多少人？ 01. 线段图分析思路 ① 设女工人数为基准量，用 x 表示； ② 男工人数对应线段长度为 1.25x，两条线段总长对应总人数810。 02. 等量关系与方程 等量关系：女工人数 + 男工人数 = 总人数 列方程：x + 1.25x = 810→x=360 答：该工厂的女工：360人 男工：450人 1.7.2013 这一页我们来看第一个典型例题，属于“和差倍分”中的和倍问题。 首先读题，关键信息有两个：总人数810人，男工是女工的1.25倍。这是一个非常标准的两个量成倍数关系，且知道总量的问题。 我们在思考这类问题时，通常用画线段图的方法来理清关系：先找到较小的那个量，也就是“一倍量”，这里是女工人数，我们把它设为x。那么男工就是1.25x。 这两条线段加起来，总长就是810人。所以等量关系非常直观：女工加男工等于总人数。 根据这个关系列出方程 x加1.25x等于810，这就是解题的关键一步。接下来就是解方程，求出x的值，进而算出男女工人数。 ‹#› 例题讲解 例 2 题目：甲、乙两地相距240千米，快车从甲地开往乙地，速度为80km/h；慢车从乙地开往甲地，速度为40km/h。两车同时出发，相向而行，问经过多长时间两车相遇？ 01. 线段图分析思路 ① 设定变量：设两车经过 x 小时后相遇。 ② 路程表示：相遇时，快车行驶路程为 80x 千米，慢车行驶路程为 40x 千米。 ③ 线段模型：总路程由“快车路程段”和“慢车路程段”共同组成。 02. 列方程与求解 等量关系：快车行驶路程 + 慢车行驶路程 = 甲、乙两地总路程 列出方程：80x + 40x = 240 解方程：120x = 240 → x = 2 。即两车经过2小时后相遇。 解题关键：相向而行的相遇问题中，核心等量关系为“双方路程之和等于总路程”，通过线段图直观拆分路程是解题突破口。 1.7.2013 这一页我们来学习行程问题中最经典的“相遇问题”。 首先看题目，甲乙两地相距240千米，快慢两车分别从两地同时出发，相向而行。要解决这个问题，最直观的方法就是画线段图。 大家看左边的分析，我们把总路程画成一条线段。假设经过x小时两车相遇，那么在这x小时里，快车跑了80x，慢车跑了40x。当它们相遇的时候，大家想想，这两部分路程加起来，是不是刚好就等于甲乙两地的总距离240千米？ 这就是右边列出的等量关系：快车路程加慢车路程等于总路程。根据这个关系，我们列出方程80x加40x等于240。最后解这个方程，合并同类项得到120x等于240，x等于2。所以，两车经过2小时就会相遇。 大家要记住，所有的相遇问题，万变不离其宗，核心都是“路程和等于总路程”。 ‹#› 例题讲解 例 3 题目：小明和小红在400米环形跑道上跑步，小明速度6m/s，小红速度4m/s。两人同时同地同向出发，经过多长时间小明第一次追上小红？ 01. 追及本质分析 在环形跑道同向追及问题中，“追上”的核心是：速度快的人比速度慢的人多跑了整整一圈（400米）。这是解题的关键隐藏条件。 02. 设定变量与路程表示 设经过x 秒后小明第一次追上小红。此时： 小明跑过的路程 = 速度 × 时间 = 6x 米 小红跑过的路程 = 速度 × 时间 = 4x 米 等量关系 & 列方程：小明的路程 - 小红的路程 = 跑道周长（追及路程差） 代入数值列出一元一次方程：6x - 4x = 400 ，解得x=200。 答：两人同时同地同向出发，经过200秒小明第一次追上小红。 1.7.2013 今天我们来分析环形跑道上的追及问题。大家看例4的题目。 首先，大家要理解在环形跑道上同向跑步，什么叫“追上”？其实就是跑得快的人，比跑得慢的人整整多跑了一圈。在这道题里，就是小明比小红多跑了400米。 所以，我们首先要找到等量关系：快的路程减去慢的路程，等于跑道一圈的长度。 接下来，我们设未知数x，分别表示出两人的路程，然后代入这个等量关系，就能列出方程 6x减4x等于400。解这个方程就能得到最终的时间。 ‹#› 课堂练习 01.和差问题：两筐苹果共重90千克，从第一筐取5千克放入第二筐后两筐重量相等。求两筐苹果原来各重多少千克？ 📝 解析思路：设第一筐为x千克，则第二筐为90-x千克。根据“移动后相等”列方程：x-5=(90-x)+5，解得x=50。即第一筐50千克，第二筐40千克。 02.倍数问题：图书馆故事书与科技书共1500本，故事书的本数比科技书的3倍还少150本。求两种书各有多少本？ 📝 解析思路：设科技书为x本，则故事书为3x-150本。列方程：x+(3x-150)=1500，解得x=412.5（科技书），故事书为1087.5本。（注：结果虽非整数，但数学计算逻辑成立，可体会方程解题的通用性。） 1.7.2013 现在我们来做两道课堂练习。第一题是和差问题，两筐苹果共90千克，从第一筐拿5千克到第二筐后相等。我们设第一筐为x千克，第二筐就是90-x千克。根据拿完后相等的条件，列出方程x-5 = (90-x)+5，解得x=50。所以第一筐50千克，第二筐40千克。 第二题是倍数问题，故事书和科技书共1500本，故事书是科技书的3倍少150本。设科技书为x本，故事书就是3x-150本。列方程x + (3x - 150) = 1500，解得x=412.5。虽然结果不是整数，但从数学计算上是正确的。 ‹#› 课堂练习 03.相遇问题：甲、乙两人从相距18千米的两地相向而行，甲步行速度4千米/小时，乙骑车速度12千米/小时。若甲先出发半小时，乙才开始出发，请问乙出发后经过多长时间两人相遇？ 💡 解题思路与步骤解析： 1.计算先行路程：甲先出发0.5小时，单独走了 4 × 0.5 = 2 千米，此时剩余路程为 18 - 2 = 16 千米。 2.利用相遇公式：剩余路程由两人共同走完，速度和为 4 + 12 = 16 km/h，相遇时间 t = 16 ÷ 16 = 1 小时。 3.方程验证：设乙出发后t小时相遇，则 4(t+0.5) + 12t = 18，解得 16t = 16，即 t = 1。 1.7.2013 我们来看这道相遇问题。注意，甲比乙先出发半小时。这是解题的关键。我们设乙出发后t小时相遇，那么甲就走了t+0.5小时。两人相遇时，他们走的路程和等于总距离18千米。所以方程是4(t+0.5) + 12t = 18。解这个方程，得到t等于1。所以，乙出发后1小时，两人相遇。 ‹#› 拓展延伸 1. 分配问题：行程问题的经典变式 将一批课外书分给某班学生，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本。请问这个班有多少名学生？这批课外书一共有多少本？ ▍ 解题核心思路 这是典型的“盈亏问题”，解题关键在于抓住“书的总数量始终不变”这一等量关系。无论分配方式如何调整，书的总数是固定值，据此可建立方程。 ▍ 方程求解过程 ① 设未知数：设该班有 x 名学生； ② 列方程：3x + 20 = 4x - 25 （根据书的总量相等）； ③ 解方程：移项得 4x - 3x = 20 + 25，解得 x = 45； ④ 算总量：3×45 + 20 = 155（本）。 ▍ 最终答案 这个班有45名学生，这批课外书一共有155本。 1.7.2013 拓展延伸部分，我们来看一个分配问题，也叫盈亏问题。无论是每人分3本剩20本，还是每人分4本缺25本，书的总数是不变的。我们设学生人数为x，那么书的总数可以表示为3x+20，也可以表示为4x-25。让这两个式子相等，就得到方程3x+20 = 4x-25。解得x等于45，所以有45名学生。书的总数就是3乘以45加20，等于155本。 ‹#› 拓展延伸 2. 环形跑道问题：行程问题的经典变式 已知一条环形跑道全长400米，甲练习骑自行车平均每分钟行驶550米，乙练习跑步平均每分钟跑250米。两人同时、同地出发，分析以下两种相遇情况： （1）同向而行 · 追及问题 💡 核心逻辑：快者（甲）需比慢者（乙）多跑整整一圈（400米）才能首次追上。 等量关系：甲的路程 - 乙的路程 = 跑道周长 方程构建：550t - 250t = 400 → 300t = 400 →t = 4/3 分钟（约1分20秒） （2）反向而行 · 相遇问题 💡 核心逻辑：两人相向而行，相遇时路程之和恰好为一圈（400米）。 等量关系：甲的路程 + 乙的路程 = 跑道周长 方程构建：550t + 250t = 400 → 800t = 400 →t = 0.5 分钟（即30秒） 解题总结：区分运动方向是关键——同向出发计算“路程差”，反向出发计算“路程和”，两者均与跑道的周长直接关联，据此可快速建立方程求解。 1.7.2013 接下来是环形跑道问题，这是行程问题的一个重要分支。我们分两种情况讨论。第一种，同向出发，这是一个追及问题。快的甲要追上慢的乙，必须比乙多跑一圈，也就是400米。所以方程是550t - 250t = 400，解得t等于4/3分钟。第二种，反向出发，这是一个相遇问题。两人相遇时，路程和正好是一圈400米。所以方程是550t + 250t = 400，解得t等于0.5分钟。 ‹#› 课后作业 01. 年龄问题 今年爷爷的年龄是孙子的10倍，12年后，爷爷的年龄是孙子的4倍。请设未知数并列方程求解，今年爷爷和孙子的年龄各是多少岁？ 02. 追及问题 敌军在我军前方40千米处，以每小时60千米的速度逃窜，我军以每小时80千米的速度追击。设经过x小时后我军追上敌军，请列出方程并求解追上所需的时间。 💡 解题小锦囊：建议先通过画线段图的方式梳理数量关系，明确“等量关系”后再列方程，能有效避免逻辑错误哦！ 1.7.2013 这是今天的课后作业。第一题是年龄问题，和我们之前做的变式探究很像。设孙子今年x岁，爷爷就是10x岁。12年后，爷爷年龄是孙子的4倍，列出方程求解即可。第二题是追及问题，我军速度比敌军快，每小时能缩短20千米的距离。初始差距是40千米，所以需要2小时就能追上。请同学们课后认真完成。 ‹#› 课堂小结 这节课，我们掌握了解决复杂应用题的“可视化”利器！ 01 工具认知｜线段图是将抽象数量关系转化为直观图形的桥梁，能清晰呈现题目中的已知与未知条件，让复杂问题一目了然。 02 适用场景｜面对行程问题（相遇/追及）、年龄问题（差倍）、工程问题（合作）以及分配问题等涉及多数量关系的应用题，优先尝试画出线段图分析。 03 核心思想｜运用“数形结合”思想，将文字语言转化为图形语言，帮助我们更快找到等量关系，提升解题效率与准确性。 1.7.2013 好了，我们来总结一下。今天我们学习了如何使用线段图这个强大的工具。它能帮助我们把抽象的文字问题变得直观、清晰。 希望大家记住，以后再遇到复杂的应用题，尤其是行程、年龄、分配等问题时，第一反应就是画个线段图试试看。 这就是数形结合思想的魅力。 ‹#› 小灶课 线段图在复杂应用题中的应用 跳出基础模型，我们将深入探索线段图如何拆解复杂的数量关系，把抽象难题转化为直观的视觉解题路径，一起挑战高难度应用题！ 1.7.2013 基础内容我们已经掌握了。接下来，进入“小灶课”时间。我们将挑战一些更复杂的问题，看看线段图在解决这些难题时，还能发挥怎样的威力。准备好迎接挑战了吗？ ‹#› 情境创设 将一些苹果分给小朋友。如果每人分5个，那么剩余12个；如果每人分8个，那么还缺少3个。求一共有多少个小朋友？ 核心：利用苹果总数不变，通过线段图对比列出等式 8x 苹果总数 3个 12个 5x 分法一 分法二 设有x人 5x+12 = 8x-3 解得x=5 答：一共5人 1.7.2013 最后我们来看盈亏问题。这类问题的核心关键，就是抓住一个不变的量——在这个例子里，就是苹果的总数。 我们可以设小朋友的人数为x。根据第一种分法“每人5个余12个”，苹果总数可以表示为5x加12；根据第二种分法“每人8个缺3个”，总数又可以表示为8x减3。 因为苹果的总数是固定不变的，所以这两个表达式必然相等。由此我们就能列出方程：5x + 12 = 8x - 3。通过解这个方程，就能求出小朋友的人数了。 ‹#› 例题讲解 例 1 题目：甲、乙、丙三人，甲速50m/min，乙速60m/min，丙速70m/min。甲、乙从A地，丙从B地同时相向出发。丙遇到乙后，再过2分钟遇到甲。求A、B两地间的距离？ 01 / 线段图核心分析 ① 当丙与乙在C点相遇时，甲仅走到D点，此时甲、丙之间存在一段路程差（即DC段）。 ② 关键转折：丙遇到乙后，与甲相向而行，两人共同走完DC段用时恰好2分钟，这是破题的“桥梁”。 02 / 分步列式计算 第一步：求路程差 DC = (甲速+丙速)×2 = (50+70)×2 =240米 第二步：求相遇时间 t，此路程差是乙比甲多走的距离， 即 (60-50)t = 240，解得 t = 24分钟。 最终结论：A、B总距离 = (乙速+丙速) × 相遇时间 t = (60+70)×24 = 3120米。 核心逻辑是通过“丙甲后续相遇的路程”推导出“乙甲的路程差”，从而求出相遇时间。 1.7.2013 这页PPT我们来攻克一个典型的拔高题型：三人相遇问题。这类问题的核心是找到一个“桥梁”，也就是中间的等量关系。 首先看题目，甲乙同向，丙反向，关键就在于丙先遇到乙，再隔2分钟遇到甲。我们把这个过程拆成两步看： 第一步，先分析丙和乙相遇的那个瞬间。此时甲还没走到那个位置，落在了后面。 第二步，也是最关键的一步：丙遇到乙之后，转身和甲一起走了2分钟才相遇。这2分钟里，甲和丙一起走的路程，其实就是刚才丙和乙相遇时，乙比甲多走出来的那段路。 算出这段路程差后，再利用乙和甲的速度差，就能求出丙和乙相遇到底用了多久。最后用这个时间乘以乙和丙的速度和，总路程就出来了。 ‹#› 例题讲解 例 2 甲、乙两车同时从A地出发去B地，甲车速度是乙车的1.5倍。甲车到达B地后立即返回，在距离B地20千米处与乙车相遇。 问题：求A、B两地之间的距离是多少千米？ 01. 比例关系 速度比 V甲:V乙 = 3:2，相同时间路程比 S甲:S乙 = 3:2。 02. 路程表示 设全程为S，相遇时甲走 S+20，乙走 S-20。 03. 计算路程差 甲比乙多走：(S+20)-(S-20) = 40 千米。 份数差对应路程差： 路程差40千米，对应份数差 3-2=1份，即1份 = 40千米。 最终求解全程： 甲走3份为120千米，减去多走的20千米，全程S=100千米。 1.7.2013 这道题是结合比例来解决的行程问题，难度稍微拔高一点。首先，我们从题目中得到关键信息：甲、乙两车的速度比是1.5倍，也就是3比2。在相同的行驶时间里，它们走过的路程比也是一样的，也就是3比2。 我们可以想象一下这个过程：甲车跑得快，先到了B地然后马上掉头往回走，结果在距离B地20公里的地方遇到了乙车。这个时候，如果我们把A到B的距离看作S，那么甲车实际上是走了一个全程S还多20公里，而乙车还没到B地，只走了S减20公里。 大家算一下，这个时候甲车比乙车多走了多少？是两个20公里，也就是40公里。再看我们刚才说的比例，甲比乙多走了几份？3份减2份，多了1份。 既然1份路程就是40公里，那总路程就很好算了。比如用甲走的3份（120公里）减去多走的20公里，得到全程就是100公里。通过比例关系来解这类问题，比列方程往往更直接。 ‹#› 某市出租车收费标准为：起步价10元（含3公里）；3-15公里部分每公里2元；超过15公里部分每公里3元。小明乘车共花费40元，请求出他此次乘车行驶的总距离是多少？ 核心方法：先算临界费用定区间，再分段列方程求解 15km 封顶费用 34元(10+12×2) 实付：40元 超支：6元 (超2km) 解得总里程：17km ① 估算临界 ② 计算超距 例题讲解 例 3 1.7.2013 接下来我们看一个生活中的分段计费问题。出租车收费标准很复杂，我们该如何计算呢？首先，我们要判断40元的费用属于哪个区间。前15公里最多花费34元，而40元超过了34元，说明行程超过了15公里。我们设总距离为x公里，根据收费标准列出方程：10元起步价，加上3到15公里的24元，再加上超过15公里部分的费用，等于总费用40元。解这个方程，我们得到x等于17。所以，小明行驶了17公里。 ‹#› 例题讲解 例 4 【题目】一项工程，甲队单独做需要12天完成，乙队单独做需要18天完成。现在安排甲、乙两队合作施工，请问总共需要多少天才能完成这项工程？ 01 / 线段图分析思路 ① 把总工程量看作单位“1”（画一条线段表示）； ② 甲每天完成 1/12，乙每天完成 1/18，合作效率为 1/12 + 1/18； ③ 列方程：设合作需x天，则 (1/12 + 1/18)x = 1。 02 / 巧算技巧（避分数） ① 取单独时间的最小公倍数：12和18的最小公倍数是36； ② 赋值总工程量为36，则甲效率为 36÷12=3，乙效率为 36÷18=2； ③ 合作天数：36 ÷ (3+2) = 7.2 天，计算更简便！ 1.7.2013 线段图不仅适用于行程问题，也适用于工程问题。我们把总工作量看作单位“1”，画一条线段表示。甲和乙的工作效率就是这条线段的分数部分。合作的效率就是两者相加。 这里还有一个小技巧，为了避免分数运算，可以把总工作量设为他们单独完成时间的最小公倍数，这样计算起来更方便。比如这道题，12和18的最小公倍数是36，我们就假设总工作量是36，甲每天做3份，乙每天做2份，合作一天做5份，总共36份，这样直接用除法就能算出来天数，避免了通分的麻烦。 ‹#› 拔高练习1 【题目描述】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度为60千米/小时，乙车速度为40千米/小时。甲车到达B地后立即返回，乙车到达A地后也立即返回。两车第二次相遇时，共行驶了3个全程。已知两次相遇点相距20千米，求A、B两地的距离是多少千米？ ★ 核心解题思路： 1. 定比例：甲乙速度比为3:2，故相同时间内路程比恒为3:2，这是解题的核心依据； 2. 算路程：第一次相遇共走1个全程，甲走3/5全程；第二次相遇共走3个全程，甲累计走9/5全程（即1个全程+返程4/5）； 3. 找差距：两次相遇点分别距A地3/5全程和1/5全程，间距为2/5全程，对应实际距离20千米； 4. 求结果：由“2/5 × 全程 = 20千米”，可直接解得全程为50千米。 1.7.2013 这道题是典型的二次相遇问题，也是行程问题中的拔高题型。 首先要明确核心条件：第二次相遇时，两车合走了3个全程。利用甲乙的速度比3:2，我们可以先算出各自走了几个全程。 比如甲车在第二次相遇时走了 3 × (3/5) = 1.8 个全程，乙车走了 3 × (2/5) = 1.2 个全程。这意味着甲车从A出发到B，再回头走了0.8个全程；乙车从B到A，再回头走了0.2个全程。 第一次相遇点距离A地是0.6个全程（因为第一次合走1个全程，甲走了3/5）。结合两次相遇点相距20千米，就能列出算式求出总路程了。大家可以动手画一下线段图来更直观地分析这两个相遇点的位置差。 ‹#› 拔高练习2 【题目】某旅游团安排住宿，如果每间住5人，则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位。 【问题】这个旅游团共有多少人？一共有多少间房间？ 💡 解题思路与解析： 这是典型的“盈亏问题”，核心是抓住“总人数不变”列方程：① 设房间数为 x 间；② 总人数可表示为 5x+14 或 7x-4，故 5x+14=7x-4；③ 解得 x=9（间），总人数=5×9+14=59（人）。 ✅ 答案：旅游团共有59人，一共有9间房间。 1.7.2013 这是一道盈亏问题的拔高练习，情境换成了安排住宿。关键点在于抓住总人数不变这个核心。 可以引导学生先设房间数为x间。第一次每间住5人，14人没床位，那么总人数就是5x加14；第二次每间住7人，多4个床位，总人数就是7x减4。因为总人数相等，所以5x+14=7x-4，解出x后再计算总人数即可。 ‹#› 拔高练习3 01 题目背景与要求 某城市天然气实行分段收费：若用气量不超过60立方米，按0.8元/立方米计费；若超过60立方米，超出部分按1.2元/立方米计费。已知某用户8月份的天然气费平均单价为0.88元/立方米，求该用户8月份的总用气量。 02 破题关键点分析 平均单价0.88元 ＞ 基础单价0.8元，这直接说明总用气量必然超过60立方米。设总用气量为 x 立方米（x＞60），利用“分段计费的总金额 = 平均单价 × 总用气量”这一等量关系建立方程。 03 方程求解与结论 列方程：60×0.8 + (x - 60)×1.2 = 0.88x 化简计算：48 + 1.2x - 72 = 0.88x → 0.32x = 24 → x = 75 最终答案：该用户8月份的天然气用气量为75立方米。 核心思路：利用平均单价判断用量区间，通过“总价相等”建立一元一次方程解决分段计费问题。 1.7.2013 这是一道经典的分段计费问题，也是一个拔高练习。 大家注意题目中的关键条件：“平均每立方米0.88元”。这个平均数比0.8元高，这就直接告诉我们，这个用户8月份的用气量肯定超过了60立方米。 接下来我们用方程来解。我们可以设用户8月份总共用了x立方米的天然气。那么总费用就有两种计算方法： 第一种是分段算：60立方米以内的部分，每立方米0.8元，费用就是60乘以0.8；超过60的部分是(x-60)立方米，这部分每立方米1.2元，所以总费用就是60×0.8 + 1.2(x-60)。 第二种是按平均数算：总费用等于0.88乘以总用气量x。 因为这两种方法算出来的总费用肯定是相等的，所以我们可以列出方程：60×0.8 + 1.2(x-60) = 0.88x。接下来解这个方程就能得到最终的用气量了。 ‹#› 我是小老师 💡 开放性挑战：编写一元一次方程应用题 【核心数量关系】一条总长为41的线段被分为三段：第一段长度为 x，第二段是第一段的2倍（即2x），第三段比第一段多5（即x+5）。三段长度之和满足方程：x + 2x + (x+5) = 41。 【你的创作任务】请结合购物消费、行程距离、物品分配、年龄关系等熟悉的生活场景，把这个数量关系改编成一道逻辑通顺的完整应用题。发挥你的想象力，化身“出题小老师”，看看谁能编出最有趣、最贴合生活的题目！ 1.7.2013 最后，我们来一个开放性挑战。请同学们结合生活实际，根据给出的线段图关系，编写一道能用方程x + 2x + (x+5) = 41解决的应用题。比如，我们可以编一个关于买水果的问题。大家可以发挥想象力，尝试编出不同场景的题目，比如行程问题、分配问题等等。看看谁能成为最棒的出题小老师！ ‹#› 总结收获 拔高总结：解决复杂问题的核心思想 01. 数形结合 将抽象的文字描述与数学关系转化为直观的图形（如线段图），让复杂的数量关系一目了然，降低理解难度。 02. 寻找不变量 锁定题目中不随过程变化的关键量，如年龄差、总路程、物品总数、总工作量等，它们是建立等量关系、列出方程的突破口。 03. 分类讨论 面对分段计费、运动相遇等多种可能性的问题时，需理清不同条件下的规则与情形，逐一分析求解，避免遗漏。 04. 多角度思考 不局限于单一方法，灵活结合常规方程法、算术法、比例法等进行求解与验算，找到最高效的解题路径。 1.7.2013 小灶课的内容就到这里。我们解决的这些复杂问题，核心思想都是“数形结合”。通过线段图，我们能更好地寻找问题中的“不变量”，进行“分类讨论”，并从多个角度思考问题。希望大家能把线段图这个工具用熟、用好。 ‹#› 循理而行，来日再研 $