专题02 整式及因式分解（3年汇编）（山东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦整式及因式分解专题，汇编山东2024-2026中考真题及模拟题，含5大考点考情分析与命题规律总结，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/填空/解答|3-8分|幂的运算、整式运算、化简求值、规律探究、因式分解|结合日历情境考查整式探究（考点02解答题），注重整体代入思想（考点03）及图形/数表规律探究（考点04），贴合山东中考命题趋势。|

专题02 整式及因式分解 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01幂的运算 2026 烟台卷、德州卷、山东统考卷 2025 东营卷、德州卷2024 东营卷 为每年必考基础考点，以选择题为主，单题分值 3 分。核心考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则辨析，易错点集中在同类项合并与幂运算的混淆。近年新增逆用运算法则的条件求值考法，2026 年统考后仍侧重基础运算能力考查，难度稳定。 考点02整式及整式的运算 2026 德州卷、山东统考卷 2025 滨州卷 2024 山东统考卷、泰安卷、德州卷 题型覆盖选择、填空与解答题，分值 3-8 分。基础题侧重单项式次数判断、整式乘除与乘法公式辨析；解答题常结合日历等情境考查整式探究。近三年从单纯识记转向综合应用，2026 年新增情境化解答题，对代数表达能力要求提升。 考点03整式的化简求值 2025 威海卷、潍坊卷2024 德州卷、济宁卷、烟台卷 以填空、解答题为主，分值 4-6 分。多围绕整体代入思想考查，常结合一元二次方程根与系数关系命题。近三年整体代入法考查频次逐年上升，2024 年多地出现韦达定理结合题型，侧重代数变形能力，易错点为公式变形失误。 考点04代数式中的规律 2025 淄博卷、山东统考卷 2024 日照卷、济宁卷、潍坊卷、泰安卷 以选择、填空题为主，分值 3-4 分，是模块高频难点。涵盖数字、图形两类规律，常结合数表、图形拼接等情境设题。近三年综合性持续增强，从等差规律转向递推、乘方类规律，新增结合不等式求最值的考法，对归纳推理要求提升。 考点05因式分解 2025 青岛卷、东营卷、烟台卷 2024 威海卷、山东统考卷 均以填空题形式考查，分值 3 分，为每年必考基础点。命题以 “提公因式 + 公式法” 两步分解为主，核心考查平方差与完全平方公式。考法整体稳定，2024 年出现展开后再分解的变式，侧重分解彻底性，易错点为分解不彻底。 考点01 幂的运算 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东德州·中考真题）若 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点02 整式及整式的运算 一、单选题 1．（（2024·山东·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·山东德州·中考真题）整式的次数为_______． 5．（2026·山东·中考真题）计算：________． 6．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 7．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是________． 三、解答题 8．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 考点03 整式的化简求值 一、填空题 1．（2025·山东威海·中考真题）若，则___________． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是______． 4．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 二、解答题 5．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 6．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 考点04 代数式中的规律 一、单选题 1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 二、填空题 3．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 4．（2025·山东·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则______，______． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 考点05 因式分解 一、填空题 1．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 2．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 3．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：________． 4．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：________． 5．（2024·山东·中考真题）因式分解：________． 一、单选题 1．（2026·山东枣庄·二模）下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东聊城·一模）已知，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东日照·一模）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数，因为，所以是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是________；一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________．这两个数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·山东青岛·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东临沂·二模）已知，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2026·山东潍坊·二模）观察以下等式， ， ， ， ， 已知，则__________． 8．（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 9．（2026·山东聊城·二模）用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： __________． 10．（2026·山东临沂·一模）2026年1月的日历如图所示，已知某社区的便民服务站每6天开放一次，从2026年1月2日开始第一次开放，第二次开放时间为2026年1月8日⋯以此类推，则2026年（共365天）的最后一次开放是星期______． 11．（2026·山东济宁·二模）如图，将偶数从2开始按如下方向排列，2位于第1层，数字4~10分布在第2层，数字12~24分布在第3层，数字26~44分布在第4层，…，按此规律继续排列下去，数字2026出现在第____________层． 12．（2026·山东烟台·一模）如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 13．（2026·山东淄博·一模）观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则__________． 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 11 3 7 11 15 … 14 11 13 … … … … … a 17 b 表一 表二 表三 14．（2026·山东淄博·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“．”按如图所示的规律拼成图案，其中第1个图案中有6个小圆点，第2个图案中有11个小圆点，第3个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第133个图案中小圆点的个数为_______． 15．（2026·山东菏泽·一模）阅读材料： 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于． 若规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且我们进一步规定：一切实数均可以与该新数“”进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立．于是有，，，，从而对于任意正整数，我们可以得到，同理可得，，．那么的值为________． 16．（2026·山东临沂·二模）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________． 17．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 18．（2026·山东聊城·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 19．（2026·山东枣庄·二模）分解因式：____． 20．（2026·山东临沂·二模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 21．（2026·山东济宁·二模）有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 22．（2024·山东威海·一模）因式分解：________． 三、解答题 23．（2026·山东青岛·二模）我国公民18位身份证号码是按照第位是区域码，第位是出生日期码，第位是顺序码（对同年同月同日出生的人编的顺序号），第17位是性别码（男性用奇数1、3、5、7、9表示，女性用偶数0、2、4、6、8表示），第18位是校验码构成的．例如小明的身份证号码是． 注：最后一个X不是英文字母，而是罗马数字，表示10，这个数字是根据前面十七位数字码，按照校验码系统计算出来的校验码． 计算方法： 第一步：将身份证号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如表1所示： 身份证位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对应系数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 第二步：将这17位数字和系数相乘的结果相加，再把这个和除以11，看余数是多少．每个余数分别对应一个号码（如表2），确定最后一位身份证号码． 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最后一位身份证号 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 例如：小明身份证最后一位是这样确定的： 前17位数字分别乘以对应的系数（见表1）： 余数是2，对应身份证最后一位对应就是X（见表2）． (1)某人填写的身份证号码为370203201205021005，判断这个身份证号码是不是合法的号码．请说明理由． (2)青岛市市北区某户人家2026年5月2日喜得一对“龙凤胎”，哥哥和妹妹的顺序码分别是09、10，请按照身份证号码制定规则将他们缺失的身份证号码补全． 哥哥： 妹妹： 24．（2026·山东威海·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 25．（2026·山东淄博·二模）按要求解答： (1)化简求值：，其中； (2)解不等式组，并在图中所给的数轴上表示其解集． 26．（2026·山东青岛·二模）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 27．（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式及因式分解 3年真题1年模拟 考点分类 山东考情（2024-2026） 命题规律 考点01幂的运算 2026 烟台卷、德州卷、山东统考卷 2025 东营卷、德州卷2024 东营卷 为每年必考基础考点，以选择题为主，单题分值 3 分。核心考查同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方法则辨析，易错点集中在同类项合并与幂运算的混淆。近年新增逆用运算法则的条件求值考法，2026 年统考后仍侧重基础运算能力考查，难度稳定。 考点02整式及整式的运算 2026 德州卷、山东统考卷 2025 滨州卷 2024 山东统考卷、泰安卷、德州卷 题型覆盖选择、填空与解答题，分值 3-8 分。基础题侧重单项式次数判断、整式乘除与乘法公式辨析；解答题常结合日历等情境考查整式探究。近三年从单纯识记转向综合应用，2026 年新增情境化解答题，对代数表达能力要求提升。 考点03整式的化简求值 2025 威海卷、潍坊卷2024 德州卷、济宁卷、烟台卷 以填空、解答题为主，分值 4-6 分。多围绕整体代入思想考查，常结合一元二次方程根与系数关系命题。近三年整体代入法考查频次逐年上升，2024 年多地出现韦达定理结合题型，侧重代数变形能力，易错点为公式变形失误。 考点04代数式中的规律 2025 淄博卷、山东统考卷 2024 日照卷、济宁卷、潍坊卷、泰安卷 以选择、填空题为主，分值 3-4 分，是模块高频难点。涵盖数字、图形两类规律，常结合数表、图形拼接等情境设题。近三年综合性持续增强，从等差规律转向递推、乘方类规律，新增结合不等式求最值的考法，对归纳推理要求提升。 考点05因式分解 2025 青岛卷、东营卷、烟台卷 2024 威海卷、山东统考卷 均以填空题形式考查，分值 3 分，为每年必考基础点。命题以 “提公因式 + 公式法” 两步分解为主，核心考查平方差与完全平方公式。考法整体稳定，2024 年出现展开后再分解的变式，侧重分解彻底性，易错点为分解不彻底。 考点01 幂的运算 一、单选题 1．（2026·山东烟台·中考真题）下列运算结果为的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的基础运算法则，根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方对应运算法则计算各选项结果，即可得到答案． 【详解】选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，符合要求； 选项B：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，不符合要求； 选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，不符合要求； 选项D：和不是同类项，不能合并，结果不为，不符合要求． 2．（2026·山东德州·中考真题）若 ，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知得到，然后两式相乘得到，再利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则得到，再由积的乘方逆运算法则得到，即可得到，再变形求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 3．（2026·山东·中考真题）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，单项式乘单项式的法则逐个判断选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，运算正确，∴B正确； C、，∴C错误； D、，∴D错误． 4．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 5．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 6．（2024·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 考点02 整式及整式的运算 一、单选题 1．（（2024·山东·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可． 【详解】解：A．、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3．（2024·山东德州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．（2026·山东德州·中考真题）整式的次数为_______． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义，单项式的次数为单项式中所有字母的指数和求解即可． 【详解】解：该单项式中字母的指数为，字母的指数为， 因此次数为． 5．（2026·山东·中考真题）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 6．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 7．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是________． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 三、解答题 8．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： (2)若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 【答案】(1)①； ②为定值，理由如下： 由题意可得：，，， ∴． (2) 【分析】（1）①根据中心数的特点可得；②根据中心数的特点分别表示，，，再进一步求解即可； （2）先解方程，再结合中心数的特点可得答案． 【详解】（1）解：①由题意可得：； ②略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴不符合题意， ∴中心数为， ∴九宫格中最大的数为． 考点03 整式的化简求值 一、填空题 1．（2025·山东威海·中考真题）若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 3．（2024·山东济宁·中考真题）已知，则的值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 4．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 二、解答题 5．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 6．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 考点04 代数式中的规律 一、单选题 1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（    ） A． B．为偶数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B． 【详解】解：由题意得，此时， ，此时， 第3次构造后得到的一列数为， ∴，此时，故A正确，不符合题意； 同理可得，此时， ……， 以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意 ∴，，故C正确，不符合题意； ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 以此类推，也是偶数， ∴为偶数，故B正确，不符合题意； 故选：D． 2．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（    ） A．90 B．91 C．92 D．93 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可． 【详解】第1个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， …… 第6个图形有（个）正方形， 故选：B. 二、填空题 3．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 【答案】 【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可． 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 故答案为：． 4．（2025·山东·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则______，______． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 考点05 因式分解 一、填空题 1．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 3．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．（2024·山东·中考真题）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 一、单选题 1．（2026·山东枣庄·二模）下列运算中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则、负整数指数幂定义、积的乘方法则和完全平方公式计算各选项，判断正误即可． 【详解】解：A、，选项 A不符合题意； B、，选项 B符合题意； C、， 选项C不符合题意； D、， 选项D不符合题意． 2．（2026·山东聊城·一模）已知，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确；     D．，正确． 3．（2026·山东聊城·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4．（2026·山东日照·一模）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数，因为，所以是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是________；一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________．这两个数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据“十全数”定义求出最小四位数，再用字母表示数然后化简代数式，将整除条件转化为数字方程，通过枚举所有可能情况并验证，得出唯一满足条件的数． 【详解】解：若“十全数”最小，则， ， ，， 最小的“十全数”是； ， ，， ， ， ，， ， ， 与均是整数， ，均是整数， 能被整除，能被整除， ，， ， ， 的值可以为，，，，， 将以上值分别代入可得，仅当， 时，，均是整数，符合题意， ，， ． 5．（2025·山东青岛·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式及多项式除单项式的运算法则逐项计算作出判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 6．（2026·山东临沂·二模）已知，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式性质结合作差法，逐一判断各选项即可 【详解】解：已知 ，逐一判断选项： 对于A选项，，不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ，不等式两边同时减，不等号方向不变，得 ，选项错误； 对于B选项，，，不等式两边同除以，不等号方向改变，得 ，，选项错误； 对于C选项，，，不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ，即，选项错误； 对于D选项，作差得 ， ∵， ∴，， ∴， ∴，即 ，D正确 二、填空题 7．（2026·山东潍坊·二模）观察以下等式， ， ， ， ， 已知，则__________． 【答案】9 【分析】找出规律解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 解得：． 8．（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可解答． 【详解】解：由是常数，在单项式中，字母为，数字因数为，即的系数是． 9．（2026·山东聊城·二模）用所学公式计算下面题目： （1）； （2）； （3）； （4）． 用你发现的规律写出下题的结果： __________． 【答案】 【分析】根据计算所得结果即可得到规律，进而可求解． 【详解】解： （1）； （2）； （3）； （4）， 根据上述几题的结果可得：， ∴． 10．（2026·山东临沂·一模）2026年1月的日历如图所示，已知某社区的便民服务站每6天开放一次，从2026年1月2日开始第一次开放，第二次开放时间为2026年1月8日⋯以此类推，则2026年（共365天）的最后一次开放是星期______． 【答案】一 【分析】根据题意得到第n次开放时间为，由此可知这一年结束循环了61次，从第一次开放日（第 2 天）到最后一次开放日（第 362 天），中间间隔了天，根据一个 星期是7天一个循环，所以从第一次开放日（星期五）往后推3天得到是星期一，即可求解． 【详解】解：第一次开放是2026年1月2日，是星期五， 第二次开放时间为2026年1月8日，是星期四， 第三次开放时间为2026年1月14日，是星期三， 第四次开放时间为2026年1月20日，是星期二， 第五次开放时间为2026年1月26日，是星期一， ， ∴第n次开放时间为， ∵2026年共365天， ∴， 解得：， ∵n是整数， ∴，即这一年结束循环了61次， ∴（天），即2026年的第362天是开放的最后一次， 从第一次开放日（第2天）到最后一次开放日（第362天），中间间隔了天， ∵一个 星期是7天一个循环， ∴， ∴从第一次开放日（星期五）往后推3天得到是星期一， ∴最后一次开放是星期一． 11．（2026·山东济宁·二模）如图，将偶数从2开始按如下方向排列，2位于第1层，数字4~10分布在第2层，数字12~24分布在第3层，数字26~44分布在第4层，…，按此规律继续排列下去，数字2026出现在第____________层． 【答案】 27 【详解】解：由规律可知， 第1层有1个数字，该层的最大数字为； 第2层有4个数字，该层的最大数字为； 第3层有7个数字，该层的最大数字为； 第4层有10个数字，该层的最大数字为； 归纳可得，第n层的数字的个数为，该层最大的数字为， 当时，.， 当时，.， ∵， ∴出现在第27层． 12．（2026·山东烟台·一模）如图，将一根绳子折成4段，然后按图中所示方式剪开，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9段；……依此规律剪n刀，绳子变为________段． 【答案】/ 【分析】通过观察剪1刀、剪2刀时绳子的段数，分析段数与刀数的数量关系，归纳得出剪刀时绳子段数的通用表达式． 【详解】解：当剪刀时，段数为：； 当剪刀时，段数为：； 当剪刀时，段数为：； ； 由此归纳，剪刀时，绳子变为段． 13．（2026·山东淄博·一模）观察表一，寻找规律，表二和表三分别是从表一中选取的一部分，则__________． 0 1 2 3 … 1 3 5 7 … 2 5 8 11 … 11 3 7 11 15 … 14 11 13 … … … … … a 17 b 表一 表二 表三 【答案】 【详解】解：首先要熟悉表（一）中，各行和各列中数字之间的规律：第一行是从0开始连续的整数．第二行是从1开始依次多2．第三行是从2开始依次多3．．各列的规律和对应各行的规律一致． 表（二）中，根据发现的规律，得，即． 表（三）中，，即． ． 14．（2026·山东淄博·一模）将形状、大小完全相同的小圆点“．”按如图所示的规律拼成图案，其中第1个图案中有6个小圆点，第2个图案中有11个小圆点，第3个图案中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则第133个图案中小圆点的个数为_______． 【答案】666 【分析】观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个小圆点，因此可得出第n个图案的小圆点的数量为，再将代入求解即可． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“．”的个数为， 第②个图案中“．”的个数为， 第③个图案中“．”的个数为， ， ∴第n（n为正整数）个图案中“．”的个数为， ∴第133个图案中“．”的个数为． 15．（2026·山东菏泽·一模）阅读材料： 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于． 若规定一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且我们进一步规定：一切实数均可以与该新数“”进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立．于是有，，，，从而对于任意正整数，我们可以得到，同理可得，，．那么的值为________． 【答案】 【分析】根据已知运算规律，可得的幂次运算每次为一个循环，且一个循环内项的和为，计算总项数除以得到余数，再计算剩余项的和即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，，，，， ∴的幂次运算每次为一个循环，一个循环内的和为， ， ∴， ， ， ， ． 16．（2026·山东临沂·二模）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是________． 【答案】 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ，即. 17．（2026·山东菏泽·二模）已知，则______． 【答案】或 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程的求根公式求解，化简判别式后计算得到方程的根． 【详解】解： ∴，，， ∴ ， ∴， 解得或． 18．（2026·山东聊城·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则________． 【答案】4 【分析】先利用完全平方公式将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：对所求代数式变形得： ，是一元二次方程的两个根， ∴ 将代入得： 19．（2026·山东枣庄·二模）分解因式：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可求解． 【详解】解： ． 20．（2026·山东临沂·二模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 【答案】 【分析】根据题干给出的秦九韶算法的改写规则，对目标多项式进行变形，再将代入变形后的代数式计算． 【详解】解：由秦九韶算法的改写方法可得： ， 当时，． 21．（2026·山东济宁·二模）有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】对每个代数式进行因式分解，判断分解结果中是否含有因式即可得到答案． 【详解】解：① ，结果含有因式，符合要求； ② ，结果含有因式，符合要求； ③ ，结果含有因式，符合要求； ④ ， 无法分解因式，结果不含有因式，不符合要求． ∴①②③符合题意． 22．（2024·山东威海·一模）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，解题思路为先将原式整理为平方差的形式，利用平方差公式分解后，再对可分解的多项式继续分解，直到不能再分解为止． 【详解】解： ． 三、解答题 23．（2026·山东青岛·二模）我国公民18位身份证号码是按照第位是区域码，第位是出生日期码，第位是顺序码（对同年同月同日出生的人编的顺序号），第17位是性别码（男性用奇数1、3、5、7、9表示，女性用偶数0、2、4、6、8表示），第18位是校验码构成的．例如小明的身份证号码是． 注：最后一个X不是英文字母，而是罗马数字，表示10，这个数字是根据前面十七位数字码，按照校验码系统计算出来的校验码． 计算方法： 第一步：将身份证号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如表1所示： 身份证位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对应系数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 第二步：将这17位数字和系数相乘的结果相加，再把这个和除以11，看余数是多少．每个余数分别对应一个号码（如表2），确定最后一位身份证号码． 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最后一位身份证号 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 例如：小明身份证最后一位是这样确定的： 前17位数字分别乘以对应的系数（见表1）： 余数是2，对应身份证最后一位对应就是X（见表2）． (1)某人填写的身份证号码为370203201205021005，判断这个身份证号码是不是合法的号码．请说明理由． (2)青岛市市北区某户人家2026年5月2日喜得一对“龙凤胎”，哥哥和妹妹的顺序码分别是09、10，请按照身份证号码制定规则将他们缺失的身份证号码补全． 哥哥： 妹妹： 【答案】(1)该身份证不合法 (2)2；8 【分析】（1）根据规律计算验证即可； （2）根据规律计算即可． 【详解】（1）解 ：根 据 表 中 对 应 关 系 和 计 算 规 则 得：，， ∴余数为9，对照表格，余数9对应校验码为3，与题目给出的最后一位5不符，因此该身份证不合法； （2）解：青岛市市北区区域码为370203，出生日期2026年5月2日，出生日期码为20260502， 哥哥（男性，顺序码09，第17位为奇数5）： 前17位为37020320260502095， 计算乘积和得， ，余数10对应校验码为2， 因此哥哥完整身份证号为： 370203202605020952； 妹妹（女性，顺序码10，第17位为偶数0）： 前16位为3702032026050210， 最后一位为2，校验码为2对应余数10， 设第17位数字为a（的整数）， 计算乘积和得， 则余数为10， ∴， 因此妹妹完整身份证号为： 370203202605021082． 24．（2026·山东威海·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】 （1） （2）， 【分析】本题考查特殊角的三角函数的运算，整式的混合运算，代数式的化简求值，掌握好相应的运算法则是关键． （1）先将特殊角的三角函数化简，再按照含有乘方的实数混合运算的法则进行计算即可； （2）先根据整式混合运算的法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 当时，原式． 25．（2026·山东淄博·二模）按要求解答： (1)化简求值：，其中； (2)解不等式组，并在图中所给的数轴上表示其解集． 【答案】(1)5x+1,2 (2)， 【分析】（1）先根据完全平方公式化简，再把代入计算； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再取它们解集的公共部分，最后在数轴上表示出这个公共解集． 【详解】（1）解：， 当时，原式； （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示不等式组的解集略． 26．（2026·山东青岛·二模）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 27．（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： ，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： (1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____； (2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____； (3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____． 【答案】(1)和， (2) (3) 【分析】（1）对多项式因式分解得出 ，结合定义即可求解； （2）由题意令其“零值”为，则多项式可写成 ，可知，即可求解； （3）由得，故“对称值”为3．设多项式的另一个“零值”为，根据已知它的“对称值”与 相同，得出方程，求得的值，即可求解． 【详解】（1）对多项式因式分解，得 令，得； 令，得 因此多项式的“零值”为和 根据“对称值”定义计算得： ，即“对称值”为． （2）展开多项式 ，得 因为两个“零值”相等，设相等的“零值”为，则多项式可写成 对比系数得 ， 解得 ， 因此“对称值”为． （3）对 因式分解，得 ， 因此它的两个“零值”为和 已知该多项式有一个“零值”为，因此 计算 的“对称值”得： 设多项式的另一个“零值”为， 已知它的“对称值”与 相同，即对称值为，且一个零值为， 因此可得 解得，即另一个“零值”为． 试卷第1页，共3页 37 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $