专题2.4函数性质综合 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数性质综合专题，整合单调性、奇偶性、周期性及抽象函数等核心考点，按“性质基础—综合应用—抽象函数”逻辑层次展开，通过知识梳理、题型示例、跟踪训练、课后作业四环节，帮助学生构建函数性质应用的知识网络和解题体系。 资料采用“性质判定—问题转化—抽象建模”三步教学法，如抽象函数通过赋值法判定奇偶性、周期性，培养学生数学思维和逻辑推理能力。设置基础到综合的分层训练，结合高考真题演练，确保学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题2.4函数性质综合 知识梳理 1.单调性与奇偶性：（1）比较大小 （2）解不等式 2.四种性质综合：（1）先判断周期性、对称性 （2）通过一段函数的图象分析整个函数的性质 3抽象函数 抽象函数的赋值法：赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： （1）……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； （2）通过的变换判定单调性； （3）令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； （4）换为确定周期性. 【题型1 利用函数的性质解不等式】 【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.设函数则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型2 函数性质的综合应用】 【例2】（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 跟踪训练 1.（多选 2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 2．（多选 2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 3.（多选 2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【题型3 抽象函数】 【例3】（多选 2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 跟踪训练 1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 2．（多选 23-24高三下·河南郑州·月考） 已知函数满足，，则（ ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 3.（多选 山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 课后作业： 1.已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D． 2.（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 3.（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7.已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 8.（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 9.（多选2024高二下·江苏南通·期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）． A．是偶函数 B．的周期 C． D．在单调递减 10.（多选 2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 11.（多选 2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 12.（多选 2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．函数在上单调递增 C．若，则不等式的解集为或 D．为奇函数 13.（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 14．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 15.（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 16.（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4函数性质综合 知识梳理 1.单调性与奇偶性：（1）比较大小 （2）解不等式 2.四种性质综合：（1）先判断周期性、对称性 （2）通过一段函数的图象分析整个函数的性质 3抽象函数 抽象函数的赋值法：赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： （1）……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； （2）通过的变换判定单调性； （3）令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； （4）换为确定周期性. 【题型1 利用函数的性质解不等式】 【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 跟踪训练 1.（2026·贵州贵阳·二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先由条件判断在上单调递减，结合偶函数的性质可得在上单调递增，从而，利用函数单调性得，求解该不等式即得. 【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减， 又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增， 故， 两边取平方得，即，解得或， 故不等式的解集为. 2.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.57 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 3.（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以. 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以等价于，解得. 4.（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由对称性研究单调性 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 5.设函数则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，发现为奇函数，从而可得的对称中心为，得到，再通过求导可发现与在R上单调递增，继而求解不等式即可. 【详解】假设， 所以，所以， 所以为奇函数， 而， 则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的， 所以的对称中心为，所以， 因为，所以， 易得，当且仅当时等号成立， 而，则， 所以恒成立，即在上单调递增， 所以在R上单调递增， 因为得， 所以，解得. 故选：B. 【题型2 函数性质的综合应用】 【例2】（2026·江西宜春·一模）设函数满足对任意的，都有，且，则（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【详解】因为函数满足对任意的，都有， 所以是周期为2的周期函数， 又因为，令，则， 所以函数的图象关于对称， 令替换上式中的，则， 结合周期性可得：， 即，所以是偶函数， 又因为函数的图象关于对称，所以在上一定不是单调函数，故C、D错误. 跟踪训练 1.（多选 2026·重庆渝中·二模）已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．， C． D．在区间上，有2027个零点 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】先由已知的两个中心对称条件推导出函数周期为，再结合对称关系证明其为奇函数，验证A；再利用对称性求出时的解析式，验证B；接着分析一个周期内的函数值，通过分组求和判断C错误；最后分析函数在区间内的零点分布，得出整数点均为零点，共个，验证选项D． 【详解】对于A，由，得，即， 又，所以，即是以周期为的周期函数， 由，得，所以， 即，所以是奇函数，A正确； 对于B，由，得，所以，B正确； 对于C，，，，， 一个周期内的和：， 所以，C错误； 对于D，是以周期为的周期函数，，， 时，，，所以， 时，，，所以， 所以在内的零点有， 而包含个完整周期， 所以是的零点，共个，D正确． 2．（多选 2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】导数的运算法则、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D． 【详解】是偶函数，则，两边对求导得， 则导函数关于点中心对称，令，得， 为偶函数，则， 则导函数关于轴对称，故， 由中心对称性，， 联立可得， 令，则， 则，故是周期为4的周期函数； 选项A：由，令得， 已知，故，故A错误； 选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确； 选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误； 选项D：，，，， 一个周期内的和为：， 又，， 故，故D正确． 3.（多选 2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、判断或证明函数的对称性 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【题型3 抽象函数】 【例3】（多选 2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 跟踪训练 1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（ ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 【答案】C 【解析】对A，令，则，得，故A错误； 对B，令，得， 由整理可得， 将变换为，则， 故，故，故是奇函数，故B错误； 对C，设，则， 且， 故，则. 又，是奇函数，故是增函数，故C正确； 对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误.故选：C 2．（多选 23-24高三下·河南郑州·月考） 已知函数满足，，则（ ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【答案】ABD 【解析】令，则，即，A正确， 令，则无意义，即的定义域不为R，C错误； 由可知， 令，则，即，故，B正确； ， 故，即的周期为4，D正确，故选：ABD 3.（多选 山西2026年高考考前综合评价（二模）数学试题）已知函数满足对于任意的，都有，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．是偶函数 D．关于对称 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用、求函数值 【分析】先赋值求出并利用舍去，得判定A正确；再令推出，知函数为偶函数，C正确；令得到递推式，递推推出周期为6，算出一个周期内函数值和为0，由求出前2026项和为，故B错误；利用周期推论与偶函数性质，验证得函数关于中心对称，D正确. 【详解】方法一: 对于A,令,得，整理得，故或. 若，令，则，即恒成立，这与矛盾，故，A正确； 对于C，令，因，则，即，故是偶函数，C正确. 对于B，令，则，即. 由此递推：， 则， 于是，故的一个周期为. 又，，， ，， ，， 则 因， 故,B错误. 对于D，由C项知，则，又是偶函数，有， 即，而， 故，即，故关于对称，D正确. 方法二:令函数,由余弦型函数的性质可判断ACD均正确, 函数最小正周期,与方法一同理计算可知 课后作业： 1.已知定义在上的函数满足，，当时，，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据已知可得得，结合奇函数性质得，即可得. 【详解】由已知可得，函数为R上的奇函数，且周期. 则，又， 所以，则. 故选：A. 2.（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【解题思路】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【解答过程】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 3.（2025·重庆·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据①得关于直线对称，再得其关于点对称，则得到其周期性，再利用其单调性即可比较大小. 【解答过程】由①，有关于直线对称； 由②，令，则，有关于点对称； 则，又因为，则， 则，则，则， 则的周期为12，故； 由③，知在单调递增，关于点对称， 在单调递增，又在上连续， 在单调递增，故有， 即． 故选：C. 4.（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】的定义域为，，故为偶函数， 当时，，由于为上的单调递增函数，故 为上的单调递增函数，结合为单调递增函数，故为上的单调递增函数， 由可得，解得. 5.（2026·重庆·一模）已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由对称性研究单调性 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 6.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用是偶函数可判断出函数的对称轴，再利用当时，恒成立，判断出函数的单调性，即可求解. 【详解】当时，恒成立， 当时，，即， 函数在上为增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称，， 又函数在上为增函数，， 即，. 故选：B. 7.已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【分析】令，求得，可判定A不正确；由，得到函数的图象不过坐标原点，可判定B不正确；令，求得或，可判定C不正确；令，化简求得，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 8.（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇偶性的定义可得为奇函数，进而分离常数，结合指数函数的单调性可判断的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，得，， 则，所以函数为奇函数， 又， 由于在上单调递增，且，故在上单调递增， 由，则， 即，解得，则的取值范围为. 9.（多选2024高二下·江苏南通·期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（    ）． A．是偶函数 B．的周期 C． D．在单调递减 【答案】ABC 【分析】由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确. 【详解】由的图象关于直线对称，则， 即，故是偶函数，A正确； 由，令，可得，则， 则的周期，B正确； ，故C正确； 又在递增，则递减，由周期，则在单调递增， 故D错误. 故答案为：ABC 10.（多选 2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②，③当时，，则（    ） A． B． C． D．若，则的取值范围为 【答案】BC 【解题思路】用赋值法先令求得，再令即可求得，进而判断A、B；任取，则，由函数单调性的定义判断C；令可判断奇偶性，利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【解答过程】在中， 令得，则， 令得，则， 故，，故A错，B对； 对于C，设，则， 由，得， 所以， 则在上是增函数，从而，故C正确； 对于D，令得，即， 所以是偶函数，故等价于， 又在上是增函数，所以， 解得且，故D错误. 故选：BC. 11.（多选 2026·广东中山·三模）已知函数，的定义域为，且，，若的图象关于直线对称，则（   ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【难度】0.42 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】通过条件推导函数的性质，逐个分析选项即可. 【详解】由关于对称，得， 已知，将第二个式子换元，代入化简得， 因为，则，将用替换，可得， 将用替换，得， 即，故周期为. 又因为，则，即是偶函数. 由和，得， 且，故是偶函数. 选项A，，，由， 得，A正确； 选项B，对任意，，故，B正确； 选项C，推导得，是偶函数不是奇函数，C错误； 选项D，求和分组方式为为一组，为下一组，以此类推，直至，每组和为，共组，总和为，即，D正确. 12.（多选 2026·甘肃张掖·模拟预测）已知是定义在上的函数，，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．函数在上单调递增 C．若，则不等式的解集为或 D．为奇函数 【答案】AD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用赋值法可判断A，利用单调性的定义可判断B，结合单调性和定义域可判断C，利用奇函数的定义可判断D. 【详解】对于A，令，则，所以，A正确； 对于B，对任意，设，则，因为当时，， 所以， , 即，因此在上单调递减，B不正确； 对于C，，由可得， 由B选项可得，解得， 又，所以，故解集为，C不正确； 对于D，令，由可得定义域为； 又，所以为奇函数，D正确. 13.（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解. 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 14．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 15.（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象关于中心对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数图象关于中心对称可得，又因为在上单调递减可推得结合函数关于中心对称进而推得在上单调递减.再利用函数的单调性即可求得的范围. 【解答过程】由函数的图象关于中心对称，则. 又因为在上单调递减，所以时，， 且在上单调递减，且，可得在上单调递减. 又因为，所以可得， 则，得. 故答案为：. 16.（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【解答过程】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增， 故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得， 则有或， 即或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $