精品解析：江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025—2026学年下学期期末考试 高二数学试卷 时长：120分钟 总分：150分 座位号 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义和不等式的基本性质进行判定即可 【详解】当时，“x<2”成立，但 ,故“”，故“x<2”不是“”的充分条件， “”等价于，即能推出， ∴“x<2”是“”的必要条件， 故“x<2”是“”的必要不充分条件， 故选:B. 【点睛】本题考查充分、必要条件的判定，关键是注意两点：（1）在不等式两边同乘以一个正数，不等号不变，同乘以一个负数，不等号的方向改变.（2）在判定不充分条件时，只需要举出一个反例即可，在判定必要性时，可以假定条件不成立，推出与结论相矛盾的结论即可. 3. 现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表： A 总计 认可 13 5 18 不认可 7 15 22 总计 20 20 40 附：. P（K2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ） A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B. 有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D. 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，比较所给数据，可得结论． 【详解】由题意，根据列联表中的数据，得， 又， 所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”. 故选：D. 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 【答案】C 【解析】 【分析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗， 由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再根据计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：A 6. 已知变量，之间的一组相关数据如下表所示： 6 8 10 12 6 3 2 据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 变量，之间成负相关关系 B. 可以预测，当时， C. D. 该回归直线必过点 【答案】C 【解析】 【分析】由，可判断A正确；当时，得到的预测值，可判定B正确；由表格中的数据，求得样本中心，代入求得的值，可判定C不正确；由，求得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得变量之间呈现负相关关系，所以A正确； 对于B中，当，可得，所以B正确； 对于C中，由表格中的数据，可得， 则，解得，所以C不正确； 对于D中，由，可得，所以该回归直线必经过点，所以D正确. 故选：C. 7. 点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，通过求导确定切点坐标后利用点到直线距离公式计算最小值. 【详解】将直线整理为一般式：，其斜率为1， 又，曲线在点处的切线斜率为， 若该切线与直线平行，则，即，解得， ，即切点的坐标为， 到直线的距离 ， 故曲线上一个动点P到直线的距离的最小值是. 8. 定义在R上的函数，当时，，又，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，且函数在内单调递减，根据单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 且，可得，所以， 又因为，当时，则，可得， 可知函数在内单调递减， 可得，所以. 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和前项和的公式逐个求解即可. 【详解】， 故，所以公差，数列递减. 且，故， 且. 故选：AC 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 11. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，取即可判断；对于B，求得，再结合基本不等式即可判断；对于C，利用基本不等式可得，求解不等式即可判断；对于D，，再利用函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，取，满足，但不满足， A错； 对于B，， 即，所以，当且仅当时，等号成立，B对； 对于C，，令，所以， 即，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立，C对； 对于D，， 令，由C选项可知，， 而函数在单调递增，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，D对. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则的极大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调区间，得到极大值点求出极大值. 【详解】函数的定义域为，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此是的极大值点，极大值为. 13. 已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的性质，结合韦达定理求解即可. 【详解】由题意得，，所以. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等比数列，则一定为中间项， 所以，则. 因为，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，所以为最小的项， 所以，即. 代入中得，，整理得，解得或（舍去）， 所以. 故. 14. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为，构造新函数，结合新函数的单调性即可求解. 【详解】已知函数，由于，即， 变形为， 构造函数，原不等式等价于， 由于导数恒成立，因此在上是单调递增的， 所以等价于，即在上恒成立， 因此，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知关于的不等式的解集记为集合，集合． （1）当时，求，； （2）已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）命题的否定为“，”，的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先解二次不等式求出集合，代入得到集合，再利用交、并集定义分别求出与； （2）根据存在量词命题否定规则写出命题的否定，由为假得否定为真，即，结合写出集合，再根据包含关系列不等式组求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 当时，的解集为， 所以， ； 【小问2详解】 存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题的否定为“，”， 因为是假命题，所以，是真命题，即， 因为，所以， 所以的解集为， 因为，所以，解得， 所以， 即的取值范围是． 16. 已知数列满足，且. （1）若，证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式以及前n项和. 【答案】（1）已知， 则， 又，所以， 故数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）； 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可. （2）根据等比数列的通项公式及等差数列前项和公式、等比数列前项和公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，. 又，所以. 所以 . 综上，，. 17. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，若该公司收集了2026年前5个月x与对应销售金额y（单位：万元）的数据，并且成线性相关，具体如下表所示： 月份代码x 1 2 3 4 5 销售金额y（单位：万元） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r（精确到0.001），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； （2）求销售金额y关于月份x的回归方程，若投入总成本z（单位：万元）满足，当x为何值时，总成本z的投入值最低？ 附：相关系数，，. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 其中，． 【答案】（1）样本相关系数，变量与的线性相关程度极强； （2）回归方程为，当时总成本的投入值最低． 【解析】 【分析】根据给定公式和已知数据计算相关系数判断线性相关性强弱，再计算回归系数得到线性回归方程，将回归方程代入总成本表达式后利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 ，， 所以， 因为非常接近，所以变量与的线性相关程度极强； 【小问2详解】 ， ， ， 所以回归方程为， 所以， 由基本不等式，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总成本取得最小值． 18. 已知函数，. （1）若，求的图象在处的切线方程（写成一般式）； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）是否存在实数a，对任意的，，都有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）若，函数在内单调递增，在内单调递减； 若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递增，在内单调递减. （3）假设存在这样的实数a满足条件， 因为，则， 由可得，即， 令，， 可知函数在上单调递增， 则，即在上恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 故存在这样的实数a满足题意，实数a的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得出答案； （2）含参数的单调性讨论，先求导，再解含参数的不等式，判断导数正负即可判断单调性； （3）假设存在，将不等式变形，分析可知函数在上单调递增，可得在上恒成立，再分离参数，求最值即可. 【小问1详解】 若，则，， 可得，， 所以的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：函数的定义域为，且， 因为，令，解得或， 若，则，当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，在内单调递减； 若，则，可知函数在内单调递增； 若，则，当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，在内单调递减； 综上所述： 若，函数在内单调递增，在内单调递减； 若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递增，在内单调递减. 【小问3详解】 存在，实数a的取值范围为. 19. 已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列. （1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由. （2）若为的衍生数列，证明：. （3）若为的衍生数列，证明：. 【答案】（1）是的衍生数列，理由如下： 已知，导函数，数列，即，， 因此，， 所以，且， 根据题意，是的衍生数列. （2）已知，导函数， 根据衍生数列定义，有正项数列满足且， 即， 化简得，所以是首项为，公差为的等差数列，即， 令， 利用错位相减法：，， 两式相减得， 即，解得， 由于，所以，故，即. （3）已知，导函数， 根据衍生数列定义，有正项数列满足且， 即， 化简得， ①先证明： 由递推式可知，说明数列单调递增， 由于，， 所以，，，， 所以， 化简得，当时严格大于，当时取等号， 因此； ②再证明： 已知，由于，所以， 所以， 利用放缩：当时，， 则， 所以，即， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）根据题意证明即可； （2）根据得出的通项公式，再结合错位相减法求和即可证明； （3）根据得出，分别利用累加法证明和利用不等式放缩证明即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期末考试 高二数学试卷 时长：120分钟 总分：150分 座位号 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表： A 总计 认可 13 5 18 不认可 7 15 22 总计 20 20 40 附：. P（K2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ） A. 没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” B. 有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” D. 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关” 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ） A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量，之间的一组相关数据如下表所示： 6 8 10 12 6 3 2 据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 变量，之间成负相关关系 B. 可以预测，当时， C. D. 该回归直线必过点 7. 点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数，当时，，又，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 11. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知，则的极大值为______. 13. 已知二次函数的两个零点为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则为______. 14. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知关于的不等式的解集记为集合，集合． （1）当时，求，； （2）已知，若命题：“，”是假命题，写出命题的否定并求a的取值范围． 16. 已知数列满足，且. （1）若，证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式以及前n项和. 17. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，若该公司收集了2026年前5个月x与对应销售金额y（单位：万元）的数据，并且成线性相关，具体如下表所示： 月份代码x 1 2 3 4 5 销售金额y（单位：万元） 80 150 210 260 300 （1）求样本相关系数r（精确到0.001），并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱； （2）求销售金额y关于月份x的回归方程，若投入总成本z（单位：万元）满足，当x为何值时，总成本z的投入值最低？ 附：相关系数，，. 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 其中，． 18. 已知函数，. （1）若，求的图象在处的切线方程（写成一般式）； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）是否存在实数a，对任意的，，都有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列. （1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由. （2）若为的衍生数列，证明：. （3）若为的衍生数列，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $