北京市海淀区育英学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四制）

**基本信息** 海淀区育英学校八年级期末数学卷，以AI图标、油价上调等真实情境为载体，融合二次函数、圆、旋转等核心知识，梯度设计合理，突出创新应用与数学思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|中心对称图形、函数平移、概率等|第1题以AI品牌图标考中心对称，体现科技情境| |填空题|8题24分|统计、圆的计算、函数性质等|第16题滑雪场作业时间优化，考查应用意识| |解答题|9题52分|几何综合、函数与新定义等|26题“内半点”新定义，培养抽象能力与推理意识|

北京市海淀区育英学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）二次函数y＝2（x+3）2+5的图象是由y＝2x2的函数图象经过怎样平移得到的（　　） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 3．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球4只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．（3分）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转40°得到对应△ADE．若点D恰好落在边BC上，则∠ADE的大小是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 7．（3分）近期国内油价连续上调，某种成品油原价每升8元，经过两次相同百分率的连续涨价后，单价变为9.68元．设平均每次涨价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．8（1+2x）＝9.68 B．8（1﹣x）2＝9.68 C．8（1+x）2＝9.68 D．8x2＝9.68 8．（3分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（　　） ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是　 　 ． 10．（3分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 　 　 mm． 11．（3分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P＝40°，则∠Q的度数是 　 　 ． 12．（3分）已知点（﹣2，y1），（3，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，比较y1　 　 y2．（填＞、＜或＝）． 13．（3分）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示； 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为　 　 （精确到0.1）． 14．（3分）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 　 　 cm． 15．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B（1，1）．则不等式ax2≤bx+c的解集是　 　 ． 16．（3分）某滑雪场为迎接周末的“冰雪杯”滑雪赛事，需要使用1台造雪机和l台压雪机对A，B，C三条不同的雪道进行造雪和压雪作业．作业规则如下： ①每条雪道必须先造雪，造雪结束后再进行压雪，确保雪道安全； ②造雪机一旦对某一雪道开始造雪作业，直到该雪道造雪作业结束才能更换另一条雪道； ③压雪机一旦对某一雪道开始压雪作业，直到该雪道压雪作业结束才能更换另一条雪道； ④造雪机与压雪机可同时工作． 各雪道进行造雪和压雪作业所需时间（单位：小时）如表： 雪道 造雪时间 压雪时间 A 10 5 B 8 7 C 6 10 在忽略造雪与压雪间隔的时间等其他因素的情况下： （1）如果雪道按“A﹣B﹣C”的先后顺序进行造雪和压雪作业，那么完成全部的造雪和压雪作业需要　 　 小时； （2）如果合理安排雪道作业顺序，使完成全部的造雪和压雪作业的总时间最短，那么最短时间为　 　 小时． 三、解答题（17-18，20题4分，19，22每题5分，21，23-26每题6分，共52分） 17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0． 18．（4分）已知：⊙O和圆外一点P，求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP，分别以O，P为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点C，连结CO，CP； ②作∠OCP的角平分线CD，交OP于点D； ③以D为圆心，OD长为半径作圆D，交⊙O于点A，B两点； ④作直线PA，PB． 所以直线PA，PB为⊙O的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵CO＝CP，CD平分∠OCP， ∴OD＝PD． ∵OP为⊙D的直径，A，B在⊙D上， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°（①　 　 ）（填推理的依据）． ∴半径OA⊥AP，半径OB⊥BP． ∴直线PA，PB为⊙O的切线（②　 　 ）（填推理的依据）． 19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是x＝0，求m的值和方程的另一个根． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到△OA'B'（A'，B'分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出△OA′B′，点A'的坐标为 　 　 ； （2）若点M（m，2）位于△OAB内（不含边界），点M'为点M绕原点O顺时针旋转90°的对应点，直接写出M'的纵坐标n的取值范围． 21．（6分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　 　 ；当y≥0时，x的取值范围是　 　 ． 22．（5分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜． （1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值　 　 ． 23．（6分）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CDEF是矩形； （2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长． 24．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，0）和（2，0）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）已知直线y＝﹣ax+2a，A（m，0）是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点M1，交直线y＝﹣ax+2a于点N1． ①m为何值时，M1和N1重合． ②已知B（﹣3，0），过B作x轴的垂线，交抛物线于点M2，交直线y＝﹣ax+2a于点N2．若对于a+2≤m≤a+6都有M1N1＞M2N2，求a的取值范围． 25．（6分）在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P． （1）依题意补全图形； （2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）； （3）证明线段DP与BC之间的数量关系． 26．（6分）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P′，使得MP′＝2MP，则称点P为⊙M的“内半点”． （1）当⊙O的半径为4时， ①在点P1（﹣2，0），，中，是⊙O的“内半点”的是　 　 ； ②已知一次函数y＝kx+4k，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的“内半点”，求k的取值范围； （2）已知点M（m，0），B（0，﹣1），C（2，﹣1），⊙M的半径为6，若线段BC上存在⊙M的“内半点”，直接写出m的取值范围． 北京市海淀区育英学校2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 参考答案 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B A A C D 一、选择题（每题3分，共24分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1．（3分）未来将是一个可以预见的AI时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形是中心对称图形，符合题意； C、选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．（3分）二次函数y＝2（x+3）2+5的图象是由y＝2x2的函数图象经过怎样平移得到的（　　） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【解答】解：根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”可知： y＝2（x+3）2+5的图象是由y＝2x2的函数图象平移而来， ∴相对于y＝2x2，水平方向向左平移3个单位，垂直方向向上平移5个单位， 故选：A． 3．（3分）在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球4只，黑球3只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：取出黑球的概率为． 故选：B． 4．（3分）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵a＜0， ∴抛物线的开口方向向下， 故第三个选项错误； ∵c＜0， ∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上， 故第一个选项错误； ∵a＜0、b＞0，对称轴为x0， ∴对称轴在y轴右侧， 故第四个选项错误． 故选：B． 5．（3分）若x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【解答】解：关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0， 此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程， ∵x＝2025是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025是关于x的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根， ∴x+2＝2025， 解得x＝2023， ∴关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为x＝2023． 故选：A． 6．（3分）如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转40°得到对应△ADE．若点D恰好落在边BC上，则∠ADE的大小是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【答案】A 【解答】解：由旋转性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∠BAD＝40°， ∴， ∴∠ADE＝∠B＝70°， 故选：A． 7．（3分）近期国内油价连续上调，某种成品油原价每升8元，经过两次相同百分率的连续涨价后，单价变为9.68元．设平均每次涨价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．8（1+2x）＝9.68 B．8（1﹣x）2＝9.68 C．8（1+x）2＝9.68 D．8x2＝9.68 【答案】C 【解答】解：由题意得：8（1+x）2＝9.68， 故选：C． 8．（3分）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论，所有正确结论的序号是（　　） ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：①在⊙O，弦AB等于⊙O的半径，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示： ∴△OAB是等边三角形， 点C是⊙O上的任意一点， ∴△ABC是该圆的一个“半径三角形”， ∴一个圆的“半径三角形”有无数个， 故结论①正确； ②∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， 当点C在优弧上时，∠C∠AOB＝30°， 当点C在劣弧上时，∠C＝180°∠AOB＝150°， 当点C在优弧AB上移动时，∠CAB与∠CBA可能是90°， ∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形， 故结论②正确； ③∵当点C在优弧上时，∠C＝30°， ∴当AB＝BC时，等腰△ABC的顶角∠C＝30°； 当AC＝AB时，则∠ABC＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝120°， 此时等腰△ABC的顶角∠BAC＝120°； 当BC＝AB时，则∠BAC＝∠C＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝120°， 此时等腰△ABC的顶角∠ABC＝120°； ∵当点C在劣弧上时，∠C＝150°， 当AC＝BC时，等腰△ABC的顶角∠C＝150°， 综上所述：当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°或120°或150°， 故结论③不正确； ④∵△OAB是等边三角形，⊙O的半径为2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∵OH⊥AB于点H， ∴AH＝BHAB＝1，∠OHA＝90°， 在Rt△OHA中，OH， 当点C为优弧AB的中点时，⊙O的“半径三角形”面积最大值， 此时点C，O，H共线，△ABC的边AB上的高为CH＝OC+OH， ∴△ABC的面积为：AB•CH， 即⊙O的“半径三角形”面积最大值为， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是 ①②④． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共24分） 9．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是　（﹣2，5）　 ． 【答案】（﹣2，5）． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（2，﹣5）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，5）， 故答案为：（﹣2，5）． 10．（3分）如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为 　900　 mm． 【答案】900． 【解答】解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm， 由弧长公式得：800π， 解得：R＝900， 即此圆弧所在圆的半径为900mm， 故答案为：900． 11．（3分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，Q是优弧上一点，若∠P＝40°，则∠Q的度数是 　70°　 ． 【答案】70° 【解答】解：连接OA、OB， ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°， ∴∠Q∠AOB140°＝70°， 故答案为：70°． 12．（3分）已知点（﹣2，y1），（3，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+m的图象上，比较y1　＞　 y2．（填＞、＜或＝）． 【答案】＞． 【解答】解：将抛物线解析式配方可得y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵|﹣2﹣1|＝3＞|3﹣1|＝2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 13．（3分）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示； 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率（保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为　0.9　 （精确到0.1）． 【答案】0.9． 【解答】解：由表格数据，移植棵数为100时，成活频率为0.870； 移植棵数为300时，成活频率为0.930； 移植棵数为600时，成活频率为0.892； 移植棵数为1000时，成活频率为0.887； 移植棵数为7000时，成活频率为0.905； 移植棵数为15000时，成活频率为0.905． 随着移植棵数增加，成活频率逐渐稳定在0.905附近， 因此估计银杏树苗移植成活的概率为0.905， 精确到0.1为0.9． 故答案为：0.9． 14．（3分）数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交于点D，连接CD，经测量AB＝8cm，CD＝2cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为 　5　 cm． 【答案】5． 【解答】解：设这个齿轮内圈圆的圆心为O，半径为Rcm，连接OA、OC， 则O、C、D三点共线，OC＝（R﹣2）cm， ∵CD是AB的垂直平分线，AB＝8cm， ∴ACAB＝4（cm）， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2＝R2， 解得：R＝5， 即这个齿轮内圈圆的半径为5cm， 故答案为：5． 15．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，4），B（1，1）．则不等式ax2≤bx+c的解集是　﹣3≤x≤1　 ． 【答案】﹣3≤x≤1． 【解答】解：由图象可得，不等式ax2≤bx+c的解集是﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1． 16．（3分）某滑雪场为迎接周末的“冰雪杯”滑雪赛事，需要使用1台造雪机和l台压雪机对A，B，C三条不同的雪道进行造雪和压雪作业．作业规则如下： ①每条雪道必须先造雪，造雪结束后再进行压雪，确保雪道安全； ②造雪机一旦对某一雪道开始造雪作业，直到该雪道造雪作业结束才能更换另一条雪道； ③压雪机一旦对某一雪道开始压雪作业，直到该雪道压雪作业结束才能更换另一条雪道； ④造雪机与压雪机可同时工作． 各雪道进行造雪和压雪作业所需时间（单位：小时）如表： 雪道 造雪时间 压雪时间 A 10 5 B 8 7 C 6 10 在忽略造雪与压雪间隔的时间等其他因素的情况下： （1）如果雪道按“A﹣B﹣C”的先后顺序进行造雪和压雪作业，那么完成全部的造雪和压雪作业需要　35　 小时； （2）如果合理安排雪道作业顺序，使完成全部的造雪和压雪作业的总时间最短，那么最短时间为　29　 小时． 【答案】（1）35； （2）29． 【解答】解：（1）按照给定作业顺序，根据规则依次确定每个雪道压雪的开始与结束时间可知： 按“A﹣B﹣C”顺序作业，造雪完成时间依次为 A：10，B：10+8＝18，C：18+6＝24 根据规则，压雪需满足压雪机空闲，且对应雪道已完成造雪，因此 A压雪开始时间为max（10，0）＝10，结束时间为10+5＝15， B压雪开始时间为max（18，15）＝18，结束时间为18+7＝25， C压雪开始时间为max（24，25）＝25，结束时间为25+10＝35， 即完成全部作业需要35小时； 故答案为：35； （2）三条雪道共6种不同作业顺序，除顺序A﹣B﹣C外，其余5种顺序的总时间分别为： ①顺序A﹣C﹣B，总时间为33， ②顺序B﹣A﹣C，总时间为34， ③顺序B﹣C﹣A，总时间为30， ④顺序C﹣A﹣B，总时间为31， ⑤顺序C﹣B﹣A， 造雪完成时间依次为C：6，B：14，A：24， C压雪结束：6+10＝16， B压雪结束：16+7＝23， A压雪结束：24+5＝29， 即该顺序总时间为29． 综上可知，最短总时间为29． 故答案为：29． 三、解答题（17-18，20题4分，19，22每题5分，21，23-26每题6分，共52分） 17．（4分）解方程：x2﹣6x+8＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝2，x2＝4． 18．（4分）已知：⊙O和圆外一点P，求作：过点P的⊙O的切线． 作法：①连接OP，分别以O，P为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点C，连结CO，CP； ②作∠OCP的角平分线CD，交OP于点D； ③以D为圆心，OD长为半径作圆D，交⊙O于点A，B两点； ④作直线PA，PB． 所以直线PA，PB为⊙O的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接OA，OB． ∵CO＝CP，CD平分∠OCP， ∴OD＝PD． ∵OP为⊙D的直径，A，B在⊙D上， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°（①　直径所对的圆周角是直角　 ）（填推理的依据）． ∴半径OA⊥AP，半径OB⊥BP． ∴直线PA，PB为⊙O的切线（②　经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线　 ）（填推理的依据）． 【答案】（1）图形如图所示： （2）直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接OA，OB． ∵CO＝CP，CD平分∠OCP， ∴OD＝PD． ∵OP为⊙D的直径，A，B在⊙D上， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°（①直径所对的圆周角是直角）， ∴半径OA⊥AP，半径OB⊥BP． ∴直线PA，PB为⊙O的切线（②经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线． 19．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是x＝0，求m的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见解析； （2）m的值为1，方程的另一个根为x＝3． 【解答】（1）证明：已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， ∴Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣1）＝m2+8＞0， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：将x＝0代入方程可得：m﹣1＝0， ∴m＝1， ∴该方程为x2﹣3x＝0， ∴（x﹣3）x＝0， ∴x1＝3，x2＝0， ∴m的值为1，方程的另一个根为x＝3． 20．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，4），B（﹣2，0），将△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到△OA'B'（A'，B'分别是A，B的对应点）． （1）在图中画出△OA′B′，点A'的坐标为 　（4，2）　 ； （2）若点M（m，2）位于△OAB内（不含边界），点M'为点M绕原点O顺时针旋转90°的对应点，直接写出M'的纵坐标n的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△OA′B′即为所求． 由图可得，A'（4，2）． 故答案为：（4，2）． （2）由题意得，﹣2＜m＜﹣1， ∴点M'在线段CD上，且不与点C，D重合， ∴1＜n＜2． 21．（6分）已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣1 2 3 … y … 3 0 3 … （1）求二次函数的解析式． （2）当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　﹣1≤y＜3　 ；当y≥0时，x的取值范围是x≤0或x≥2　 ． 【答案】（1）y＝x2﹣2x； （2）﹣1≤y＜3；x≤0或x≥2． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得， ． ∴． ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x； （2）由题意，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴当x＝1时，y取最小值为﹣1． 又∵当x＝﹣1时，y＝3；当x＝2时，y＝0， ∴当﹣1＜x＜2时，﹣1≤y＜3． 令y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或x＝2， 又∵抛物线的开口向上， ∴当y≥0时，x≤0或x≥2． 故答案为：﹣1≤y＜3；x≤0或x≥2． 22．（5分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，3．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜． （1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率； （2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值　﹣1　 ． 【答案】（1）． （2）﹣1． 【解答】解：（1）列表如下： ﹣5 ﹣2 3 ﹣2 （﹣2，﹣5） （﹣2，﹣2） （﹣2，3） 2 （2，﹣5） （2，﹣2） （2，3） 共有6种等可能的结果，其中小明获胜的结果有：（﹣2，5），（2，3），共2种，小刚获胜的结果有：（﹣2，﹣5），（2，﹣5），（2，﹣2），共3种， ∴小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为． （2）列表如下： ﹣5 m 3 ﹣2 （﹣2，﹣5） （﹣2，m） （﹣2，3） 2 （2，﹣5） （2，m） （2，3） 共有6种等可能的结果． 要使小明和小刚获胜的概率相同，则m的值应该满足﹣2＜m＜2， ∴整数m的值为﹣1，0，1中的任意一个， 故答案为：﹣1． 23．（6分）如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F． （1）求证：四边形CDEF是矩形； （2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长． 【答案】（1）见解析； （2）5． 【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径， ∴AC⊥CD，DE⊥CD， ∴AC∥DE，∠ACD＝90°， ∵EF⊥AC， ∴EF∥CD， ∴四边形CDEF是矩形； （2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线， ∴AB＝AC，BE＝DE＝2， 由（1）知，四边形CDEF是矩形， ∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2， ∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴AE2＝AF2+EF2， ∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2， 解得AC＝5， 故AC的长为5． 24．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，0）和（2，0）． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）已知直线y＝﹣ax+2a，A（m，0）是x轴上一点，过A作x轴的垂线，交抛物线于点M1，交直线y＝﹣ax+2a于点N1． ①m为何值时，M1和N1重合． ②已知B（﹣3，0），过B作x轴的垂线，交抛物线于点M2，交直线y＝﹣ax+2a于点N2．若对于a+2≤m≤a+6都有M1N1＞M2N2，求a的取值范围． 【答案】（1）c＝0，b＝﹣2a； （2）①m＝2或x＝﹣1； ②a≥2或a≤﹣9． 【解答】解：（1）将点（0，0）和（2，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c， 得c＝0，4a+2b＝0， 即b＝﹣2a； （2）①联立直线y＝ax2﹣2ax与抛物线y＝ax2﹣2ax， 即ax2﹣2ax＝ax2﹣2ax，整理可得a（x﹣2）（x+1）＝0， 解得x＝2或x＝﹣1， 故m＝2或x＝﹣1时，M1和N1重合； ②由题意可得M1N1， 当m＝﹣3时，9a+6a＝15a，3a+2a＝5a， 故M2N2， ∵对于a+2≤m≤a+6都有M1N1＞M2N2， ∴，两边同除以， ∴10， 即m2﹣m﹣2＞10或m2﹣m﹣2＜﹣10， 而对于m2﹣m﹣2，判别式Δ＝1﹣32＜0，故无解， 故m2﹣m﹣2＞10，即m2﹣m﹣12＞0， 解得：m＞4或m＜﹣3， 若a+2≥4，则a≥2； 若a+6≤﹣3，则a≤﹣9， 综上，a的取值范围为a≥2或a≤﹣9． 25．（6分）在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P． （1）依题意补全图形； （2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）； （3）证明线段DP与BC之间的数量关系． 【答案】（1）见解析过程； （2）45°+α； （3）BCDP，理由见解析过程． 【解答】解：（1）如图： （2）∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90°， ∴∠ABH＝90°﹣2α， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝45°+α； （3）如图，作点D关于BC的对称点点E，连接BE，连接DE交BC于点G， ∵D关于BC的对称点为E， ∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE， ∵AB＝AC，∠BAC＝2α， ∴∠ABC＝90°﹣α， 由（2）知∠ABH＝90°﹣2α， ∠DBP＝90°﹣α﹣（90°﹣2α）＝α， ∴∠DBP＝∠EBP＝α， ∴∠BDE＝2α＝∠BAC， ∵AB＝BD＝AC＝BE， ∴△ABC≌△BDE（SAS）， ∴BC＝DE， ∴∠DPB＝∠ADB﹣∠DBP＝45°+α﹣α＝45°， ∴△DGP是等腰直角三角形， ∴DPDG， ∴DGDP， ∴BC＝2DGDP． 26．（6分）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于⊙M内的一点P，若在⊙M外存在点P′，使得MP′＝2MP，则称点P为⊙M的“内半点”． （1）当⊙O的半径为4时， ①在点P1（﹣2，0），，中，是⊙O的“内半点”的是P2，P3 ； ②已知一次函数y＝kx+4k，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的“内半点”，求k的取值范围； （2）已知点M（m，0），B（0，﹣1），C（2，﹣1），⊙M的半径为6，若线段BC上存在⊙M的“内半点”，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①P2，P3；②k≤1；（2）m的取值范围为m＜2﹣2或2m＜2． 【解答】解：（1）①设点P为⊙O的“内半点”， ∵⊙O的半径为4， ∴2＜OP＜4， ∵P1（﹣2，0），，， ∴OP1＝2，OP2，OP3， ∴是⊙O的“内半点”的有：P2，P3． 故答案为：P2，P3； ②∵一次函数y＝kx+4k， ∴令x＝0，则y＝4k，令y＝0，则x＝﹣4， ∴一次函数y＝kx+4k与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4k）， 当k＜0时，一次函数在第二象限的图象为从A向左上方延伸的射线，不可能所有点都是⊙O的“内半点”，不合题意； 当k＞0时，一次函数在第二象限的图象为线段AB，如图， 过点O作OH⊥AB于点H， ∵A（﹣4，0），（0，4k）， ∴OA＝4，OB＝4k， ∴AB4， ∵， ∴OH， ∵一次函数在第二象限的图象上的所有点都是⊙O的“内半点”， ∴OH＞2，2＜OB≤4， ∴， ∴k≤1． ∴k的取值范围为k≤1． （2）∵M（m，0），B（0，﹣1），C（2，﹣1）， ∴OM＝|m|，OB＝1，BC＝2， ∵⊙M的半径为6，设点P为⊙O的“内半点”， ∴3＜MP＜6， ①当点M在x轴的负半轴时，m＜0，令MB＝6，如图， ∵OM＝|m|＝﹣m，OB＝1， ∴6， ∴m， 令MC＝3，过点C作CD⊥x轴于点D，如图， 则OD＝BC＝2，CD＝OB＝1，OM＝|m|＝﹣m， ∴3， ∴m＝2﹣2， ∵若线段BC上存在⊙M的“内半点”， ∴m＜2﹣2． ②当点M在x轴的正半轴时，m＞0，令MC＝6，过点C作CD⊥x轴于点D，如图， 则OD＝BC＝2，CD＝OB＝1，OM＝|m|＝m， ∴DM＝m﹣2， ∴6， ∴m＝2， 令MB＝3，如图， ∵OM＝m，OB＝1， ∴3， ∴m＝2， ∵若线段BC上存在⊙M的“内半点”， ∴2m＜2． 综上，若线段BC上存在⊙M的“内半点”，m的取值范围为m＜2﹣2或2m＜2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $