专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合函数的图象、函数与方程、函数模型及应用专题，通过知识脑图搭建核心脉络，分考点深研（含基础梳理与高阶思维）、素养进阶（涵盖题型探究、技法提炼、易错剖析）及优题精练模块，构建完整知识体系。 清单以“数形结合找临界”“复合方程的实数根”等难点解读培养数学思维，结合“高考母题探究”链接真题培养数学眼光，技法点拨（如函数图象变换判断）和易错点警示（如零点存在定理理解误区）助力精准突破。分层设计适配不同学情，优题精练强化实战，为学生自主复习提供清晰路径，辅助教师高效规划教学。

专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的图象 考点02函数与方程 考点03函数模型及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数形结合找临界 难点解读02复合方程的实数根 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数图象的识别 题型02根据函数零点的个数求参数 题型03函数模型的应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用图象变换作图象 重点02根据复杂函数解析式辨识图象 重点03函数零点个数的判断 重点04根据函数零点个数求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数图象变换判断 技法点拨02根据图象选择函数解析式 技法点拨03函数零点所在区间问题 技法点拨04二分法及其应用 技法点拨05二次函数模型的应用 技法点拨06分段函数模型的应用 技法点拨07指数函数模型的应用 技法点拨08对数函数模型的应用 技法点拨09幂函数模型的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01图象辨识只看局部不看整体致错 易错点02对零点存在定理理解不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． （1）①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)． （2）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， （3）描点，连线． 2、利用图象变换作函数的图象 （1）平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． （2）对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． （3）伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． （4）翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 【新题对点练】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意.故选：C 考点02 函数的零点及二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【新题对点练】（25-26高二下·山东日照·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 考点03 函数模型及其应用 1、几类函数模型 （1）一次函数模型：f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) （2）反比例函数模型：f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) （3）二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c（(a，b，c为常数，a≠0)） （4）指数函数模型：f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （5）对数函数模型f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （6）幂函数模型：f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【新题对点练】（25-26高三上·河北·期中）某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 【答案】C 【解析】在第一阶段，由， 即，得，而，所以解得， 即时第一阶段迭代结束，所以.在第二阶段， 由，即， 得， 而，所以解得，即时模型停止训练.故选：C. 难点解读01 数形结合找临界 1、函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系 函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交代你的横坐标之间可以相互转化，我们可以写出下面三个完全等价的命题： ①是关于的函数的零点； ②是关于的方程的实数根； ③是函数图象与函数图象交点的横坐标． 对于①，我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②，我们可以用方程相关知识与方法处理，对于③，我们可以用数形结合，根据两个函数的图象处理．这样我们就可以将三个问题转化为另一个，选用最简便的方法处理． 2、直曲相切&双曲公切找临界 在探讨函数的零点个数时我们常将问题转化力“研究函数图象与直线交点的个数” ．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候． 3、端点&间断点找临界 除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形． 4、数形结合找临界的一般步骤 第一步：将“函数的零点个数”的相关问题转化为“函数图象与函数图象的交点个数”的相关问题． 第二步：画出函数与函数的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形． 第三步：数形结合解答问题． 难点破解 【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数函数有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，当时，， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 当时，，， 所以， 作出函数的大致图象， 若函数有4个零点，即与有4个交点， 当直线过点时，；当直线过点时，； 由图可知，与有4个交点时，有，故选：D 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）设定义在的函数，若函数在区间上恰有10个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时，， 当时，，将上的图象，向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 以此类推，作出函数图象： 当时，即， 当与在上相切时， 可知，当时，解得， 此时，可得切点为， 可知，解得， 根据图象可知，实数的取值范围为.故选：C. 难点解读02 复合方程的实数根 1.复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根，，…或确定方程的根，，…的范围． 第二步：分别探讨关于的方程，…的实数根的个数（或结合图象观察函数的图象与函数的图象的交点个数），各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程的实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． 2、复合方程的有内到外 探讨“关于的复合方程的实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域，如有必要则画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，或求出参数的取值范围． 难点破解 【典例1】（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是.故选：A. 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有6个零点，所以要有1个解， 即，解得，故选：D. 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数图象的识别 考情定位：新高考选填基础高频题型，稳定考查，难度偏低，侧重考查函数性质综合辨析与图象特征识别能力，是函数板块基础得分题型． 核心考法：①根据函数解析式辨析对应图象形态；②结合定义域、奇偶性、单调性快速排错；③利用特殊点函数值、零点、极限趋势锁定图象；④结合图象变换规律识别复合函数图象． 解题要点：遵循“性质优先、特殊点验证、趋势兜底”的解题逻辑，不盲目完整作图，先通过基础性质排除明显错误选项，再代入关键特殊值核验，最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势确定最终图象，高效精准解题． 【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D.故选：B. 【典例2】（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D.故选：A. 题型02 根据函数零点的个数求参数 考情定位：新高考选填中档压轴高频题型，区分度高，综合性强，融合函数单调性、极值、图象、方程思想，是参数范围求解的核心热门题型． 核心考法：①将零点个数问题转化为两函数图象交点个数问题；②参变分离后结合函数图象走势求参数范围；③含参函数分类讨论单调性与极值，判定零点个数对应的参数区间；④分段、复合函数零点个数对应的参数约束问题． 解题要点：优先采用数形结合思想，化零点问题为图象交点问题；可分离参数则优先参变分离，转化为水平直线与函数图象的交点问题；无法分离参数则依据底数、对称轴、定义域等标准分类讨论，结合单调性、极值、端点值锁定参数范围，严格验证等号取舍条件． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 题型03 函数模型的应用 考情定位：新高考应用题必考题型，聚焦数学建模核心素养，贴合生活实际场景，侧重考查从实际问题抽象函数模型、求解并还原实际问题的能力． 核心考法：①根据实际变化规律匹配二次、分段、指数、对数、幂函数模型；②建立函数解析式并限定实际自变量定义域；③利用函数单调性、区间最值求解最优方案、最值、取值范围；④结合数据趋势拟合模型、预测实际数据． 解题要点：严格遵循建模解题流程，先设变量、提炼实际等量关系，精准匹配对应函数模型；必须结合实际场景约束自变量取值范围，在有效定义域内求解函数性质，最终将数学结果还原为实际问题答案，规范作答． 【典例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 重点01 利用函数图象变换作图象 绘制函数变换图象采用“基础图象+分步变换”标准化流程，先熟练画出一次、二次、指对幂等基础函数图象，严格遵循“先伸缩、后平移、再对称”的固定变换顺序分步作图；精准区分自变量变换与整体函数变换，牢记平移、伸缩、对称、翻折核心规则，重点掌握与两类绝对值翻折画法，作图后结合定点、单调性、定义域核验图象准确性． 【典例1】作出函数的图象． 【答案】 【解析】因，先作出的图像，将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 即得y＝的图像，如图. 【典例2】作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 重点02 根据复杂函数解析式辨识图象 辨析函数图象的入手点 1、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 2、从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 3、从函数的特征点，排除不合要求的图象． 4、从函数的单调性，判断图象的变化趋势． 5、从函数的周期性，判断图象的循环往复． 【典例1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且定义域为R， 所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项， 并且在y轴右侧，趋近于0时，，故， 故只有选项满足题意. 重点03 函数零点个数的判断 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【典例1】（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】令，则， 在同一直角坐标系中分别作出，的图象，如图所示， 观察可知，它们有3个交点，即有3个零点.故选：D. 【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】因为是定义在上的函数且满足，则关于对称， 又是奇函数，则，关于对称， 且当时，，可以画出的图形， 则的零点个数转化为与的交点个数， 如图，当时，， 故两个图像交点的个数为10，即的零点个数为10.故选：D 重点04 根据函数零点的个数求参数 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【典例1】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是.故选：B. 【典例2】（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数图象： 因为 方程化为，方程恰有三个不同的实数解， 等价于的图象有三个不同的交点， 所以由图可得，当，即时符合题意，故选：C 技法点拨01 函数图象变换的判断 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为.故选：A. 【典例2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图②可知，将在的图象沿着轴对称得到， 然后再沿着轴翻折，即可得到.故选：B 技法点拨02 根据图象选择函数解析式 采用“性质优先、多点验证、趋势兜底”的标准化解题思路，第一步通过定义域、值域、奇偶性、单调性快速排除错误选项；第二步代入特殊点、零点、定点验证函数值匹配度；最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势、渐近线特征锁定正确解析式，无需完整作图，高效完成图象与解析式匹配． 【典例1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减， 且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 【典例2】（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 技法点拨03 函数零点所在区间问题 判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【典例1】（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， ，， 根据零点存在定理，可知函数的零点所在区间为.故选：C 【典例2】（25-26高三上·重庆九龙坡·阶段检测）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是.故选：C 技法点拨04 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 【典例1】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或；故选：D 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解析】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．故选：C. 技法点拨05 二次函数模型的应用 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案． 【典例1】（24-25高三上·陕西渭南·期中）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【答案】(1)，；(2)行驶的最大速度为70千米时． 【解析】（1）由图象可知，点，在函数图象上， ，解得， ，； （2）令，得，解得， 又，    ， 即行驶的最大速度为70千米时． 【典例2】（24-25高三上·河北承德·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】(1)3；(2)方案①较合算，理由如下： 该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 【解析】（1）由题意可得，即，解得， ， 该车运输3年开始盈利.； （2）略 技法点拨06 分段函数模型的应用 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答． 【典例1】（25-26高三上·山东烟台·期中）某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1)；(2)10万件. 【解析】（1）由题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以，解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上，； （2）当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元）， 当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 【典例2】（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 【答案】(1)时，最大值；(2) 【解析】（1）时，， 则小白鼠血液中药物的浓度， 当时，， 当即时，； 当时，， 当即时，， 由于，故小白鼠在时，浓度最高，达到. （2）. 当时，可得， 在时单调递减， 则； 当时，可得， ， 则当，即时，， 又，. 技法点拨07 指数函数模型的应用 主打指数增长、指数衰减类实际问题，如人口增长、复利增长、衰减消耗等场景． 建模依托指数函数增减特性，结合实际数据确定底数与参数，利用指数函数单调性分析变化趋势、求解最值与预测值，全程把控自变量实际定义域，贴合指数爆炸、快速衰减的变化规律解题． 【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【答案】B 【解析】由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 【典例2】（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（    ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【答案】B 【解析】由题意，当时，， 根据题中数据，可列方程组，则，则， 即，所以，由，则， 所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间. 技法点拨08 对数函数模型的应用 适配增长速率逐渐放缓的实际场景，如响度、酸碱度、数据增幅拟合问题． 利用对数函数在定义域内单调递增、增长平缓的特性建立模型，结合换底公式、对数运算公式化简求解，依托函数单调性分析变量变化规律，精准求解实际取值与变化趋势问题． 【典例1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：，所以. 所以. 当时，（）. 【典例2】（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【解析】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得，整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 技法点拨09 幂函数模型的应用 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景． 【典例1】（25-26高三上·甘肃天水·阶段检测）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得，故选：D. 【典例2】（2024·广东广州·一模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【解析】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以．故选：D 易错点01 图象辨识只看局部不看整体致错 辨析：仅凭局部特殊点匹配图象，忽略函数整体单调性、极限趋近趋势、渐近线特征，选错匹配图象． 【典例1】（25-26高三下·四川成都·开学考试）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，关于原点对称， 又为奇函数，可排除B选项； 又时，可得，可排除A选项， 当时，, 当时，，所以当时，，当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确. 【典例2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，即 ， 因为 恒成立，所以 ，解得 或 ； 所以函数 的图象与 轴有两个交点，分别为 和 ， 观察选项：A选项图象与 轴只有一个交点，排除； C选项图象在 处与 轴有交点，排除； 对于D选项，当 时， ， ， 由指数函数与幂函数的增长速度可知， 即图象在 轴负半轴应无限趋近于 轴， 而D选项图象在 时 ，排除D, 当 时， ，且 ， 所以 ，图象在 轴上方，且在 轴负半轴应无限趋近于 轴； 当 时， ，所以 ，图象在 轴下方， 当 时， ，所以 ，图象在 轴上方； B选项符合上述所有特征. 易错点02 对零点存在定理理解不当致错 辨析：误以为端点异号则零点唯一，忽略区间内函数波动、极值穿越x轴的情况，导致零点个数判断失误；忽略函数间断点造成误判． 【典例1】实数是图象连续不断的函数定义域中的三个数，有满足，，则函数在区间上的零点有（    ） A．2个 B．奇数个 C．1个 D．至少2个 【答案】D 【解析】由题意有：，所以在至少存在一个零点， 又，所以在上至少存在一个零点， 所以在上至少存在2个零点，故选：D. 【典例2】（24-25高三下·云南昭通·阶段检测）（多选）已知定义在上的函数满足，，且的图象是一条连续不断的曲线，则（    ） A．在区间上可能存在零点 B．在区间上可能存在极值点 C．在区间上一定存在零点 D．在区间上一定存在极值点 【答案】ABC 【解析】当在区间上先减后增，且存在极值点时，若， 则设，，且的图象是一条连续不断的曲线， 故由零点存在性定理，在与上有两个零点，故A正确； 此时存在极值点，故B正确； 由，且的图象是一条连续不断的曲线， 故由零点存在性定理可知在区间上一定存在零点，故C正确； 若在区间上单调递减，此时D无法满足，故D错误．故选：ABC． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图像可知图像上点的横坐标变为原来的一半， 纵坐标变为原来的两倍得到函数的图像，所以.故选：A 2．（2025·重庆·模拟预测）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于B，由题可知函数 的图象，当 时，故B项错误； 对于A、C、D：对于函数 ， 当时，，故C、D项错误，A项正确.故选：A. 3．（2026·青海西宁·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得，易知函数的定义域为， 又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除AD； 当时，，排除C，故B符合题意. 4．（2026·四川·二模）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数定义域为，，因此是奇函数，故排除A. 当时，，又，所以.故排除C. 当时，，故排除D. 函数的部分图象可能是选项B. 5．（25-26高三下·湖南岳阳·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误； CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误； A选项，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当或时，；当或时，.A选项正确. 6．（2026·河南南阳·一模）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内.故选：A 7．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次.故选：B. 8．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 9．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得函数的图象关于点对称， 又，得函数的图象关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数的图象共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 10．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图象，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 11．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 12．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. 13．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 14．（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为， 由题意可得，则，即， 由于，所以的最小值为， 故至少需要脱碳处理的次数为. 15．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（    ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 【答案】C 【解析】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 二、填空题 16．（2026·湖北·二模）已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】易知，当时，，所以是的一个零点. 所以时，有3个零点，即有3个根， 即和的图象有3个交点． 设，，则和的图象有3个交点． 当时，和的图象有且仅有1个交点，不合题意，应舍去． 函数恒过定点且对称轴为，作出和的大致图象， 当，若与的图象相切，， 设切点，则，解得． 和的图象有3个交点，则． 当，时满足题意，解得， 综上所述，． $专题03 函数的图象、函数与方程、函数模型及应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01函数的图象 考点02函数与方程 考点03函数模型及其应用 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01数形结合找临界 难点解读02复合方程的实数根 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01函数图象的识别 题型02根据函数零点的个数求参数 题型03函数模型的应用 ▶重点突破・考法深研 重点01利用图象变换作图象 重点02根据复杂函数解析式辨识图象 重点03函数零点个数的判断 重点04根据函数零点个数求参数 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01函数图象变换判断 技法点拨02根据图象选择函数解析式 技法点拨03函数零点所在区间问题 技法点拨04二分法及其应用 技法点拨05二次函数模型的应用 技法点拨06分段函数模型的应用 技法点拨07指数函数模型的应用 技法点拨08对数函数模型的应用 技法点拨09幂函数模型的应用 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01图象辨识只看局部不看整体致错 易错点02对零点存在定理理解不当致错 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 函数的图象 1、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． （1）①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、对称性等)． （2）列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)， （3）描点，连线． 2、利用图象变换作函数的图象 （1）平移变换 【注意】“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f(x)整体上加减． （2）对称变换 ①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； ③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； ④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象． （3）伸缩变换 ①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； ②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象． （4）翻转变换 ①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； ②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． 【新题对点练】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（     ） A． B． C． D． 考点02 函数的零点及二分法 1、函数零点的定义 （1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数． 2、函数零点存在定理 （1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0， 那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （2）两个重要推论 推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． 推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 3、二分法 （1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． （2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证 ②求区间的中点 ③计算，进一步确定零点所在的区间： 若（此时），则就是函数的零点； 若（此时），则令； 若（此时），则令. ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． 【新题对点练】（25-26高二下·山东日照·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 考点03 函数模型及其应用 1、几类函数模型 （1）一次函数模型：f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) （2）反比例函数模型：f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) （3）二次函数模型：f (x)＝ax2＋bx＋c（(a，b，c为常数，a≠0)） （4）指数函数模型：f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （5）对数函数模型f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) （6）幂函数模型：f (x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2、三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 【新题对点练】（25-26高三上·河北·期中）某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（    ） A．307 B．308 C．309 D．310 难点解读01 数形结合找临界 1、函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系 函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交代你的横坐标之间可以相互转化，我们可以写出下面三个完全等价的命题： ①是关于的函数的零点； ②是关于的方程的实数根； ③是函数图象与函数图象交点的横坐标． 对于①，我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②，我们可以用方程相关知识与方法处理，对于③，我们可以用数形结合，根据两个函数的图象处理．这样我们就可以将三个问题转化为另一个，选用最简便的方法处理． 2、直曲相切&双曲公切找临界 在探讨函数的零点个数时我们常将问题转化力“研究函数图象与直线交点的个数” ．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候． 3、端点&间断点找临界 除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形． 4、数形结合找临界的一般步骤 第一步：将“函数的零点个数”的相关问题转化为“函数图象与函数图象的交点个数”的相关问题． 第二步：画出函数与函数的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形． 第三步：数形结合解答问题． 【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数函数有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）设定义在的函数，若函数在区间上恰有10个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 难点解读02 复合方程的实数根 1.复合方程的由外向内 探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下： 第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根，，…或确定方程的根，，…的范围． 第二步：分别探讨关于的方程，…的实数根的个数（或结合图象观察函数的图象与函数的图象的交点个数），各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程的实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围． 2、复合方程的有内到外 探讨“关于的复合方程的实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下： 第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域，如有必要则画出函数图象． 第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，或求出参数的取值范围． 【典例1】（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 函数图象的识别 考情定位：新高考选填基础高频题型，稳定考查，难度偏低，侧重考查函数性质综合辨析与图象特征识别能力，是函数板块基础得分题型． 核心考法：①根据函数解析式辨析对应图象形态；②结合定义域、奇偶性、单调性快速排错；③利用特殊点函数值、零点、极限趋势锁定图象；④结合图象变换规律识别复合函数图象． 解题要点：遵循“性质优先、特殊点验证、趋势兜底”的解题逻辑，不盲目完整作图，先通过基础性质排除明显错误选项，再代入关键特殊值核验，最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势确定最终图象，高效精准解题． 【典例1】（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据函数零点的个数求参数 考情定位：新高考选填中档压轴高频题型，区分度高，综合性强，融合函数单调性、极值、图象、方程思想，是参数范围求解的核心热门题型． 核心考法：①将零点个数问题转化为两函数图象交点个数问题；②参变分离后结合函数图象走势求参数范围；③含参函数分类讨论单调性与极值，判定零点个数对应的参数区间；④分段、复合函数零点个数对应的参数约束问题． 解题要点：优先采用数形结合思想，化零点问题为图象交点问题；可分离参数则优先参变分离，转化为水平直线与函数图象的交点问题；无法分离参数则依据底数、对称轴、定义域等标准分类讨论，结合单调性、极值、端点值锁定参数范围，严格验证等号取舍条件． 【典例1】（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是____． 【典例2】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 题型03 函数模型的应用 考情定位：新高考应用题必考题型，聚焦数学建模核心素养，贴合生活实际场景，侧重考查从实际问题抽象函数模型、求解并还原实际问题的能力． 核心考法：①根据实际变化规律匹配二次、分段、指数、对数、幂函数模型；②建立函数解析式并限定实际自变量定义域；③利用函数单调性、区间最值求解最优方案、最值、取值范围；④结合数据趋势拟合模型、预测实际数据． 解题要点：严格遵循建模解题流程，先设变量、提炼实际等量关系，精准匹配对应函数模型；必须结合实际场景约束自变量取值范围，在有效定义域内求解函数性质，最终将数学结果还原为实际问题答案，规范作答． 【典例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ） A． B． C． D． 重点01 利用函数图象变换作图象 绘制函数变换图象采用“基础图象+分步变换”标准化流程，先熟练画出一次、二次、指对幂等基础函数图象，严格遵循“先伸缩、后平移、再对称”的固定变换顺序分步作图；精准区分自变量变换与整体函数变换，牢记平移、伸缩、对称、翻折核心规则，重点掌握与两类绝对值翻折画法，作图后结合定点、单调性、定义域核验图象准确性． 【典例1】作出函数的图象． 【典例2】作出下列函数的图象 (1)； (2)； (3)； 重点02 根据复杂函数解析式辨识图象 辨析函数图象的入手点 1、从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 2、从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 3、从函数的特征点，排除不合要求的图象． 4、从函数的单调性，判断图象的变化趋势． 5、从函数的周期性，判断图象的循环往复． 【典例1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（    ） A． B． C． D． 重点03 函数零点个数的判断 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 【典例1】（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 重点04 根据函数零点的个数求参数 已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【典例1】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 函数图象变换的判断 解题严格遵循“先伸缩、再平移、后对称”的标准变换顺序，区分自变量变换与整体函数变换的本质差异，牢记“左加右减、上加下减”平移规则、横竖伸缩系数规律． 重点辨析与两类绝对值翻折变换特征，结合函数定点、单调性、对称性辅助验证变换结果，精准规避变换顺序错乱、规则混淆等问题． 【典例1】（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【典例2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知图①对应的函数为，则图②对应的函数是（    ）    A． B． C． D． 技法点拨02 根据图象选择函数解析式 采用“性质优先、多点验证、趋势兜底”的标准化解题思路，第一步通过定义域、值域、奇偶性、单调性快速排除错误选项；第二步代入特殊点、零点、定点验证函数值匹配度；最后结合函数增减速率、无穷趋近趋势、渐近线特征锁定正确解析式，无需完整作图，高效完成图象与解析式匹配． 【典例1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 技法点拨03 函数零点所在区间问题 判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点． 【典例1】（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·重庆九龙坡·阶段检测）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 技法点拨04 二分法及其应用 明确二分法适用前提：函数在区间上连续且端点函数值异号。固定解题流程：确定初始区间→取区间中点→计算中点函数值→判断零点所在子区间→不断缩小区间，循环迭代直至满足题目精度要求．主要用于求解方程近似解、锁定零点精准区间，迭代过程严格依据符号判断区间取舍． 【典例1】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 技法点拨05 二次函数模型的应用 适用于最值优化、动态变化类实际问题，建模核心是提取变量二次对应关系，构建二次函数解析式． 解题优先确定自变量实际取值范围，结合二次函数开口方向、对称轴位置，判断对称轴与闭区间的位置关系，求解区间最值与取值范围，最终结合实际情境验证结果、还原实际问题答案． 【典例1】（24-25高三上·陕西渭南·期中）行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某路面上，某种型号汽车的刹车距离（米）与汽车的车速（千米／时）满足下列关系：（，是常数，）.根据多次实验数据绘制的刹车距离（米）与汽车的车速（千米/时）的关系图，如图所示. (1)求，的值； (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 【典例2】（24-25高三上·河北承德·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 技法点拨06 分段函数模型的应用 适配分段变化、阶段性规律的实际问题，根据不同自变量区间对应不同函数解析式，分段建立模型、分段求解．解题关键是精准划分自变量取值区间，严格遵循各段函数解析式的运算规则，分别求解各段最值、范围，最后整合所有区间结果，贴合实际场景综合作答． 【典例1】（25-26高三上·山东烟台·期中）某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【典例2】（25-26高三上·湖北·期中）为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：为常数），若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间满足关系式：，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰.（注：4小时内意思是小于或等于4小时） (1)若，求4小时内，小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ (2)若使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4，求实数的取值范围. 技法点拨07 指数函数模型的应用 主打指数增长、指数衰减类实际问题，如人口增长、复利增长、衰减消耗等场景． 建模依托指数函数增减特性，结合实际数据确定底数与参数，利用指数函数单调性分析变化趋势、求解最值与预测值，全程把控自变量实际定义域，贴合指数爆炸、快速衰减的变化规律解题． 【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）某电子产品的电池健康度随循环次数衰减的函数模型为，其中为常数，．已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加（    ） （参考数据：） A．120 B．150 C．170 D．180 【典例2】（2026·山东聊城·模拟预测）某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（    ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 技法点拨08 对数函数模型的应用 适配增长速率逐渐放缓的实际场景，如响度、酸碱度、数据增幅拟合问题． 利用对数函数在定义域内单调递增、增长平缓的特性建立模型，结合换底公式、对数运算公式化简求解，依托函数单调性分析变量变化规律，精准求解实际取值与变化趋势问题． 【典例1】（2026·陕西安康·模拟预测）已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·云南·三模）某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 技法点拨09 幂函数模型的应用 适用于中等增速、常规变量关联的实际拟合问题，依托第一象限幂函数图象规律与单调性解题． 根据幂指数正负、大小判断函数增减速率与图象走势，结合实际数据拟合幂函数模型，求解变量对应关系、取值范围与变化规律，适配常规非线性变化的实际应用场景． 【典例1】（25-26高三上·甘肃天水·阶段检测）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东广州·一模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 易错点01 图象辨识只看局部不看整体致错 辨析：仅凭局部特殊点匹配图象，忽略函数整体单调性、极限趋近趋势、渐近线特征，选错匹配图象． 【典例1】（25-26高三下·四川成都·开学考试）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·湖北·阶段检测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 易错点02 对零点存在定理理解不当致错 辨析：误以为端点异号则零点唯一，忽略区间内函数波动、极值穿越x轴的情况，导致零点个数判断失误；忽略函数间断点造成误判． 【典例1】实数是图象连续不断的函数定义域中的三个数，有满足，，则函数在区间上的零点有（    ） A．2个 B．奇数个 C．1个 D．至少2个 【典例2】（24-25高三下·云南昭通·阶段检测）（多选）已知定义在上的函数满足，，且的图象是一条连续不断的曲线，则（    ） A．在区间上可能存在零点 B．在区间上可能存在极值点 C．在区间上一定存在零点 D．在区间上一定存在极值点 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·青海西宁·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川·二模）函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖南岳阳·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南南阳·一模）已知函数，利用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·辽宁抚顺·一模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（    ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 二、填空题 16．（2026·湖北·二模）已知函数．若函数（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是______． $