精品解析：江西景德镇市乐平市第四中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

乐平四中2025-2026学年度下学期高二数学期末考试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，，则等于（ ） A. B. 15 C. 25 D. 2. 若，则等于（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. -4 3. 随机变量，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 4. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 5. 设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ） A. 30° B. 135° C. 45° D. 120° 6. 已知条件概率，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，答错不给分） 9. 已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 10. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ） A. 若服从正态分布，则 B. 已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则 C. 若服从超几何分布，则期望 D. 若服从二项分布，则方差 11. 等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（　　） A. d＜0 B. a16＜0 C. Sn≤S15 D. 当且仅当Sn＜0时n≥32 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 数列7，77，777……前项和________． 13. 过点且与曲线相切的直线方程为______． 14. 已知函数在处取得极值0，则________． 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 16. 已知等差数列中，，为其前项和，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2026项和． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ （2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望． 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 附表及公式 0.15 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平四中2025-2026学年度下学期高二数学期末考试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列中，，，则等于（ ） A. B. 15 C. 25 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得：，解得：． 2. 若，则等于（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，算出，然后即可求出 【详解】因为，所以 所以，得 所以，所以 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 3. 随机变量，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为随机变量，则， 且，则， 所以. 故选：D. 4. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 5. 设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（ ） A. 30° B. 135° C. 45° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解． 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 由，可得， 则曲线在处的斜率为， 则，，解得， 故选：B． 6. 已知条件概率，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据条件概率公式， ． 7. 已知函数，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数，定义域为，， 令得，即，解得， 当时，，当时，， 故是极小值点．极小值为. 8. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可设，，结合运算求解即可. 【详解】因为，即， 又等差数列的前项和的表达式为关于的二次函数且无常数项，可设，， 所以. 二、多项选择题（每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，答错不给分） 9. 已知函数的图象与轴相切，则实数的所有可能的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点为，求导，由得，再根据,求出即可求解. 【详解】设切点为，求导，由得， ， 所以或．当时，，得； 当时，，得，所以或． 10. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ） A. 若服从正态分布，则 B. 已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则 C. 若服从超几何分布，则期望 D. 若服从二项分布，则方差 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正态分布的性质、二项分布和超几何分布的性质依次判断选项求解即可. 【详解】A错，由于，，根据方差的性质，，故A错误； B错，服从二项分布， ，解得， ，根据正态分布的对称性可得，，故B错误； C对，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，； D对，服从二项分布，根据二项分布的方差公式得，． 11. 等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（　　） A. d＜0 B. a16＜0 C. Sn≤S15 D. 当且仅当Sn＜0时n≥32 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，可得2a1+29d＝0，根据a1＞0，可判断A的正误；根据d＜0，可得a15＞a16，可判断B、C的正误；分别求得，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20， ∴10a1+45d＝20a1+190d， ∴2a1+29d＝0， ∵a1＞0，∴d＜0，故A正确； ∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0， ∵d＜0，∴a15＞a16， ∴a15＞0，a16＜0，故B正确； ∴Sn≤S15，故C正确； 又，， ∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误. 故选：ABC． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 数列7，77，777……前项和________． 【答案】 【解析】 【分析】由数列7，77，777……的通项公式，结合等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】数列7，77，777……的通项公式， 13. 过点且与曲线相切的直线方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得的值，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，设切点坐标为，则， 又由函数，可得，可得，所以， 根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即， 解得或，所以切线的斜率为或， 所以切线方程为或，即或. 故答案为：或. 14. 已知函数在处取得极值0，则________． 【答案】512 【解析】 【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解. 【详解】在处有极值，且，， 即，解得：，或． 当时，， 函数在R上为增函数，无极值，舍去； 当时，， 当时，,函数在上单调递减， 当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值， 所以，，． 四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品. （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）甲箱的8件产品，任取2件的取法为，而2个都是次品的取法是为3件次品中取2件，取法数为，再利用古典概型的概率公式求解； （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，所取2件产品对乙箱中的正品次品数有影响，因此需分三类，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用条件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，这2个产品都是次品的事件数为. 所以这2 个产品都是次品的概率为. （2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥. ， ，， 所以. 16. 已知等差数列中，，为其前项和，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前2026项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）第一问根据等差数列通项公式和等差数列前项和公式，将和转化为关于​和的方程；联立求解得到和，进而得到的通项公式. （2）将求得的代入的表达式，使用裂项相消法求. 【小问1详解】 设等差数列公差为，①， ②． 联立①，②解得，，的通项公式． 【小问2详解】 ， ． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2）函数在区间上的最大值为7，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数正负即可判断函数单调性； （2）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得. 【小问1详解】 函数定义域为，求导得． 令得或；令得． 故函数的单调递增区间为、，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知函数极值点为、， ，， ，． 故函数在上的最大值为7，最小值为． 18. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据填写下面的列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ （2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望． 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 附表及公式 0.15 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中． 【答案】（1） 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 不能 （2） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图确定频率，得到频数，即可完善列联表，再计算值，即可判断； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【小问1详解】 根据频率分布直方图计算“课外体育达标”（时间分钟）的频率： 频率：，频率： 达标总频率：，达标总人数：，不达标总人数： 已知女生合计110人，总人数200人，故男生合计：人． 男生不达标60人，故男生达标：人．达标总人数50人，故女生达标：人． 女生不达标：人． 列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 计算卡方统计量： ， 犯错误概率不超过0.01的临界值为，因为，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关． 【小问2详解】 不达标与达标人数比为，分层抽样抽取8人： 不达标人数：人，达标人数：人 表示抽取3人中“不达标”的人数，服从超几何分布，可取1，2，3： ；； 分布列： 1 2 3 数学期望： 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2）. 【解析】 【分析】（1）对求导判断单调性即可； （2）由不等式恒成立通过参变分离化成求解函数的最小值问题即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 由对任意恒成立，即对任意恒成立， 也即对任意恒成立， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $