精品解析：辽宁省阜新市彰武县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

彰武县2025-2026学年度第二学期八年级数学期末质量监测试卷 （本试卷共23道题 满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键． 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴、，该选项错误． 、，该选项正确． 、，该选项错误． 、，该选项错误． 3. 下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 4. 如果一个边形的内角和是外角和的2倍，那么的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】解：任意多边形的外角和恒为，边形的内角和公式为， 根据题意，内角和是外角和的倍，可得方程：， 解得：. 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右移加左移减，纵坐标上移加下移减，先根据点和对应点的坐标得到平移规律，再计算点对应点的坐标即可． 【详解】解：点平移后得到对应点， 平移规律为横坐标向左平移个单位，纵坐标向上平移个单位， 点坐标为，点是点平移后的对应点， 点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 6. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，OA＝OC， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴与不一定相等， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 7. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 2.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 8. 若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】∵ 原方程为，将方程变形为， 两边同乘去分母得：， 整理求解得：， ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ∴ ，且， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴ 且． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 由图象可知 B. 当时， C. 方程的解为 D. 方程组的解为 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可得，一次函数的图象与轴交于负半轴，即， 一次函数的图象与轴交于正半轴，即，即可判断A正确；当时，由一次函数的图象在一次函数的图象的上方，即可判断B错误；由一次函数的图象与轴交于点，即可判断C正确；由一次函数与的图象的交点为，即可判断D正确． 【详解】解：由图象可得，一次函数的图象与轴交于负半轴，即， 一次函数的图象与轴交于正半轴，即， ∴，故A选项正确，不符合题意； 当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，即，故B选项错误，符合题意； 一次函数的图象与轴交于点，故方程的解为，故C选项正确，不符合题意； 一次函数与的图象的交点为，故方程组的解为，故D选项正确，不符合题意． 10. 如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE=∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC=∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC=AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB． 【详解】解：如图，AE交GF于M， ①∵AD⊥BC，FG⊥AE， ∴∠ADE=∠AMF=90°， ∵∠AED=∠MEF， ∴∠DAE=∠F；故①正确； ②∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠EAC=∠BAC， ∠DAE=90°-∠AED =90°-（∠ACE+∠EAC） =90°-（∠ACE+∠BAC） =（180°-2∠ACE-∠BAC） =（∠ABD-∠ACE）， ∴2∠DAE＝∠ABD－∠ACE； 故②正确； ③∵AE平分∠BAC交BC于E， ∴点E到AB和AC的距离相等， ∴S△AEB：S△AEC=AB：CA；故③正确， ④∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°， ∴∠AGH=∠MEF， ∵∠MEF=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠CAE+∠ACB， ∴∠AGH=∠BAE+∠ACB；故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式的值为，则实数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：∵代数式的值为 ∴且， 解得． 12. 在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，被开方数非负，分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得：． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，若点C的对应点E落在上，连接，则的大小为 ______． 【答案】##31度 【解析】 【分析】由旋转的性质得、，，根据等边对等角求得，据此计算即可求解． 【详解】解：中，，， ∴． 由旋转的性质得、，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据在中，，D是的中点，于点E，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在△中，，，点分别在边上，，，取的中点，线段的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，作，连接，延长交于，连接，，首先证明，，利用勾股定理求出，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：作，连接并延长交于，连接， ∵， ，， ， ， ∵点N为的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， 在中，，， ， ，， ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】（1）原不等式组的解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【小问1详解】 解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解： ． 17. 颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； （2）若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用． （1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到，，利用完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若和关于点中心对称，则点的坐标为________． （2）作关于点的中心对称图形． （3）在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）作图见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，画图形的中心对称图形，两个图形成中心对称确定对称中心坐标，求关于原点对称的点的坐标等知识点； 根据对应点连线的交点即为对称中心坐标可求； 分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形； 根据关于中心对称的两点坐标互为相反数可求的坐标． 【小问1详解】 解：分别连接、两点和、两点相交于点,观察图形可知坐标为； 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 由（2）知和关于点O中心对称， 为点的对称点， 因为对称点坐标互为相反数， 所以． 19. 如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用． （1）先根据线段的垂直平分线的性质证明，再证明，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：是的垂直平分线， ，， ． ，， ， 解得； 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得， ． 20. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）四边形的面积为8 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，再结合是边上的中线，得出，即可得证； （2）求出，，，再由平行四边形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴，， ∴平行四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 21. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 （2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【解析】 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． 【小问2详解】 解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 22. 综合与实践 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______； （2）【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时， ①探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）【拓展应用】若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等式性质1， （2）①， 证明：∵在中，， ∴ ， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据证明，得，由得，进而得，从而可得； ②由①得，根据勾股定理求出的长即可； （3）由（2）得，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：由①得， ， 在中，； 【小问3详解】 解：当，时， 由（1）（2）知，， ， ∴． 23. 定义：函数（且）和函数互为“逆反函数”． 例如：和互为“逆反函数”． 如图1，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． （1）请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______； （2）在（1）下，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点； ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系轴下方一点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 【答案】（1）， （2）①；②存在，点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“逆反函数”定义，提取原函数的、值代入对应表达式求出的解析式，再将点坐标代入解析式，解方程即可求得的值； （2）①先求出与轴交点的坐标，计算线段的长度，联立两个函数解析式解方程组得到交点的坐标，以为底、点纵坐标的绝对值为高，代入三角形面积公式计算即可；②依据平行四边形对角线中点重合的性质，分别以三条边为对角线分三种情况，利用中点坐标公式列方程求解点坐标，舍去轴上方的解，保留符合条件的结果即可； （3）代入得到分段函数，结合分别判断两段函数的增减性，求出对应取值内的函数最值，合并得到范围内的整体最大值与最小值，根据二者的差为列方程求解的值即可． 【小问1详解】 解：根据“逆反函数”定义，对于，其中，，其逆反函数为，代入得； 将代入，得，解得； 【小问2详解】 解：①与轴交于点，令，则，解得， ∴， 又， ∴， 联立与的解析式，得 ， 解得， ∴， ， ②存在符合条件的点，设， 点为平面直角坐标系轴下方一点，以点，，，为顶点的平行四边形，对角线中点重合，分三种情况讨论： 情况一：以为对角线： 中点为，中点为， ∴，， 解得，， ∴（位于轴上方，不合题意，舍去）； 情况二：以为对角线： 中点为，中点为， ∴，， 解得，， ∴； 情况三：以为对角线： 中点为，中点为， ∴，， 解得，， ∴； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当时，函数为， 当时，函数为， ∵，随增大而增大， ∵当时，，当时，， ∴，即，； 当时，函数为， ∵， ∴，随增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴，即，； 综上，当时，，， ∵最大值与最小值的差为， ∴，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彰武县2025-2026学年度第二学期八年级数学期末质量监测试卷 （本试卷共23道题 满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 2. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个边形的内角和是外角和的2倍，那么的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形的对角线、交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 2.5 D. 2 8. 若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A. 且 B. 且 C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 由图象可知 B. 当时， C. 方程的解为 D. 方程组的解为 10. 如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②2∠DAE＝∠ABD－∠ACE；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE＋∠ACB．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式的值为，则实数的值是______． 12. 在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 13. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，若点C的对应点E落在上，连接，则的大小为 ______． 14. 如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______． 15. 如图，在△中，，，点分别在边上，，，取的中点，线段的长为__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）化简：． 17. 颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且． （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为　　　； （2）若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）若和关于点中心对称，则点的坐标为________． （2）作关于点的中心对称图形． （3）在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 19. 如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 20. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，求四边形的面积． 21. 随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 22. 综合与实践 在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）【尝试发现】如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小明同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易得，于是可得，．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（_________①），所以，可得_______②，因此猜想成立． 请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______； （2）【类比探究】如图2，当点D在线段的延长线上时， ①探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）【拓展应用】若，，请直接写出线段的长． 23. 定义：函数（且）和函数互为“逆反函数”． 例如：和互为“逆反函数”． 如图1，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． （1）请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______； （2）在（1）下，点是一次函数图象上一点，又是它的“逆反函数”图象上的点； ①求的面积； ②若点为平面直角坐标系轴下方一点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）函数和它的“逆反函数”，组合成新的函数．当时，函数的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $