暑假培优：专题07 机械能守恒定律 知识清单-2026-2027学年高一物理人教版必修第二册

暑假培优：专题07 机械能守恒定律 知识清单 第一部分 知识构建 第二部分 知识点梳理 一、功的计算 1．功的定义 如果一个物体受到力的作用，且物体在力的方向上发生了位移，就说这个力对物体做了机械功，简称功。 2．做功的两个必要因素 (1)作用在物体上的力。 (2)物体在力的方向上发生的位移。 3．内容：力对物体所做的功等于力的大小、位移的大小及力和位移夹角的余弦的乘积。 4．公式：W＝Fs_cos_α。 5．功是标量(选填“标量”或“矢量”)。 6．功的单位：在国际单位制中，功的单位为焦耳，简称焦，符号J。 7．功的单位的物理意义：1 J等于1_N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移时所做功的大小，即：1 J＝1 N×1 m＝1_N·m。 　力不做功的三种情况：①有力没有位移；②有位移，没有力；③有力有位移，但力与位移垂直。 二、正功和负功、做功与能量变化的关系 1．正功和负功 α的取值 W的取值 含义 α＝ W＝0 力F不做功 0≤α＜ W＞0 力F对物体做正功 ＜α≤π W＜0 力F对物体做负功 2．功是能量变化的量度 做功的过程就是能量变化的过程。做了多少功，就有多少能量发生变化。 对功的理解与正、负功的判断 3．力做正功还是负功的判断方法 (1)看力F的方向与位移l的方向的夹角α判断：α<90°，力做正功，α>90°，力做负功。 (2)看力F的方向与速度瞬时v的夹角α判断：α<90°，力做正功，α>90°，力做负功。 (3)看速率增大还是减小，若在力作用下速率增大，此力做正功，反之做负功。 4．功的正负的意义 项目 动力学角度 能量角度 正功 若某力对物体做正功，则这个力对物体来说是动力 若某力对物体做正功，则外界向物体提供能量，即受力物体获得了能量 负功 若某力对物体做负功，则这个力对物体来说是阻力 若物体克服外力做功，则物体要消耗自身的能量，即物体失去了能量 三、功的计算 1．单个恒力做功：直接用公式W＝Flcos α计算。 2．合力做功 计算合力做功的两种基本思路 (1)先确定物体所受的合外力，再根据公式W合＝F合lcos α求解合外力做的功。该方法适用于物体的合外力不变的情况，常见的是发生位移l过程中，物体所受的各力均没有发生变化。求解流程图为： (2)先根据W＝Flcos α，求出每个分力做的功W1、W2、…、Wn，再根据W合＝W1＋W2＋…＋Wn，求解合力的功，即合力做的功等于各个分力做功的代数和。该方法的适用范围更广。求解流程图为： 四、做功快慢的描述 1．功率定义 物理学上把力对物体所做的功W与做功所用时间t之比，称为功率，用符号P表示。 2．定义式： P＝。 3．单位： 在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号W。 1 s内做了1 J的功，功率就是1 W。 4．意义：功率是标量，是描述能量变化快慢的程度。 5．额定功率：机械长时间工作的最大允许功率。 说明：机械实际输出功率一般小于额定功率。 五、功率与力、速度　生产和生活中常见机械的功率 1．功率与力、速度 (1)关系：若作用在物体上的某个力与物体运动方向在同一直线时，这个力对物体做功的功率等于这个力与物体速度的乘积。 (2)公式：P＝Fv。 ①当物体做变速运动时，若v表示在时间t内的平均速度，则P表示在这段时间内的平均功率。 ②若v表示某一时刻的瞬时速度，则功率P表示在该时刻的瞬时功率。 ③应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。 2．生产和生活中常见机械的功率 在生产中，功率是衡量机械性能的重要指标。 六、公式P＝和P＝Fv的比较 项目 定义式P＝ 计算式P＝Fv 适用条件 适用于任何情况下功率的计算 适用于F与v同向的情况 应用 求某个过程中的平均功率。当时间t→0时，可由定义式求瞬时功率 若v表示物体在时间t内的平均速度，则功率P表示力F在时间t内的平均功率；若v表示物体在某一时刻的瞬时速度，则功率P表示力F在该时刻的瞬时功率 公式理解 功率可以用P＝来表示，但功率并不由W、t决定 P一定时，F与v成反比；v一定时，F与P成正比；F一定时，v与P成正比 七、功率的计算 (1)平均功率的计算： ①利用P＝。 ②利用P＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。 (2)瞬时功率的计算： ①利用公式P＝Fv cos α，其中v为瞬时速度。 ②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。 ③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力在速度v方向上的分力。 八、动能 1．定义 物体由于运动而具有的能量叫动能，用符号Ek表示。 2．表达式 Ek＝mv2。 3．单位 与功的单位相同，国际单位为焦耳。 1 kg·(m/s)2＝1_N·m＝1_J。 4．动能是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有大小没有方向。 九、动能定理　动能定理的应用 1．动能定理 (1)内容 合力对物体所做的功等于物体动能的变化量，这个结论叫作动能定理。 (2)动能定理的表达式 W＝Ek2－Ek1或W＝mv－mv。 (3)动能定理的适用范围 不仅适用于恒力做功、直线运动，在变力做功或物体做曲线运动时仍然成立。 2．动能定理的应用 应用动能定理能解决很多题目，而且比用牛顿定律要简单。 3．对动能定理的理解 (1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。 (2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。 ①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。 ②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来量度。 4．动能的变化量 末状态的动能与初状态的动能之差，即 ΔEk＝mv－mv。 动能的变化量是过程量，ΔEk＞0，表示物体的动能增加；ΔEk＜0，表示物体的动能减少。 十、动能定理与牛顿运动定律的比较 比较项 牛顿运动定律与 运动学公式结合法 动能定理 适用条件 只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用 应用方法 要考虑运动过程的每一个细节 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能 运算方法 矢量运算 代数运算 相同点 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 优先考虑应用动能定理的情况 (1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。 (2)变力做功或曲线运动问题。 动能定理提供了一种计算变力做功的简便方法。功的计算公式W＝Fl cos α只能求恒力做的功，不能求变力做的功，而动能定理说明了一个物体的动能变化ΔEk与合外力对物体做的功具有等量代换关系，因此，已知(或求出)物体的动能变化ΔEk＝Ek2－Ek1，就可以间接求得变力做的功。 (3)涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量的问题。 (4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。 由于不用注意过程中运动状态变化的细节，且功和动能都是标量，无方向性，故应用动能定理解题更简单，不易出错。 十一、重力做功 1．重力势能 (1)定义：物体由于位于高处而具有的能量叫作重力势能。 (2)大小：物体的重力势能等于它所受重力的大小与所处高度的乘积。 (3)表达式：Ep＝mgh。 (4)标矢性：重力势能是标量(选填“标量”或“矢量”)。 (5)单位：与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，简称焦，符号J。 2．重力做功 (1)特点：重力做功只与运动物体的起点和终点的位置有关，而与运动物体所经过的路径无关。 (2)大小：等于物体的重力跟起点高度的乘积mgh1与物体的重力跟终点高度的乘积mgh2两者之差，即WG＝mgh1－mgh2。 3．重力做功与重力势能的关系 (1)关系式：WG＝Ep1－Ep2，其中Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。 (2)规律：重力做正功时，重力势能减少；重力做负功时，重力势能增加。 十二、重力势能的相对性及弹性势能 1．重力势能的相对性 (1)参考平面：物体具有的重力势能总是相对某个水平面来说的。我们一般把处于这个水平面上的物体的重力势能规定为零，并把这个水平面称为参考平面。 (2)相对性：选择不同的参考平面，同一物体在空间同一位置的重力势能就不同。(选填“相同”或“不同”) (3)正负的含义：参考平面上方的物体重力势能为正值，参考平面下方的物体重力势能为负值。 2．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体，在恢复原状过程中，能够对外界做功，因而它们具有能量，这种能量叫作弹性势能。 (2)弹性势能大小的相关因素： ①在弹性限度内，弹性形变越大，弹性势能越大。 ②对于形变相同的弹簧而言，劲度系数越大，弹性势能越大。 3．势能 (1)定义：与相互作用物体的相对位置有关的能量叫作势能。 (2)共有性：①重力势能是地球与受重力作用的物体组成的系统所共有的。 ②弹性势能是发生了弹性形变的物体与此时受弹力作用的物体组成的系统所共有的。 十三、机械能守恒定律的理论验证 1．机械能守恒定律的内容 在只有重力或弹力做功的系统内，动能和势能发生相互转化，而系统的机械能总量保持不变，这就是机械能守恒定律。 2．机械能守恒定律的表达式 Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2或mgh1＋mv＝mgh2＋mv 3．守恒条件 物体系统内只有重力或弹力做功。 说明：“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能的总量总保持不变。 十四、机械能守恒条件及判断 1．机械能守恒的几种常见情况 做功情况 例证 只有重力做功 所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)机械能守恒；物体沿固定的光滑平面或曲面运动时机械能守恒 只有弹力做功 轻质弹簧拉着物块在光滑水平面上做往复运动，物块和弹簧组成的系统机械能守恒 只有重力 和系统内的 弹力做功 如图，不计空气阻力，球在运动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒。但对球(或者弹簧)来说，机械能不守恒 如图，所有摩擦不计，A在B上自由下滑的过程中，只有重力和A、B间弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒。但对B来说，A对B的弹力做正功，这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒，同理A的机械能也不守恒 有其他力 做功，但 做功代数 和为0 如图，忽略绳的质量与摩擦，在A、B运动过程中，只有重力和细绳的拉力FA和FB做功，FA做负功，FB做正功，且WA＋WB＝0，故A、B组成的系统机械能守恒。但A(或B)的机械能不守恒，A的机械能减小，B的机械能增加 2．判断机械能守恒的方法 (1)做功分析法(常用于单个物体) (2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统) 十五、机械能守恒定律的应用 1．机械能守恒定律的不同表达式 项目 表达式 物理意义 说明 从不同状态看 守恒式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须选零势能面 从转化角度看 转化式：Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面 从转移角度看 增量式：EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 2．应用机械能守恒定律的解题步骤 (1)选取研究对象(物体或系统)。 (2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒。 (3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能。 (4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解。 十六、验证机械能守恒定律 1．实验思路 机械能守恒的前提是“只有重力或弹力做功”，因此设计实验时要考虑满足这一条件的情形。 情形1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。 情形2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直，对物体不做功，也满足机械能守恒的条件。 2．物理量的测量 根据重力势能和动能的定义，需要测量的物理量有物体的质量、物体所处位置的高度以及物体的运动速度。 (1)质量的测量：可用天平测量。 (2)高度的测量：可用刻度尺测量。 (3)瞬时速度的测量 a．用打点计时器打下的纸带测量： 测出打n点前、后相邻两段相等时间T内物体运动的距离xn和xn＋1(或测出hn－1和hn＋1)，由公式vn＝即可得到打n点时物体的瞬时速度，如图所示。 　由匀变速直线运动的规律可知，物体某段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。 b．用光电门测量： 遮光条通过光电门时的瞬时速度等于遮光条通过光电门时的平均速度，则根据遮光条的宽度l和遮光时间Δt，可以算出物体经过光电门时的速度v＝。 3．数据分析 方法1：计算物体在选定位置上动能与势能的和是否满足 mv＋mgh2＝mv＋mgh1 ① 方法2：计算重物在某两点间的动能变化和势能变化是否满足 mv－mv＝mgh1－mgh2 ② 若在误差允许范围内，等式①(或②)满足，即可验证机械能守恒定律。 根据上述情况，有两种方案可以验证物体的机械能守恒。 十七、功能关系 1．功是能量转化的量度 不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程。且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度。 2．常见的几种功能关系 功 能的变化 表达式 重力做功 正功 重力势能减少 重力势 WG＝－ΔEp或 负功 重力势能增加 能变化 WG＝Ep1－Ep2 弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势 W弹＝－ΔEp或 W弹＝Ep1－Ep2 负功 弹性势能增加 能变化 合力做功 正功 动能增加 动能 W合＝ΔEk或 W合＝Ek2－Ek1 负功 动能减少 变化 除重力及系统内弹力外其他力做功 正功 机械能增加 机械能 变化 W其他＝ΔE或 W其他＝E2－E1 负功 机械能减少 两物体间滑动摩擦 力对物体系统做功 内能变化(增加) Q热＝Ff·x相对 第三部分 知识点应用 1.(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s。如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是(　　) A．力F对甲物体做功多 B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多 C．甲物体获得的动能比乙大 D．甲、乙两个物体获得的动能相同 2.如图所示质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达高为的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(　　) A． B． C．mgh D．0 3.用如图甲所示实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒。m2从高处由静止开始下落，m1上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是实验中获得的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点(图中未标出)，计数点间的距离如图所示。已知m1＝50 g，m2＝150 g，则：(结果保留两位有效数字) 甲 乙 (1)从纸带上打下计数点5时的速度v＝________m/s。 (2)从打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增加量ΔEk＝________J，系统势能的减少量ΔEp＝________J。(当地的重力加速度g取10 m/s2) (3)若某同学作出v2­h图像如图所示，则当地的重力加速度g＝________m/s2。 4.如图所示，雪橇在与水平方向成α角的拉力F的作用下，在水平雪面上沿直线匀速前进了s的距离。 (1)试求作用在雪橇上的各个力所做的功； (2)外力对雪橇做的总功是多少？ 5.如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求： (1)前2 s内重力的平均功率； (2)2 s末重力的瞬时功率。 6.如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地面接触，B物体距地面0.8 m，求：(g取10 m/s2) (1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小； (2)B物体着地后A物体还能上升多高？ 知识点应用答案 1.BC　[由功的公式W＝Fl cos α＝Fs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误。] 2.A　[A、D间的高度差为Δh＝h－h＝h，则重力做功为W＝mgΔh＝mgh，故A正确，B、C、D错误。] 3.[解析]　(1)在纸带上打下计数点5时的速度v5＝ m/s＝2.4 m/s。 (2)从打下第“0”点到打下第“5”点的过程中系统动能的增加量ΔEk＝(m1＋m2)v＝×(0.05＋0.15)×2.42 J≈0.58 J，系统势能的减少量ΔEp＝(m2－m1)gh＝(0.15－0.05)×10×(38.40＋21.60)×10－2 J＝0.60 J。 (3)根据(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh 可得v2＝h，由图线可知 斜率k＝＝ 则g＝9.7 m/s2。 [答案]　(1)2.4　(2)0.58　0.60　(3)9.7 4.[解析]　如图所示，雪橇受到重力G、支持力FN、拉力F和摩擦力Ff的作用。 (1)由于雪橇做匀速直线运动，所以摩擦力 Ff＝Fcos α， 则重力做功为WG＝Gscos 90°＝0， 支持力做功为WFN＝FNs cos 90°＝0， 拉力F做功为WF＝Fscos α， 摩擦力做功为 WFf＝Ffs cos 180°＝－Fscos α。 (2)外力做的总功为W总＝WG＋WFN＋WF＋WFf＝0。 [答案]　(1)WG＝0　WFN＝0　WF＝Fscos α　WFf＝－Fscos α　(2)0 5.[解析]　(1)木块沿斜面下滑时，对木块受力分析。由牛顿第二定律可得mg sin θ－μmg cos θ＝ma 解得a＝2 m/s2 由位移公式l＝at2＝×2×22 m＝4 m 重力在前2 s内做的功为 W＝mgl sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J 重力在前2 s内的平均功率为＝＝ W＝24 W。 (2)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s 2 s末重力的瞬时功率 P＝mgv cos (90°－θ)＝mgv sin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。 [答案]　(1)24 W　(2)48 W 6.[解析]　(1)方法一　由E1＝E2解 对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为重力势能参考平面，则mBgh＝mAgh＋(mA＋mB)v2， 解得v＝＝ m/s＝2 m/s。 方法二　由ΔEk＝－ΔEp解 对于A、B组成的系统，有(mA＋mB)v2＝－(mAgh－mBgh)，解得v＝2 m/s。 方法三　由ΔEA＝－ΔEB解 对A、B组成的系统，有mAgh＋mAv2＝－， 解得v＝2 m/s。 (2)当B落地后，A以2 m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒定律可得mAgh′＝mAv2， 解得h′＝＝ m＝0.2 m。 [答案]　(1)2 m/s　(2)0.2 m 学科网（北京）股份有限公司 $