专题五 因式分解-【冲刺2027】2026年中考数学真题汇编

**基本信息** 聚焦因式分解基础方法与综合应用，通过分层题型构建从技能到推理的递进训练，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法应用|15题（如选择1、4，填空6、13）|单一方法考查（提公因式、平方差公式）|从具体整式到公式应用，建立因式分解基本技能| |综合因式分解|4题（如填空7、12，解答23（2））|多步骤分解（先提公因式再用公式）|体现“提公因式→公式法”的递进分解逻辑| |代数推理与应用|4题（如选择2、3，解答22）|结合实际情境、新定义及证明|用因式分解分析数量关系，发展模型意识与推理能力|

专题五 因式分解 一．选择题（共4小题） 1．（2026•广西）因式分解：2a2﹣3a＝（　　） A．a（2a﹣3） B．a（2a+3） C．a（a﹣3） D．a（a+3） 2．（2026•山西）用m、n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（　　） A．6 B．13 C．31 D．56 3．（2026•攀枝花）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：72+02＝49⇒42+92＝97⇒92+72＝130⇒12+32+02＝10⇒12+02＝1，则下列数中不是“快乐数”的是（　　） A．3 B．7 C．13 D．31 4．（2026•云南）分解因式：x2﹣64＝（　　） A．x+8 B．（x+8）（x﹣8） C．x﹣8 D．x（x﹣64） 二．填空题（共17小题） 5．（2026•广东）因式分解：2a2﹣2＝　 　 ． 6．（2026•连云港）分解因式：a2﹣4＝　 　 ． 7．（2026•绥化）分解因式：a3b﹣ab＝　 　 ． 8．（2026•吉林）因式分解：m2﹣1＝　 　 ． 9．（2026•河北）已知关于x的一元二次方程x2x+m＝0有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则m＝　 　 ． 10．（2026•宜宾）分解因式：a2﹣4a＝　 　 ． 11．（2026•内江）因式分解：x2﹣3x＝　 　 ． 12．（2026•广安）分解因式：x3y﹣xy＝　 　 ． 13．（2026•福建）因式分解：x2﹣y2＝　 　 ． 14．（2026•扬州）分解因式：a3﹣9a＝　 　 ． 15．（2026•湖南）因式分解：t2﹣25＝　 　 ． 16．（2026•武威）因式分解：5a2b+10ab2＝　 　 ． 17．（2026•成都）因式分解：x2﹣3x＝　 　 ． 18．（2026•自贡）分解因式：n2﹣9＝　 　 ． 19．（2026•重庆）自然数m与n均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且m与n的乘积为三位数．则m+n的最小值为　 　 ；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2，则满足条件的所有k的值之和为　 　 ． 20．（2026•泸州）分解因式：x2﹣1＝　 　 ． 21．（2026•安徽）因式分解：x2﹣25＝　 　 ． 三．解答题（共2小题） 22．（2026•南京）求证：当n为整数时，（n+2）2﹣（3n+4）能被2整除． 23．（2026•齐齐哈尔）（1）计算：|2|； （2）分解因式：x3y﹣xy． 参考答案 一．选择题（共4小题） 1．【答案】A 【解析】解：2a2﹣3a＝a（2a﹣3）， 故选：A． 2．【答案】D 【解析】解：因为m、n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字， 所以1≤m≤9，0≤n≤9， 这个两位数可以表示为：10m+n， 新数为3m+8n， （3m+8n）﹣（10m+n） ＝3m+8n﹣10m﹣n ＝﹣7m+7n ＝7（n﹣m）， 因为7（n﹣m）是7的倍数， 选项中6、13、31不是7的倍数，只有56是7的倍数． 故选：D． 3．【答案】A 【解析】解：A．32＝9，92＝81，82+12＝65，62+52＝61，62+12＝37，32+72＝58，52+82＝89，82+92＝145，12+42+52＝42，42+22＝20，22+02＝4，42＝16，12+62＝37， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B．∵72＝49→42+92＝97→92+72＝130→12+32+02＝10→12+02＝1， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C．12+32＝10，12+02＝1， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D．∵32+12＝10，12+02＝1， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 故选：A． 4．【答案】B 【解析】解：x2﹣64＝（x+8）（x﹣8）， 故选：B． 二．填空题（共17小题） 5．【答案】2（a+1）（a﹣1） 【解析】解：原式＝2（a2﹣1） ＝2（a+1）（a﹣1）． 故答案为：2（a+1）（a﹣1）． 6．【答案】（a+2）（a﹣2） 【解析】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）， 故答案为：（a+2）（a﹣2）． 7．【答案】ab（a+1）（a﹣1） 【解析】解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）． 故答案为：ab（a+1）（a﹣1）． 8．【答案】（m+1）（m﹣1）． 【解析】解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）． 故答案为：（m+1）（m﹣1）． 9．【答案】． 【解析】解：设一元二次方程的两根分别为t，t2， 根据根与系数的关系可得，t•t2＝m， 整理，得，变形得， 解得， 将代入m＝t3，得， 验证判别式：，符合题意， 故答案为：． 10．【答案】a（a﹣4） 【解析】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）． 故答案为：a（a﹣4）． 11．【答案】x（x﹣3）． 【解析】解：直接提取公因式x分解因式可得： x2﹣3x＝x（x﹣3）． 故答案为：x（x﹣3）． 12．【答案】xy（x+1）（x﹣1） 【解析】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1）， 故答案为：xy（x+1）（x﹣1） 13．【答案】（x﹣y）（x+y） 【解析】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 故答案为：（x+y）（x﹣y）． 14．【答案】a（a+3）（a﹣3） 【解析】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）． 15．【答案】（t+5）（t﹣5）． 【解析】解：t2﹣25＝（t+5）（t﹣5）， 故答案为：（t+5）（t﹣5）． 16．【答案】5ab（a+2b）． 【解析】解：原式＝5ab（a+2b）， 故答案为：5ab（a+2b）． 17．【答案】x（x﹣3） 【解析】解：x2﹣3x＝x（x﹣3）． 故答案为：x（x﹣3） 18．【答案】（n+3）（n﹣3）． 【解析】解：n2﹣9＝（n+3）（n﹣3）， 故答案为：（n+3）（n﹣3）． 19．【答案】29；28． 【解析】解：设两个自然数的十位上的数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位上的数字为b（0≤b≤9，且b为整数），则自然数n的个位上的数字为9﹣b， ∴m＝10a+b，n＝10a+9﹣b， ∴m+n＝（10a+b）+（10a+9﹣b）＝20a+9，mn＝（10a+b）（10a+9﹣b）＝100a2+90a+b（9﹣b）， 要使m+n＝20a+9最小，需a最小， 则当a＝1时，m+n的最小值为20×1+9＝29， 此时mn＝100+90+b（9﹣b）＝﹣b2+9b+190＝﹣（b）2， 由二次函数的性质可知，当b＝4或b＝5时，mn的值最大，最大值为或，符合题意． 当m＞n时，m﹣n＝（10a+b）﹣（10a+9﹣b）＝2b﹣9＞0， 解得b＞4.5， ∴5≤b≤9，且b为整数， ∴1≤2b﹣9≤9， ∴k2＝m2﹣n2， ∴k2＝（m﹣n）（m+n）＝（2b﹣9）（20a+9）， 又∵2b﹣9为奇数，且1≤2b﹣9≤9， ∴2b﹣9所有可能的取值为1，3，5，7，9， ①当2b﹣9＝1，即b＝5时，k2＝20a+9mn＝（10a+5）（10a+4）， ∵1≤a≤9，且a为整数， ∴当a＝2时，k2＝49， 此时正整数k＝7，mn＝（10×2+5）×（10×2+4）＝600＜1000，符合题意； 当a＝8时，k2＝169， 此时正整数k＝13，mn＝（10×8+5）×（10×8+4）＝7140＞1000，不符合题意，舍去； ②当2b﹣9＝3，即b＝6时，k2＝3（20a+9），mn＝（10a+6）（10a+3）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝3（20a+9）； ③当2b﹣9＝5，即b＝7时，k2＝5（20a+9），mn＝（10a+7）（10a+2）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝5（20a+9）； ④当2b﹣9＝7，即b＝8时，k2＝7（20a+9），mn＝（10a+8）（10a+1）， 同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝7（20a+9）； ⑤当2b﹣9＝9，即b＝9时，k2＝9（20a+9），mn＝10a（10a+9）， 当a＝2时，k2＝9×（20×2+9）＝441＝212， 此时正整数k＝21，mn＝10×2×（10×2+9）＝580＜1000，符合题意； 当a＝8时，k2＝9×（20×8+9）＝1521＝392， 此时正整数k＝39，mn＝10×8×（10×8+9）＝7120＞1000，不符合题意，舍去； 综上，满足条件的所有k的值为7和21，它们的和为7+21＝28． 故答案为：29；28． 20．【答案】（x+1）（x﹣1）． 【解析】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）． 21．【答案】（x+5）（x﹣5）． 【解析】解：原式＝（x+5）（x﹣5）． 故答案为：（x+5）（x﹣5）． 三．解答题（共2小题） 22．【答案】（n+2）2﹣（3n+4） ＝n2+4n+4﹣3n﹣4 ＝n2+n ＝n（n+1）， 因为n为整数， 所以n、n+1是相邻两个连续整数， 所以两数一共是一奇一偶， 所以n（n+1）是偶数， 所以（n+2）2﹣（3n+4）能被2整除． 【解析】解：（n+2）2﹣（3n+4） ＝n2+4n+4﹣3n﹣4 ＝n2+n ＝n（n+1）， 因为n为整数， 所以n、n+1是相邻两个连续整数， 所以两数一共是一奇一偶， 所以n（n+1）是偶数， 所以（n+2）2﹣（3n+4）能被2整除． 23．【答案】（1）﹣6； （2）xy（x+1）（x﹣1）． 【解析】解：（1）|2| ＝﹣6； （2）x3y﹣xy ＝xy（x2﹣1） ＝xy（x+1）（x﹣1）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $