精品解析：广西桂林市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试卷

桂林市2024~2025学年度下学期期末质量检测 高二年级数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数求导公式得解. 【详解】由基本初等函数的求导公式知， ， ，，故 ABD 错误， C 正确. 故选：C 2. 从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ） A. 20 B. 30 C. 48 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合排列数公式排数即可. 【详解】从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数， 则所有满足条件的三位数的个数为. 故选：D. 3. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. 16 B. 19 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出和，再求解即可. 【详解】因为为等差数列，设首项为，公差为， 且，， 则，解得， 所以. 故选：B 4. 直线与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的相关知识即可求得弦长 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 5. 设数列的前项和为．若，，则（ ） A. 61 B. 121 C. 125 D. 364 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系式求出及与的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可. 【详解】因为，①， 所以当时，， 当时，②， ①-②得，， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 6. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，设，则可写出和的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解. 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的前项，归纳出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前项和，即可求解. 【详解】根据题意可知，，，，， 以此类推，， 所以其前项和， 所以. 故选：A. 8. 曲线与曲线和分别交于，两点，设在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则（ ） A. B. C. 3ln2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合对称性可设，，结合导数的几何意义求得，即可得结果. 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：， 解得，或舍去 可得，则，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A 随机变量，则 B. 设随机变量服从正态分布，则 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据下表数据可以有的把握判断与有关 0.100 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】BC 【解析】 【分析】A利用二项分布的方差公式；B利用正态分布曲线的对称性；C由相关系数的意义可判断；D由独立性检验知识可判断. 【详解】因，则，故A错误； 因，则，故B正确； 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故C正确； 因，则没有的把握判断与有关，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调减区间为 B. 的极小值为1 C. 在上的最大值为5 D. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导得，由求解即可判断A；根据函数的单调性、极值及最值的定义进行运算，可判断B、C；转化为与的图象有3个不同的交点，结合函数的极值得的取值范围，即可判断D. 【详解】∵，∴， 对于A，令，得，所以的单调减区间为，故A正确； 对于B，令，得或，所以在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增.故的极大值为，的极小值为，故B不正确； 对于C，因为在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增. ，故C正确； 对于D，因为方程有三个不同的解，所以与的图象有3个不同的交点，而的极大值为，极小值为，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是抛物线的焦点，，是上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则的最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出点横坐标，由焦半径公式得到；B选项，设直线为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据焦点弦长公式得到；C选项，设直线为，与联立，得到两根之和，两根之积，利用向量数量积公式得到方程，求出，C正确；D选项，，不妨取，则，故，求出其他各边，求出周长. 【详解】A选项，由题意得， 中，令得，解得， 故，A错误； B选项，若直线过点，设直线为， 联立与得， ，设， 则， 故， ，当且仅当时，等号成立， 则的最小值为4，B正确； C选项，设直线为，与联立得 ，，设， 则，， 所以，解得， 故直线，直线恒过定点，C正确； D选项，若垂直的准线于点，， 则点横坐标与的横坐标相同，即， 中，令得，解得，， 不妨取，则，故， 则四边形的周长为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由展开式通项结合题意可得答案. 【详解】展开式的通项为，令. 则的系数为. 故答案为： 13. 函数在处切线的斜率是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义，求出在曲线上一点的切线的斜率. 详解】由题意得，则， 在处切线的斜率， 故答案为：3. 14. 对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列．若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为4，，，则数列的通项公式为_____，数列的前项和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意得到，，即，，累加法求和得到和的通项公式，进而得到的通项公式；得到的通项公式，使用两次错位相减求和即可. 【详解】，，，，， 的一阶差数列为等比数列，故公比为，首项为， 故通项为，即， 所以 ， ，，故， 的二阶差数列为常数列，常数为4，故， 故， 即， 所以 ， 所以的通项公式为， ， 设前项和为， 则①， ②， 式子①-②得， 所以③， 其中设④， 则⑤， 式子④-⑤得 ， 故， 将其代入③得. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，两地的距离是．假设汽油的价格是7.5元/升，以（其中）的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．设这次行车的总费用为元． （1）求出关于的函数关系式； （2）求此次行车最经济的车速． 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，计算出使用的油量和行车时间，计算出总费用. （2）根据函数导数，求出函数单调性，求出函数最小值. 【小问1详解】 由题意知，当速度为时，用时， 使用油量， 总费用； 【小问2详解】 已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，所以最经济的车速为40. 16. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行两轮各项指标的综合检测，只有两轮检测都合格，此箱蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立． （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）现有3箱这种蔬菜，设这3箱蔬菜能在该超市销售的箱量为，求的分布列和数学期望； （3）如果这种蔬菜能在该超市销售，每箱可获利400元，若不能在该超市售出，则每箱亏损200元，求3箱蔬菜总收益数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为 （3）750 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式得出每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率，结合概率之和为1，即可得出每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）写出的可能取值，根据二项分布的概率公式依次算出的每个取值对应的概率，再根据二项分布的数学期望公式算出的数学期望； （3）先计算1箱蔬菜总收益的数学期望，即可得3箱蔬菜总收益的数学期望. 【小问1详解】 设“第一轮检测合格”为事件，“第二轮检测合格”为事件， 由题意，，， 各轮检测是否合格相互独立， 因此两轮检测都合格即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为， 故每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为，且， ， ， ， ， 得的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为：. 【小问3详解】 设1箱蔬菜总收益为，由题意，的可能取值为， ， ， 得的分布列为： 400 ， 即1箱蔬菜总收益的数学期望为250， 故3箱蔬菜总收益的数学期望. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到直线的距离． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法求出即可； （2）利用空间向量法分别求出平面和平面的法向量，进而求出二面角的余弦值； （3）求出在上的投影向量的模长，进而求出到直线的距离. 【小问1详解】 证明：由题知，平面ABC， 所以、、两两垂直 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，，，则 ，，，，，， 所以， 故 所以 【小问2详解】 由（1）分析知，，， 又，即 所以， 设平面的法向量为 则，即 令，则 由题知，是平面的一个法向量 设二面角的平面角为，则 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，，且 在上的投影向量的模长. 计算. 根据点到直线距离公式， 即点到直线的距离为. 18. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． （1）求的方程； （2）设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 【答案】（1）； （2）（i）或；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据可求出的值，即可得出椭圆方程； （2）（i）根据题意设直线，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理计算的面积可解得的值，即可得直线方程； （ii）分别写出直线与直线的方程，联立方程组，利用韦达定理化简可得，由此可证明交点在定直线上. 【小问1详解】 由题意，，即，解得，则， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，直线不与轴重合，且过点，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （i）因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以，， 所以直线的方程为,即或. （ii）由题意，， 所以直线，直线， 联立两直线方程，消去可得，即， 整理得，即， ， 即，解得， 所以，直线与直线的交点在定直线上. 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布·伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当日仅当或时等号成立． （i）证明：数列为递增数列； （ii）证明：时，． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据当时，求解，注意检验时是否满足； （2）（i）由（1）知，通过计算结合伯努利不等式即可证明； （ii）由（i）可知，再取对变形为，再将个不等式相加即可. 【小问1详解】 因为， 当时，， 则，又，符合上式， 所以； 【小问2详解】 （i）令， 则 因，则， 则， 则，所以数列为递增数列； （ii）因数列为递增数列， 则当时，， 则，即， 则， 即，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 桂林市2024~2025学年度下学期期末质量检测 高二年级数学 （考试用时120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、学号和准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ） A. 20 B. 30 C. 48 D. 60 3. 记为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. 16 B. 19 C. 22 D. 23 4. 直线与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设数列的前项和为．若，，则（ ） A. 61 B. 121 C. 125 D. 364 6. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 曲线与曲线和分别交于，两点，设在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则（ ） A. B. C. 3ln2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 设随机变量服从正态分布，则 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据下表数据可以有的把握判断与有关 0100 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 单调减区间为 B. 的极小值为1 C. 在上的最大值为5 D. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是 11. 已知是抛物线的焦点，，是上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若直线过点，则最小值为4 C. 若，则直线恒过定点 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_____． 13. 函数在处切线的斜率是_____． 14. 对于数列，记，对于，记，规定：，，称为数列的阶差数列．若的一阶差数列为等比数列，，，，的二阶差数列为常数列，常数为4，，，则数列的通项公式为_____，数列的前项和为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，两地的距离是．假设汽油的价格是7.5元/升，以（其中）的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元．设这次行车的总费用为元． （1）求出关于的函数关系式； （2）求此次行车最经济的车速． 16. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行两轮各项指标的综合检测，只有两轮检测都合格，此箱蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互独立． （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）现有3箱这种蔬菜，设这3箱蔬菜能在该超市销售的箱量为，求的分布列和数学期望； （3）如果这种蔬菜能在该超市销售，每箱可获利400元，若不能在该超市售出，则每箱亏损200元，求3箱蔬菜总收益的数学期望． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到直线的距离． 18. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． （1）求方程； （2）设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 19. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布·伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当日仅当或时等号成立． （i）证明：数列为递增数列； （ii）证明：时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$