专题5.1-5.2 认识方程、等式的基本性质（知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦“认识方程、等式的基本性质”核心知识点，系统梳理方程的定义（含未知数的等式）、方程的解（使等式成立的未知数的值）及等式的性质（加减、乘除运算规律），构建从概念理解到考点应用（判断方程、列方程、求参数等）再到真题演练与分层练习的完整学习支架。 资料以结构化知识梳理为基础，结合典例精讲与变式训练（如“x的3倍与5的和比x大2”列方程实例），融入中考真题与基础夯实、培优拔高分层练习。通过实际情境抽象方程培养数学眼光（抽象能力），借助等式性质推理发展数学思维（推理意识），用方程表达问题强化数学语言（模型意识），课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固、查漏补缺。

专题5.1-5.2 认识方程、等式的基本性质 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：方程的定义 1 知识点梳理02：方程的解 2 知识点梳理03：等式的性质 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：判断各式是否是方程 2 考点2：列方程 3 考点3：判断是否是方程的解 3 考点4：已知方程的解，求参数 3 考点5：等式的性质1 4 考点6：等式的性质2 4 中考真题 实战演练 4 难度分层 拔尖冲刺 5 基础夯实 5 培优拔高 6 知识点梳理01：方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点梳理02：方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点梳理03：等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 考点1：判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西延安·月考）下列各式中，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）下列各式中，是方程的是(　　) A． B． C． D． 考点2：列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【变式训练1】（25-26七年级上·天津·月考）x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为 ； 【变式训练2】（25-26七年级上·江西南昌·期中）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 考点3：判断是否是方程的解 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列方程中解为的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南周口·月考）是下列哪个方程的解（    ） A． B．5 C．6 D．3 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在，0，1，2，3，4中，哪些值是方程的解？ 考点4：已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆开州·月考）若是关于x的方程的解，则m的值为 ． 【变式训练1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·江西南昌·月考）已知关于的一元一次方程的解为正整数，且关于的多项式为三次多项式，则所有满足条件的整数的和为（    ） A． B． C． D． 考点5：等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏南通·期中）有理数，下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·广西南宁·月考）下列等式变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点6：等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·月考）根据等式的性质，下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式训练1】（25-26七年级上·广东东莞·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为 ． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 2．（2024·上海·中考真题）若，则 ． 3．（2024·河南洛阳·中考真题）整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：则关于的方程的解是 ． 4．（2024·重庆·中考真题）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2024·陕西西安·中考真题）计算题： (1)计算：； (2)简便运算：； (3)解方程：． 基础夯实 1．（25-26七年级上·重庆南川·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式和多项式统称为整式 B．倒数等于本身的数有0和1 C．所有等式都是方程 D．最小的有理数是0 2．（25-26七年级上·福建厦门·月考）若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 3．（25-26七年级上·山西大同·月考）根据等式的性质，下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（25-26七年级上·广东梅州·月考）根据等式的性质填空：若，则 ． 5．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）如果，那么 ． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为 ． 7．（25-26七年级上·江西南昌·月考）若是关于的方程的解，则的值是 ． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，列出下列方程． (1)x的5倍与2的和等于x的与4的差； (2)一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果能使等式成立，那么a的值是多少？ 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）请利用等式的基本性质，将下列方程化成的形式． (1)； (2)． 培优拔高 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 12．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列描述正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．的系数是，次数是4 C．若，则 D．若，则 13．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 15．（25-26七年级上·山东日照·月考）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 16．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是 （填序号）． 18．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1-5.2 认识方程、等式的基本性质 （知识梳理+6个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：方程的定义 1 知识点梳理02：方程的解 2 知识点梳理03：等式的性质 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：判断各式是否是方程 2 考点2：列方程 4 考点3：判断是否是方程的解 5 考点4：已知方程的解，求参数 6 考点5：等式的性质1 7 考点6：等式的性质2 8 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 17 知识点梳理01：方程的定义 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． 在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如x+3＝8，在x＝5时等号成立． 知识点梳理02：方程的解 （1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性． （2）规律方法总结： 无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 知识点梳理03：等式的性质 （1）等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （2）利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． 应用时要注意把握两关： ①怎样变形； ②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 考点1：判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【思路点拨】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【规范解答】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西延安·月考）下列各式中，是方程的有 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【思路点拨】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【规范解答】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）下列各式中，是方程的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了方程的定义，解题的关键是明确方程需同时满足“含有未知数”和“是等式”这两个条件；根据方程的定义，逐一判断各选项是否同时具备这两个特征． 【规范解答】解：A、是等式，但不含未知数，此选项不符合题意； B、含有字母，但不是等式，此选项不符合题意； C、是不等式，不是等式，此选项不符合题意； D、，既含有未知数，又是等式，符合方程的定义，此选项符合题意． 故选：D． 考点2：列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了列方程，准确将文字语言转化为数学表达式是解题的关键． （1）分别表示出与的差，的倍，即可列出方程； （2）分别表示出的倍，的一半，即可列出方程． 【规范解答】（1）解：与的差表示为：，的倍表示为：，故所列方程为：； （2）的倍表示为，的一半表示为，故所列方程为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·天津·月考）x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为 ； 【答案】 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找相等关系，首先要找到反映相等关系的关键词，如：多，少，倍等．根据题意列出方程即可． 【规范解答】解：x的3倍为，与5的和为，比x大2即． 故答案为． 【变式训练2】（25-26七年级上·江西南昌·期中）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，印章的表面积为，那么可列出方程为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查方程的应用，熟练根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据正方形的面积公式、等边三角形的面积公式，列出方程即可． 【规范解答】解：根据题意得，所有正方形的面积为、所有等边三角形的面积为， 因此，列方程为：， 故答案为：． 考点3：判断是否是方程的解 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列方程中解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入各个方程进行检验，看能否使方程的左右两边相等． 【规范解答】解：∵对于选项A∶当时，左边，右边，，∴不是方程的解． 对于选项B∶当时，左边，右边，，∴不是方程的解． 对于选项C∶当时，左边，右边，左边=右边，∴是方程的解． 对于选项D∶当时，左边，右边，，∴不是方程的解． 故选C． 【变式训练1】（25-26七年级上·河南周口·月考）是下列哪个方程的解（    ） A． B．5 C．6 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了方程的解． 将代入各方程，验证等式是否成立即可． 【规范解答】解：A：当时，左边，右边，，故A不成立； B：当时，左边，右边，，故B不成立； C：当时，左边，右边，，故C成立； D：当时，左边，右边，，故D不成立； 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在，0，1，2，3，4中，哪些值是方程的解？ 【答案】0和3 【思路点拨】本题考查了方程的解． 逐一代入检验即可． 【规范解答】解：当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 当时，，，两边相等，可知是方程的解； 当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 当时，，，两边相等，可知是方程的解； 当时，，，两边不相等，可知不是方程的解； 因此，方程的解为0和3． 考点4：已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆开州·月考）若是关于x的方程的解，则m的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入方程，即可得到一个关于m的方程，求解即可． 【规范解答】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：3． 【变式训练1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了求代数式的值，一元一次方程的解， 将方程的解代入方程得到参数关系，再代入所求表达式计算． 【规范解答】解：因为是方程的解， 所以， 所以 ． 故答案为：1． 【变式训练2】（25-26七年级上·江西南昌·月考）已知关于的一元一次方程的解为正整数，且关于的多项式为三次多项式，则所有满足条件的整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了方程的解的定义、多项式的次数，关键是知识点的熟练应用； 先解方程得到解的表达形式，根据解为正整数确定可能的值，再根据多项式为三次多项式，排除不符合的值，最后求满足条件的的和. 【规范解答】解：∵ 方程 的解为 ，且解为正整数， ∴ 且为整数， ∴ 为的正因数，即、、、， ∴ 或 或 或 . 又∵ 多项式 为三次多项式， ∴ ，即 ， ∴ 满足条件的整数为、、， ∴ 和为 ； 故选：A． 考点5：等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）下列说法中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【思路点拨】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析判断即可． 【规范解答】解： A. 若，则，故该选项错误，不符合题意； B. 若，则，故该选项正确，符合题意； C. 若，则，故该选项错误，不符合题意； D. 若，则可得，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏南通·期中）有理数，下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是等式的性质，乘方，绝对值的含义，利用举反例的方法可判断选项 A 和 C 、D ，利用等式的性质可判断B． 【规范解答】解：∵， 当，时，，，故A，C不符合题意； 当时，不成立，故D不符合题意； ∵ ， ∴ ∴ ，故B符合题意． 故选： B． 【变式训练2】（25-26七年级上·广西南宁·月考）下列等式变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等式的性质逐项判断选项． 【规范解答】解：A：，但，故A错误． B：，两边同时减去，再同时减去1，得，故B错误． C：，两边同时减去1，得，故C正确． D：，当时，x与y不一定相等，故D错误． 故选：C． 考点6：等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·月考）根据等式的性质，下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【思路点拨】本题考查等式的性质，熟练并准确掌握等式的性质是解题关键．根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为零），等式仍然成立． 【规范解答】解：对于A：∵ ，则，而， ∴ A错误； 对于B：∵ ，两边减2得，而非， ∴ B错误； 对于C：∵ ，两边乘2得，成立， ∴ C正确； 对于D：∵ ，两边除以得，而非， ∴ D错误． 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·广东东莞·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【思路点拨】本题考查等式的性质：等式两边加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，结果仍相等． 根据等式的性质逐一判断各选项是否满足正确即可． 【规范解答】解：A：当时，分母为零，变形错误； B：由，应得，而非，变形错误； C：由，两边同乘，得，正确； D：由，两边同乘2，得，而非，变形错误． 故选C． 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将等式变形为（为常数）的形式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等式的性质，根据等式的性质解答即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【规范解答】解：等式两边同时加，得， 两边同时除以，得， 故答案为：． 1．（2024·浙江杭州·中考真题）已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一元一次方程的解的含义，代数式的值，先把代入原方程可得：，再整体代入代数式求值即可． 【规范解答】解：∵是方程的一个解， ∴，即， ∴， 故答案为：． 2．（2024·上海·中考真题）若，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是等式性质的应用，通过设比值为，并利用等式性质，分和 两种情况讨论即可． 【规范解答】解：设，则 （1） （2） （3） 将（1）、（2）、（3） 相加得： ， 左边合并同类项：， 右边：， 所以， 若，则， 若，则从（1）式得，代入 ， 同理其他分式也等于，故， 因此，比值为或， 故答案为：或． 3．（2024·河南洛阳·中考真题）整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值：则关于的方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的解，由，则，再根据由表格中的数据即可解答，掌握等式的性质成为解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 由表格可知，关于的方程的解是， 故答案为：． 4．（2024·重庆·中考真题）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查等式的基本性质，理解等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【规范解答】解： A：等式，两边除以，得，正确，此选项不符合题意； B：等式，两边乘以c，得 ，正确，此选项不符合题意；   C：等式，且，两边乘以c，得，正确，此选项不符合题意； D：等式，当时，a与b不一定相等， 变形错误，此选项符合题意．   故选：D． 5．（2024·陕西西安·中考真题）计算题： (1)计算：； (2)简便运算：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（）先进行乘方和乘除运算，再进行加减运算即可； （）利用乘法分配律运算即可； （）根据等式的性质解答即可； 本题考查了有理数的混合运算，解方程，正确计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 基础夯实 1．（25-26七年级上·重庆南川·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式和多项式统称为整式 B．倒数等于本身的数有0和1 C．所有等式都是方程 D．最小的有理数是0 【答案】A 【思路点拨】本题考查整式、倒数、方程和有理数的概念，准确理解概念定义是解题的关键．根据整式、倒数、方程和有理数的概念逐项判断即可． 【规范解答】解：、单项式和多项式统称为整式，故本选项符合题意； 、倒数等于本身的数是，0没有倒数，故本选项不符合题意； 、方程必须是含有未知数的等式，故本选项不符合题意； 、有理数没有最小值，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26七年级上·福建厦门·月考）若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了已知方程的解，求参数，将代入方程求解，即可解题． 【规范解答】解：∵是方程的解， 将代入方程有：， 解得， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山西大同·月考）根据等式的性质，下列说法正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等式的性质，关键是熟练应用等式的性质； 根据等式的基本性质，即等式两边同时加、减、乘或除（除数不为零）同一个数，等式仍然成立，判断各选项的正确性． 【规范解答】解：对于A： ∵ ， ∴ ，但选项为，错误； 对于B： ∵ ， ∴ ，但选项为，错误； 对于C： ∵ ， ∴ ，正确； 对于D： ∵ ， ∴ ，但选项为，错误； 故答案选：C． 4．（25-26七年级上·广东梅州·月考）根据等式的性质填空：若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质，等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立，由此求解即可． 【规范解答】解：由， 等式两边同时减去4，得， 即， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖南益阳·期中）如果，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查等式的性质，通过等式变形求解空白处． 【规范解答】解：给定等式 ， 根据等式的性质，等式两边同时加上 ， 得 ． 因此，空白处应填 ． 故答案为 ． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的解、代数式求值，掌握相关知识是解题的关键．根据题意将代入得出，再代入代数式，即可求解． 【规范解答】解：是关于x的一元一次方程的解， ，即， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江西南昌·月考）若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 先将代入方程可得，再由即可得到答案． 【规范解答】解：是关于的方程的解， ， ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意，列出下列方程． (1)x的5倍与2的和等于x的与4的差； (2)一支球队参加比赛，开局9场保持不败，共积21分．比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，则该队共胜的场数为多少场． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了根据实际问题抽象出一元一次方程，正确结合已知得出等量关系是解题关键． （1）先表示出x的5倍与2的和为，再表示出x的与4的差为，再根据相等关系列方程即可； （2）根据所得的总积分为21分，可以列出相应的方程． 【规范解答】（1）解：根据题意得：； （2）解：设该队前9场比赛共胜了x场，则平了场．根据题意，． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果能使等式成立，那么a的值是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了等式的性质． 将代入，根据等式的性质求解a即可． 【规范解答】解：∵能使等式成立， ∴将代入得， 即， ∴， ∴． 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）请利用等式的基本性质，将下列方程化成的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程． （1）根据等式的性质1得到，根据等式的性质2得到； （2）根据等式的性质1得到即可． 【规范解答】（1）解：由等式的性质1可知， 即， 由等式的性质2可知， 即； （2）解：由等式的性质1可知， 即． 培优拔高 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【思路点拨】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键． 根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案． 【规范解答】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥， 则个正方体个三棱锥个球， 由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体， 则1个正方体个三棱锥个球， 那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球， 故1个三棱锥个球， 那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球， 由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球， 则天平右边应放个球， 故选：D． 12．（25-26七年级上·四川成都·期中）下列描述正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．的系数是，次数是4 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的概念、单项式的系数与次数、等式的基本性质等基础知识点，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据有理数的概念、单项式的系数与次数、等式的基本性质逐一判断即可． 【规范解答】解：有理数的定义是“整数和分数统称有理数”，也可以说“正有理数、0和负有理数统称有理数”，选项A漏掉了“0”，因此选项A错误； 对于单项式，系数是单项式中的数字因数，即，次数是所有字母的指数和，x的指数是1，y的指数是2，总次数为，选项B的系数漏掉了，次数计算错误，因此选项B错误； 若，在等式两边同时减1，根据等式的基本性质，等式仍然成立，，即两边同时乘以，等式仍成立，因此C正确； 若，当时，和的分母为0，无意义，因此不能直接得出，因此D错误； 故选：C． 13．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了已知方程的解，求参数，解题关键是掌握方程的解并能运用求解． 根据方程的解的意义求解即可． 【规范解答】解：原方程可变形为： 令， 则方程化为 关于的一元一次方程的解为， ∴ 对于方程，与方程形式相同， ∴方程的解为， 故选：A． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·月考）已知是关于的方程的解，则式子的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，关键是整体代入思想的应用； 将 代入方程，得到与的关系式，再整体代入求值． 【规范解答】解：∵是关于的方程的解， ∴ 即， 整理得， ∴ ， ∴． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·山东日照·月考）已知为实数，关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了方程的解． 将第二个方程变形，得到与第一个方程相似的形式，利用第一个方程的解，推导出，从而求出y的值． 【规范解答】解：， ， ， ∵关于的方程的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一个人先沿水平道路前进千米，继而沿千米长的山坡爬到了山顶，之后又沿原路返回到出发点，全程共用了小时，已知此人在水平路上每小时走千米，上山每小时走千米，下山每小时走千米，则此人所走的全程是 千米． 【答案】 【思路点拨】本题考查了代数式求值，等式的性质，由题意可知，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由题意可知， 解得， ∴（千米）， 故答案为：． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】② 【思路点拨】本题考查了等式的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握等式的基本性质. 注意除数不能为0． 【规范解答】解：①若，则无意义，若，等式左右两边同除以． ②若，等式左右两边同乘以． 故答案为：②． 18．（25-26七年级上·湖北随州·期中）在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的： 解：方程两边加3，得．① 化简，得． 方程两边除以，得．② 所以此方程无解． (1)上述过程中，第①步的依据是什么？ (2)请分析小华第②步产生错误的原因； (3)写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立． (2)方程两边除以x时，x可能为0，而0不能作为除数． (3)见解析 【思路点拨】本题考查了利用等式的性质解方程． （1）根据等式的性质1作答即可； （2）根据等式的性质2作答即可； （3）根据等式的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立； （2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数； （3）解：正确的解题过程如下： 方程：， 方程两边加3，得， 方程两边减去，得， 即． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【思路点拨】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【规范解答】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【规范解答】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $