2.3 直线方程讲义（二）- 2026-2027学年高二上学期数学 人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦“直线与方程（二）”核心内容，系统梳理点到直线距离公式、平行线间距离公式及点与直线的对称（含点关于点、点关于直线、直线关于点和直线对称）等知识点，构建从距离计算到对称变换的知识支架，为解析几何后续学习奠定基础。 该资料以知识梳理为基础、题型演练为核心，通过基础题到综合题的梯度设计，培养学生数学思维的推理能力和数学眼光的几何直观，如光线反射问题强化空间观念，课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过多样题型巩固知识、查漏补缺。

直线与方程（二） 直线与方程（二） 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 3 【题型一：点到直线距离】 3 【题型二：平行直线间的距离】 8 【题型三：点与直线的对称】 9 【题型四：直线综合】 18 直线与方程（二） 【知识梳理】 知识点1：点到直线的距离 点到直线距离：点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 平行线间的距离： ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； ②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 知识点2：点与直线的对称 点关于点对称：关于点的对称点为 点关于直线对称：设设P关于的对称点坐标Q（a，b），则是PQ的垂直平分线，即且PQ的中点在上，解方程组可得Q点坐标。 直线关于点对称： 方法一：求一条直线关于点Q（a，b）的对称直线方程时，可以在该直线上取两个特殊点，再求它们关于点Q的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程； 方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为（x，y），再求它关于Q（a，b）的对称点坐标，而它的对称点在已知直线上，将其带入已知直线方程。便可得到关于（x，y）的方程，即为所求的直线方程。 直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决。 （1） 若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是； （2） 若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出的对称直线 【题型演练】 【题型一：点到直线距离】 1．已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 【答案】/ 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、求点到直线的距离 【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果. 【详解】将直线化为一般方程可得， 由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为. 故答案为： 2．直线过定点，则点到直线的距离是_________． 【答案】 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】先求出定点，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由，得， 令，解得， 即定点， 则点到直线的距离为. 故答案为：. 3．求满足下列条件的直线的一般式方程： (1)经过直线,的交点P，且经过点； (2)与直线垂直，且点到直线的距离为． 【答案】(1) (2)或. 【知识点】直线两点式方程及辨析、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）解方程组得交点坐标，再根据两点式可求出结果； （2）根据垂直得斜率，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】（1）联立，得，即， 由两点式得，即. （2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为， 设直线，即， 依题意得，解得或， 所以直线的方程为或. 4．已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】求出直线所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案. 【详解】直线，由，解得，则直线过定点， 所以点P到直线l的距离d的最大值为. 故选：A 5．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 【答案】BD 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断. 【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误； 对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误； 对于D，如图所示： 设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确； 故选：BD 6．已知直线. (1)求原点到直线l距离的最大值： (2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】（1）确定直线过定点，当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1）（1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； 当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； （2）设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 7．已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．-5或-15 B．-5或15 C．5或-15 D．5或15 【答案】D 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,再求出的值. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以,解得或5. 故选:D. 8．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】由两条直线平行求方程、求到两点距离相等的直线方程 【分析】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点，分情况讨论即可求解. 【详解】设所求的直线为，则直线平行于或直线过线段的中点， 因为，，所以， 所以过点且与平行的直线为：即， 因为，，所以线段的中点为， 所以过点与线段的中点为的直线的方程为：， 即， 所以这条直线的方程是：或， 故选：. 9．已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、由距离求已知直线的平行线 【分析】由三角形的面积确定点到直线上的距离，再由直线平行即可求解. 【详解】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 10．已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】(1)， (2)或 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、已知点到直线距离求参数 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. （2）因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 【题型二：平行直线间的距离】 11．直线，直线，若，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用平行线间距离公式列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以直线与的距离. 故选：C 12．两直线与平行，则它们之间的距离为______________ . 【答案】/ 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】首先根据两直线平行求出，再利用两平行线间距离公式即得. 【详解】依题意可得，，解得， 所以直线方程为，又，即， 则两平行直线的距离为. 故答案为：. 13．若两平行直线与之间的距离是，则m+n＝（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数、由距离求已知直线的平行线 【分析】由两直线平行的性质可得，再由平行线间的距离公式可得，即可得解. 【详解】由直线与平行可得即， 则直线与的距离为， 所以，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线位置关系的应用及平行线间距离公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 【题型三：点与直线的对称】 14．已知点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解. 【详解】因为，，所以， 又点与点关于直线对称，所以， 又的中点， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 15．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】运用点关于线的对称找出对称点，结合光线反射性质计算即可. 【详解】点关于对称的点设为， 则，反射光线经过点， 则反射光线所在的直线方程为，即. 故选:C. 16．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【知识点】直线过定点问题、求直线关于点的对称直线 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B． 17．1.已知，直线： (1)直线关于点A的对称直线的方程； (2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求直线关于点的对称直线 【分析】（1）设上任意一点坐标，利用对称，求出点关于的对称点，代入到直线中，即可求解出直线的方程；（2）先求出与直线的交点，则反射光线一定经过交点，再在上任意找一点，求出该点关于直线的对称点，则直线就是反射光线所在的直线 【详解】（1）设点是直线上一点，则点关于的对称点为，因为在直线上，代入得： 所以直线的方程为： （2）如图所示，联立与，解得： ，所以交点坐标为，在直线上任找一点，比如，求出关于直线：的对称点，则直线BD即为反射光线所在的直线，则由题意得： ，解得： 则，直线BD为：    18．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线关于直线对称问题 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：A. 19．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】向量模的坐标表示、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件． 故， 故选：B 20．已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【知识点】求点关于直线的对称点、求直线关于点的对称直线、直线关于直线对称问题 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 21．已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 22．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 23．如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为______.    【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 24．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为_________. 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】利用对称求出点，然后根据点的坐标得到，最后根据倾斜角与斜率的变化关系得到范围. 【详解】设点，有，解得，，所以， ，，结合图可知，. 故答案为：. 25．已知直线和点，． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大． 【答案】(1) (2)． 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标; （2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标. 【详解】（1）设A关于直线l的对称点为，则， 解得，故， 又∵P为直线l上的一点，则， 当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值， 点P即是直线与直线l的交点． 由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． （2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立， 此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点, 又∵直线AB的方程为， ∴由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． 【题型四：直线综合】 26．如图，直线的右上方有一点，则的值（    ） A．与A同号 B．与B异号 C．与C同号 D．无法判断 【答案】A 【知识点】直线综合 【解析】化简得直线，有图像可知，根据点与坐标原点在直线的两侧，即可列出不等式求解 【详解】由题得直线．由图象知，∴．又点与坐标原点在直线的两侧，∴，∴与A同号，与B同号，与C异号，故选A． 【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力、抽象概括能力，考查逻辑推理核心素养． 27．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ） A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C．若，则直线经过线段M，N的中点； D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 【答案】A 【知识点】直线综合、由一般式方程判断直线的平行、直线过定点问题 【分析】根据题意对一一分析，逐一验证． 【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确． 对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确； 对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确； 对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确； 故选A 【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 28．设全集，集合，当取满区间所有值时，集合A的补集表示区域的面积为______． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、直线综合 【分析】根据题意集合A表示原点到所有直线的距离都等于1，即直线都与圆心在原点，半径为1的单位圆相切. 【详解】由集合可知几何意义为：原点到 所有直线的距离都等于1，即这些直线都与圆心在原点，半径为1的单位圆相切.所以集合A的补集表示的区域为圆心在原点，半径为1的圆去除边界的部分，故面积. 故答案为： 29．已知，，则围成的区域的面积为___________． 【答案】 【知识点】求可行域的面积、直线综合、过圆上一点的圆的切线方程 【解析】由题可知所求区域是矩形内，单位圆外的部分. 【详解】由已知点为边长为4的正方形及其内部， 直线方程可知，此直线与圆心在原点半径为1的圆外切. 所以围成的区域是正方形内部、圆的外部，即阴影部分，面积为 故答案为： 【点睛】此题考查数形结合思想运用是能力，属于中档题. 30．已知直线有下列四个结论： ①直线经过定点； ②若直线在轴和轴上的截距相等，则； ③当时，直线的倾斜角； ④当时，直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为． 其中正确结论的是____________（填上你认为正确的所有序号） 【答案】③④ 【知识点】直线综合、斜率与倾斜角的变化关系、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【分析】利用直线的方程形式、直线的倾斜角与斜率的关系等知识，对命题进行一一判断． 【详解】对①，直线的方程可化为：， 联立，解得：，所以直线过点定，故①不正确； 对②当时，解得：，满足条件，故②不正确； 对③，当时，直线的斜率， ，故③正确； 对④，时，由②可得， 当且仅当时取等号，故④正确． 故答案为：③④ 31．已知实数满足，则的最大值是_________． 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、用两点间的距离公式求函数最值、求点关于直线的对称点 【分析】表示直线上的点到点与的距离之差，求出点关于直线的对称点为，再根据即可得解. 【详解】 表示直线上的点到点与的距离之差， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最大值为.    故答案为：. 32．已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______ 【答案】 【知识点】直线综合、求平行线间的距离 【分析】利用两平行线间的距离公式能求出；设直线CD的方程为，求得C,D坐标，可求得的最小值，得到答案． 【详解】由题意知，两直线：，：互相平行， 作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，如图所示， 由两平行线间的距离公式可得， 因为，及两直线：，：， 作直线垂直于，，且垂足分别为C、D， 设直线的方程为， 联立方程组，解得，同理求得， 所以， 其中表示点与点和之间的距离之和，当点重合时，取得最小值， 所以的最小值为， 的最小值为． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查了两平行线之间的距离公式，以及三条线段和的最小值的求法，其中解答中根据两平行线间的距离公式，以及两点间的距离公式，结合图象求解是解答的关键，着重考查了运算求解能力，及数形结合思想，是中档题． 33．过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________. 【答案】 【知识点】直线综合、求直线交点坐标 【解析】设两交点分别为，，利用中点为原点求解a,b，得到A点坐标，即得解. 【详解】设两交点分别为，， 则故点， 所以直线的方程为. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于中档题. 34．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线综合 【解析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可. 【详解】解：设，，则 ， 的中点为， ， 分别在直线和， ，， ，即. ，即 ， 又，，即 ， 所以，即 ， 解得. 故选：A. 【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项： （1）凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”； （2）“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多. 35．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的一般式方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解； （2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解； 【详解】（1）设，AB边上的中线CM所在直线方程为， AC边上的高BH所在直线方程为， ∴，解得， ∴． （2）设，则，解得， ∴，则． ∴直线BC的方程为，即为. 36．在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 【答案】（1）；（2） 【知识点】直线综合、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）求出，根据垂直关系，利用点斜式求解方程； （2）建立方程求出，得出直线BC的方程即可得解. 【详解】（1）由题边AB，AC所在直线的方程分别为． 的交点就是， 若，， 所以直线BC的方程：即； （2）设， 所以解得， 所以 所以直线的方程为，即， 令得， 直线BC的横截距. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与方程（二） 直线与方程（二） 1 【知识梳理】 1 【题型演练】 3 【题型一：点到直线距离】 3 【题型二：平行直线间的距离】 5 【题型三：点与直线的对称】 5 【题型四：直线综合】 8 直线与方程（二） 【知识梳理】 知识点1：点到直线的距离 点到直线距离：点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 平行线间的距离： ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； ②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 知识点2：点与直线的对称 点关于点对称：关于点的对称点为 点关于直线对称：设设P关于的对称点坐标Q（a，b），则是PQ的垂直平分线，即且PQ的中点在上，解方程组可得Q点坐标。 直线关于点对称： 方法一：求一条直线关于点Q（a，b）的对称直线方程时，可以在该直线上取两个特殊点，再求它们关于点Q的对称点坐标，然后利用两点式求其直线方程； 方法二：（一般性方法）可设所求的直线上任一点坐标为（x，y），再求它关于Q（a，b）的对称点坐标，而它的对称点在已知直线上，将其带入已知直线方程。便可得到关于（x，y）的方程，即为所求的直线方程。 直线关于直线的对称：此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决。 （1） 若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任一个已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是； （2） 若已知直线与对称轴平行，则与对称的直线和到直线的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出的对称直线 【题型演练】 【题型一：点到直线距离】 1．已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______. 2．直线过定点，则点到直线的距离是_________． 3．求满足下列条件的直线的一般式方程： (1)经过直线,的交点P，且经过点； (2)与直线垂直，且点到直线的距离为． 4．已知定点和直线，则点P到直线l的距离d的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．直线一定经过第四象限 D．点到直线的最大距离为 6．已知直线. (1)求原点到直线l距离的最大值： (2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程. 7．已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．-5或-15 B．-5或15 C．5或-15 D．5或15 8．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 9．已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C．或 D．或 10．已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【题型二：平行直线间的距离】 11．直线，直线，若，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 12．两直线与平行，则它们之间的距离为______________ . 13．若两平行直线与之间的距离是，则m+n＝（    ） A．0 B．1 C． D． 【题型三：点与直线的对称】 14．已知点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 15．已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 16．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 17．1.已知，直线： (1)直线关于点A的对称直线的方程； (2)若光线沿直线照射到直线上后反射，求反射光线所在的直线的方程. 18．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 19．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 20．已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 21．已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 22．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 23．如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为______.    24．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为_________. 25．已知直线和点，． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大． 【题型四：直线综合】 26．如图，直线的右上方有一点，则的值（    ） A．与A同号 B．与B异号 C．与C同号 D．无法判断 27．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ） A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C．若，则直线经过线段M，N的中点； D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 28．设全集，集合，当取满区间所有值时，集合A的补集表示区域的面积为______． 29．已知，，则围成的区域的面积为___________． 30．已知直线有下列四个结论： ①直线经过定点； ②若直线在轴和轴上的截距相等，则； ③当时，直线的倾斜角； ④当时，直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为． 其中正确结论的是____________（填上你认为正确的所有序号） 31．已知实数满足，则的最大值是_________． 32．已知，及两直线：，：，作直线垂直于，，且垂足分别为C、D，则______，的最小值为______ 33．过原点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰好被点平分，则直线的方程为______________. 34．已知点在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 35．已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为． (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的一般式方程． 36．在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 2 学科网（北京）股份有限公司 $