3.1.2 函数的表示法讲义-2026年新高一数学暑假预习人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法 知识点1：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 求函数解析式的4种常用方法 (1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可． (3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 知识点2：分段函数求值(范围)问题 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 考点一　利用图象法、列表法表示函数 考点二　已知函数类型求解析式 考点三　配凑法求解析式 考点四　换元法求解析式 考点五　方程组法求解析式 考点六　根据函数图象选择解析式 考点七　求分段函数解析式或求函数的值 考点八　已知分段函数的值求参数或自变量 考点九　分段函数的性质及应用 考点十　画出具体函数图象 考点十一　根据实际问题作函数图象 考点一　利用图象法、列表法表示函数 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 2．（2026高一·江苏·专题练习）下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，有两个与之对应，错误； 对于C，函数图象中出现同一个有多个与之对应，错误； 对于D，函数图象中出现同一个有两个与之对应，错误； 对于B，图象符合函数的定义， 故选：B 3．（25-26高一上·山东烟台·期中）如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据下降的快慢，判断选项. 【详解】因为水的流速一样，所以相同时间内流出水的体积一样， 因为容器的特征是上下细，中间粗，使得关于的变化是:下降由快到慢，再变快，只有C选项符合. 故选：C 4．（25-26高一上·江西上饶·期末）根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 【答案】3 【分析】通过表格找到对应的的值，进而可以找到的值. 【详解】由题意得，则， 故答案为：3. 5．（25-26高一上·安徽宿州·期中）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的表格找出满足时的取值，再根据的表格求出当取这些值时的取值，最后判断选项. 【详解】观察的表格： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以满足的取值为； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 所以的值可以是，或. 故选：C. 6．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【分析】根据表格中的数据得到函数和，然后依次判断即可. 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确． 考点二　已知函数类型求解析式 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 10．（25-26高一上·广西桂林·期中）（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC 11．（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 12．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可. 【详解】由题意可设，所以， 解之得，即. 故答案为：. 考点三　配凑法求解析式 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足，求函数的解析式． 【答案】 【分析】利用配凑法可求得函数的解析式. 【详解】因为． 故． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【分析】利用配凑法求抽象函数解析式即可． 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 16．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 考点四　换元法求解析式 17．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，， . . 18．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 由， 可得， 所以． 20．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 21．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 22．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求的解析式； 【答案】 【分析】根据题意利用换元法运算求解，注意变量的范围； 【详解】由，令，则， 所以， 故的解析式为. 考点五　方程组法求解析式 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 24．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 25．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 26．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 考点六　根据函数图象选择解析式 27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求已知图象函数的解析式，常使用特殊值代入排除法． 【详解】解：由已知函数图象易得：点、在函数图象上 将点代入，，可排除B、C 将代入，可排除D， 故选：A． 28．（25-26高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意取特值点分析判断. 【详解】由题意可知：，排除CD；，排除B. 故选：A. 29．（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 30．（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域可以排除CD，利用特殊点的函数值排除A，可确定正确选项. 【详解】由图可知，函数的定义域为， C项的定义域为，不合题意； D项的定义域为，不合题意； 对A选项，因为，不符合函数图象. 故选：B 考点七　求分段函数解析式或求函数的值 31．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 【答案】3 【详解】由题意可得，， 所以. 32．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 33．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________． 【答案】 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. 34．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，求； 【答案】. 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 35．（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    【答案】 【详解】当时，， 当时，设，把，分别代入可得， 解得，故 即函数的解析式 36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义域，逐步将自变量转化到已知解析式的区间上，再代入相应的解析式进行计算. 【详解】当时，， 则 当时，，则 当时，，所以，即 考点八　已知分段函数的值求参数或自变量 37．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 38．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【详解】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 39．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 而，故，故， 而即为或，故或， 故不等式的解集为. 40．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即，， 方程无实数解，综上. 41．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 42．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为且， 所以或， 解得或. 故答案为：或 考点九　分段函数的性质及应用 43．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 44．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 45．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 46．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 47．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可. 【详解】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当 时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. 48．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据图象判断的解析式，列方程即可. 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以， 所以，解得. 故选：A. 49．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 【答案】 【分析】首先运用换元法令，根据解出的范围，再数形结合解出的范围即可. 【详解】令，则， 若，则，解得； 若，恒成立，解得； 若，则，解得. 综上，或，即或. 若，解得；，解得； 结合的函数图象可知，若，则； 若，，解得. 综上所述，. 故答案为：. 50．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】分类讨论求分段函数值解方程即可求解. 【详解】第一种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第二种情况：当时, 单调递减,,,方程无解. 第三种情况：时,,, ,, 故选：B. 考点十　画出具体函数图象 51．（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 【答案】 【分析】先求出函数的定义域为，再由于原函数解析式可化为，故函数图象可以由通过平移而得到. 【详解】函数的定义域为，由于原函数解析式可化为，故函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，如图所示. 52．（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 【答案】 【分析】先画出，再将轴下方的部分翻折到轴上方即可得到函数的图象. 【详解】的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如图所示. 53．（25-26高一上·全国·课后作业）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【分析】先作的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图象. 【详解】先作函数的图象，保留轴上方的图象，把轴下方的图象对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图象，如下图所示： 54．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图象. 【详解】（1）由，其函数图象如下， （2）由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数图象如下， 55．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，根据图象分析求解. 【详解】由，作出其图象如下图， 令，得和； 令，得，，； 令，得，，； 令，得，，； 当时，满足有9个整数解； 当时，满足有8个整数解； 当时，满足有7个整数解； 所以恰有8个整数解的的取值范围为. 故选：C.    56．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】作出的图象，方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点，数形结合可得答案. 【详解】， 作出函数图象，如图： 方程有四个不同的实数根等价于与有4个交点， 所以. 故答案为： 考点十一　根据实际问题作函数图象 57．（25-26高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 58．（25-26高一上·山东·期中）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目的描述分段分析位移s随时间t的变化趋势即可. 【详解】小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会， 所以小海同学离起点的位移s先增大，后不变，可排除B， 之后小海同学不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a），听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进， 所以之后s随t的增大先减小，再增大，故排除AC． 故选：D． 59．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 60．（2026·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，求出解析式，然后可知图象. 【详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． 61．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 62．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，故A选项符合. 1．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 3．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由已知， 所以. 4．（25-26高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式. 【详解】，所以． 故选：D. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先推导时函数的周期，再利用周期性将转化为，结合分段函数表达式建立方程求解． 【详解】因为当时，， 所以，，即，， 所以， 则． 故选：C． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 8．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．若函数，则 D．函数满足，则 【答案】AC 【分析】根据函数的定义和换元法、方程组法求解析式逐项判断即可. 【详解】对于A：由等价于， 解得：或， 所以函数的定义域为 ，故A正确； 对于B：的定义域为 ，的定义域为，定义域不相同， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C： 对于C项，令，则，所以，所以，正确； 对于D：因为函数f（x）满足， 所以， 由，解得，故D错误； 故选：AC. 9．（25-26高一上·安徽滁州·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果. 【详解】对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得(舍去)； 当时，，解得或(舍去)， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 10．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数，则__________. 【答案】1 【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】. 11．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. 【答案】 【分析】利用换元法代入求解即可. 【详解】令，则，， 所以，. 所以函数解析式为：. 故答案为：. 12．（25-26高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】作出的图象，结合图象求得答案. 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得. 故答案为：. 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为_______________． 【答案】. 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为， 所以，所以， 则的解析式为. 故答案为：. 14．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，① ∴ ，② 由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 15．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 16．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）应用函数类型设函数应用待定系数法计算求解； （2）应用换元法求解解析式； （3）结合赋值法应用方程组法计算求解解析式. 【详解】（1）是一次函数，设， 由题可知：， 化简得， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）， 又，当且仅当，即时等号成立. 设，则， ， 函数的解析式为 （3），①，② 由①②得， 函数的解析式为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的表示法 知识点1：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 求函数解析式的4种常用方法 (1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可． (3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 知识点2：分段函数求值(范围)问题 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 考点一　利用图象法、列表法表示函数 考点二　已知函数类型求解析式 考点三　配凑法求解析式 考点四　换元法求解析式 考点五　方程组法求解析式 考点六　根据函数图象选择解析式 考点七　求分段函数解析式或求函数的值 考点八　已知分段函数的值求参数或自变量 考点九　分段函数的性质及应用 考点十　画出具体函数图象 考点十一　根据实际问题作函数图象 考点一　利用图象法、列表法表示函数 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 2．（2026高一·江苏·专题练习）下列各图象中，能表示是的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·山东烟台·期中）如图，某容器由两个高为的相同圆锥（去掉底面）构成，现将该容器竖直放置，且装满水，当容器底部的排水孔打开时开始计时，假设水从孔中匀速流出，记时刻时水面的高度为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西上饶·期末）根据表中数据，可得__________. 1 2 3 4 2 3 4 1 4 1 2 3 5．（25-26高一上·安徽宿州·期中）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 考点二　已知函数类型求解析式 7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是一次函数，若，则______． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）设是二次函数，且，则_____. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 10．（25-26高一上·广西桂林·期中）（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 12．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 考点三　配凑法求解析式 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求的解析式． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数满足，求函数的解析式． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 16．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则的解析式为______. 考点四　换元法求解析式 17．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数，则（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知 ，则函数的解析式为_________. 21．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知，求函数的解析式___________． 22．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，求的解析式； 考点五　方程组法求解析式 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知且，求函数的解析式． 24．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意的都有，则________． 25．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 26．（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 考点六　根据函数图象选择解析式 27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图中的图象所表示的函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·云南迪庆·期末）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一上·河南驻马店·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·浙江丽水·期中）已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（    ） A． B． C． D． 考点七　求分段函数解析式或求函数的值 31．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 32．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知函数，则____________． 34．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，求； 35．（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．    36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 考点八　已知分段函数的值求参数或自变量 37．（25-26高二下·天津红桥·期末）已知分段函数，，则实数________． 38．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若，求实数的取值范围． 39．（2026高三·全国·专题练习）设函数若，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 40．（2026·浙江·二模）已知函数若，则实数（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 42．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，若，则实数的值为__________. 考点九　分段函数的性质及应用 43．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 45．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 46．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 48．（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 49．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 50．（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数若，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 考点十　画出具体函数图象 51．（25-26高三·全国·一轮复习）作函数的图象. 52．（25-26高三·全国·一轮复习）作出函数y=|x2-4x-5|的图象． 53．（25-26高一上·全国·课后作业）作出函数的图象. 54．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象： (1)； (2). 55．（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 56．（25-26高一上·云南昆明·期中）已知函数，若存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是______. 考点十一　根据实际问题作函数图象 57．（25-26高一上·江西赣州·开学考试）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 58．（25-26高一上·山东·期中）海尔学校组织体测，小海同学沿直线跑道从起点出发，前进了akm，觉得有点累，休息了一会，不想坚持下去了就沿原路返回bkm（b＜a）．听到老师和同学的鼓舞，小海同学认为海尔学子应当不怕困难，便转头继续前进．则该同学离起点的位移s与时间t的图象大致为（　　） A． B． C． D． 59．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    60．（2026·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 61．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 2．（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 3．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数则的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 7．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 8．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（ ） A．函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．若函数，则 D．函数满足，则 9．（25-26高一上·安徽滁州·期中）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 10．（25-26高一上·四川宜宾·期中）已知函数，则__________. 11．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，则__________. 12．（25-26高一上·北京丰台·期中）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 13．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数满足，则的解析式为_______________． 14．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 15．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 16．（25-26高一上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知，求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $