吉林延边州延吉市延边第二中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025-2026学年度下学期期末考试 高一数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共19题，共150分，共3页。考试时间为120分钟。考 试结束后，只交答题卡。 第〡卷选择题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.已知i为虚数单位，则复数+的虚部为( 1-i A.-i B.i C.0 D.1 2.某高中调研学生对“2026年美加墨足球世界杯”的关注程度，己知该校高一有600人，高二 有650人，高三有750人，现采用分层抽样的方法抽取80人进行调研，则高一应抽取的人数是 () A.24 B.26 C.30 D.36 3.在四面体O-ABC中，M为线段OA靠近O的三等分点，N为BC的中点，若 MN=xOA+yOB+zOC,x+y+=() A.1 B. 2 c. D. 4 2 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,并且∠A=60°，a=2√3，b=2,则∠B=() A.30°或1500 B.600 C.300 D.600或120 5.己知，n是两条不同直线，，B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若//oc,n//o,则m/n B.若m//n,n//a,则m// C.若⊥a,⊥B,则m//B D.若n⊥，n⊥B,则/1B 期末考试 高一数学试题 6.在三棱锥D-ABC中，AD=2,BC=2V3,E,F分别是AB,CD的中点，EF=V6, 则直线AD与BC所成的角的余弦值为() A. 3 B.、V3 3 6 6 7.已知O为△ABC的外接圆圆心，OA=1,∠BAC=60°，则AB.OC的最大值为() A.2 B.√2 p.2 1 c.1 8.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=6,S1nB+2 sin Ccos 4=0, 则△ABC面积的最大值为() √3 3 A B. C.3v3 D.3V3 2 2 2 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.已知一组数据为9,13,12,12,14,10,14，则这组样本数据的极差是5 B.己知一组数据按从小到大的顺序排列为：23,28,30，x,34,39,且其中位数是31，则数 据的第60百分位数是32 C.一组样本数据为7,12,13,17,18,20,32，若该组数据去掉一个数得到一组新 数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D.若样本x,x,,x的平均数和方差分别为2和3，则3x十2,3x+2,,3x,+2 的平均数和方差分别为8和27 10.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、 艺术、哲学灵感的源泉之一如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次 这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为2={1,2,3,4,5,6,7,8}， 第1页共3页 记“得到的点数为奇数”为事件A,记“得到的点数不大于4”为事件B,记“得到的点数为质数”为事件 C,则下列说法正确的是() A.事件B与C互斥 B.P(4+B)= 3-4 D.PAB 3 C.事件A与C相互独立 I1.如图，直角梯形ABCD,ABIICD,AB⊥BC,BC=CD= AB=4,E为AB中点，以 2 DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，则() B A.平面PBC⊥平面PCD B.若PE⊥EB时，PC=4V5 2π π C.当∠PEB=时，直线PC与平面PBE所成角为 3 6 D.二面角C-PE-B的最小值为4 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填在答题卡相应的位置上 12.已知平面向量ā=1,2)，6=(2.x,x-1),且a/1石-动，则x=一 期末考试 高一数学试题 13.甲、乙、丙三人各进行一次射击，已知甲、乙、丙三人击中目标的概率分别为弓 32 ,则拾有两人击中目标的概率为 14.如图，已知长方体ABCD-AB,CD的底面ABCD为正方形，P为棱AD的中点，且 PA=3V2,AB=6,则四棱锥P-ABCD的外接球的体积为 D A B, B 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤！ 15.(本小题满分13分) 已知同=2，国-1，(a-36)(a+6)=3 (1)求a+的值： (2)求a与a-2b的夹角 16.(本小题满分15分) 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1,2， 3,白球编号为4,5.现从盒子里随机取出2个小球 (1)记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件A发生的概率 (2)记事件B=“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为5”，求事件B发生的概率； 第2页共3页 17.(本小题满分15分) 某电力公司需要了解用户的用电情况（单位：度）.现随机抽取了该片区100户进行调查，将数 据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500](500,600]，并整理得到如下 频率分布直方图（用户的用电量均不超过600度）· 频率 组距 888影 0.0016 0.0013 0.00028✉ 0100200300400500600用电量/度 (1)求a: (2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量： (3)每户用电量不超过度的电费是0.5元/度，超出度的部分按1元/度收取，若该公司为了保 证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m至少应为多少（为整数）？ 期末考试 高一数学试题 18.(本小题满分17分) 如图，在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为4，b,c.已知b=3,c=6, sin2C=sinB,且AD为BC边上的中线，AE为∠BAC的角平分线. B DE (1)求cosC及线段BC的长： （2)求△ADE的面积. 19.(本小题满分17分) 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形， PC=BC=2AB=4,∠ABC=60°. E不 D B (1)求证：平面PAB⊥平面ABCD: (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且AC∥平面BEQF, 若平面BEQF⊥平面PAD;求平面BEQF与平面ABCD的夹角余弦值. 第3页共3页 2025-2026学年度下学期期末考试 高一数学答案及评分标准 一.单项选择题（每小题5分，共8题，共40分） 1 2 3 4 5 6 8 D A B D A D B 二、多项选择题（每小题6分，共3题，共18分） 9 10 11 ABD BD BCD 三、填空题： 1【答案】月 13【答案】 11 14【答案】72√2元 逐题解析： 一、单项选择题（每小题5分，共8题，共40分） 1.【答案】D 【详解】根据题意，因为+1：0+。三=1，所以虚部为1. 1-i1+00-)-2 故选：D 2.【答案】A 【详解】设高一应抽取的人数为x,则 80 600600+650+750 所以x=24,所以高一应抽取的人数是24. 故选：A 3.【答案】B 【详解】如下图所示：因为W为BC的中点，所以O=OB+OC, 由题意可知0成=0A,所以=0丽-0成=-0A+0i+0心， M 在三棱锥0-ABC中，OA、OB、0C不共面，且MN=x0A+y0B+z0C, 所以x=-台y=2=故x+y+2=-++=号 故选：B. 4.【答案】C 【详解】因为在△4BC中，A=60,a=25,b=2,由正弦定理a=b sinA"sinB'得 snB=bs1nm4=2×s1m60-},解得B=30'或B=150,又因为a>b可得A>B,所以B=150不符合题意， a 舍去.可得B=30°，故A,B,D错误， 故选：C 第1页共7页 5.【答案】D 【详解】对于A,若/au,n//a,则m与n平行，相交或者异面，故A错误； 对于B,若/In,n/a,则m//a或者mC,故B错误： 对于C,若m⊥，a⊥B,则/1B或者mcB,故C错误； 对于D,若n⊥o,n⊥B,则o//B,故D正确： 故选：D. 6.【答案】A 【详解】取AC的中点N,连接FN,EN,因为E,F分别是AB,CD的中点，所以NF/AD,EN/BC, 故∠RNz或其补角为直线AD与BC所成的角，N=)BC=5,N=AD=l,又BP-6, 故cos∠FWE= FW2+EW2-EF21+3-6_V3 2FN.EN 2×1×√33 故直线AD与BC所成的角的余弦值为 3 故选：A 7.【答案】D 【详解】O为△4BC的外心，OA=1,∠BAC=60°∴.∠BOC=2∠BAC=120°， o=o-00-1.:.4B.00-08-04)0c-08.0c-0A-0c=-1-cosLAoc 1 :当OA与OC反向共线时AB.OC取得最大值2， 故选：D 8.【答案】B 【详解1由正弦定理得：b+2c0s4=0,由余弦定理得：6+2c.2+c口=0，即262=a-c 2bc cos B=. a'+c2-b2 a+c2-a-c2 2-a+3x2>2V3ac5 2ac 2ac Aac 当且仅当a=√3c时，即c2=2√3，b2=2W3,a2=6√3时取等号， B∈0， 1 inB<则SA4Bc=2 ac sin B≤X6x 、6 2气，所以△4BC面积的最大值马 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 第2页共7页 9.【答案】ABD 【详解】对于A,这7个数的极差为14-9=5，所以A正确， 对于B,一组数据按从小到大的顺序排列为：23,28,30，x,34,39,且其中位数是31，故+30-31， 2 解得x=32,6×60%=3.6,第60百分位数是第四个数，即32.所以B正确 对于C,因样本数据7,12,13,17,18,20,32的平均数为x=(7+12+13+17+18+20+32)=17, 若去掉17这个数据，则新的一组数据的平均数也是17，所以C错误： 对于D,因样本x,x2,,x的平均数和方差分别为2和3，则3x1+2,3x2+2,,3xn+2的平均数为 3×2+2=8,方差为32×3=27，所以D正确. 故选：ABD 10.【答案】BD 【详解】对于A,事件B为“得到的点数不大于4”，即得到的点数为1,2,3,4， 事件C为“得到的点数为质数”，即得到的点数为2,3,5,7，显然得到点数为2,3时，事件B与事件C同时 发生，所以事件B与C不互斥，故A错误： 对于B,事件A为“得到的点数为奇数”，事件B为“得到的点数不大于4”，故得到点数为1,2,3,4,5,7， 表示事件4+B发生，即P4+B)8=,故B正确 1 对于C,由事件A为“得到的点数为奇数”，则P(A)=二， 事件C为“得到的点数为质数”，则P(C)=)而得到点数为35,7，表示事件4C发生，即P(AC)= 8 此时P(AC)≠P(A)P(C),所以事件A与事件C不相互独立，故C错误： 于D。而得到点数为3，表示事件AB发生，即P(AB)号，所以C,故D正确 故选：BD. 11.【答案】BCD 【详解】假设平面PBC⊥平面PCD,过B作BM⊥PC于M, 则BM⊥平面PCD,BM⊥CD,又CD⊥BCBC∩BM=M,.CD⊥平面PBC,.CD⊥PC,矛 盾，所以A不对； 若PE⊥EB,则可证明PE⊥平面DEBC,DEBC为正方形， 棱锥P-BCD可以补成边长为4的正方体，PC=4W3,B正确： 因为BC⊥平面PEB,∴.∠CPB即为直线PC与平面PBE所成角，在Rt△CPB中， P tan∠CPB= 45 5-号所以CP8-云G正确， 由DE⊥PE,DE⊥EB,PEEB=E,所以DE⊥平面PEB, 下不um 从而CB⊥平面PEB,CB⊥PE,作BQ⊥PE,交PE于点Q, A E 第3页共7页 可证PE⊥平面CQB,则CQ⊥PE,所以二面角C-PE-B的平面角是∠CQB, CB 4 tan∠CQB= BOBO ,满足BQ⊥PE的BQ的最大长度为4，所以tan∠CQB的最小值为1，即二面 角C-PE-B的最小值为 4 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。将答案填在答题卡相应的 位置上 12.【答案】 3 【详解】向量a=Q,2),6=(2xx-),则万-i=(2x-1,x-到，由a/亿-，得22x-)=x-3,所以x=- a【谷】是 【详解】设事件AB、C分别表示甲、乙、丙击中目标，由题意知A、BC相互独立， 且Pd)=PB)=P)5为P同=1子4到=1号A网=1 恰有两人击中目标包含三个两两互斥的事件：ABC、ABC、ABC,由独立事件概率乘法公式，得 Pq)-是号片yP4国9片专 PaC)=P同PaP)=片号分方由互序百件餐丰n过公式，得所求样车为： P=叫4网+州购+a6专品贵 14.【答案】72√2π 【详解】设Q是AD的中点，设AC∩BD=O,依题意， D C 四边形ABCD是正方形，所以AD=AB=8, A B P是4D的中点，所以A4=V3W2)2-32=3, OA=0B=0C=0D=14C=1x6=3W2, D 2 2 B 由于0,0分别是AC，AD的中点，所以o0/1CD,00=cD=3, 根据正方体的性质可知CD⊥平面ADDA,所以OQ⊥平面ADDA,由于PQC平面ADDA, 所以OOL PO,所以OP=V32+32=3√2，所以O是四棱锥P-ABCD的外接球球心，且外接球的半径为 35,所以外接球的体积为暂×6W=72a, 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 第4页共7页 15.(本小题满分13分) 【答案】（①）V5,(②石 【详解】(1)由(a-35)(a+b)=3,得a-2a.万-36=3，…2分 因为=2，=1，所以4-2a五-3=3，所以a-五=-1， …4分 所以a+-+2a-万+=4-2中i=5…6分 (2)设a与a-2b的夹角为6，因为a.(a-2=a-2a.b=4+2=6,…8分 a-2=V匠-4.乃+4怀=4+4+4=25，…10分 a.(a-2b6√5 所以cos0= -22×252' …12分 因为6∈[0，，所以6=. …13分 6 16.(本小题满分15分) 【答案】)P(4)-25 @剑-号 【详解】(1)对于事件A,有放回地依次取出两个球的样本空间2={(x,y)小水，y∈红，2,3,4,5} 则n(2)=25…3分 因为A={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5},所以n(4)=4,…5分 所以P(A)= n(A)4 …7分 n(2)25 (2)对于事件B，不放回地依次取出取出两个球的样本空间 22={1,2),（2,1),(1,3),(3,1),(1,4), (4,1),(1,5),(5,1),(2,3)(3,2)(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)}, 则n(22)=20…11分 因为B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2},所以n(B)=4,…13分 所以P(B) nB）-4_1 …15分 n(22）205 17.(本小题满分15分) 【答案】(1)0.0003(2)220(3)307 【详解】(1)由频率分布直方图中各组概率之和为1得， 100×(0.0013+0.0032+0.0034+0.0016+a+0.0002)=1,…2分 解得a=0.0003…4分 (2)根据频率分布直方图中平均值计算公式得 第5页共7页 平均值为50×0.13+150×0.32+250×0.34+350×0.16+450×0.03+550×0.02=220…8分 (3)由题意，第一组的频率为013，第二组频率为0.32，第三组频率为0.34， 为第80百分位数，所以1在第四组(300,400]之间…10分 即0.13+0.32+0.34+(m-300)×0.0016=0.8,…12分 解得m=306.25.…14分 又∈Z,故m至少应为307…15分 18.(本小题满分17分) 【答案】①casC-=号Bc-6(2)3 8 【详解】(1)sin2C=simB,.2 sin CcosC=sinB,…2分 1 由正弦定理得.2cc0sC=b,.c0sC= ，…4分 4 在△ABC中，由余弦定理得c0sC=a+b-c-。2+9-361 4 ，…6分 2ab 6a 解得α=6（负值舍去），…7分 即BC=6.…8分 2）osc-4ce0,,smc= 1 …10分 4 S.eCA.CB sinc=5 …12分 4 ,AE平分∠BAC, AB BE AC CE =2,所以8a3,…14分 1 :AD为BC边的中线，∴SADc= Sa8c,…15分 19153v15 S.DE=S.ADC -S.ARC-6.4BC …17分 64 8 19.(本小题满分17分) 【答案】(1)证明见解析； (2)3 2 【详解】(1)在△ABC中，因为BC=2AB=4,∠ABC=60°， 所以AC2=AB2+BC2-2AB.BC cos60°=34B2,AC=V3AB=2√3，…2分 所以AC2+AB2=BC2,则∠BAC=90°，即AC⊥AB, 又PC=BC,PA=AB,AC=AC所以△PAC三△BAC,AC⊥PA,…4分 PA∩AB=A,PA,ABc面PAB,所以AC⊥面PAB, 又ACC面ABCD,所以面PAB⊥面ABCD:…6分 (2)如图，以A为原点，分别以AB,AC为X,y轴的正方向建立空间直角坐标系A-z,因为AB=2, 第6页共7页 则A(0,0,0),B(2,00),D-2,25,0,P1,0,5)，AD=（-2,2V3,0 AP=(1,0,V5),BD=（4,2W3,0,DP=3,-2W3,V3),设=(x,4,)是平面P4D的法向量， 环a0- 则 …8分 设D0=1D,其中0≤元≤1.则B0=BD+D0=BD+1DP=(31-4,23-2V32,√3元) 连接ER,因AC∥平面BEQR,ACC平面PAC,平面PAC∩平面BEQF=EF,故AC∥EF, 取与EF同向的单位向量j=(0,1,0),…10分 设，=(x,y,22)是平面B距QF的法向量， 元j=为=0 匹-0=6A-405十250-y+5,-0取4=(V5队04-3.…22分 则 由平面BE0P1平面PAD,知⊥n,有2·，=31+31-4=0，解得元= 3·…14分 03 此时n 02 又平面ABCD的法向量n,=(0,0,1) 25 设平面BEQF与平面ABCD的夹角为日，则cos日 2% …16分 4 5 综上所述平面BEOF与平面ABCD的夹角余弦值为V …17分 2 第7页共7页