26.4实际问题与二次函数（第1课时 用二次函数刻画两变量之间的关系 ）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“用二次函数刻画两变量之间的关系”，通过矩形周长与面积、抛射高度与时间等生活实例导入，引导学生思考变量关系是否为二次函数及如何刻画，衔接二次函数概念与性质，搭建从旧知到应用的学习支架。 其亮点在于以数学建模思想为主线，通过跳水运动、矩形面积等实例，引导学生经历“定变量—找关系—列解析式—定范围”的建模流程，培养模型意识与推理能力。小结分知识技能、思想方法、易错点，层次分明。学生能提升应用能力，教师可直接使用丰富实例与规范流程，提高教学效率。

26.4实际问题与二次函数 第一课时 用二次函数刻画两变量之间的关系 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律. 经历“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分析和数学转化能力. 感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思维和求真务实的解题习惯. （2）二次函数何时有最大值或最小值？ a＞0 a＜0 当时，,函数值有最大值，y最大值= 当时，函数值有最大值，y最小值= （1）二次函数的一般形式是什么？顶点式是什么？ 知识回顾 一般形式： 顶点式： 核心特征：两个变量满足自变量最高次数为2的整式函数关系 ② ∵ 知识回顾 ∴当 = - = , y最小值= = = － 求下列函数的最大值或最小值： ①y = x2-4x+7 ② y = -5x2 + 8x-1 配方法 公式法 选择合适的方法 ① y = x2-4x+7 =（x-2）2+3 ∵ ∴当x = 2时，y最小值=3 导入新课 矩形周长固定时，面积随边长的变化而变化； 物体抛射过程中，高度随时间的变化而变化。 这些生活中的变化关系，是否是二次函数关系？ 我们如何用数学式子精准刻画两个变量的关系？ 新知探究 探究点1 跳水运动中的最高点问题 活动1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 议一议 （1）运动员在跳水过程中重心的高度是时间什么函数？ （2）最大高度问题转化为什么问题？ ∵起跳后的时间t为自变量， 运动员的重心相对于水面的高度h为因变量， ∴由解析式h=－4.9t ²+2.8t+11可得： 运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数 最大高度问题 求二次函数的最大值问题 转化 活动1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 议一议 新知探究 探究点1 跳水运动中的最高点问题 （3）运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，转化为什么问题？ 可以转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 转化 （4）你能结合函数图象解决问题吗？ 由图象可得，抛物线开口向下， 当t取顶点的横坐标时，函数有最大值， 这个最大值即为运动员重心的最大高度. 活动1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 新知探究 探究点1 跳水运动中的最高点问题 解：t取顶点的横坐标时，函数有最大值，此时最大值即为运动员重心的最大高度. 答：运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m. 规范解答 活动1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.) 新知探究 探究点1 跳水运动中的最高点问题 议一议 （5）函数的图象能直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？ 顶点(0.3, 11.4) 运动员的重心先逐渐上升， 在0.3秒的时候到达了最高点11.4米处， 然后逐步下降， 快到2秒时运动员入水，重心高度降为0 新知探究 探究点1 跳水运动中的最高点问题 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当 时，二次函数有最小（大）值 . 二次函数解决实际问题的一般路径 —实际问题转化成数学问题 —利用二次函数知识解决问 —利用求解的结果解释问题 新知探究 探究点2 矩形的面积最大问题 议一议 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ （1）设垂直于墙的一边长为xm，菜园面积为Sm²，S与x的函数关系是什么？ ∵篱笆总长20米，垂直于墙的一边长为x米， ∴另一边长=总长度－2x =20-2x （米） ∴S= x (20-x) = -x² + 20x. 20-2x x x 活动2 墙 菜园 S是x的二次函数 （2）自变量x的取值范围是什么？ 在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义， ∴菜园的边长应为正数，即 ∴自变量的取值范围是0<x<10. 解不等式组得： 0<x<10. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 活动2 新知探究 探究点2 矩形的面积最大问题 墙 菜园 20-2x x x 议一议 （3）如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？ 当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？ 解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（20-2x)m，菜园面积为Sm²， ∴S=x(20-x)= -x²+20x（0<x<10） 当时， S有最大值 ∴当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积是50m². 转化 利用公式直接求最值 规范解答 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 活动2 新知探究 探究点2 矩形的面积最大问题 墙 菜园 20-2x x x 议一议 （3）如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？ 当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？ 解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（20-2x)m，菜园面积为Sm²， ∴S=x(20-x)= -x²+20x（0<x<10） 转化 配方为顶点式 配方得：S= -（x-5）²+50 规范解答 即 当垂直于墙的边长为5m时， 这个矩形菜园的面积最大，最大面积是50m². 因为a=-1，抛物线开口向下，顶点坐标（5,50） ∴当x=5时，S由最大值50 新知探究 探究点2 矩形的面积最大问题 归一归 二次函数建模应用的一般步骤： ① 定变量：确定题目中的自变量、因变量； ② 找关系：根据公式、题意梳理两个变量的等量关系； ③ 列式子：整理化简，得到二次函数解析式； ④ 定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围. 新知探究 探究点2 矩形的面积最大问题 归一归 1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范 围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 典例分析 例1.合肥市中学生运动会中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线（如图），其中出球点B离地面的距离是米，球落点的水平距离是多少？ 解：令，则， 解得：，（舍去）， 球落点的水平距离是5米． 分析：球落点就是当高度（函数值）为0时的水平方向长度，即此时自变量的值 典例分析 例2.如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． （1）解：第t秒钟时，， 故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 新知巩固 1. 如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解： ∵墙的长度为8m ∴平行于墙的边长 需要：20-2x ≤ 8， 解得 x ≥ 6. 所以x的取值范围：6 ≤ x <10. 由例2得： ∴S=x(20-x)= -x²+20x = －（x－5）²+50， 对称轴：直线x =5，，开口向下 当x ＞5时，S随x的增大而减小 ∴当x=6时， S最大值=-2×62+20×6=48 x (6 ≤ x <10) 6 答：当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48m². 【教材P52页 】 墙 菜园 20-2x x x 48 新知巩固 2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 【教材P52页 】 解：由题意得：当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 答：小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 拓展提升 1.阅读思考，并解答下列问题： 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 (1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系； (3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：） （1）解：描点，连线，如图所示： （2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数，设s与t的函数关系式为， 把 代入 ，得：  ，解得：， ∴s与t的函数关系式可近似地表示为： ； 拓展提升 1.阅读思考，并解答下列问题： 在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 14 48 (1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们； (2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系； (3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？ （参考数据：） （1）解：描点，连线，如图所示： （3）解：把代入 得： ，     ∴， 解得： （舍去），   答：推测滑雪者滑行的时间是10秒． 真题感知 1.（2026淮安校考）一个小球从地面竖直向上抛出，它的运动高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）满足数量关系：小球初始速度为20m/s，重力加速度影响下，每秒高度减少5t²m. （1）请刻画高度h与时间t的函数关系，写出函数解析式； （2）求自变量t的取值范围. 解：（1）根据题意分析高度变化规律： 运动高度=初始速度运动高度−重力衰减高度 可得关系式：h=20t-5t² =-5t²+20t （2）根据实际意义分析： ① 时间为正数：t>0； ② 小球落地后高度为0， 不再运动，即h≥0. 令 h=0，则 -5t²+20t=0， 因式分解得：-5t(t-4)=0， 解得： 综上，时间t的取值范围为：0<t≤4 高度与时间的函数关系为 h=-5t²+20t(0<t≤4). 真题感知 2．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 解：（1）由题意得，顶点为， 即（6，8），设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， 代入点（12，0）得：a（12﹣6）2+8＝0， 解得：， ∴抛物线解析式为： ； （2）能安全通过，理由如下： 如图，由题意得：， 将x＝2代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 课堂小结 （1）核心认知：生活中动态变化的最值类、面积类、运动类双变量关系，常可用二次函数刻画. （2）核心技能：掌握实际问题二次函数四步建模法（定变量—找关系—列解析式—定范围）. （3）关键细节：实际二次函数必须结合情境，确定自变量取值范围，不可默认全体实数. 知识与技能 课堂小结 （1）数学建模思想：将复杂实际问题抽象为熟悉的二次函数数学模型，用数学知识解决实际问题. （2）数形转化思想：将文字情境的数量关系转化为代数解析式，实现文字语言到符号语言的转化. （3）分类限定思想：结合数学规则与实际意义双重条件，精准限定变量取值. 思想与方法 课堂小结 （1）建模误区：混淆自变量和因变量，导致解析式变量颠倒. （2）书写误区：列出二次函数解析式后，遗漏自变量取值范围（本节课最高频易错点）. （3）范围误区：仅考虑数学正数要求，忽略问题终止条件（如小球落地、图形不存在等）. （4）化简误区：整理解析式时符号错误、同类项合并失误，未化为标准二次函数形式. 易错点提醒 课后练习 1. 刘伟在练习原地垂直起跳.某次起跳后，他的脚离开地面的距离 y（单位：m）关于起跳后的时间 t（单位：s）的函数解析式大致为 y=－5t²+3.6t，求刘伟跳到最高点时脚离开地面的距离. 解：∵a=－5，抛物线开口向下，函数由最大值 ∴y最大值= 答：刘伟跳到最高点时脚离开地面的距离是0.648m. 教材P55页 习题 26.4 课后练习 教材P55页 2. 若汽车刹车后行驶的距离 l（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式为 l =15t－6t².汽车从刹车到停下来，前进了多远？ 解：l =15t－6t² =－6(t －)2 ＋ 答：汽车从刹车到停下来，前进了m. 习题 26.4 分析：汽车停下来时就是汽车行驶的最远距离 课后练习 4.用总长l（单位：m）的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面积S（单位：m²）随矩形场地一边长a（单位：m）的变化而变化.当a是多少米时，场地的面积S最大？最大面积是多少？此时的场地是什么形状？ 解：S=a·=－(a－)2+ 当a= 时，S最大= . 此时矩形的四边长都是，场地是正方形. 教材P55页 习题 26.4 谢谢聆听 $