吉林省实验中学2025-2026学年下学期高一年级学程性考试（三） 数学试卷

吉林省实验中学2025－2026学年度下学期 高一年级学程性考试（三）数学学科答案 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C B B A D B A B ABD AD ABD 填空题 12．2 13． 14．2 解答题 15．【答案】（1）200人（2）37.5 【解析】（1）由题可知组距为10，则：，解得； 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为：， 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为：． 16．【答案】（1）（2）小明的选择合理 【解析】（1）记4张“绿色食品知识卡”分别为，，，，记2张“生物医药知识卡”分别为，． 则从6张卡片中一次性抽取2张，样本空间为 ． 记参观者在方案一中挑战成功为事件， 则， 所以． 即方案一挑战成功的概率为． （2）设小明选择方案二挑战成功为事件，其对立事件为3道题全部答错． 由已知得，每道题答错的概率为，且各题回答结果相互独立， 所以． 所以． 又，， 即， 所以方案二挑战成功概率更高，因此小明的选择合理． 17．【答案】（1）（2）1 【解析】（1）由题，．在中，， 根据正弦定理可得 ． （2）在中，根据正弦定理可得，所以， 所以，可得． 又由（1）知，所以． 18．【答案】（1）略（2）（i）略（ii） 【解析】（1）证明：直线和直线相交，故，，，四点共面， 四棱锥中，，平面， 平面，故平面， 因为平面平面，平面， 故． （2）（i）证明：，，故， 故， 所以，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面． （ii）因为，为的中点， 故为的中点，且，故， 因为平面，平面， 故，且，，平面， 故平面， 故是直线与平面所成的角， 因为，， 所以，， 所以，即， 故直线与平面所成的角为． 19．【答案】（1）证明见解析 （2）当时平面，理由见解析 （3） 【解析】（1）为正三角形，为中点， ， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面， ， 在正方形中，易知， ， 而， ， ， ，，平面， 平面，平面， ． （2）存在，当时平面， 取的四等分点（靠近），取的四等分点（靠近），连接、、， 则，平面，平面，所以平面， 由，所以，所以， 又，，所以， 所以，平面，平面，所以平面， 又，，平面， 所以平面平面，平面，所以平面， 即当时平面． （3）取的中点，连接交于点，过点作交于点，连接 则且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，所以平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面，平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，又，所以，， 又，所以，又， ，，即，所以， 所以，所以， 故二面角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2025－2026学年度下学期 高一年级学程性考试（三） 数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 3．请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效．不得在答题卡上做任何标记． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1．一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是三角形，若，，则原三角形的面积为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知表示一条直线，，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．先将函数的图象向右平移，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A． B． C． D． 5．某学校从高三某次联考中随机抽取了甲班50名、乙班40名学生的成绩．已知甲班50名学生成绩的平均数为112分，方差为8，乙班40名学生成绩的平均数为94分，方差为8，则这90名学生成绩的方差为（ ） A．8 B．36 C．64 D．88 6．设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A． B． C． D． 7．某家用方形分装漏斗的主体结构可抽象成一个上大下小的正四棱台，若，，且侧面与上底面的夹角为，若不考虑材料厚度、接缝及裁剪损耗，制作该漏斗的侧面所需材料的面积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知事件和事件的概率，，下列结论中正确的是（ ） A．若事件和事件独立，则 B．若事件和事件独立，则 C．若事件和事件互斥，则 D．若事件和事件互斥，则 10．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为4的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A．若，则点的轨迹长度为 B．若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与夹角为，为线段上动点，则最小值为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知复数是纯虚数，则实数______． 13．已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R软件的控制台，输入“sample(0：999，20，)”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______． 14．已知满足，且其外接圆半径为2，则面积的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在内)，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 16．（15分）为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周”科普活动，设置了两个活动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品． 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶、咖啡、热带水果、特色农产品）和2张“生物医药知识卡”（涵盖中药材种植、生物制造产业），参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即一张绿色食品知识卡、一张生物医药知识卡），则挑战成功． 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功． （1）求参观者在方案一中挑战成功的概率； （2）如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为，且每道题的回答相互独立．你觉得他的选择是否合理？请通过计算说明你的理由． 17．（15分）如图，在中，．设点是边上一点，满足． （1）记，用表示； （2）若，求． 18．（17分）如图，四棱锥中，平面，，，为的中点，点在棱上，直线和直线相交． （1）求证：； （2）若，，． （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成的角． 19．（17分）如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点使得平面，存在指出位置，不存在请说明理由． （3）求二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $