12.3.1 等腰三角形的性质 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕等腰三角形的定义、“等边对等角”“三线合一”性质、对称性及角度计算展开，通过让学生剪出等腰三角形并对折的合作探究导入，引导从定义到性质再到应用，构建连贯的学习支架。 其亮点在于结合动手操作和生活实例（如晾衣架、斜拉索桥）培养几何直观，通过分类讨论角度计算和三线合一证明发展推理意识，易错点总结助力规范表达。学生能提升数学思维，教师可借助系统资源提高教学效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.3.1 等腰三角形的性质 第十二章 全等三角形 12.3.1 等腰三角形的性质 同步练习题（适配八上，统一题型格式） 一、核心知识点 1. 等腰三角形基本概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边； 两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 特别：三条边都相等的等边三角形，是特殊的等腰三角形。 2. 性质1：等边对等角（必考核心） 文字：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。 作用：已知两边相等，可直接推导对应底角相等，无需全等证明。 3. 性质2：三线合一（超级重难点） 文字：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 几何语言（以AB=AC为例）： ① 若AD平分∠BAC → AD⊥BC，BD=CD； ② 若BD=CD（中线）→ AD⊥BC，AD平分∠BAC； ③ 若AD⊥BC（高）→ AD平分∠BAC，BD=CD。 关键：三线仅限底边、顶角相关，腰上的三线不重合。 4. 等腰三角形对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线（底边上中线、底边上高）所在的直线。 5. 角度计算核心结论 ① 内角和180°：顶角+2×底角=180°； ② 底角一定是锐角，等腰三角形最多一个钝角（只能是顶角）； ③ 已知一个角，需分类讨论：该角是顶角或底角。 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 等腰三角形的两个底角相等的依据是（） A. 等边对等角 B. 三线合一 C. 轴对称性质 D. 垂直定义 2. 已知等腰三角形的一个顶角为80°，则它的底角为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 3. 等腰三角形不具备的性质是（） A. 两底角相等 B. 轴对称图形 C. 底边上的高与中线重合 D. 所有角相等 4. 等腰三角形的一个角为100°，则另外两个角为（） A. 40°、40° B. 80°、80° C. 100°、20° D. 50°、50° 5. 在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论错误的是（） A. ∠BAD=∠CAD B. BD=CD C. ∠B=∠C D. AD=BC 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 有两条边相等的三角形叫做________三角形，它的两个________相等。 2. 等腰三角形顶角平分线、________、________相互重合，简称三线合一。 3. 等腰三角形是________图形，对称轴是底边上的高所在直线。 4. 等腰三角形顶角为50°，则底角为________°。 5. 等腰三角形一个底角为70°，则顶角为________°。 6. 等腰三角形计算角度时，钝角只能是________角，不可能是________角。 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 基础角度计算： (1) 等腰三角形顶角为70°，求底角度数； (2) 等腰三角形底角为55°，求顶角度数。 2. 分类讨论计算： 已知等腰三角形有一个内角为60°，求其余两个内角的度数。 3. 三线合一基础证明： 已知：AB=AC，AD是△ABC的中线，求证：AD⊥BC。 4. 性质辨析简答： 为什么等腰三角形的底角不能是钝角或直角？ 五、综合应用题（共 20 分） 1. 综合计算：如图，AB=AC，BD=BC，∠A=40°，求∠DBC的度数。（10分） 2. 综合证明：已知AB=AC，AD⊥BC，E为AC上一点，求证：∠BAD=∠CAE的余角（利用三线合一性质）。（10分） --- 参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 二、填空题 1. 等腰；底角 2. 底边上的中线；底边上的高 3. 轴对称 4. 65 5. 40 6. 顶；底 三、解答题 1. 解： (1) 底角=(180°−70°)÷2=55° 答：底角为55°； (2) 顶角=180°−2×55°=70° 答：顶角为70°。 2. 解： ① 若该角为顶角：底角=(180°−60°)÷2=60°，三内角均为60°； ② 若该角为底角：顶角=180°−2×60°=60°，三内角均为60°； 综上，其余两个角均为60°，该三角形为等边三角形。 3. 证明： ∵AB=AC，AD是△ABC的中线（已知） ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质） 得证。 4. 答： 等腰三角形两个底角相等，若底角为钝角或直角，两个底角之和≥180°， 违背三角形内角和为180°的定理，因此底角只能是锐角。 四、综合应用题 1. 解： ∵AB=AC，∠A=40° ∴∠ABC=∠C=(180°−40°)÷2=70° ∵BD=BC ∴∠BDC=∠C=70° ∴∠DBC=180°−70°−70°=40° 答：∠DBC=40°。 2. 证明： ∵AB=AC，AD⊥BC ∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一） ∴∠BAD=∠CAD ∵AD⊥BC ∴∠ADC=90° ∴∠CAD+∠C=90°，即∠CAD是∠C的余角 又∵∠BAD=∠CAD ∴∠BAD+∠C=90°，即∠BAD是∠C的余角，得证。 本节易错点总结 1. 三线合一乱用：三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线、角平分线不重合，是最高频易错点。 2. 角度不分类讨论：题干只说“一个内角”，默认需要分顶角、底角两种情况，直接默认底角会丢分。 3. 角度常识错误：等腰三角形底角一定是锐角，不可能为直角、钝角，做题可直接排除错误选项。 4. 性质与判定混淆：等边对等角是性质（边→角），后续等角对等边是判定（角→边），切勿颠倒。 5. 书写不规范：使用三线合一必须先写明“等腰三角形+对应条件”，不能直接跳步得出垂直、平分结论。 6. 特殊情况遗漏：60°的等腰三角形一定是等边三角形，无需额外证明。 新知探究 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，如图所示AC=BC，△ABC是等腰三角形。 指出等腰三角形中，腰、底边、顶角和底角 等腰三角形中相等的两边都叫做腰； 另一边叫做底边两腰的夹角叫做顶角；腰和底边的夹角叫做底角 合作探究 请同学们拿出剪刀、纸分别剪出三个不同的等腰三角形（如图所示） 将左边三个等腰三角形对折，使得两腰重合，你发现了什么？ 新知探究 等腰三角形的性质1 由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”如图所示，若△ABC为等腰三角形，则∠A=∠B 同学们交流一下，写出证明过程。 典例分析 例1 . 如图，在△ABC中，∠C=55°，将△ABC绕点A 顺时针旋转一定角度后，得到△A'B'C'， 且点C'在边BC上，则∠B'C'B的度数为（ ） A. 50° B. 70° C. 75 ° D. 80° B 典例分析 例2 . 已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD=AB，试判断△ABC是什么形状，并说明理由． 解：△ABC是直角三角形 ∵AD=DB，CD=AB，∴AD=BD=CD ∴∠A=∠2，∠1=∠B 又∵∠A+∠2+∠1+∠B=180° ∴∠2+∠1=90°，即∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形 1 2 新知探究 等腰三角形的性质2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合，简写成“等腰三角形的三线合一” CD 是等腰△ABC的角平分线、中线、高 典例分析 例3 .如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只需找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” D 典例分析 例4 .已知：如图AB=AC，∠EFH=∠B，BE=CF，M是EH的中点．求证：FM⊥EH． 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠EFH=∠B，∴∠CFE=∠B+∠BEF=∠EFH+∠BEF ∵∠CFE=∠EFH+∠CFH ∴∠BEF=∠CFH 在△BEF和△CFH中， ∴△BEF≌△CFH（ASA） ∴EF=FH ∵M是EH的中点，∴FM⊥EH 新知探究 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，如图所示，若AB=AC=BC，则三角形ABC是等边三角形 等边三角形的各个角都相等， 并且每一个角都等于60° 60° 60° 60° 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形 ABC(如图②)，若AB = AC，∠B = 35°，则∠C的度数为( ). A.70° B.45° C.35° D.110° C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，在△ABC中， AB=AC，∠A=30°，以C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，连结CD，则∠BDC的度数为( ). A.55° B.70° C.72° D.75° D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，在△ABC中，AB= AC，AD⊥BC，若BD =2，则BC的长度为( ). A.6 B.5 C.4 D.3 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就.图①为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形.图②为其示意图，在△ABC中， AB =AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明 AD⊥BC的是( ). A.BD =CD B.∠ADB = ∠ADC C.∠BAD = ∠CAD D.BC= 2AD D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，若△ABC是等边三角形，AB=6， BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使 CE =CD，则BE=( ). A.7 B.8 C.9 D.10 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为( ). A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120° D 随堂练习 04 证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE -∠DAC=∠BAC-∠DAC， 即∠BAF = ∠CAE. 在△ABF与△ACE中， ∵AB=AC，∠BAF= ∠CAE，AF=AE，∴△ABF≌△ACE（SAS） 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE= ∠BAC，延长AD至点F，使得AF =AE，连结BF. (1)求证:△ABF≌△ACE； 随堂练习 04 解：∵AB =AC，AD⊥BC， ∴BD=16÷2=8. ∵△ABF≌△ACE，BF=17, ∴CE =BF=17，∴DE=CE +CD =17+8=25. 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE= ∠BAC，延长AD至点F，使得AF =AE，连结BF. (2)若AD ⊥BC，BF=17，BC=16，求DE的长. 随堂练习 1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形， 则 的度数是( ) A. B. C. 或 D. 或 或 （第2题） 2. 如图，在中， ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. √ √ 返回 中考考法 19 3. ［2025长沙岳麓区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠 晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色， 迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一 亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”. 如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形，， 是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线 的是( ) 中考考法 20 （第3题） A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 中考考法 21 4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的两边 长分别是3和9，则它的“优美比” 为__. 5.如图， 的周长为20，且 ，于点， 的周 长为16，那么 的长为___. 6 返回 中考考法 22 6.［2025上海金山区期末］如图，在 中，为边 上一点， . （1）试说明 ； 【解】， ， . . 中考考法 23 （2）过点作的平行线交 的延长 线于点，若，求证： 平分 . 【证明】， . ，， ， ，平分 . 返回 中考考法 24 课堂小结 基本定义 定义：等腰三角形是指至少有两条边长度相等的三角形。相等的两条边称为腰，第三边称为底边。两腰所夹的角称为顶角，底边所对的两个角称为底角。 性质 ①等边对等角性质 两腰所对的两个底角相等 数学表达：若AB=AC，则∠B=∠C ②三线合一性质 顶角平分线、底边中线、底边高线三线重合 $