精品解析：广西桂林市2025-2026学年下学期非毕业年级日常考试题库卷高二数学

桂林市2025-2026学年度下学期非毕业年级日常考试题库卷 高二年级 数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 从5名男生和4名女生中选2男1女参加一项活动，则不同的选法共有（ ） A. 84种 B. 80种 C. 40种 D. 20种 4. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 记为数列的前n项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 6. 若随机变量X服从二项分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 圆的半径为 B. 圆心坐标为 C. 当直线平分圆时， D. 当直线与圆相切时， 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，，则 C. 若是公比为的等比数列，，，，则 D. 若，则 11. 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 曲线的对称中心的横坐标为 C. 存在实数，使得是的极大值点 D. 当时，经过点的切线有且只有1条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小值___________ 13. 2026年是“十五五”开局之年．某市围绕新型工业化，重点打造“新能源装备与先进制造”产业集群．统计部门将该产业集群2025年的产值标准化为1．从2026年起，该产业集群每年的产值比上一年增长．从2026年到2030年，该产业集群5年的累计总产值约为___________．（保留一位小数，取） 14. 双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，，且，证明：． 19. 已知不透明的盒中装有2个红球和3个黑球，盒外有足够多的红球，所有球除颜色外完全相同．现进行摸球游戏，从盒中随机摸一个球，若摸到的是红球，则将其放回盒中；若摸到的是黑球，则该黑球不再放回盒中，并从盒外取2个红球放入盒中．重复上述操作，直到盒中的球全是红球时游戏结束，后续不再摸球． （1）经过2次摸球后，盒中红球的个数为，求的分布列和数学期望； （2）记第次摸球后，游戏结束的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求关于的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市2025-2026学年度下学期非毕业年级日常考试题库卷 高二年级 数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据通项公式代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后代入计算即可得. 【详解】，则. 3. 从5名男生和4名女生中选2男1女参加一项活动，则不同的选法共有（ ） A. 84种 B. 80种 C. 40种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【详解】从5名男生和4名女生中选2男1女参加一项活动， 有种不同的选法. 4. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入空间向量模的公式即可求出答案. 【详解】,. 5. 记为数列的前n项和，已知，则（ ） A. 18 B. 54 C. 81 D. 162 【答案】D 【解析】 【分析】应用，再结合等比数列定义及通项公式计算求解. 【详解】当时，，解得； 当时，，化简得， 即数列是首项为2、公比为3的等比数列，故. 6. 若随机变量X服从二项分布，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项，，A错误； B选项， ，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误 7. 已知抛物线的焦点为，若点在该抛物线上，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解. 【详解】点在抛物线上，，则， 又抛物线：的焦点，故． 8. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求导，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，进而求解得到实数的取值范围 【详解】不等式，恒成立，即， 即在时恒成立 令 ，则，即得在上单调递增， 而，即，故可得在时恒成立， 即在时恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故， 故，即实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 圆的半径为 B. 圆心坐标为 C. 当直线平分圆时， D. 当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D. 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，，则 C. 若是公比为的等比数列，，，，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用与求出即可判断；对于B，利用等差数列前和公式求解即可，对于C，联立，解方程组即可求解；对于D，利用与求出，结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 验证时，，满足， 所以，是首项为1，公差为2的等差数列，故A正确； 对于B，由，解得，故B正确； 对于C，联立，化简得：,解得：（舍去）或， 所以，故C错误； 对于D，当时，， 当时，， 验证时，，满足， 所以，是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，故D正确. 11. 已知，函数有两个极值点，则（ ） A. 实数的取值范围是 B. 曲线的对称中心的横坐标为 C. 存在实数，使得是的极大值点 D. 当时，经过点的切线有且只有1条 【答案】AC 【解析】 【分析】根据极值点定义即可判断A；根据中心对称定义、二阶导数零点均可判断B；先代入求出,再根据极值的单调性可判断C；过已知一点可求出切线方程，即可判断D. 【详解】对于A：因为有两个极值点，所以 有两个不等的实数解，即，又已知 解得，A正确； 对于B：法一：(定义法）， 不是一个与无关的定值， 法二：（二阶导数零点法）， 令得，B错误； 对于C：若是极大值点，则，即，解得， 此时解得或， 当时，，单调递增 当时，，单调递减 当时，，单调递增， 所以是的极大值点，C正确； 对于D.：时，，, 设切点横坐标为，切线斜率， 切点坐标为， 切线方程为，代入点 化简得，因式分解得， 解得或，即切线有两条，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小值___________ 【答案】 【解析】 【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再判断函数的最小值. 【详解】，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当，函数取得最小值. 故答案为：1 13. 2026年是“十五五”开局之年．某市围绕新型工业化，重点打造“新能源装备与先进制造”产业集群．统计部门将该产业集群2025年的产值标准化为1．从2026年起，该产业集群每年的产值比上一年增长．从2026年到2030年，该产业集群5年的累计总产值约为___________．（保留一位小数，取） 【答案】 【解析】 【详解】根据题意可得年产值为, 所以该产业集群5年的累计总产值是首项为,公比为，项数为的等比数列的和； 即为， 所以该产业集群5年的累计总产值约为. 14. 双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率. 【详解】，， ， ， 则， 其中，所以，且， 所以， 由题意得，， ，整理得，即， 因为，所以，即，即， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 得. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面，底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，是的中点，所以， 又，，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）证明出和，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的向量公式进行求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不妨设， 因为底面，平面，所以，， 且底面是正方形，所以，，三条直线两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 由（1）得是平面的一个法向量， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知点，，，动点满足直线和的斜率乘积为． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与动点的轨迹交于，两点，其中直线的斜率大于0，且直线、的斜率之和为0，． （ⅰ）求点的坐标； （ⅱ）求的面积． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设点，可得，化简可得动点的轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的倾斜角为，，直线、与轴交于点，由题意得，且，从而可得直线：，与椭圆方程联立可解得点的坐标； （ⅱ）同上求出点的坐标，即可得，再求面积. 【小问1详解】 设，由题意有， 化简得：，即，， 故所求动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设直线的倾斜角为，， 直线、与轴交于点， 由题意得，则， 所以，又，所以，得， 故，， 因为，所以直线：，即， （ⅰ）联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故； （ⅱ）直线：，即， 联立，得， 化简得，解得或（舍去）， 故， 所以， ， 因为，所以， 故的面积是. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，，且，证明：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，无单调递减区间，当时，在，上单调递增，在上单调递减 （3）由得，，即 由于，，所以，所以， 令，则，，所以， 所以 方法一：要证，即证，即证， 令，则，显然 所以在上单调递减，所以，即恒成立， 即成立 方法二：要证，即证，即证， 令，则， 令，则，当时，恒成立，在上单调递增，又，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，在上单调递增 又，所以在恒成立，即在上恒成立， 即成立． 【解析】 【分析】（1）代入参数后对原函数求导，计算出处的导数值作为切线斜率，最后结合切点坐标即可求得切线方程. （2）对函数求导并通分后，通过对分子二次函数的判别式进行分类讨论，再结合定义域判定导函数的符号，从而确定原函数的单调区间. （3）已知指数等式两边取对数转化为代数关系，利用换元法将双变量问题转化为单变量问题，最后构造函数并通过导数证明其单调性与最值. 【小问1详解】 当时，，，此时切点坐标为， ， ，即切线斜率为0 所以切线方程为． 【小问2详解】 ， 令，则 ①当即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递增， ②当即或时，令得，， 若，则， 当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 若，则，由知时恒成立， 即恒成立，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递增，无单调递减区间， 当时，在，上单调递增， 在上单调递减. 【小问3详解】 略 19. 已知不透明的盒中装有2个红球和3个黑球，盒外有足够多的红球，所有球除颜色外完全相同．现进行摸球游戏，从盒中随机摸一个球，若摸到的是红球，则将其放回盒中；若摸到的是黑球，则该黑球不再放回盒中，并从盒外取2个红球放入盒中．重复上述操作，直到盒中的球全是红球时游戏结束，后续不再摸球． （1）经过2次摸球后，盒中红球的个数为，求的分布列和数学期望； （2）记第次摸球后，游戏结束的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）求关于的表达式． 【答案】（1） 2 4 6 ； （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）分类讨论两次摸球红黑组合，算出对应红球个数的概率，再按期望公式求值； （2）（ⅰ）第 4 次结束代表前 3 次摸出 2 个黑球、第 4 次摸最后 1 个黑球，分三类位置求概率再相加；（ⅱ）分首次摸到红球和黑球两种情况，由全概率公式得到关系式，化简后移项得到目标差值表达式. 【小问1详解】 的取值为2，4，6， ， ， ， 所以的分布列为： 2 4 6 ， 【小问2详解】 （ⅰ）第4次摸球后，游戏结束可以分为以下三种情况： ①第1次摸到红球，第2、3、4次摸到黑球，其概率为， ②第1次摸到黑球，第2次摸到红球，第3、4次摸到黑球，其概率为， ③第1、2次摸到黑球，第3次摸到红球，第4次摸到黑球， 其概率为， 所以， （ⅱ）依题意知，第次摸球后，游戏结束的概率为， 第次摸球后，游戏结束可以分为以下两种情况： ①第1次摸到红球，游戏结束的概率为， ②第1次摸到黑球，从第2次到第次摸球中只摸到一次黑球，第次摸到黑球，游戏结束的概率为： ， 由全概率公式得， 故； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $