精品解析：甘肃省定西市临洮县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为一切实数 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 3. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 4. 如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（ ） 所挂物体重量x(kg) 1 2 3 5 弹簧长度y() 9 11 13 17 A. 6 B. 7 C. 8 D. 8.5 7. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）象限． A. 第一、第二、第三 B. 第二、第三、第四 C. 第一、第三、第四 D. 第一、第二、第四 8. 某校从“纪律”“考勤”“卫生”“活动”四个方面对班级考核打分，进行优秀班级评选，各项满分均为分，所占比例如下表： 项目 纪律 考勤 卫生 活动 所占比例 九年级（3）班这四项的得分依次为，，，，则该班这四项的综合得分为（ ） A. B. C. D. 9. 若是一个整数，则n的最小正整数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 为了倡导节约用水，阳光小区物业随机抽取了8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，分别为7，8，9，9，10，10，10，11，则这组数据的众数是_______吨． 12. 如图，为估测被花坛隔开的A，B两点间的距离，先在外取一点C，找到的中点D，E，测得的长为．则A，B两点间的距离是______． 13. 若一辆汽车以50km/h的速度匀速行驶，行驶的路程为s（km），行驶的时间为t（h），则用t表示s的关系式为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 15. 已知三角形三边之长你能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 已知在△ABC中，，，，△ABC的面积是______． 16. 如图，正方形的边长为2，E是边上一点，将沿折叠，点C恰好落在对角线上的点处，则的长为________． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，从电杆离地面米处向地面拉一条米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电杆底部的距离？ 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，延长线上，且．求证：四边形为平行四边形． 20. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）判断支架，是否垂直； （2）求点C到的距离 21. 如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 22. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（单位：时），记忆留存率记为y（单位：），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． 请认真观察图象，回答下列问题： （1）自变量是_______；自变量的函数是_______； （2）请说明点D的实际意义：_______； （3）由图可知，知识记忆遗忘先_______后_______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐_______；（填序号） ①快；②慢；③增多；④减少． （4）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 24. 在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100． 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． （1）求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中． （2）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 25. 随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 （1）求总利润与的函数关系式； （2）若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 26. 在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 27. 已知直线：交x轴于点B，交y轴于点A． （1）如图1，若点A的坐标为，求直线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点P在y轴上，且，求满足条件的点P的坐标； （3）如图2，若直线：交于点D，点C的横坐标为，以下结论：，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级质量监测 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数这一性质，列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． ∴对于，有． ∴解得． 故选：B． 2. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】进行分母有理化，即分子、分母都乘以分母的有理化因式即可． 【详解】解：． 故选：B 【点睛】本题考查分母有理化，熟练掌握将分子、分母都乘以分母的有理化因式即可完成分母有理化是解题的关键． 3. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，则三个正方形的面积可以是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，5 C. 6，8，13 D. 5，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积，即可解答． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积+以为边长的正方形面积=以为边长的正方形的面积， ∵，，，， ∴选取的三块正方形纸片的面积可以是2，3，5， 故选：A． 4. 如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多边形，根据多边形的外角和等于即可求得答案． 【详解】解：边数． 故选：A 6. 在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（ ） 所挂物体重量x(kg) 1 2 3 5 弹簧长度y() 9 11 13 17 A. 6 B. 7 C. 8 D. 8.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的表示方法，根据表格找到规律计算即可． 【详解】由表格可得，所挂重物每增加，弹簧伸长， ∴弹簧不挂物体时的长度为， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）象限． A. 第一、第二、第三 B. 第二、第三、第四 C. 第一、第三、第四 D. 第一、第二、第四 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于一次函数，， ∴该直线经过第一、第二、第三象限． 8. 某校从“纪律”“考勤”“卫生”“活动”四个方面对班级考核打分，进行优秀班级评选，各项满分均为分，所占比例如下表： 项目 纪律 考勤 卫生 活动 所占比例 九年级（3）班这四项的得分依次为，，，，则该班这四项的综合得分为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，计算加权平均数，即可得四项综合得分． 【详解】解：． 9. 若是一个整数，则n的最小正整数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，要使为整数，必须是一个完全平方数．将18分解质因数后，分析需补充的因数，确定最小的正整数． 【详解】解：∵是一个整数， ∴是一个完全平方数， ∵ ∴n的最小正整数的值是2， 故选：B． 10. 已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 为了倡导节约用水，阳光小区物业随机抽取了8户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，分别为7，8，9，9，10，10，10，11，则这组数据的众数是_______吨． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键．众数是一组数据中出现次数最多的数据，找出这组数据中出现次数最多的数据即可． 【详解】解：数据为7，8，9，9，10，10，10，11中7出现1次，8出现1次，9出现2次，10出现3次，11出现1次，则众数是10． 故答案为：10． 12. 如图，为估测被花坛隔开的A，B两点间的距离，先在外取一点C，找到的中点D，E，测得的长为．则A，B两点间的距离是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边长的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴A，B两点间的距离是， 故答案为：18． 13. 若一辆汽车以50km/h的速度匀速行驶，行驶的路程为s（km），行驶的时间为t（h），则用t表示s的关系式为_________． 【答案】s＝50t 【解析】 【分析】根据“路程＝速度×时间”即可得出答案． 【详解】解：由路程＝速度×时间可得，s＝50t． 故答案为：s＝50t． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，理解路程＝速度×时间是解决问题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 15. 已知三角形三边之长你能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 已知在△ABC中，，，，△ABC的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】把三角形三边的长代入公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形面积，正确理解题意是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为2，E是边上一点，将沿折叠，点C恰好落在对角线上的点处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得，再根据勾股定理求出，即可求出．然后设，则，最后用勾股定理求出答案． 【详解】解：将沿着折叠得到，且点C落在对角线上的点， ∴． 在正方形中，， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 即， 解得， 所以． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘除法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 18. 如图，从电杆离地面米处向地面拉一条米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电杆底部的距离？ 【答案】米 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，延长线上，且．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：四边形为平行四边形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，，然后推出，即可证明． 【详解】略 20. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）判断支架，是否垂直； （2）求点C到的距离 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 21. 如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 【答案】，直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及求一次函数与坐标轴的交点坐标是关键．将代入，求得；令，求得直线与x轴的交点坐标；令，可求得直线与y轴的交点坐标． 【详解】解：由图象可知，点在直线上， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， ； 令，得， 直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． 22. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． （1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（单位：时），记忆留存率记为y（单位：），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． 请认真观察图象，回答下列问题： （1）自变量是_______；自变量的函数是_______； （2）请说明点D的实际意义：_______； （3）由图可知，知识记忆遗忘先_______后_______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐_______；（填序号） ①快；②慢；③增多；④减少． （4）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【答案】（1）学习后的时间；记忆留存率 （2）学习后第24小时，记忆留存率为 （3）①，②，④ （4）建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据函数的概念，结合函数图象即可得解； （2）根据点的坐标的意义即可得解； （3）根据函数图象即可得解； （4）提出一条合理的建议即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 24. 在“金话筒”我的阅读故事演讲比赛中，要从小宝和小安中选一位同学代表班级参赛，已知小宝和小安在之前的备赛环节的测试成绩如下： 小宝同学：60，70，73，80，89，91，92，96，98，100． 小安同学：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96． （1）求小宝同学的测试成绩数据的四分位数，，；根据四分位数可绘制如图的箱线图，并判断谁的成绩比较集中． （2）你认为应选派谁代表班级参加“金话筒”我的阅读故事演讲比赛？请说明理由． 【答案】（1），，，小安成绩比较集中 （2）选小宝，理由：最好成绩好，上四分位数更高； 选小安，理由：小宝同学成绩的平均数为， 小安同学成绩的平均数为， ∴小安的平均数高，下四分位数高，数据更稳定． 【解析】 【分析】（1）根据四分位数的计算方法求解，然后结合箱线图判断即可； （2）根据箱线图中的数据和平均数判断即可． 【小问1详解】 解：小宝同学成绩为60，70，73，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据， 解法一：第一四分位数为前5个数据的中位数， ∴第一四分位数， 中位数， 第三四分位数为后5个数据的中位数， ∴第三四分位数； 解法二：， ∴第一四分位数， 中位数， ， ∴第三四分位数； 观察图中小宝同学和小安同学的箱线图，小安成绩比较集中； 【小问2详解】 略 25. 随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 （1）求总利润与的函数关系式； （2）若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． 【小问2详解】 解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 26. 在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】（1） （2） ，理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【小问1详解】 ，， ，， ， ； 故答案是：． 【小问2详解】 略 27. 已知直线：交x轴于点B，交y轴于点A． （1）如图1，若点A的坐标为，求直线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点P在y轴上，且，求满足条件的点P的坐标； （3）如图2，若直线：交于点D，点C的横坐标为，以下结论：，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3） 正确，证明如下： 在中，令得， ∴， 联立， 解得， ∴， 在中，令得，令得， ∴， 过点C作轴于点，如图所示： ∴， ∴， 同理得：，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，两点间的距离公式的应用，解题的关键是掌握上述知识． （1）把代入即可求解； （2）设，根据解析式确定，由面积建立方程求解即可； （3）根据题意得出，联立两个函数确定，，利用勾股定理分别求出，，．代入求解计算即可 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，令得， ∴，即， ∵， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $