2.3二次函数与一元二次不等式同步练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦二次函数与一元二次不等式，通过基础巩固、中档提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的递进，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|解不等式、集合运算、根与系数关系|单选1-5、填空11-14、解答17-18，夯实概念理解与基本运算| |中档层|参数不等式、简单实际应用|单选6-8、填空15-16，提升推理能力与数学表达| |提升层|综合命题、复杂实际情境（销售、几何、利润）|单选9-10、解答19-20，培养数学建模与问题解决能力|

2.3 二次函数与一元二次不等式 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设全集，集合，则中元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若实数满足，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 3．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 5．不等式（x-3）（x-5）<0的解集是（   ） A. （-∞，3）U（5，+∞）         B. （-∞，-8）U（-5，+∞）          C. （3，5）          D. （-5，-3） 6．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．不等式的解集为R，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 8．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 9．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若方程的解集为，则________． 12．已知一元二次方程的两个根为和，则__________. 13．不等式的解集是____. 14．已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 15．某商店购进一批玩具，若按每个10元的价格销售，每天能售出30个，且售价每高1元，日销售量则减少2个.为了使这批玩具每天的销售总收入不低于300元，销售价格最高是_____. 16．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为___________. 三、解答题 17．（1）解不等式：； （2），若，求x的值． 18．已知关于的一元二次方程有两个不等实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 19．已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 20．某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.3 二次函数与一元二次不等式》参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D C D B A C C 1．C 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析、补集的概念及运算 【分析】先解出全集再计算即可. 【详解】由且，解得全集，则，共有6个元素. 故选：C. 2．D 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、二次函数的图象分析与判断 【分析】使用换元法将转化为关于的二次函数，再根据二次函数图象性质即可求解. 【详解】因为，则， 则， 设，易得是开口向下的二次函数，对称轴为， 则. 3．C 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 4．D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 5． C （略） 6．D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 7．【答案】B 【解析】关于的不等式的解集为. 当时，即当时，则有恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 8．A 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 9．C 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 10．C 【知识点】一元二次不等式在几何中的应用 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 11． 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【详解】可化为， 因为方程的解集为，所以方程的两根为，2， 由，解得，检验符合． 12． 3 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【详解】由题设，根据韦达定理得， 所以. 13． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 14．3 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 15．15 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】设销售价格提高元，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】设销售价格提高元，其中， 则，解得， 故销售价格最高为元. 故答案为：15 16．2 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得. 17．（1） ；（2）． 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）根据分段函数的解析式求解． 【详解】（1）由，则，解得， 不等式的解集为； （2）当时，，解得， ，； 当时，，解得，与矛盾，舍去； 综上，． 18．(1)． (2)2 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、一元二次方程根的分布问题 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不等实数根的条件，判别式 ，解不等式即可； （2）利用韦达定理 建立方程求解 ，并结合（1）的范围进行取舍. 【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式，解得． （2）由题意得：， 解得或， 由（1）得：， 则的值为2． 19．(1) (2)或 (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据或且非的真假求参数、解不含参数的一元二次不等式、已知命题的真假求参数 【分析】（1）由条件结合关系集合B是A的子集列不等式求的范围即可； （2）根据二次方程有解得条件列不等式求的范围即可； （3）先求当真假时的范围，再求当假真时的范围，最后求并集即可. 【详解】（1）要使为真命题， 则集合，且， 所以. （2）若真则， 即， 解得或. （3）当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得， 综上所述，实数的取值范围为 20．(1)第年 (2)第年 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $